2015届三维设计人教A版 第六章 不等式、推理与证明及不等式选讲
2015届高考数学(人教A版·文科)总复习配套课件：选4-5 2 不等式的证明
分析法
• 从所要证明结的论 出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直至所需条件为已知条件 或一个明显成立的事实(定义、公理或已 证明的定理、性质等)，从而得出要证的 命题成立，这种证明方法称为分析法，即 “执果索因”的证明方法．
放缩法
• 在证明不等式时，有时我们要把所证不等 式中的某些部分的值放大或缩小，简化不 等式，从而达到证明的目的．这种方法称 为放缩法．
，b，c中至少有一个不为0”，故选C. • 答案：C
• 3．已知a＞2，b＞2，则a＋b与ab的大小 关系是________．
• 解析：∵a＞2，b＞2， • ∴a－1＞1，b－1＞1. • ∴(a－1)(b－1)＞1.即ab－a－b＞0. • ∴ab＞a＋b. • 答案：ab＞a＋b
• 4．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若 x>y，则实数a，b应满足的条件为 ________．
• 1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大 小关系是( )
• A．s≥t
B．s>t
• C．s≤t
D．s<t
• 解析：∵s－t＝a＋b2＋1－a－2b＝b2－2b ＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，故选A.
• 答案：A
• 2．用反证法证明命题“a，b，c全为0” 时，其假设为( )
• A．a，b，c全为0 • B．a，b，c至少有一个为0 • C．a，b，c至少有一个不为0 • D．a，b，c至多有一个不为0 • 解析：“a，b，c全为0”的反面应是“a
第二节 不等式的证明
• [最新考纲展示] • 了解证明不等式的基本方法：比较法、综
合法、分析法、反证法、放缩法．
比较法
• 1．求差比较法
• 知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因
高三数学人教A版文科一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明 6-5
1 x 5． “因为指数函数 y＝a 是增函数(大前提)， 而 y＝ 3 是指数函数(小
x
1 x 前提)，所以函数 y＝ 3 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错 C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错
)
解析：“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误 的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的． 答案：A
归纳推理(自主探究)
例 1
(2013 年高考湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过
nn＋1 1 2 各种多边形数， 如三角形数 1,3,6,10， „， 第 n 个三角形数为 2 ＝2n 1 ＋2n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分 k 边形数中 第 n 个数的表达式：
k－2 2 4－k n ＋ n，k≥3. 推测 N(n，k)＝ 2 2
从而 N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1 000.
答案 1 000
规律方法
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由
归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有
第五节
最新考纲展示
合情推理与演绎推理
1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体 会合情推理在数学发现中的作用． 2. 了解演绎推理的含义，了解合
情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的 “三段论 ”，能运
用“三段论”进行一些简单的演绎推理．
一、合情推理 1．归纳推理
(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 全部 __________ 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出
高考一轮通用人教A数学(文)(课件)第6章 不等式、推理与证明
全国卷Ⅰ· T19 全国 全国卷Ⅱ· T18 卷· T19
栏目 导引
第十二章
选考部分
[ 重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答 题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规 划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接 证明． 2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章 节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明， 主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明． 3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考 查．
栏目] 1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式 的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式 是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次 不等式问题．
栏目 导引
第十二章
选考部分
2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函 数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证， 强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键． 3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条 件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、 函数与方程三者密不可分，相互转化．
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第十二章
选考部分
第六章 不等式、推理与证明
栏目 导引
第十二章
选考部分
[ 五年考情] 考点 不等关系与不 等式 不等式的证明 基本不等式 一元二次不等 式及其解法 全国卷Ⅱ· T1 2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
新人教A版高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明课件文
简单线性规 全国卷Ⅱ·T14
划
全国卷Ⅱ·Leabharlann 20全国卷Ⅲ·T13合情推理与
演绎推理
全国卷Ⅰ·T18
直接证明与 全国卷Ⅱ·T19
间接证明 全国卷Ⅱ·T19
全国卷Ⅱ·T21
全国卷 Ⅰ·T15 全国卷 Ⅱ·T14
全国卷 Ⅰ·T18
全国卷Ⅰ·T11 全国卷Ⅰ·T14 全国 全国卷Ⅱ·T9 全国卷Ⅱ·T3 卷·T5
3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条 件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、 函数与方程三者密不可分，相互转化．
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
[导学心语] 1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式 的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式 是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次 不等式问题．
2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函 数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证， 强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2015届高三数学(人教,文)一轮课件：第6篇 第1节 不等关系与不等式
3.(2013 江西省百所重点高中联考)已知 a,b,c∈(0,+∞),若 c < a < b ,则( A )
ab bc ac (A)c<a<b (B)b<c<a (C)a<b<c (D)c<b<a 解析:法一 因为 a,b,c∈(0,+∞), 由 c < a 得 cb+c2<a2+ab,
ab bc 整理得(c-a)(a+b+c)<0,故 c<a, 同理由 a < b 得 a<b,所以 c<a<b.故选 A.
解:依题意,得 c=11x+9y+4z. 又 x+y+z=100, ∴c=400+7x+5y.
由
600x 800x
700 400
y y
400z 500z
56000, 63000,
及
z=100-x-y,得
2x 3x
3y 160， y 130.
2x 3y 160，
∴x,y
所满足的不等关系为
bc ac
法二 由题意知 c +1< a +1< b +1, ab bc ac
即abc <abc <abc ,
ab
bc
ac
又因 a,b,c∈(0,+∞),
所以有 0< 1 < 1 < 1 , ab bc ac
于是 a+b>b+c>a+c, 从而 b>a>c.故选 A.
4.已知 a1≤a2,b1≥b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大
高考数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 文 新
第六章⎪⎪⎪不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b ＞0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a <b .2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b .答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h 3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c的大小关系为________． 答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b的大小关系是________．答案：1a <1b考点一 比较两个数式的大小基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0. ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .2．(易错题)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .答案：＜3．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解：a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1∴当a >1时，a ＋2>31－a ；当a <1时，a ＋2<31－a.[谨记通法]比较两个数(式)大小的2种方式如“题组练透”第2题易忽视作商法．考点二 不等式的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b解析：选D 法一(性质判断)：对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －aab>0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b ＝－1，ab ＝2>b 2＝1，－ab ＝－2>－a 2＝－4，－1a ＝12<－1b＝1.故A 、B 、C 项错误，D 项正确．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A ．1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .2．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )， ∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， 即a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④正确．考点三 不等式性质的应用题点多变型考点——纵引横联[典型母题]已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2. 由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18. 答案：(－4,2) (1,18)[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[越变越明][变式1] 将母题条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围． 解：∵－1<x <3，－1<y <3， ∴－3<－y <1， ∴－4<x －y <4.① 又∵x <y ， ∴x －y <0，② 由①②得－4<x －y <0.故x －y 的取值范围为(－4,0)．[变式2] 若将母题条件改为“－1<x ＋y <4,2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围． 解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12，即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又－1<x ＋y <4,2<x －y <3， ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32，∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232.故3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.[变式3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤BB ．A ≥B[破译玄机]C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 3．(2016·西安八校联考)“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.4．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，A ，B ，C 均不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2. 5．(2016·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；∵a c 2<b c2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．二保高考，全练题型做到高考达标1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．2．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.3．(2015·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －1ab，若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －1ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·重庆一中调研)设a >1>b >－1，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a >b 2B ．1a >1bC ．1a <1bD ．a 2>2b解析：选A 对于A ，∵－1<b <1，∴0≤b 2<1，又∵a >1，∴a >b 2，故A 正确；对于B ，若a ＝2，b ＝12，此时满足a >1>b >－1，但1a <1b ，故B 错误；对于C ，若a ＝2，b ＝－12，此时满足a >1>b >－1，但1a >1b ，故C 错误；对于D ，若a ＝98，b ＝34，此时满足a >1>b >－1，但a 2<2b ，故D 错误．5．(2016·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( ) A ．mn ≥4且p ＋q ≤4 B ．m ＋n ≥4且pq ≤4 C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.6．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥2167．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c.其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 解析：①若c ＝0，则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立． 答案：②③8．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b .答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c2>e b －d2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c2<1b －d2.又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×c a<4， ∴c a的取值范围为(0,2)．2．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ， y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节 一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x≠－b2aR ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[小题体验]1．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝( )A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T＝ {x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁R S＝{x|x≤－2}，所以(∁R S)∪T＝{x|x≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x2＋2x－3＞0的解集为________．答案：∅3．已知集合A＝{}x|－5＜x＜1，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案：－1 11．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏]1．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎪⎫－12，13，则a＋b的值是( )A．10 B．－10C ．14D ．－14解析：选D 由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根，则a ＝－12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－14.2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0.综上所述，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－12 2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4.解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ＋1＞0，x －3x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如“题组练透”第3题中(1)题；(2)判：计算对应方程的判别式；(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．考点二 含参数的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·青岛模拟)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3. 当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞.[由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94.2．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解集为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解集为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1. 考点三 一元二次不等式恒成立问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围； (3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m1－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立． 角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0， 所以m ＜67，则0＜m ＜67；当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0， 所以m ＜6，即m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0， 所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，67. 角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[方法归纳]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法 方法解读适合题型判别 式法(1)ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0；二次不等式在R 上恒成立 (如“题点全练”第1题、第2题)(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0分离参 数法如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解．a ≥f (x )恒成立等价于a ≥f (x )max ；a ≤f (x )恒成立等价于a ≤f (x )min适合参数与变量能分离且f (x )的最值易求(如“题点全练”第2题)主参换 位法把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在[m ，n ]恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m >0，fn >0，若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m <0，fn <0若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时(如“题点全练”第3题)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．(2016·梧州模拟)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1) 解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0,4]D ．[0,4]解析：选D 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以实数a 的取值范围是[0,4]．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2， ∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0， 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)． 答案：(－2,3)二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3. 又∵2x 2－7x ＋6>0， ∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)． 3．(2016·辽宁一模)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 8．(2016·西安质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2016·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0≤0，g2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·九江一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.2．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解：(1)根据题意， 200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C ＞0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0包括边界直线不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称 意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 [小题体验]1．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C3．(教材习题改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．答案：31．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．(2015·福建高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z ＝2x －y 过点A 时，z 值最小． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋2y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，z min ＝2×(－1)－12＝－52.2．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°考点一 二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2016·忻州一模)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3解析：选 D 如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4,4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝12(2×4－2×1)＝3.2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．考点二 求目标函数的最值常考常新型考点——多角探明[命题分析]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ，∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1,1)，∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：42．(2016·吉林实验中学)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，则z ＝2x ＋4y －3的最大值是________．解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0的区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋4y －3在点(0,0)处取得最大值，则z max ＝－3.答案：－3角度二：求非线性目标的最值3．(2016·开封模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，x ＋y ≥2，y ≤2，则目标函数z ＝x 2＋y2的取值范围为( )A ．[2,8]B ．[4,13]C ．[2,13]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，13 解析：选C 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，从而可得z min ＝|OA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|0＋0－2|12＋122＝2，z max ＝|OB |2＝32＋22＝13.故z 的取值范围为[2,13]． 4．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1,3)．∴yx的最大值为3. 答案：3角度三：线性规划中的参数问题5．(2015·山东高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：选B 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，∴2a ＋0＝4，此时a ＝2，故选B.6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1解析：选D 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.[方法归纳]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．考点三 线性规划的实际应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.[由题悟法]。
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第六章+不等式、推理与证明 第3节 二元一次不等式(组)与简
表示
的平面区域的面积是________．
第十页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【解析】 不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，
由xx＝ ＋1y＝0 得 A(1，－1) 由xx＝ －1y－4＝0 得 B(1，－3)
第十一页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
由xx－＋yy－＝40＝0 得 C(2，－2)， ∴|AB|＝2，∴S△ABC＝12×2×1＝1. 【答案】 1
第二页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法 直线 l：Ax＋By＋C＝0 把坐标平面内不在直线 l 上的点 分为两部分，当点在直线 l 的同一侧时，点的坐标使式子 Ax ＋By＋C 的值具有相同的符号，当点在直线 l 的两侧时，点的 坐标使 Ax＋By＋C 的值具有相反 的符号．
第二十四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 3 线性规划的实际应用
【例 3】 某企业生产 A，B 两种产品，生产每一吨产品
所需的劳动力、煤和电耗如下表：
产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦)
A产品
3
9
4
B产品
10
4
5
已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产品
的利润是 12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数 的 最大值 或 最小值 问题
第四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”， 错误的打“×”)
(1)不等式 Ax＋By＋C>0 表示的平面区域一定在直线 Ax ＋By＋C＝0 的上方( )
(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域 ()
新课标人教版A版必修3 第六章不等式的证明(1) 上学期
a b ab 2 2 a b a b
2 2
a b a b ( a b ) ( a b) 证: 2 2 2 2 a b a b a b 2ab 2ab 2 2 a b (a b)(a b)
2 2 2 2
2
a b 0 ab 0, a b 0, a b 0
6.3 不等式的证明（1）
一、复习比较两个实数大小的主要方法：
作差比较法：作差——变形——与0比较大小
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
二、比较法证明不等式：
例1.求证：
2 ( x 3) 3 x 证：∵
x 3 3x
2
2
3 2 3 2 x 3x ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 3 x ≥ 0 2 4 4
x 2 3 3x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形，要灵活处理。 2.本题的变形方法——配方法
例2 已知a<b<0,求证:
2
2 2 2 ( a b )( a b ) ( a ab b )0 又∵ a b, (a b) 0
2
5 即： a
b a b a b
5 2 3
3 2
本题变形的方法— 因式分解法
例4 甲、乙两人同时同地沿一线路走 到同一地点。甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以n行走；乙有一 半路程以速度m行走，另一半路程以 n行走。如果 ，问甲、乙两 人谁先到达指定地点。
(a a b ) (b a b )
a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2 )
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第六章+不等式、推理与证明 第5节 合情推理与演绎推理
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
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2．(人教 A 版教材习题改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2
时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表
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考向 1 归纳推理 【例 1】 (2013·陕西高考)观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …， 照此规律，第 n 个等式可为________．
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【思路点拨】 分析等式左右两侧各数及其符号特点， 可归纳出第 n 个等式，最后利用等差数列的求和公式进行化 简．
第二十四页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
【思路点拨】 (1)利用 an＋1＝Sn＋1－Sn 消去 an＋1； (2)根据Snn是等比数列得到 Sn＋1 与 Sn－1 的关系，再利用 an＝nn＋ －11Sn－1 证明．
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【尝试解答】 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋n 2Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴nS＋n＋11 ＝2·Snn，又S11＝1≠0，(小前提) 故Snn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)
【尝试解答】 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，
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2015届高考数学基础知识总复习精讲课件：第6章 第8节 不等式的证明
x－(a2>1)，用反 x＋1
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高考总复习•数学（理科）
证明：(法一)假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0， 则ax0＝－xx00－＋21. 因为a>1，所以0<ax0<1. 即0<－xx00－ ＋21<1，即解得12<x0<2，与假设x0<0相矛盾， 故方程f(x)＝0没有负数根．
c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b)．① ∵(a＋b)＋(b＋c)≥2 a＋bb＋c＞0， (b＋c)＋(c＋a)≥2 b＋cc＋a＞0， (c＋a)＋(a＋b)≥2 c＋aa＋b＞0， 三式相乘得①式成立． 故原不等式得证．
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高考总复习•数学（理科） 点评：联合使用综合法与分析法证明不等式，实际上是以分析法
高考总复习•数学（理科）
变式探究
1．已知a, b, m都是正数，并且a<b，求证：
a＋m a b＋m>b.
证明：ab＋ ＋mm－ab＝ba＋bmb－＋amb ＋m＝mbbb＋－ma. ∵a，b，m都是正数，并且a<b， ∴b＋m>0，b－a>0， ∴mbbb＋－ma>0，即ab＋＋mm>ab.
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高考总复习•数学（理科） 点评：放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不
等式时，要注意放缩是否适度，放的过大或过小都不能达到证明 的目的．常用的方法有：(1)舍去或添加一些项；(2)将分子或分母 放大或缩小．在比较法、综合法很难证明时，可以考虑反证法、 放缩法、换元法、或者构造二次函数法等方法证明．反证法的实 质是证明原命题的逆否命题，用反证法证明命题时，推导出的矛 盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事 实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．