人教A版高中数学必修五：1.1.2《余弦定理》(20200806120017)
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人教A版高中数学必修5第一章1.1.2 余弦定理 课件(共19张PPT)
及时巩固
。
1、在△ABC中，若三边a,b,c满足，则A= 。
2、△ABC中，已知 这个三角形是
三角形
总结
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角
c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2 A 9 0 o a 2 b 2 c 2
Ca
B
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
c 2 a 2 b 2 2 acb C os
新情课境探引究入
你还有别的方法吗？
A
b
c
Ca
c2a2b2 勾股定理
你能用向量证明勾股定理吗？
即证
2
2
2
ABACCB
B ABACCB
新情课境探引究入 向量法 A 那么一般三角形呢
当角C为锐角时
A
证明：过A作AD CB交CB于D
b
c
在Rt ADC中
A A D sC C i,C n A D cC C o C s a D
B
在 RtABD中
A2BA2 D B2 D
(AsCiC n)2(C BC)D 2
A2 C si2nCC2B 2CB Ac CoCsA2 C co2C s
A2 C C2B 2CB Ac CoCs
A ( b cC , o b sC s i ) B ( n , a , 0 ) C ( , 0 , 0 )
A2 B (bcoCsa)2(bsiC n0)2 b2co2C s2acboCsa2b2si2n C a2b22acboCs c 2 a 2 b 2 2 acb C os
【人教A版】高中数学必修五：1.1.2《余弦定理》pdf导学课件
接
∴sin(A－B)＝0.
又∵A 与 B 均为△ABC 的内角，
所以 A＝B，又由 a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝21.
栏
又 0°＜C＜180°，所以 C＝60°，
目 链
接
∴△ABC 为等边三角形．
a＋c＝2b c＝b－4.
栏
目
∴a＞b＞c，∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°，
链 接
即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×－12，
即 b2－10b＝0.
解得 b＝0(舍去)或 b＝10，此时 a＝14，c＝6.
题型3 判断三角形的形状
例 2 在△ABC 中，已知 c＝acos B，b＝asin C，判断三角形形状．
由余弦定理，有
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝6k22·＋（6k·3＋（1）3＋2k21－）4kk2＝ 22，
∴A＝45°.
栏
目
cos B＝a2＋2ca2c－b2＝4k2＋2×（2k（3＋13）＋21k）2－k6k2＝21，
链 接
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
(2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且 b2＋c2＞a2且 c2＋a2＞b2.
(3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或 b2＋c2＜a2或 c2＋a2＜b2. π
(4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝ 2 .
4．在△ABC 中，已知 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C， 请确定△ABC 的形状．
解析：方法一 利用边的关系来判断：
【人教A版】高中数学必修五：1.1.2《余弦定理》ppt导学课件
栏
∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2.∴b＝c，∴a＝b＝c，
目 链
接
∴△ABC 为等边三角形．
方法二 利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°，
∴sin C＝sin(A＋B)，
又∵2cos Asin B＝sin C，
栏 目
链
∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
(2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且 b2＋c2＞a2且 c2＋a2＞b2.
(3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或 b2＋c2＜a2或 c2＋a2＜b2. π
(4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝ 2 .
4．在△ABC 中，已知 a2＋b2－c2＝ab，且 2cos Asin B＝sin C， 请确定△ABC 的形状．
点评：1.本题已知的是三边的关系，设出三边的大小是解题的关 键．
2．已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用栏目
链
正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三接 角．
3．在△ABC 中，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，
求三边的长．
解析：由a－b＝4，得a＝b＋4.
解析：因为 A＝120°，b＝3，c＝5，
栏
所以根据余弦定理，得
目 链A＝9＋25－2×3×5×cos 120°＝49，所以 a
＝7.
答案：7
2．在△ABC 中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，求 AC.
解析：由余弦定理得：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 30°，
接
∴sin(A－B)＝0.
又∵A 与 B 均为△ABC 的内角，
数学必修Ⅴ人教新课标A版1-1-2余弦定理课件(46张)
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[问题3] 你会利用向量求边AC吗？ [提示] 会．|B→A|＝3，|B→C|＝2，〈B→A，B→C〉＝60°. A→C2＝(B→C－B→A)2 ＝B→C2－2B→C·B→A＋B→A2 ＝22－2×2×3×cos 60°＋32 ＝7. ∴|A→C|＝ 7，即边AC为 7.
数学 必修5
答案： A
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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3．在△ABC中，若b＝1，c＝
3
，C＝
2π 3
，则a＝
________.
解析： ∵c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴( 3)2＝a2＋12－2a×1×cos 23π，
∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.
答案： 1
数学 必修5
第一章 解三角形
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合作探究 课堂互动
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4．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b， c，若b＝3，c＝3 3，B＝30°，求边长a.
解析： 方法一：根据余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，
所以32＝a2＋(3 3)2－2a·3 3·cos 30°， 即a2－9a＋18＝0， 解得a＝3或a＝6.
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1.1.2 余弦定理
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数学 必修5
第一章 解三角形
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2020版数学人教A版必修5课件：1.1.2 余弦定理
1.1.2 余弦定理
学习目标
1．理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题．2．通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力．
例题探究
类型1：已知两边一角解三角形
类型2：余弦定理的推论
类型3：判断三角形的形状
课堂小结：
1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．
2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型
(1)已知三边解三角形．
(2)已知两边及一角解三角形．
3．已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．
【答案】B
【答案】C。
人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理
,
B=45°，求b和A。
3.在△ABC中，已知
,
A=45°，求边长c，B，C。
, ,
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解： a b c C为最小角
cos C a2 b2 c2 2ab
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
3 2
C 300
六、作业
1.在△ABC中，已知a=7,b= 5,c=3，求A。
2.在△ABC中，已知
既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有
什么利弊呢？
余弦定理 正弦定理
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角
㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。
㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行 判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知 a 3 3, c 2, B 150°求b
解：
=31+18 =49
1.1.2 余弦定理
一、实际应用问题
隧道工程设计，经常需要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，再利 用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算 求出山脚的长度BC。
B
C
A
二、转化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知AB=c，AC=b，∠BAC=A 求：a（即BC）.
C
b
a=?
A
c
B
三、证明问题
C
b
a=?
A
c
B
向量法：
Cbaຫໍສະໝຸດ AcB四、余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与 它们的夹角的余弦的积的两倍。
高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《1.1.2 余弦定理》课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
：若△ABC为钝角三角形，且A>90°，则a，b，c三 边满足什么关系？ 提示：∵a，b，c为△ABC的三边，且A>90°，
b2＋c2－a2 ∴cos A<0，即 <0，∴b2＋c2<a2. 2bc
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
余弦定理及其推论的应用 3． 应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题： 三个角 (1)已知三角形的三边，求其_______． 两边 夹角 (2)已知_____和_____，求第三边和其他两个角．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式1】在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方 程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c. 解 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0. 3 3 ∴x1＝ ，x2＝－2(舍去)．∴cos C＝ . 5 5
根据余弦定理， 3 c ＝a ＋b －2abcos C＝5 ＋3 －2×5×3× ＝16. 5
(1)已知三角形三边求角时，可先利用余 弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理 求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产 生增解或漏解． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的 性质引入k，从而转化为已知三边求解．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式2】 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求 AC边上的中线长． 解 由余弦定理和条件知： AB2＋AC2－BC2 92＋82－72 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2· AC AB· 2×9×8 3
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题型一
人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件
A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？