[数学]高三数学知识点总结

高中数学知识总结

集合与简易逻辑

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。（答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）

2.遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A

B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,

2

a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、

非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7）

4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ??

u u A B ?； ⑷u u A B A B =???； ⑸u A

B U A B =??； ⑹()U

C A B

U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，

}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则

A ＝_____，

B ＝___.（答：{2,3}A =，

{2,4}B =）

5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元

素。如：

{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设集合

{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答：[4,)+∞）；（2）设集合

{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，

}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使

0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2

-）

7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。其中正确的是__________（答：⑴⑶）

8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若﹁p 则﹁q ” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠

C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 （答：在ABC ?中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11

x x f x a a x -=+>+，

证明方程0)(=x f 没有负数根。

9.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若B A ?，则A 是B 的充分条件；若B A ?，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。如（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知

R y x ∈,，

“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2

）

10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b x a

>；若0a <,则b x a

<；若0a =,

则当0b <时，

x R

∈；当0b ≥时，x ∈?。如已知关于x 的不等式

0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

1

,(--∞，则关于x 的不等式0

)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）

11. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0?=和0?<时的解集你会正确表示吗？设0a >,12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且1x x <

如解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax 。（答：当0a =时，1x >；当

0a <时，1x >或1

x a <

；当01a <<时，11x a

<<；当1a =时，x ∈?；当1a >时，1

1x a

<<） 12. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项

系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有042≥-=?ac b 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）

；（2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)，特别地，若在[0,]2

π

内有两个不等的实根

满足等式cos 221x x k =+，则实数k 的范围是_______.（答：[0,1)）

13.一元二次方程根的分布理论。方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？

（0

()02f k b k a ?≥>->?

??????、0()0()02f m f n b m a

n ?≥>><-

????、()0f k <）。根的分布

],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解

的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．如实系数方程220x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则1

2--a b 的取值范围是_________（答：

（4

1，1））

14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。如（1）3

2ax >+

的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18

）；（2）若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<

m

）；

（3）不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：?）。

高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {}

{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301

若，则实数的值构成的集合为

B A a ?

（答：，，）-?

??

???1013

3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n

（）若，；2A B A B A A B B ??==

（3）德摩根定律：

()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于的不等式

的解集为，若且，求实数x ax x a

M M M a --<∈?5

0352

的取值范围。

()（∵，∴

·∵，∴

·，，）335

30

555

50

15392522∈--

?

????M a a M a a

a

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧

“非”().?

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧

若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨

若为真，当且仅当为假?p p

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

()()

例：函数的定义域是

y x x x =

--432

lg

()()()（答：，，，）022334

10. 如何求复合函数的定义域？

[]

如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0

义域是_____________。

[]

（答：，）a a -

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ (

)

如：，求f

x e x f x x +=+1().

令，则t x t =+≥10

∴x t =-21 ∴f t e t t

()=+--2

1

21

()∴f x e x x x

()=+-≥-2

1

210

12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） ()

()

如：求函数的反函数f x x

x x

x ()=+≥-

()()

（答：）f x x x x x -=->--

110() 13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈?=-()b a

[][]∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()， 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ []（，，则（外层）（内层）

y f u u x y f x ===()()()??

[][]当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）f x f x ??()()

()

如：求的单调区间y x x =-+log 12

22

（设，由则u x x u x =-+><<22002

()且，，如图：log 12

2

11u u x ↓=--+

当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112

当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212

∴……）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

()在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于a b f x f x '()()≥0

零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x '()≤0

[)如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大a f x x ax a >=-+∞013()

值是（ ） A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

（令f x x a x a x a '()=-=+?? ???-?? ?

??≥333302

则或x a

x a ≤-

≥3

3

由已知在，上为增函数，则

，即f x a

a ()[)13

13+∞≤≤ ∴a 的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-??

若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=??

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0= 如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=+-+=

22

21

（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000

即·，∴）a a a 2221

0100

+-+==

又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x x

x ()()()()-∈=+1101241

()求在，上的解析式。f x ()-11

()()（令，，则，，x x f x x

x ∈--∈-=+--1001241()

又为奇函数，∴f x f x x x x

x

()()=-+=-

+--241214

()

又，∴，，）f f x x x x x

x

x

x ()()()00241

100241

01==-+∈-=+∈??

?????

17. 你熟悉周期函数的定义吗？

()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()()

函数，T 是一个周期。） ()如：若，则

f x a f x +=-()

（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2 ()又如：若图象有两条对称轴，f x x a x b ()==?

即，f a x f a x f b x f b x ()()()()+=-+=-

则是周期函数，为一个周期f x a b ()2-

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y ()()与的图象关于轴对称- f x f x x ()()与的图象关于轴对称-

f x f x ()()与的图象关于原点对称-- f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1

f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-=

f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20 将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>?→

????????>=+=-()()()()()00

上移个单位下移个单位

b b b b y f x a b

y f x a b ()()()()>?→

????????>=++=+-00 注意如下“翻折”变换： f x f x f x f x ()()()(||)

?→??→?

()如：f x x ()log =+21

()作出及的图象y x y x =+=+log log 2211

y=log 2x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

()（）一次函数：10y kx b k =+≠

()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x a

k O a b =

≠=+-≠'() 的双曲线。 ()（）二次函数图象为抛物线302442

2

2y ax bx c a a x b a ac b a =++≠=+?? ???+-

顶点坐标为，，对称轴--?? ???=-b a

ac b a x b

a 24422

开口方向：，向上，函数a y ac b a

>=

-0442

min

a y ac

b a

<=

-0442，向下，max

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴? 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 200++><()

②求闭区间［m ，n ］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 2

0020

++=?≥->>????????()

一根大于，一根小于k k f k ?<()0

()（）指数函数：，401y a a a x =>≠

()（）对数函数，501y x a a a =>≠log

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

a x(a>1)

()（）“对勾函数”60y x k

x

k =+

>

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：，a a a a

a p p 0101

0=≠=

≠-(()) a

a

a a

a

a m n

m

n m n

m

n

=≥=

>-

((01

0))，

()对数运算：·，log log log a a a M N M N M N =+>>00

log log log log log a

a a a n a M N M N M n

M =-=，1

对数恒等式：a x a x log =

对数换底公式：log log log log log a c c a n a b b a b n

m

b m =

?= 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（），满足，证明为奇函数。1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()() （先令再令，……）x y f y x ==?==-000()

（），满足，证明是偶函数。2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()() []（先令·x y t f t t f t t ==-?--=()()()

∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+

∴……）f t f t ()()-=

()[]

（）证明单调性：……32212f x f x x x ()=-+=

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值： （）123134y x x =-+-

（）224

3

y x x =

-+ （），3323

2

x y x x >=-

[]

()（）设，，449302y x x x =++-=∈cos θθπ

（），，549

01y x x

x =+

∈(] 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？

（·，··）扇l l ==

=ααR S R R 121

2

2

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sin cos tan ααα===MP OM AT ，，

y

T

A x

α B S

O M P

如：若，则，，的大小顺序是-

<<π

θθθθ8

0sin cos tan

又如：求函数的定义域和值域。

y x =--?? ?

?

?122cos π

（∵）122120--?? ?

?

?=-≥cos sin πx x

∴，如图：sin x ≤

2

2

()∴，25424

012k x k k Z y ππππ

-

≤≤+∈≤≤+

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

sin cos x x ≤≤11，

y

x

O

-π2 π2

π y tgx =

对称点为，，k k Z π20?? ?

?

?∈

()y x k k k Z =-+?

?

????∈sin 的增区间为，2222ππππ

()减区间为，22232k k k Z ππππ++?

?

????∈

()()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ

02

=+

∈

[]()y x k k k Z =+∈cos 的增区间为，22πππ

[]()减区间为，222k k k Z ππππ++∈

()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ+?? ?

??=∈2

y x k k k Z =-+

?

? ?

?

?∈tan 的增区间为，ππππ2

2

()()[]26. y =Asin x +正弦型函数的图象和性质要熟记。或ω?ω?y A x =+cos

（）振幅，周期12||||

A T =

πω ()若，则为对称轴。f x A x x 00=±=

()()若，则，为对称点，反之也对。f x x 0000=

（）五点作图：令依次为，

，，，，求出与，依点20232

2ω?πππ

πx x y + （x ，y ）作图象。

（）根据图象求解析式。（求、、值）3A ω?

如图列出ω?ω?π()()x x 120

2+=+=???

?

? 解条件组求、值ω?

()?正切型函数，y A x T =+=

tan ||

ω?π

ω 27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如：，，，求值。cos x x x +?? ???=-∈?

?

????πππ62232

（∵，∴，∴，∴）ππππππππ<<

<+<+==x x x x 327665365413

12

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有

界性了吗？ 如：函数的值域是

y x x =+sin sin||

[][]（时，，，时，，∴，）x ≥=∈-<=∈-02220022y x x y y sin

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式： （）点（，），平移至（，），则1P x y a h k P x y x x h y y k →=?→?????=+=+??

?

()''''' （）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f x y a h k f x h y k ()()()==--=→

如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的y x y x =-?

? ??

?-=2241sin sin π 图象？

（横坐标伸长到原来的倍y x y x =-?? ???-?→?????????=?? ???-?????

?-22412212412sin sin ππ

=-?? ???-?→??????=-?→??????=24142121sin sin sin x y x y x ππ左平移个单位

上平移个单位 纵坐标缩短到原来的倍

）1

2?→?????????

=y x sin 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：··14

2222=+=-===sin cos sec tan tan cot cos sec tan

ααααααααπ

===sin

cos π

2

0……称为的代换。1

“·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，k παα2

±

“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。

()如：cos

tan sin 94

7621πππ+-?? ?

??+=

又如：函数，则的值为

y y =

++sin tan cos cot αα

αα

A. 正值或负值

B. 负值

C. 非负值

D. 正值

()()（，∵）y =+

+

=++>≠sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin αα

αααα

ααααα221100 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？ 理解公式之间的联系：

()sin sin cos cos sin sin sin cos αβαβαβαβ

ααα±=±=?→???=令22 ()cos cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβααα±==?→???=- 令222

()tan tan tan tan tan αβαβαβ

±=

±1 · =-=-?211222

cos sin αα

tan tan tan

2212αα

α

=

-

cos cos sin cos 22

122

122

αα

αα=

+=

-

()a b a b b a

sin cos sin tan ααα??+=++=22， sin cos sin αααπ+=+?

? ???24

sin cos sin αααπ+=+

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?323 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。） 具体方法：