平面向量的数量积第二课时课件-数学必修四第二章平面向量2.4人教A版

例题讲解
例题1、在ABC中，设AB (1,2), AC (k ,4), 且ABC 900 , 求k的值。
解： BC AC AB (k,4) (1,2) (k 1,2)
ABC 900
AB BC
AB BC 0 即： (1,2)(k 1,2) k 1 4 0,
4、向量夹角： cos
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
课堂练习
1、已知a (2,1),b (5,3),求 | a |, | b |, a b.
解： | a | (2) 2 (1) 2 5 ;
| b | 52 32 34;
AB ( x2 , y2 ) ( x1, y1 ) ( x2 x1, y2 y1 )
| a | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
下面我们来试一试
练一练： (1)已知a (5,12), 求 | a | (2)已知A(4,1), B(7,5), 求 BA 的模
则a b | a | | b | cos90 0
0
即a b 0,
所以， a b a b x1x2 y1y2 0
练一练： (1)已知a (1,12), b (4,2),问： a b吗？ (2)已知a ( x,1), b (7,3), 又a b, 求x的值。
a b 2 5 (1) 3 13
2、已知a (1,2), b (3,4), c (7,5), 求a(b c), (a b) 2 , c(a b).
解： a(b c) a[3 7 4 (5)] 41a 41(1,2) (41 ,82);
解：(1)|a| 52 (12)2 13
(2)BA (4 7) 2 (1 5) 2 5
1、两个向量的夹角的范 围是多少？
答：
2、如果两个向量的夹角是 该如何表示？
，数量积
答：就是两个向量互相垂直，数量积等于零
3、为什么？如何证明？
知识点三：向量垂直的坐标表示
如果向量a与向量b垂直
若a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ),则a // b x1 y2 x2 y1 0
知识点一：平面向量数量积的坐标表示
若两个非零向量 a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ),怎样用 a与b 的坐标表示 a b呢？
若两个非零向量 a (x1,y1), b (x2 ,y2 ) a x1i y1 j, b x2 i y2 j,
7 cos a, b 8
例题3、两个非零向量a, b, 有 | a || b |, 且(a b)b 0, 求a与b的夹角 .
解： (a b)b 0, ab b 0,
2
即： | a || b | cos | b | ,
2
| a || b |
cos 1,
a b ( x1i y1 j) ( x2 i y2 j)
x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j
又i i 1, j j 1, i j j i 0,
2 2
a b x1x2 y1y2
这就是说， 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
解：(1)a b (1,12)(4,2) 4 24 18 0,a与b不垂直；
3 (2) a b, a b 0, 即7 x 3 0, x 7
知识点四：向量的夹角
设a, b都是非零向量， a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ),是a与b的夹角
2 2 解： cos 3 | a || b | (3e1 2e2 ) 2 (3e1 e2 ) 2
ab
(3e1 2e2 )(3e1 e2 )
(a b) | a | 2ab | b | 5 2[1 (3) 2 4] 25 20;
2 2 2 2 2
c(a b) c(1 3,2 4) (7,5)(2,6) 44
3、判断三角形形状：
(1)、已知B是ABC中最大的角， AB BC 0,
由a b | a | | b | cos 得： cos a b | a ||b |
又a b x1x2 y1 y2
2 2 | a | x12 y12 , | b | x2 y2
cosθ
x1x2 y1y2
2 2 2 x1 y1 x2 y 2 2
锐角三角形
(2)、已知B是ABC中最大的角， AB AC 0,
钝角三角形
(3)、在ABC中，有AB BC 0
直角三角形
1 4、 (2014 江西高考)已知单位向量 e1 , e2的夹角为 , 且 cos ,向量 3 a 3e1 2e2与b 3e1 e2的夹角为 , 则 cos ________ 。
当 a, b 为钝角时， cos a, b 0, cos a, b
a b | a || b |
a b | a || b |
0,即a b 0
当 a, b 为直角时， cos a, b 0, cos a, b
0, 即a b 0
练一练： (1)已知a (1,2), b (4,2), 求a与b夹角； (2)已知a (1,1), b (2,3), 求a与b夹角的余弦值。
解：(1)cos 1 4 (-2) 2 12 (2) 2 42 22 0, 900 ;
(2)cos
坐标运算是如何的？
若a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ),则a b ( x1 x2 , y1 y2 ); 若a ( x1, y1 ),b ( x2 , y2 ),则a b ( x1 x2 , y1 y2 );
若a ( x1, y1 ),则 a ( x1, y1 ) (x1, y1 )
第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
第二课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标
[1]掌握平面向量数量积的坐标表示 [2]会求向量的模
[3]会求两个向量的夹角 [4]会利用数量积的坐标表示求解各种向量 问题
复习引入
我们都学过向量的哪些坐标运算呢？ 1）平面向量加法的坐标运算 2）平面向量减法的坐标运算 3）平面向量数乘的坐标运算 4）两个平行向量的坐标运算
练一练： (1)已知a (3,8), b (2,1), 求a b (2)已知a (4,1), b ( x,5), 又a b 10, 求x
解：(1)a b (3,8) (2,1) 3 (2) 8 (1) 14
5 (2)a b (4,1) ( x,5) 4 x 5 10, x 4
知识点二：向量的模
作： | AB | 或 | a |
如图，若a ( x, y ), 则| a |2 x 2 y 2 , 或 | a | x 2 y 2
如果表示向量 a的有向线段的起点是 A( x1, y1 ),终点是B( x2 , y2 ),
1 2 (1) 3 (1) 2 (1) 2
5 5 26 2 2 26 2 13 2 3
总结一下：
当 a, b 为锐角时， cos a, b 0, cos a, b a b | a || b | 0, 即a b 0
k 3
例题2、已知 | a | 2, | b | 4, | a b | 6 , 求 cos a, b .
解：将 | a b | 6两边分别平方：
| a |2 2ab | b |2 6,
即： | a |2 2 | a || b | cos a, b | b |2 6,
0
0
课堂小结
1、数量积坐标表示： a b x1x2 y1 y2
2、向量的模： | a | x 2 y 2 或 | a | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
3、向量垂直坐标表示： a b a b x1x2 y1 y2 0