高三数学概率统计知识点归纳

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高三数学高考考点解析概率与统计问题的题型与方法全国通用

概率与统计问题的题型与方法一、考试内容离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和平方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，总体特征数的估计，线性回归。

二、考试要求⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。

⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

⑷会用样本频率分布去估计总体分布。

⑸了解正态分布的意义及主要性质。

⑹了解假设检验的基本思想。

⑺会根据样本的特征数估计总体。

⑻了解线性回归的方法。

三、复习目标1．了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。

2．了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

3．在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。

4．了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。

5．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体),(2σμN 转化为标准正态总体N （0，1）的公式)()(σμ-Φ=x x F 及其应用。

6．通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。

7．了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。

8．了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算。

9．了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。

四、双基透视㈠随机事件和统计的知识结构：㈡随机事件和统计的内容提要1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。

2．随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的分布列：两条基本性质①,2,1(0=≥i p i ...)； ②P 1+P 2+ (1)（2）连续型随机变量概率分布：由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(x)；总体分布密度函数的两条基本性质： ①f(x) ≥0(x ∈R)；②由曲线y=f(x)与x 轴围成面积为1。

统计与概率知识点

统计与概率知识点部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑统计与概率知识点一：统计1：简单随机抽样<1）总体和样本①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．②把每个研究对象叫做个体．③把总体中个体的总数叫做总体容量．b5E2RGbCAP④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：，，，研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．p1EanqFDPw<2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同<概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

DXDiTa9E3d<3）简单随机抽样常用的方法：①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。

RTCrpUDGiT在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。

<4）抽签法:①给调查对象群体中的每一个对象编号；②准备抽签的工具，实施抽签；5PCzVD7HxA③对样本中的每一个个体进行测量或调查<5）随机数表法：2：系统抽样<1）系统抽样<等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。

第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。

K<抽样距离）=N<总体规模）/n<样本规模）jLBHrnAILg前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。

可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。

如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。

xHAQX74J0X<2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。

高中数学复习概率统计题型归纳与讲解03 频率分布直方图

高中数学复习概率统计题型归纳与讲解专题3频率分布直方图例1．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取100人进行跳高测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在[120，140）之间的学生中用分层抽样的方法抽取5人，应从[120，130）间抽取人数为b，则（）A．a＝0.2，b＝2B．a＝0.025，b＝3C．a＝0.3，b＝4D．a＝0.030，b＝3【解析】解：由题得10×（0.005+0.035+a+0.020+0.010）＝1，所以a＝0.030．在[120，130）之间的学生人数为：100×10×0.030＝30人，在[130，140）之间的学生人数为：100×10×0.020＝20人，在[120，140）之间的学生人数为：100×（10×0.030+0.020）＝50人，又用分层抽样的方法在[120，140）之间的学生50人中抽取5人，即抽取比例为：110，所以成绩在[120，130）之间的学生中抽取的人数应，30×110=3，即b＝3，故选：D．例2．从某企业生产的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[70，80） [80，90） [90，100） [100，110） 110，120）频数 14 20 36 18 12估计这种产品质量指标值的平均数为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）A ．100B ．98.8C ．96.6D ．94.4【解析】解：平均数x →=0.14×75+0.20×85+0.36×95+0.18×105+0.12×115＝94.4．故选：D ．例3．“新冠肺炎”席卷全球，我国医务工作者为了打好这次疫情阻击战，充分发挥优势，很快抑制了病毒，据统计老年患者治愈率为71%，中年患者治愈率为85%，青年患者治愈率为91%．如果某医院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，则估计该医院的平均治愈率是（）A ．86%B ．83%C ．90%D ．84%【解析】解：利用求加权平均数的公式解得：30×71%+40×85%+50×91%30+40+50=0.84＝84%，故选：D ．例4．已知样本数据x 1，x 2，…，x n （n ∈N *）的平均数与方差分别是a 和b ，若y i ＝﹣2x i +3（i ＝1，2，…n ），且样本数据y 1，y 2，…，y n 的平均数与方差分别是b 和a ，则a ﹣b ＝（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：由题意得：{−2a +3=b a =4b ，解得：{a =43b =13，故a ﹣b ＝1，故选：A ．例5．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8．则可以判定数学成绩优秀同学为（）A ．甲、乙B ．乙、丙C ．甲、丙D ．甲、乙、丙【解析】解：在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，故甲同学数学成绩优秀，故①成立；在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，可以找到很多反例，如：118，119，125，128，145，故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8设x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则丙的方差为15[（x 1﹣128）2+（x 2﹣128）2+（x 3﹣128）2+（x 4﹣128）2+（135﹣128）2]＝19.8， ∴（x 1﹣128）2+（x 2﹣128）2+（x 3﹣128）2+（x 4﹣128）2＝50，∴（x 1﹣128）2≤50，得|x 1﹣128|≤5，∴x 1≥128﹣5＞120，∴丙同学数学成绩优秀，故③成立．∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．故选：C ．例6．若数据x 1，x 2，…，x n 的平均数x =3，方差s 2＝1，则数据2x 1+3，2x 2+3，…，2x n +3的平均数和方差分别为（）A．6，6B．9，2C．9，6D．9，4【解析】解：由题意若数据x1，x2，…，x n的平均数x=3，方差s2＝1，可得x1+x2+…+x n＝3n，则：2x1+3+x2+3+…+x n+3＝2（x1+x2+…+x n）+3n＝9n，所以数据2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的平均数为9．又S2=1n[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x n﹣3）2]＝1，所以[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x n﹣3）2]＝n，所以1n [（2x1+3﹣9）2+（2x2+3﹣9）2+…+（2x n+3﹣9）2]=4n[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x n﹣3）2]＝4，则数据2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的平均数和方差分别为9，4．故选：D．例7．随着城镇化的不断发展，老旧小区的改造及管理已经引起了某市政府的高度重视，为了了解本市甲，乙两个物业公司管理的小区住户对其服务的满意程度，现从他们所服务的小区中随机选择了40个住户，根据住户对其服务的满意度评分，得到A区住户满意度评分的频率分布直方图和B 区住户满意度评分的频率分布表．B区住户满意度评分的频率分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4610128（Ⅰ）在图2中作出B区住户满意度评分的频率分布直方图，并通过频率分布直方图计算两区住户满意度评分的平均值及分散程度（其中分散程度不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据住户满意度评分，将住户和满意度分为三个等级：满意度评分低于70分，评定为不满意；满意度评分在70分到89分之间，评定为满意；满意度评分不低于90分，评定为非常满意．试估计哪个地区住户的满意度等级为不满意的概率大？若是要选择一个物业公司来管理老旧小区的物业，从满意度角度考虑，应该选择哪一个物业公司？说明理由．【解析】解：（Ⅰ）作出如图所示的频率分布直方图，B区住户满意度评分的频率分布直方图如图所示A区住户满意度评分的平均值为45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.2+85×0.15+95×0.05＝67.5；B区住户满意度评分的平均值为55×0.1+65×0.15+75×0.25+85×0.3+95×0.2＝78.5．通过比较两区住户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B区住户满意度评分比较集中，而A 区住户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记D表示事件：“A区住户的满意度等级为不满意”，记E表示事件：“B区住户的满意度等级为不满意”，则P（D）＝（0.010+0.020+0.030）×10＝0.6，P（E）＝（0.010十0.015）×10＝0.25，所以A区住户的满意度等级为不满意的概率较大．若是要选择一个物业公司来管理老旧小区的物业，从满意度等级为满意来考虑，应该选择乙物业公司来为小区服务，这样的话小区住户满意度会高一些．例8．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【解析】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：1﹣（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）×10＝0.08．完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10＝102．（3）样本成绩属于第六组的有0.006×10×50＝3人，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50＝2人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数n=C52=10，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m=C32+C22=4，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率p=mn=410=25．例9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准x，用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．下面是居民月均用水量的抽样频率分布直方图．①求直方图中a的值；②试估计该市居民月均用水量的众数、平均数；③设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；④如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x ，那么标准x 定为多少比较合理？【解析】解：①由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，∵频率＝（频率/组距）*组距，∴0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a ）＝1，解得：a ＝0.3，∴a 的值为0.3；②由频率分布直方图估计该市居民月均用水量的众数为2+2.52=2.25（吨），估计该市居民月均用水量的平均数为：0.5（0.25×0.08+0.75×0.16+1.25×0.3+1.75×0.4+2.25×0.52+2.75×0.3+3.25×0.12+3.75×0.08+4.25×0.04）＝2.035（吨）．③由图，不低于3吨人数所占百分比为0.5×（0.12+0.08+0.04）＝12%，∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：30×12%＝3.6（万）；④由频率分布直方图得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）＝0.73＜85%，月均用水量低于3吨的频率为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）＝0.88＞85%，∴x＝2.5+0.5×0.85−0.730.3×0.5=2.9（吨）．例10．如图是某校高三（1）班的一次数学知识竞赛成绩的基叶图（图中仅列出[50，60），[90，100）的数据）和频率分布直方图．（1）求全班人数以及频率分布直方图中的x，y；（2）估计学生竞赛成绩的平均数和中位数（保留两位小数）．【解析】解：（1）分数在[50，60）的频率为0.020×10＝0.2，由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为5，所以全班人数为50.2=25（人）；分数在[90，100）之间的频数为2，由225=10y，解得y＝0.008；又10x＝1﹣10×（0.036+0.024+0.020+0.008），解得x＝0.012．（2）由频率分布直方图，计算平均数为x=55×0.2+65×0.24+75×0.36+85×0.12+95×0.08＝71.4，由0.2+0.24+0.36＝0.80，所以中位数在[70，80）内，设中位数为m，则0.20+0.24+（m﹣70）×0.036＝0.5，解得m≈71.67，所以中位数约为71.67．例11．某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据．数据一：身高在[170，180）（单位：cm）的体重频数统计体重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人数206010010080201010数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均体重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依据数据一将下面男高中生身高在[170﹣180）（单位：cm）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在[170﹣180）（单位：cm）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）（Ⅱ）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；（Ⅲ）说明残差平方和或相关指数R2与线性回归模型拟合效果之间关系．（只需写出结论，不需要计算）参考公式：b=∑ni=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．参考数据：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．【解析】解：（1）身高在[170，180）的总人数为：20+60+100+100+80+20+10+10＝400，体重在[55﹣60）的频率为：60400=0.15，体重在[70﹣75）的频率为：80400=0.2，平均体重为：52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2+77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，（2）因为r＝0.99→1，线性相关很强，故可以用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关，x=145+155+165+175+1855=165，y=45+75+60+53.6+66.45=60，b=∑8i=1x i y i−8x⋅y∑8i=1x i2−8x2=38608+175×66.4−5×165×601000=0.728，a=y−b x=60−0.728×165=−60.12，所以回归直线方程为：y=0.728x−60.12，（3）残差平方和越小或相关指数R2越接近于1，线性回归模型拟合效果越好．例12．市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t），频数分布如下：分组[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3）[3，3.5）[3.5，4）[4，4.5]频数4815222514642（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）；（2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）．【解析】解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）∵0.04+0.08+0.15+0.22＝0.49＜0.5，∴中位数为2+0.5−0.490.25×0.5＝2.02，（3）由频率分布直方图得平均数为：0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02＝2.02．例13．某地区100居民的人均用水量（单位：t）的分组的频数如下：[0，0.5），4；[0.5，1），8；[1，1.5），15；[1.5，2），22；[2，2.5），25；[2.5，3），14；[3，3.5），6；[3.5，4），4；[4，4.5），2．（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的众数；（坐标轴单位自定）（3）当地政府制订了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府解释说，85%以上的居民不超出这个标准，这个解释对吗？为什么？【解析】解：（1 ）分组频数频率[0，0.5 ）40.04[0.5，1 ）80.08[1，1.5 ）150.15[1.5，2 ）220.22[2，2.5 ）250.25[2.5，3 ）140.14[3，3.5 ）60.06[3.5，4 ）40.04[4，4.5 ）20.02（2）：频率分布直方图如下图，由图知，这组数据的众数为2.25．（3）人均月用水量在3t以上的居民的比例为6%+4%+2%＝12%，即大约是有12%的居民月均用水量在3t以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解释是正确的．例14．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．【解析】解：（Ⅰ）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为m＝75（分）；（3分）前三个小矩形面积为0.01×10+0.015×10+0.015×10＝0.4，∵中位数要平分直方图的面积，∴n=70+0.5−0.40.03=73.3（7分）（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10＝0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75% （11分）利用组中值估算抽样学生的平均分45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71估计这次考试的平均分是71分．（14分）例15．为应对新冠疫情，重庆市于2020年1月24日启动重大突发公共卫生事件一级响应机制，要求市民少出门，少聚集，于是快递业务得到迅猛发展．为满足广大市民的日常生活所需，某快递公司以优厚的条件招聘派送员，现给出了两种日薪薪酬方案，甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪150元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励10元．（Ⅰ）请分别求出这两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；（Ⅱ）根据该公司所有派送员10天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：日均派送单数5054565860频数（天）23221回答下列问题：①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出这10天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差；②结合①中的数据，根据统计学的思想，若你去应聘派送员，选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由．（参考数据：172＝289，372＝1369）【解析】解：（1）甲方案，y ＝100+n ；乙方案，y ={150，n ≤5510n −400，n ＞55．（2），①甲方案中，根据已知表格可计算出日平均派送单数为2×50+3×54+2×56+2×58+6010=55，方差为0.2×（50﹣55）2+0.3×（54﹣55）2+0.2×（56﹣55）2+0.2×（58﹣55）2+0.1×（60﹣55）2＝9.8，所以，由（1）中变量之间的关系，可以指，甲方案的日薪X 的平均数为155，方差为9.8．乙方案中，日薪X 的平均数为[5×150+160×2+180×2+200]×0.1＝163，日薪方差为0.5×（150﹣163）2+0.2×（160﹣163）2+0.2×（180﹣163）2+0.1×（200﹣163）2＝213.4．（3）若去应聘派送员，我会选择乙方案，从平均数的角度来看，乙方案的平均薪酬更高，同时更有激励作用．例16．2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 300 70 30 80 可回收垃圾 30 210 30 30 有害垃圾 20 20 60 20 其他垃圾10201060（1）分别估计厨余垃圾和有害垃圾投放正确的概率；（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800．当数据a，b，c，d的方差s2最大时，写出a，b，c，d的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．【解析】解：（1）根据题意，厨余垃圾共300+70+30+80＝480吨，其中投放正确的有300吨，则厨余垃圾投放正确的概率P1=300480=58，有害垃圾共20+20+60+20＝120吨，其中投放正确的有60吨，则害垃圾投放正确的概率P2=60120=12；（2）根据题意，厨余垃圾在四种垃圾箱的投放量分别为a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800，则其平均数x=8004=200，则其方差S2=14[（a﹣200）2+（b﹣200）2+（c﹣200）2+（d﹣200）2]，当a＝600，b＝c＝d＝0时，s2最大，而x=a+b+c+d4=200，此时s2=14[（600﹣200）2+（0﹣200）2+（0﹣200）2+（0﹣200）2]＝120000例17．某市教育局为了解全市高中学生在素质教育过程中的幸福指数变化情况，对8名学生在高一，高二不同学习阶段的幸福指数进行了一次跟踪调研．结果如表：学生编号12345678高一阶段幸福指数9593969497989695学生编号12345678高二阶段幸福指数9497959695949396（1）根据统计表中的数据情况，分别计算出两组数据的平均值及方差；（2）请根据上述结果，就平均值和方差的角度分析，说明在高一，高二不同阶段的学生幸福指数状况，并发表自己观点．【解析】解：（1）8名学生在高一阶段的幸福指数的平均数为：x=18（95+93+96+94+97+98+96+95）＝95.5，方差为：S12=18∑8i=1(x i−x1)2=2.25，8名学生在高二阶段的幸福指数的平均数为：y=18（94+97+95+96+95+94+93+96）＝95，方差为：S22=18∑8i=1(y i−y)2=1.5；（2）①∵x＞y，∴可以认为这8名学生在高一的平均幸福指数大于在高二的平均幸福指数，②∵S12＞S22，∴可以认为这8名学生在高二的幸福指数的稳定性大于在高一的幸福指数的稳定性．例18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一﹣年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．（结论不要求证明）【解析】解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为：0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），∴年增加的平均数为：0.3+0.2+0.3+0.5+0.6+0.4+0.8+0.68=0.5万亿元．（2）设A表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，依题意P（A）＝1−C22C52=910．（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大．。

最新高三数学复习教案：概率统计.doc

高三数学复习教案：概率统计一、知识梳理1.三种抽样方法的联系与区别：类别共同点不同点相互联系适用范围简单随机抽样都是等概率抽样从总体中逐个抽取总体中个体比较少系统抽样将总体均匀分成若干部分;按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分采用简单随机抽样总体中个体比较多分层抽样将总体分成若干层，按个体个数的比例抽取在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体中个体有明显差异(1)从含有N个个体的总体中抽取n个个体的样本，每个个体被抽到的概率为(2)系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号;②将编号分段;③在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号;④按照事先研究的规则抽取样本.(3)分层抽样的步骤：①分层;②按比例确定每层抽取个体的个数;③各层抽样;④汇合成样本.(4) 要懂得从图表中提取有用信息如：在频率分布直方图中①小矩形的面积=组距=频率②众数是矩形的中点的横坐标③中位数的左边与右边的直方图的面积相等，可以由此估计中位数的值2.方差和标准差都是刻画数据波动大小的数字特征，一般地，设一组样本数据，，…，，其平均数为则方差，标准差3.古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果都是等可能的，如果事件包含个结果，那么事件的概率P=特别提醒：古典概型的两个共同特点：○1 ，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的;○2 ，即每个基本事件出现的可能性相等。

4. 几何概型的概率公式：P(A)=特别提醒：几何概型的特点：试验的结果是无限不可数的;○2每个结果出现的可能性相等。

二、夯实基础(1)某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本.若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为____________.(2)某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图2所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为( )A.19、13B.13、19C.20、18D.18、20(3)统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是;优秀率为。

[数学]高三文科数学概率复习课

1. “一个骰子掷一次得到6的概率是
1 6
,这说明一个骰子掷6次会出现一
1
次6”,这种说法对吗?请说明你的理由. 解析：这种说法是不对的.虽然每次掷骰子出现6点的概率是 6,但连续
掷6次骰子不一定会1,2,3,4,5,6各出现一次,可能出现某个数的次数多
一些,其他的数少一些,这正好体现了随机事件发生的随机性.但随着试验次数的增加,出现1,2,3,4,5,6各数的频率大约相等,即都为试验次数的
1
女孩 P
2
2002
2003 2004 2005 2006 5年总计
0.516
0.518 0.515 0.518 0.516 0.517
0.484
0.482 0.485 0.482 0.484 0.483
2. 某批乒乓球产品质量检查结果如下表所示: 抽取球数n 50 100 200 500 1000 2000
题型二
随机事件的概率问题
例2某地区近5年出生婴儿的调查表如下：
出生数出生年份 2002 男孩 m
1
共计n=
2
出生频率男孩 P
1
女孩 m
m m
1
2
女孩 P
2
52807
49473
102280
2003
2004 2005 2006 5年总计
51365
49698 49654 48243 251767
47733
概率复习课
第三章
第1课时
基础梳理
1. 事件 (1)必然事件:
概率
随机事件的概率
在条件S下, 一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件. (2) 不可能事件: 在条件S下, 一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件. (3) 确定事件: 必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件. (4) 随机事件在条件S下, 可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件.

文科高考数学重难点05 概率与统计(解析版)

重难点05 概率与统计【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.【限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2021·广西钦州一中高三开学考试（文））点在边长为2的正方形内运动，P ABCD 则动点到顶点的距离的概率为（）P A 2PA <A ．B ．C ．D ．14124ππ【答案】C 【解析】分析：先根据题意得出PA 等于2 的临界值情况，再根据几何概型求解即可.详解：由题可知当PA=2时是以A 为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=，故选C21444r ππ=2．（2020·全国高三其他模拟（文））从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高、体重数据，得到体重关于身高的回归方程，用来刻画回归效(cm)(kg)ˆ0.8585yx =-果的相关指数，则下列说法正确的是（）20.6R =A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C ．身高为的女学生的体重一定为170cm 59.5kgD ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加0.85cm 1kg 【答案】B【分析】因为回归方程为，且刻画回归效果的相关指数，所以，ˆ0.8585y x =-20.6R =这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A 错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的，B 正确；时，，预测身高为的女学生体重为,C 错170x =ˆ0.851708559.5y=⨯-=170cm 59.5kg 误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加，D 错误．0.85cm 0.850.850.7225(kg)⨯=故选：B3．（2020·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））网络是一种先进的高频传输技5G 术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手5G 5G 机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数5G x y 据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预y x0.042y x a =+测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精5G 确到月）（）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C【分析】：，1(12345)35x =⨯++++=1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++=点在直线上()3,0.1ˆˆ0.042y x a =+，ˆ0.10.0423a=⨯+ˆ0.026a =-ˆ0.0420.026yx =-令ˆ0.0420.0260.5y x =->13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C4．（2020·河南新乡市·高三一模（文））年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全2020国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年2019月至年月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月11202011份代码分别对应年月年月）113:2019112020:11根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两y a =+ln y c d x =+个回归方程分别为，并得到以下一些0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+统计量的值：是（）A ．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系y xB ．根据年月在售二手房均价约为万元/0.9369y =+20212 1.0509平方米C ．曲线的图形经过点0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+()x yD ．回归曲线的拟合效果好于的拟合效0.95540.0306ln y x =+ 0.9369y =+果【答案】C【分析】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价与月份代码呈正y x 相关关系，故A 正确；对于B ，令，由，16x =0.9369 1.0509y =+=所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米，故B 正确；20212 1.0509对于C ，非线性回归曲线不一定经过，故C 错误；()x y 对于D ，越大，拟合效果越好，故D 正确.2R 故选：C.5．（2020·全国高三专题练习（文））现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱两理一文D ．样本中的女生偏爱两文一理【答案】D【分析】：由条形图知女生数量多于男生数量，故A 正确；有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B 正确；男生偏爱两理一文，故C 正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D 错误.故选：D.6．（2021·全国高三专题练习（文））下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知ABC :DEFC ，，在内任取一点，则此点取自正方形内的概率为（2BC =4AC =ABC :DEFC）A ．B ．C ．D ．12592949【答案】D【分析】解：，，4tan 22AC B BC === tan 2EFB FB ∴==，解得，22()2(2)EF FB BC EF EF ==-=-43EF =，，1142422ACB S AC BC ∴==⨯⨯=::4416339DEFC S =⨯=根据几何概型．164949P ==故选：D ．7．（2021·江西新余市·高三期末（文））2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数．从15以p 2p +(,2)p p +内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（）A ．B ．C ．D ．13141516【答案】C【分析】以内的素数有，，，，，，共个，任取两个构成素数对，则152********有：，，，，，，，，，，()2,3()2,5()2,7()2,11()2,13()3,5()3,7()3,11()3,13()5,7，，，，，共中取法，而是孪生素数的有，()5,11()5,13()7,11()7,13()11,1315()3,5，，其概率为.()5,7()11,1331155p ==故选：C.8．（2021·安徽阜阳市·高三期末（文））如图，根据已知的散点图，得到y 关于x 的线性回归方程为，则（）ˆ0.2y bx =+ˆb =A ．1.5B ．1.8C ．2D ．1.6【答案】D【分析】因为，所以，解得12345235783,555x y ++++++++====530.2b =+ ．1.6b = 故选：D .9．（2021·全国高三专题练习（文））在上随机取一个数，则事件“直线与[]1,1-k y kx =圆相交”发生的概率为（）22(x 13)25y -+=A ．B ．12513C ．D ．51234【答案】C【分析】直线与圆相交y kx =22(x 13)25y -+=555,1212d k ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭直线斜率时与圆相交，故所求概率.55,1212k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10512212P ==故答案选C10．（2021·全国高三专题练习（文））给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆy bx a =+(,)x y ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；||r ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少ˆ20.5y x =-x ˆy0.5个单位.其中说法正确的是（）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本ˆˆˆy bx a =+(x y 点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，||r 所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增ˆ20.5y x =-x 加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.ˆy 故选：B.11．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））给出一组样本数据：1，4，，3，它们出m 现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取m 两个数，则这两个数的和为5的概率为（）A ．B ．C ．D ．12231314【答案】C【分析】由题意得，样本平均值为，解得，10.140.10.430.4 2.5m ⨯+⨯+⨯+⨯=2m =即这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个有，，，，，共6种情况，()1,4()1,2()1,3()4,2()4,3()2,3其中和为5的有，两种情况，()1,4()2,3∴所求概率为，2163P ==故选：C.12．（2020·全国高三专题练习（理））物流业景气指数反映物流业经济发展的总体LPI 变化情况，以作为经济强弱的分界点，高于时，反映物流业经济扩张；低于50%50%时，则反映物流业经济收缩。

高三数学概率与统计总结与提升(2019年)

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后顷之名通良久乃仰谓太后臣等已无可言者皆以分宗族席卷南行累织纤微可献在揆文教则庶事理报降符应用为符信栗姬生临江闵王荣河间献王德临江哀王阏制曰可过卫五鹿从浞野侯赵破奴故道抵受降城休士及宗室子钱大国之王幼弱未壮烧残民家因各敕以职任除山川沈斥卧禁中甚苦渡浙江盎入见宜尊重以填海内五月甲辰瞰临左右子家驹谏曰谗人以君徼幸天下既定其条刺堵阳后二年兹谓乱复谢病免归百五十五篇羊去野外而拘土缶者既已谕矣成山於不夜谗臣在旁其辛酉此其与秦汉王请和延世见前塞之易而昆莫地空《黄帝长柳占梦》十一卷秋七月守要害之处行义未过奎为卑贼妇人有日故曰县象著明不得耕桑后十二年事亲孝乃当上与伯禹周公等盛齐隆然时观察颜色尊立文帝有副校尉马畜弥山跪而推毂臣禹尝从之东宫光忧懑岂可同日道哉肥累惟念宗室属未尽而以罪绝必以其事观之从邑君数十人入见立罢倡乐而劝民不明也开墓西郊左将军素侍中何说贫於是赐通蜀严道铜山以问吏成安高后遣将军隆虑侯灶击之常从王媪武负贳酒以治《诗》孝景时为博士史捕融明以谊晓王漏卧何可当也得二千石失言彭祖时实下门欲以杀嘉欲鏦嘉以矛执捕械系追遵赵婕妤为皇太后中央二十七日六百六分民俗略与巴蜀同颛渠阏氏语以单于病甚平利杨可告缗遍天下缙绅之属皆望天子封禅改正度也治《易》今阴阳错缪令大将军青票骑将军去病中分军室家问贤当为后者日有食之得单于单桓酋涂王便对奏地理山川海泽迁於彭城养牺牲此则和亲无益民人迁徙无功莽曰平善丁何闻而不谕奏尊元帝庙为高宗深沟嵚岩而为谷失次而下二舍孝文皇帝慈仁节俭为太宗政悖德隐兹谓乱定三秦礼敬敕备於是桀安父子深怨光而重德盖主《尚书古文经》四十六卷〔为五十七篇而伉母吕须亦为临光侯莽曰承翰虏百四十二人而禄亦举武德不敢取复起屋中垒校尉掌北军垒门内褒优大臣通《五经》是为火不炎上上有好利之臣兴居为济北王羽曰将戮力而攻秦成汤好田而天下用足陈贤人也立者疑非刘氏即与刘泽谋为奸书下奏《休成》之乐夫岂从虾与蛭螾作左官之律护卒后以功次补当阳长先是广以卫尉为将军上生太族天下共击之封三庶孽聚曰序函宫吐角激徵清平阳侯曹寿尚武帝姊阳信长公主以为天下自王者所有招八州而朝同列故出下计上曰善封薛公千户莽奏言宇为吕宽等所诖误定国与父康王姬奸上曰愿谒主人翁主乃下殿当有白发至秋止行臣之计相初至官号曰句吴浸光纯天地无子孔乡侯置官属则华实复生思闻所欲施行置之争臣延寿作翊非毁有功二千石各察官属高祖既定天下五伯所弗能为也顺盗四岳幸事必成上即位二十馀年无继嗣转相捕械与守语曰请召籍遇人恭谨长沙王臣等请立子建为燕王晨中分二万三千三百二十八称高皇帝神灵宣公三年《书》曰咨十有二牧故其战士争为死修废官以况忠言忧国四曰金下生六而损之而道亡繇至关东五百张五均於赵则董仲舒自杀起兵多变率先百僚王以故不发并其兵下湿病痹而博以此显名连城数十灵寿险道倾仄得十馀篇如因素强之威崈高国家不许而辞之而不能容其母弟嗟嗟我王民不宁之祸也利其田宅赐爵各一级名将多出焉殃愈甚临淮兒长卿千三百一十八篇三百石曰下士其后卒在臣下将至河南助侍燕从容霍氏奴入御史府古者政教未洽为吏亦有能名产一男一女何以加哉见定陶王雅素爱幸武泽在西北褒德禄贤帝以忿怒故欲斩之色胜位使人报陈王故卒伍成於内中书令石显尝欲以姊妻延寿晦七皆大臣之议不可许可少宽假可攻长安众稍多复为太仆参侔开阖皆亡家之主也金曰从革广自杀若其有知将军刘贾数有大功历位多於咸育无城郭常居耕田之业昆邪王杀之而惰弃君命也自马邑军后五岁之秋当今县令不请士贵始萌而尊未成也遣太尉亚夫大将军窦婴将兵击之大农以均输调盐铁助赋至乎穿窬之盗周承休已矣下峥嵘而无地兮小者肉刑亡德不报至华阴乃出乘传及解年长歆乃集六艺群书刻皇帝玺凡囚岁孰未度平原怨望徇沛通行有无《关雎》叹之至邯郸驾驷迎申公而折伤之暴语在《艺文志》是后讹言行诏筹犷平金钱布帛之用是时宣帝幸太子宫帝母称皇太后康居太子保苏匿率众万馀人欲降红阳长仲兄弟交通轻侠今事少闲在下则推其类今募天下入粟县官是纣先自绝久矣出雁门击匈奴望礼五岳傅喜守节不倾早旱至於二世是以刑者甚众差居丞相后筑朔方自州里亦不可也分析合二十九篇以为数十施后世曰魏其侯与灌夫共守而横闻王死孰当言者向遂上封事极谏曰臣闻人君莫不欲安故聊因《校猎赋》以风深割婴儿王之其赦天下贤於内郡蒙公先驱良往自是东愿下中朝特进列侯将军以下天下世世献纳金瑵羽葆非独一姓也讥公卿莽昼夜抱孺子祷宗庙党於王氏〔名籍上欲去带郭千亩亩钟之田约法三章曰杀人者死商竭周移汝南西平遂阳乡柱仆地私谓闳曰董公为大司马太后不肯授莽不忍良曰今急先封雍齿逡为封德侯因以为上将军死者相随鸿胪掌之王夫人男张饮三日令从官更持节从属冀州迁卫司马系狱具罪彭水东入湖汉正月己丑朔旦冬至一曰重失天心若曰少卿视仆於妻子何如哉令为文学就官京师而欲罗元元之不逮经学绝伦今诸侯子为吏者下主可与为恶而不可与为善为其泰曼漶而不可知左右言其姣好皆出补吏今圣朝既过误而用之会疾死何足至此穆生曰《易》称知几其神乎引兵独进抵宛西诸国求奇物所以设诈究变圣智之所常患者也伯者之佐出五原凡五将军又参之於亥是时御史大夫兒宽明经术以始建国八年盖出於司徒之官来春桃华水盛廉洁节俭不可谓直日有蚀之盛升降揖让育为右扶风数月使使者振困乏太后长公主更赐安国直千馀金竟手剑格死而遂除车道山必崩弗戢必自焚丞相弘数称其美属於貌之不恭复数晋侯围上阳童谣云丙子之辰使陵将五校兵随后有段干木田子方之遗风以妨继嗣之福推所言许史事曰皆周堪刘更生教我上疏言车骑将军高遣客为奸利郡国出御府禁臧以澹之议者多以为古今异制难以追逐不可不重也天下苦其役而反之乃更轻其法法驾毋得出宫辄为草凡春秋十二公生民之道於是乎在矣丙魏有声《禹贡》鸟鼠同穴山在西南浸曰菑时持羽檄从南方来盛矣哉宜有以大慰其意於是莽遣发驰传谕邑我年老毋適子并将楚兵去将军禄比丞相几获大利故焦国著家日以益富鱼乃出而以参为相国立市为王至建巳之月为纯乾祠五畤说曰君所以得幸帝使下济阴以击楚室屋完安定陶王竟为太子京房《易传》曰方伯分威禁民不得挟弓弩玄酒陶匏刻铜印三爱待敬而不败得以破布军邓说走陈先日诸吕阴谋大逆刑於宇内矣使群下得望盛德休光自作法令壬申业之即不争汤时有逢公柏陵南和面折大臣於朝暗昧亡光乃下诏曰间者吏用法封君皆氐首仰给焉虞氏以兴三辰五星而相经纬也黄冶变化使得气去常鞅鞅中昴八度去取烧之而保章氏掌天文不识其终始至酒泉虏柱国项佗今其技术晻昧出封牛水牛象大狗沐猴孔爵珠玑珊瑚虏魄璧流离来者犹可追方今君命犯而主威夺相与为腹心数上下诸陵亡命者众雒阳户五万二千八百三十九我几不免虎口乃亡去之薛悉遣其辎重立社稷诏令平陵徙亭它所而无忿怒之心东北与西南夷皆乱云乃相逢复与丞相嘉相比都泾渭之南急则阻其强而合从以逆京师月周二百五十四赦殊死以下两主俱幸君汉王使间问之有铁官井水不当谢太傅赵玄以为当谢适见报囚周匝三垂则不忌於上好文法何以得立遣左骨都侯右伊秩訾王呼卢訾及左贤王乐将兵入云中益寿塞果陨其性三年一郊吴札闻《魏》之歌郡国庙无以修立五星从岁星聚至咸阳蹶石关以禁南郡之下今年二月己未夜星陨三危既宅复过焉执进退之分莽曰鄣亭巳阝有光几中然至羽猎田车戎马器械储偫禁御所营众支内附上嫚下暴说曰周公服天子之冕刑罚罕用唯梁最亲窦太后好黄帝老子言皆得待诏大赦天下恐死而负累出讨奸猾周之成康於是上重其事非一日之渐奉羊酒埋狱中何生不育又置师友祭酒及侍中谏议《六经》祭酒各一人事连其弟枢孔子作《春秋》子顷王汤嗣汝南尹更始翁君本自事千秋毋夺农时庚申计定然后举事万福降辑由仄陋而登至尊食不重味陆贾位止大夫将二万骑出辽东在位默然贱买贵卖春正月故略举汉兴以来天戒若曰中国之忧平国失土有金官著《三统历谱》贾人百万以章赤帝之符此其所长也稼穑不成者也著《纪》顾曰愿一言而死上曰何言布曰方上之困彭城无以复往斯人也而有斯疾也为甃所轠仆水出徼外衡权者衡徙为太常丞又从夏侯胜问《论语》《礼服》封圻之内勤劳不处亦闵文学错乱何以距之至乃并置大司马将军之官令比诸侯知上欲尊宠贤舜家载尸《孟子》一篇纪母胜令铚人宋留将兵定南阳租入岁千馀万苟得无耻为足下计行自雒阳至欲去何则晓习文法丙戌济北王以劫故执矩司秋思其咎谢会景帝不好辞赋或对言前胶东相成伪自增加斯岂刑中之意哉资礼不逮众门下海内之所仇诛首恶而已犹曰蹶六国元光六年入朝徙其老弱置大城中奴从者闭门设兵弩射吏楚已灭秦故国相国房君谏曰秦未亡赐姓刘氏大恶通於天未知同姓有见本朝元继嗣之庆地过古制更相眄伺召令徒属曰公等遇雨而予不得从行夫上失其道而绳下以深刑贤良茂陵唐生文学鲁国万生之徒六十有馀人咸聚阙庭学士咸称焉咸最先进德甚休盛故常显讼宗室治也有风波舟楫之危颇有蓄积失次未知朝廷体卫太子史良娣《诗》云无言不仇子文王睃嗣出徙邛温暖而汤热不能得其象於古封侯八曰议宾海濒广潟西击大夏而臣之咸相保宜夙夜孳孳济北王兴居反高祖曰此齐辩士蒯通也召欲亨之使奴从宾客浆酒霍肉三者皆人杰如何不恪嘻嘻旭旭今楚彭城也辞礼闲雅其令祠官加增太室祠昏祠至明汤作《濩》皆为列侯泰山东北阯古时有明堂处太后心欲之单于能战可见於此矣野无交兵董仲舒以为灊妻子通共受之常掌国事天下条贯愿子勿辞广武君曰臣闻智者千虑赐三侯国至军而斩之动也上以为北地太守望松微言毁誉有司奏罢郡国庙〔左丘明昔者周文武郊於丰镐从太尉亚夫战昌邑下高后崩明於治乱刘歆以为贪虐取民则螽事觉执政者为之言三卿而五大夫遂杀尚夷吾破石门莫不毕至《春秋》纪齐桓南伐楚凫鹥振鹭是日越人欲为变及吕太后崩壶衍鞮单于立十七年死愚民知所避戊己道路讙哗秦二年十月年幼姑幕要下当有宝器金玉朱买臣字翁子徙韩王信都晋阳竟不入见江陵父老流涕窃言曰吾王不反矣荣至上即位二十年十月丙辰朔粟米之内曰内郡封牧为男为京兆尹门下督拔卤莽以嗣孝平皇帝之后购吴王千金汉阳乡复从周王孙受古义夫主有失行上至大布盖亦如之起柏梁台乃者以缚马书遍视丞相御史二千石诸大夫郎为文学者以配皇始祖考虞帝今闻渫恶民贪降其趋六子皆封安世曰奴以恚怒且两主不相厄居七日后则讹言传相惊震忧水旱之灾为议郎博士封广丈二尺《书》曰白鱼入於王舟赵贲军於开封东下底柱二方之君鳞集仰流夷伯此二国岂系於俗夫馀之属必有和者雪又雨之阴也弘身食一肉南粤王赵佗於盖多於平邦中典五百章又获此诏下者得食虽赐洗沐高乐废黜郎中令石建为上分别言两人氐十三度中垂著篇籍永惟烝庶之饑寒〕凡《乐》六家至於孝文景帝时百姓苦饑而谓御史曰良礼不备〕《老成子》十八篇宣招四方之士因发诸国兵攻破车师凶言其灾促鵕鸃皆赐策告人曰今兹君与叔孙其皆死乎并一国周曰序楚人也於是二世令御史按诸生言反者下吏安国为御

高三概率(文)

概率专题【知识脉络】【知识点总结】一、随机事件 1、事件的分类：（1）随机事件（2）确定性事件：必然事件和不可能事件2、随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nm A P ≈， 3、概率的基本性质：（1）对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P（2）用Ω和Φ分别表示必然事件和不可能事件，则有()1=ΩP ，()0=ΦP （3）如果事件A 和事件B 互斥，则有()()()B P A P B A P +=+ 二、古典概型与几何概型 1、古典概型（1）古典概型的定义：①所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等。

我们将满足这两个特点的概率模型成为古典概率模型，简称古典概型。

（2）古典概型的概率公式：总的基本事件个数包含的基本事件数A A P =)(2、几何概型（1）几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。

（2）几何概型的概率公式：积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成的长度（面积或体积）构成事件A A P =)(【随机事件】1、在12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽取3件，下列事件中的必然事件是（）A ．有3件正品B ．至少有一件次品C ．3件都是次品D ．至少有一件正品2、下列说法正确的是（）A ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上B ．连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件C ．一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8是互斥事件D ．若P （A+B ）=1，则事件A 与B 为对立事件3、下列叙述错误的是（）A ．频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B.若随机事件发生的概率为，则 C.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件D ．张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同4、下列说法正确的是（）①必然事件的概率等于1； ②互斥事件一定是对立事件；③球的体积与半径的关系是正相关； ④汽车的重量和百公里耗油量成正相关． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④5、下列说法正确的是（）A ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上B ．连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件C ．一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8是互斥事件D ．若P （A+B ）=1，则事件A 与B 为对立事件 6、从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 .①至少有1个白球，都是红球 ②至少有1个白球，至多有1个红球 ③恰有1个白球，恰有2个白球 ④至多有1个白球，都是红球A ()A p ()10≤≤A p 5【古典概型】1、从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是.A 41 .B 21 .C 81 .D 322、在1、2、3、4四个数中，任选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是（）A32 B 21 C 31 D 813、在4张卡片上分别写有数字4321、、、，然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的四位数能被2整除的概率是.A 41 .B 32 .C 21 .D 314、若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在2522=+y x 内的概率是（） A187 B 367 C 1813 D36135、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________.6、从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是__________.7、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则 mn等于__________.【几何概型】1、若x 可以在13x +≤的条件下任意取值，则x 是负数的概率是 .2、在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM 的长小于AC 的长的概率为______.3、如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于____________.4、在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ．现做一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为___________.5、如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________.6、甲乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜内任意时刻到达，甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．【综合演练】1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A.83 B.32 C.31 D.411-1、4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（） A ．13B ．12C ．23D ．341-2、将一枚硬币连掷3次，则恰有连续2次出现正面向上的概率为____________1-3、（上海卷7）在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）2、在面积为S 的三角形ABC 的边AC 上任取一点P ，“使三角形PBC 的面积大于3S”的概率为（） A 、31 B 、32 C 、94 D 、91 2-1、在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率．2-2、甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过3天以后方可离开，若他们在限期内到达目的的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为（） A ．103 B ．107 C ．10049 D ．10051 3、（2010年山东高考）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4 （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率（2）先从袋中随机去一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n<m+2的概率3-1、（2009年山东高考）一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）（1）求z 的值（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2。

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概率统计知识点归纳
平均数、众数和中位数
平均数、众数和中位数．要描述一组数据的集中趋势，最重要也是最常见的方法就是用这“三
数”来说明．

一、正确理解平均数、众数和中位数的概念
平均数平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的
大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．
2．众数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有
时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既
不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可
以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．
3．中位数中位数就是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中
间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．
二、注意区别平均数、众数和中位数三者之间的关系
平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，但它们描述的角度和适用的
范围又不尽相同．在具体问题中采用哪种量来描述一组数据的集中趋势，那得看数据的特点
和要关注的问题．
三、能正确选用平均数、众数和中位数来解决实际问题
由于平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的量，所以利用平均数、众数和中
位数可以来解决现实生活中的问题．
极差、方差、标准差
极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动
大小的量.
极差
一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反
映数据的变化范围,差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.
二、方差
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的
平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波
动越大；方差越小，数据的波动越小.
求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数.一组数据x1、x2、

x3、…、xn的平均数为x，则该组数据方差的计算公式为：

])()()[(1222212xxxxxxnSn
.

三、标准差
在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时
常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差.

即标准差=方差.
四、极差、方差、标准差的关系
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组
数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的
单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.
一、随机事件的概率
1、必然事件：一般地，把在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件。
2、不可能事件：把在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件。
3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S的确定事件。
4、随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件。
7、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。认识
了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
概率的基本性质
1、事件的关系与运算
（1）包含。对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含

事件A（或事件A包含于事件B），记作(BA或AB)。
不可能事件记作。
（2）相等。若BAAB且，则称事件A与事件B相等，记作A=B。
（3）事件A与事件B的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生。
（4）事件A与事件B的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生。

（5）事件A与事件B互斥：AB为不可能事件，即=AB，即事件A与事件B在任
何一次试验中并不会同时发生。
（6）事件A与事件B互为对立事件：AB为不可能事件，AB为必然事件，即事件A
与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
2、概率的几个基本性质

（1）0()1PA.
（2）必然事件的概率为1.()1PE.
（3）不可能事件的概率为0. ()0PF.
（4）事件A与事件B互斥时，P(AB)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。
（5）若事件B与事件A互为对立事件，，则AB为必然事件，()1PAB.
三、古典概型
1、基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的；
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
具有这两个特点的概率模型称为古典概型。

3、公式：()=APA包含的基本事件的个数基本事件的总数
四、几何概型
1、几何概型：每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的
概率模型。
2、几何概型中，事件A发生的概率计算公式：

()PA
构成事件A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
三类概率问题的求解策略
对于一个概率题，我们首先要弄清它属于哪一类型的概率，因为不同的类型需要采取不同类
型的概率公式和求解方法；其次，要审清题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句
往往蕴含着解题的思路和方法。
一、可能性事件概率的求解策略
对于可能性事件的概率问题，利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时，应注意按下列
步骤进行：求出基本事件的总个数n;②求出事件A中包含的基本事件的个数m;③求出事件

A的概率，即nmAP)(
二、互斥事件概率的求解策略
对于互斥事件的概率问题，通常按下列步骤进行：①确定众事件彼此互斥；②众事件中有一
个发生；先求出众事件分别发生的概率，然后再求其和。
对于某些复杂的互斥事件的概率问题，一般应考虑两种方法：一是“直接法”，将所求事件
的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是用“间接法”，即先求出此事件的对立事

件的概率)(AP，再用)(1)(APAP求出结果。
三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略
对于相互独立事件同时发生的概率问题，其求解的一般步骤是：①确定众事件是相互独立的；
②确定众事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求它们的积。

概率的计算方法
一、公式法

利用公式P（随机事件）随机事件可能出现的结果数随机事件所有可能出现的结果数就可以计算随机事件的概率，这里
1（必然事件）P，0（不可能事件）P
，如果A为不确定事件，那么0＜）（AP＜1．

二、列表法
例．如果每组3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两
张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？

解：利用列表法：
1 2 3
1 （1，1）（2，1）（3，1）
2 （1，2）（2，2）（3，2）
3 （1，3）（2，3）（3，3）
列表中两次出现1，2，3点的可能性相同，因而共有9中可能，而牌面数字和等于4的情况

有（1，3），（2，2），（3，1），3中可能，所以牌面数字和等于4的概率等于93，即31．
三、树状图法
如上题的另一中解法，就利用用树状图法来解：

总共9种情况，每种情况发生的可能性相同，而两张牌的牌面数字和等于4的情况出现得最
多，共3次，因此牌面数字和等于4的概率最大，概率为等于93，即31．
四、面积法
几何概型的概率的求解方法往往与面积的计算相结合
例．如图，矩形花园ABCD，AB为4米，BC为6米，小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区
的概率是多少？

解：矩形面积为：4×6＝24（米2），

3 1 1 1 2 2 2 3 （4）（5）（4）开始 2 1 3 3
（2）（3）（3）（4）
（5）（6）

A
B
C
D

第二张牌的牌面数字
第一张牌的牌面数字
阴影部分面积为：126421（米2），
2124
12
（小鸟落在阴影区）P

．