高中数学必修五余弦定理习题课有答案
苏教版高中数学必修五第一章第课时——余弦定理配套作业
第4课时 余弦定理（1）分层训练1． 在△ABC 中，若bc c b a ++=222， 则∠A=（ ）A 030 B 060 C 0120 D 0150 2．三角形三边的比为4:3:2，则三角形的形状为（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 都有可能 3．在△ABC 中，31cos =A ，3=a ，则bc 的最大值为（ ）A 2B 3C 3 D49 4．在△ABC 的三内角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，当ac b c a +≥+222时，角B 的取值范围为 5．△ABC 中，若（6:5:4)(:)(:)=+++b a a c c b ， 则△ABC 的最小内角为（精确到10）6．在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC=2∶3∶4，则B 的余弦值为 。
7．△ABC 中，BC=10，周长为25，则cosA 的最小值是 。
8．在△ABC 中，已知A>B>C ，且C A 2=，b=4，a +c =8,求a ，c 的长。
9．如图：在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=060，∠BCD=0135，求BC 的长。
拓展延伸10．在△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角。
（1）求最大角；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。
11．已知△ABC 中，C A B +=2，ac b =2，证明：△ABC 为等边三角形。
本节学习疑点：学生质疑教师释疑。
高中数学北师大版必修5 第二章1.2 余弦定理 作业 Word版含解析
[学业水平训练]1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6. 2．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：选C.由AC >BC >AB 知，B 最大．由cos B ＝52＋62－822×5×6＝－120<0，∴B 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．3．在△ABC 中，下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选A.对于结论①，由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0知A 为钝角，正确． 结论②错．∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝120°. 结论③错．类似于结论①知C 为锐角，但A ，B 并不知道是什么角．4．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，所以c ＝3.根据三边的长度知角B为最大角，故cos B ＝49＋9－642×7×3＝－17.所以cos B ＝－17.5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(1，3)，若m ∥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A.∵m ∥n ，则有cos A ·3－sin A ·1＝0，即tan A ＝3，A ＝π3. 又∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，∴a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c sin C . 整理，得sin C ＝1，即C ＝π2. 又A ＋B ＋C ＝180°，A ＝π3，C ＝π2，故B ＝π6. 6．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足()a ＋b 2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________．解析：由(a ＋b )2－c 2＝4，得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.①∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，故方程①化为2ab (1＋cos C )＝4.∴ab ＝21＋cos C.又∵C ＝60°，∴ab ＝43. 答案：437．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝________．解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ba cos C ＝3＋9－2×3×3×cos 30°＝3，所以c ＝3，即a ＝c ＝3，所以A ＝C ＝30°.答案：30°8．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ，则BD ＝________ .解析：依据题意绘出图形，如下图所示，设AB ＝a ，AC ＝2a ，BD ＝k ，DC ＝2k ，在△ABD 与△ADC 中分别运用余弦定理有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝k 2＋2＋2k ，2a 2＝4k 2＋2－4k ，解得k 2－4k －1＝0⇒k ＝2＋ 5.答案：2＋ 59．在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a 、c 的值； (2)若B 为锐角，求p 的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理，得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ， 即p 2＝32＋12cos B ， ∵0<cos B <1，∴p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，∵p ＝sin A ＋sin C sin B>0. ∴62<p < 2. 10．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且cos A ＝13. (1)求sin 2B ＋C 2＋cos 2A 的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值．解：(1)sin 2B ＋C 2＋cos 2A ＝1－cos （B ＋C ）2＋2cos 2 A －1＝12(1＋cos A )＋2cos 2A －1＝－19. (2)由cos A ＝13，得b 2＋c 2－a 22bc ＝13，∴23bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，又a ＝ 3.∴bc ≤94，当且仅当b ＝c ＝32时，bc ＝94，故bc 的最大值为94. [高考水平训练]1．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，π C.⎝⎛⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎭⎫π6，0 解析：选 A.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a －c ）2＋ac 2ac ＝（a －c ）22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612. 答案：6123．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1，(1)求∠C 的度数；(2)求AB 的长度．解：(1)由题结合内角和为180°可知，cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12， ∴∠C ＝120°.(2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，a ·b ＝2，由余弦定理可得： AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2，其中x ∈R .若f (1)＝0，且 B ＝C ＋π3，试求角A ，B ，C . 解：∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0，即b 2＝4c 2.∵b >0，c >0，∴b ＝2c ，即sin B ＝2sin C .又∵B ＝C ＋π3，∴sin B ＝sin C cos π3＋cos C sin π3. ∴2sin C ＝12sin C ＋32cos C ，即3sin C ＝3cos C . ∴tan C ＝33. ∵0<C <π，∴C ＝π6.∴B ＝π6＋π3＝π2，A ＝π3. ∴角A ，B ，C 的度数分别为π3，π2，π6.。
#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。 练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
余弦定理练习题及答案
1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( )A ．8B ．217C ．6 2D ．219解析：选D.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219.2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°A.5719 C.338 解析：选A.c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19.__________． 2a ，故顶角的余弦值为ABC 的形状．2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C .又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，∴C ＝120°－A ，∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )，整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A ＝60°，C ＝60°.∴△ABC 是正三角形．一、选择题1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( )A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos CB ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos AC ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos AD ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab 解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．2．(2011年合肥检测)在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( ) A.1213 B.513C ．0 D.23解析：选C.∵c ＞b ＞a ，∴c 所对的角C 0. 3．已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( A ．锐角三角形 B C ．直角三角形 D 解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4( )或2π3个 4个sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④由正弦定理sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，则不一定成立．6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，X k b 1 . c o m∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a＝34. 二、填空题7．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.解析：由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即49＝25＋AC 2－2×5×AC ×(－12)， AC 2＋5AC －24＝0.∴AC ＝3或AC ＝－8(舍去)．答案：38．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是________．解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.8，则B 的大小是________． C .解得c ＝5或c ＝－75(舍)． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋9－252×4×3＝0， ∵0°＜C ＜180°，∴C ＝90°.11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，若(a ＋b ＋c )(sin A ＋sin B －sin C )＝3a sin B ，求C 的大小．解：由题意可知，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，于是有a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 所以cos C ＝12，所以C ＝60°. 12．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入c ＝a cos B ， 得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a ·c a，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．。
苏教版高中数学必修五余弦定理同步练习(1)
必修5：余弦定理练习题
姓名________ 等第______ 1．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形为（）
A．三个锐角
B．两个锐角，一个直角
C．两个锐角，一个钝角
D．以上都不对
2．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比
是______．
3．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．
4．若是（）
A．等边三角形B．有一内角是30°
C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形
5．钝角的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A．1、2、3、B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6
6．已知钝角的三边求的取值范围。
余弦定理习题答案
1．C
2．3∶5∶7
3. 略
4．C 由正弦定理及已知条件对比发现故
5．B ，所以若设4所对的角为A，则为钝角。
6．∴当C为钝角时，
解得
而。
高中数学北师大版必修5 第二章1.2 余弦定理 作业2 Word版含解析
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( )A ．8B ．217C ．6 2D ．219解析：选D.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219，故选D.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15 B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9， 所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A 、B 、C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．(0，π3]B ．[π3，π) C ．(0，π6] D ．[π6，π) 解析：选A.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a －c ）2＋ac 2ac ＝（a －c ）22ac ＋12≥12，因为0<B <π，所以B ∈(0，π3]． 4．在△ABC 中，若b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形解析：选B.因为b cos A ＝a cos B ，所以b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac. 所以b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2.所以a 2＝b 2.所以a ＝b .故此三角形是等腰三角形．5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(1，3)，若m ∥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A.因为m ∥n ，则有cos A ·3－sin A ·1＝0，即tan A ＝3，A ＝π3. 又因为a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，所以a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c sin C . 整理，得sin C ＝1，即C ＝π2. 又A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，C ＝π2，故B ＝π6. 6．已知△ABC 中，三边a ，b ，c 满足1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，则B ＝________． 解析：由1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c得 (a ＋2b ＋c )(a ＋b ＋c )＝3(a ＋b )(b ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， 故B ＝60°.答案：60°7．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为________．解析：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac又因为b 2＝ac ，所以ac ＝a 2＋c 2－ac .即(a －c )2＝0.所以a ＝c .又因为B ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34，则BC →·CA →＝________． 解析：在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ，即2＝CA 2＋1－2CA ×34. 所以CA 2－32CA －1＝0.所以CA ＝2. 所以BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos(180°－C )＝－|BC →||CA →|cos C ＝－1×2×34＝－32. 答案：－329．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的三边，a 2－(b －c )2＝bc ，(1)求A ；(2)若b sin B＝c ＝2，求b 的值． 解：(1)由a 2－(b －c )2＝bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为c sin C ＝b sin B ＝c ，则sin C ＝1，得C ＝π2，所以B ＝π6， 因为b sin B＝c ＝2， 则b ＝2sin B ＝2sin π6＝1. 10．在△ABC 中，若已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，并且sin C ＝2sin B cos A ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc. 代入sin C ＝2sin B cos A ，得c ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc. 整理得a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， 故C ＝π3. 又a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形．[B.能力提升]1．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析：选B.因为p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 则a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， 因为0<C <π，所以C ＝π3. 2．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°解析：选C.由题意可知c <b <a ，或a <b <c ，不妨设c ＝2x ，则a ＝(3＋1)x ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， 即12＝（3＋1）2x 2＋4x 2－b 22·（3＋1）x ·2x，所以b 2＝6x 2.所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（3＋1）2x 2＋6x 2－4x 22（3＋1）x ·6x ＝22， 所以C ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612. 答案：6124.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析：因为AD ⊥AC ，所以∠DAC ＝π2. 因为sin ∠BAC ＝223，所以sin(∠BAD ＋π2)＝223， 所以cos ∠BAD ＝223. 由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3. 所以BD ＝ 3.答案： 35．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值． 解：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.由b 2＋c 2－bc ＝a 2， 得(a b )2＝1＋(c b )2－c b ＝1＋14＋3＋3－12－3＝154，所以a b ＝152. 由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝15. 由a b ＝152，可知a >b ，故B <A ，因此B 为锐角． 故cos B ＝1－sin 2B ＝25， 从而tan B ＝sin B cos B ＝12.6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2，其中x ∈R .(1)若f (1)＝0，且B ＝C ＋π3，试求A ，B ，C ； (2)若f (2)＝0，求C 的取值范围．解：(1)因为f (1)＝0，所以a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0，即b 2＝4c 2.因为b >0，c >0，所以b ＝2c ，即sin B ＝2sin C .又因为B ＝C ＋π3，所以sin B ＝sin C cos π3＋cos C sin π3. 所以2sin C ＝12sin C ＋32cos C ， 即3sin C ＝3cos C ．所以tan C ＝33. 因为0<C <π，所以C ＝π6. 所以B ＝π6＋π3＝π2，A ＝π3. 所以A ，B ，C 的值分别为π3，π2，π6. (2)因为f (2)＝0，所以4a 2－(a 2－b 2)×2－4c 2＝0，即a 2＋b 2＝2c 2.所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab. 又因为a 2＋b 2＝2c 2，所以⎝⎛⎭⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎫b 2c 2＝1. 令a 2c ＝cos θ，b 2c ＝sin θ. 所以a ＝2c cos θ，b ＝2c sin θ.因为a >0，c >0，所以0<θ<π2. 所以cos C ＝c 222c cos θ·2c sin θ＝12sin 2θ. 因为0<2θ<π，所以0<sin 2θ≤1.所以0<2sin 2θ≤2.所以cos C ≥12. 因为0<C <π，所以0<C ≤π3.。
高中数学必修5 之 正弦定理和余弦定理试题答案
正弦定理和余弦定理试题答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题6分，共60分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63解析：依题意得0°<B <60°，由正弦定理得a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.3．(2010·江西)E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.34解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF＝45， 所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 答案：D 4．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形解析：∵lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，∴lg a c ＝lgsin B ＝lg 22.∴a c ＝sin B ＝22.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4，由c ＝2a ， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 2－b 222a 2＝22. ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . 答案：D5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3解析：2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 答案：C6．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2ªC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－12， 又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°. 所以b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C 2sin A ＝2sin B ＋C 2cos B －C23＝cos B －C 2≤1，b ＋c ≤2a . 答案：C 7、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += A.3 B ．3- C ．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A 8、如果111ABC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。
高中数学必修五北师大版 正弦定理与余弦定理课件(32张)
三角形面积的计算 1 1 1 对于此类问题一般用公式 S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B 进行求 2 2 2 解． 将题目中的边角关系，用正、余弦定理转化为两边及夹角问题，注 意方程思想在解题中的应用．
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b＝acos C， 1 且△ABC 的最大边长为 12，最小角的正弦值为3. (1)试判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．
三角形的面积问题
[例 2] 积．
在△ABC 中，若 B＝30° ，AB＝2 3，AC＝2，求△ABC 的面
[分析] 先利用正弦定理求角或角的正弦值．
[解析]
由正弦定理得 sin C＝
3 . 2
∵AB>AC，∴C>B，则 C 有两解． ①当 C 为锐角时，C＝60° ，A＝90° ， 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×1＝2 3. ②当 C 为钝角时，C＝120° ，A＝30° ， 1 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×2＝ 3.
ab，则∠C的大小为(
)
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析：∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab∴a2＋b2－c2＝－ab， a2＋b2－c2 1 即 ＝－ ， 2ab 2 1 ∴cos C＝－ ，∴∠C＝120° . 2
答案：C
2． 在△ABC 中， a＝7， b＝4 3， c＝ 13， 则△ABC 的最小角为( π π π π A.3 B.6 C.4 D.12
判断三角形形状的方法技巧 1．判断三角形的形状一般结论为锐角三角形、钝角三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形；
高中数学必修五同步练习及答案：余弦定理
高中数学必修五同步练习：余弦定理（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一.填空题1．在ABC ∆中，若()ac B b c a ⋅=⋅-+3tan 222，则角B= . 2．ABC ∆中,三边之比4:3:2::=c b a ，则最大角的余弦值等于 .3．在△ABC 中，,10922cos2=+=c c b A c=5, △ABC 的内切圆的面积是 。
4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为 .5．在△ABC 中,若222c b a <+,且sin C =23,则∠C = 6．在ABC ∆中，60,4,A b a =︒==则ABC ∆的面积等于___ __. 7．已知△ABC 外接圆半径是2 cm ，∠A ＝60°，则BC 边长为__________．8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin cos 21A B B C B ++=．若23C π=，则ab= ． 9．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的形状为 .10．在ABC ∆中，已知222sin C a b c =+-，则C ∠= .二.解答题11．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c，且tan A = （Ⅰ）求sin2A ；（Ⅱ）若AB AC ⋅=4，且8b c +=，求a ．12．（本题满分12分）在△ABC 中，已知A=4π，cos B = （I ）求cosC 的值；（Ⅱ）若D 为AB 的中点，求CD 的长．参考答案1．3π或23π【解析】试题分析：2cos tan sin ac B B B B ⨯=⇒=∴=3π或23π.考点：解三角形. 2．14-【解析】试题分析：在三角形中，由大边对大角可得。
人教A版高中数学必修五1-1习题课.docx
习题课 正弦定理与余弦定理双基达标(限时20分钟)1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )．A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60°解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc＞0，∴0°＜A ＜90°.答案 A3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ( )．A.21B.106C.69D.154解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106. 答案 B4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π6.答案 π65．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝2得 sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1，∴B ＝π4. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin Bb ＝2sin π42＝12， ∴A ＝π6或56π.∵a ＜b ，∴A ＜B ，A ＝π6.答案 π66．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故sin A sin C ＝12.cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －12，即cos A cos C －12＝－12，cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0， 所以A ＝90°，或A ＝30°.综合提高 (限时25分钟)7．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析 由(a ＋b )2－c 2＝4得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，故方程①化为2ab (1＋cos C )＝4. ∴ab ＝21＋cos C .又∵C ＝60°，∴ab ＝43.答案 A8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3D.⎣⎡⎭⎫π3，π解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴0＜A ≤π3.答案 C9．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccosC 2，则△ABC 的形状是________．解析 ∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C cos C 2，∴sin A 2＝sin B 2＝sin C2，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＋B 2＋C 2＝π2.∴A 2＝B 2＝C 2，∴A ＝B ＝C ＝π3. 答案 等边三角形10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B 的值是________．解析 由b a ＋ab ＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B 切化弦，得sin C cos C ·⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin (A ＋B )sin A sin B＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B . 根据正、余定理得sin 2Ccos C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案 411．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2，sin 3A2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m·n ＝3， 即1＋1＋2⎝⎛⎭⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2＝3， ∴2＋2cos A ＝3.∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3×32，即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32. ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．12．(创新拓展)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos Csin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9， ∴a ＋c ＝3.。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。