1984全国高考文科数学试题

1984全国高考文科数学试题

1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

（这份试题共八道大题，满分120分）

一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写

在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出

的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分

1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y

2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ D ） （A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称

（C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称 3复数i 2

3

2

1

-

的三角形式是 （ A ） （A ）)3

sin()3cos(π-+π-i （B ）3

sin 3cos π+πi

（C ）3sin 3cos π-πi （D ）6

5sin 3cos π

+πi

4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ C ） （A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交 5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ A ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求

直接写出结果）

1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围

答：.22

3<

2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积答：π

π4

3．已知实数m 满足2x 2-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值

答：m=0,x=-2

1

.

4.求)

2)(1()

()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n Λ的值 答：1

5．求6)12(x

x -的展开式中x 的一次幂的系数

答：240

6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）

答：!647⋅P

三．（本题满分12分）本题只要求画出图形

1．画出方程y 2=-4x 的曲线

2．画出函数2

)1(1

+=x y 的图象 解：

四．（本题满分12分）

已知等

差数列

a ,b,c

中的

三个数都是正数，且公差不为零求证

可能成等差

它们的倒数所组成的数列c

b a 1

,1,1不数列

证：如果c

b a 1,1,1成等差数列，那么

,,,1111c

c b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即 又因为a ,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以

.0≠-=-c b b a 由以上两式，可知

.1

1c

a = 两边都乘以a c ，得a =c.

但由数列a ,b,c 的公差不为零，知a ≠c ，这就得出矛盾

从而c

b a 1,1,1不可能成等差数列

五．（本题满分14分）

把α-β-α-422cos sin 2sin 4

1

1化成三角函数的积的形式(要求结果最简）

1． Y 1 F （-1，0） O X

2． Y

1 -1

O X

)

-)sin(sin( )

2

sin 2sin 2()2cos 2(2cos )

cos )(cos cos (cos cos cos )cos (sin cos cos cos cos sin cos cos 2sin 4

1

)sin 1(:2222224222422βαβ+α=α

-βα+β-⨯α-βα+β=α-βα+β=α

-β=α+αα-β=α-αα-β=α

-α-β-=原式解

六．（本题满分14分）

如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积

解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直

如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，

所以

∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300 CE=

AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒2

3

3230cos ,23602

用S 截表示△ABD 的面积，则

D β α B

C 300 E A

.8,2

1

21322=∴=⋅=

=AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则 S 底=.3164

3

2

12==

⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3

3

6443163131

2cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）

某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的

年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)

解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2. 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为

a 2,a 3, ….根据题意，数列{a n }是一个公比为

1.2的等比数列，其通

项公式为12.12-⨯=n n a

根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得

84

.1010791

.07781

.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .

12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为x y 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台

答：略

八．（本题满分15分）

已知两个椭圆的方程分别是