1.衡阳市八中文数(6) - 参考答案
2023年湖南省衡阳市八中教育集团中考一模数学试题(含解析)
2023年湖南省衡阳市八中教育集团中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．）)y都在反比例函数2．若甲、乙两组数据的平均数相同，2S=．．．．A ．8B ．69．如图，在ABC 中，90C ∠=AB ，AC 于点M 和N ，再分别以A ．9B ．3310．某班学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的骑车学生的速度为x km/h ，下列方程正确的是（A．80︒B．100︒C．140︒D．160︒12．如图，Rt△ABC中，AB=4，BC=2，正方形ADEF的边长为2，F、A、B在同一直线上，正方形ADEF向右平移到点F与B重合，点F的平移距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则y与x的关系的函数图象表示正确的是（）A．B．C．D．二、填空题三、解答题(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE=4，CF=2，求菱形的边长．23．某班去革命老区研学旅行，研学基地有甲乙两种快餐可供选择，买(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴的负半轴上是否存在点P若不存在，请说明理由；(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为线l下方的抛物线上是否存在一点M点为顶点的三角形与ADEV相似？若存在，请求出由．参考答案：共有12种等可能的结果，其中恰好选到两名女生的结果有∴恰好选到两名女生的概率为61 122=．【点睛】此题考查了树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．∴BE =DF =x −2（全等三角形的对应边相等），在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∴AE 2+BE 2=AB 2（勾股定理），∴42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．23．(1)买一份甲种快餐需30元，一份乙种快餐需20元(2)至少买乙种快餐37份【分析】（1）设一份甲种快餐需x 元，一份乙种快餐需y 元，根据题意列出方程组，解方程即可求解；（2）设购买乙种快餐a 份，则购买甲种快餐()55a -份，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．【详解】（1）解：设一份甲种快餐需x 元，一份乙种快餐需y 元，根据题意得，27023120x y x y +=⎧⎨+=⎩解得3020x y =⎧⎨=⎩答：买一份甲种快餐需30元，一份乙种快餐需20元；（2）设购买乙种快餐a 份，则购买甲种快餐()55a -份，根据题意得，()3055201280a a -+≤解得37a ≥∴至少买乙种快餐37份答：至少买乙种快餐37份．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．24．(1)证明见解析；由题意可知cm,2cm BE t AF t ==，则由（1）可得AC 4sin B AB 5==，∴4cm 5EH t =，∵180APB ACB ∠+∠=︒，∴180CAP CBP ∠+∠=︒，∴如图：点A ，C ，B ，P 四点共圆，所示，∵()()1030A B -，，，、()03C ，∴3OB OC ==，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，∴45APC ABC Ð=Ð=°，∴设()2,23M t t t -++，则2t ＞或0t ＜∴()22323EF t MF t t =-=--++=，若MEF 与ADE V 相似，则EF MF ：∴()22213t t t --=：：或()222t t t --：解得2t =（舍）或3t =-或3或13（舍）或∴M 的坐标为()30，或()312--，或⎛- ⎝系数法求函数解析式、圆内四边形的性质、相似三角形的性质与判定、分类讨论思想、根据轴对称和二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解题关键．。
湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高一下学期年度过关(期末)考试数学答案
2018年上学期衡阳市八中高一年度过关考试数学试题(答案)命题人：审题人：请注意：时量120分钟，满分100分一、单选题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）123456789101112C C A C A D B C A B DD二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．圆05422=--+x y x 的圆心坐标是________．（2,0）14cos 2θ＝________．7/2515．若实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，则y x z -=2的最小值为________．-216．已知0>a ，且1≠a ，函数()x x a a x f x x -++++=21ln 115)(，[]1,1-∈x ，设函数)(x f 的最大值为M ，最小值为N ，则=+N M ________．6三、解答题（本大题共52分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分6分）已知向量()x x a cos ,sin =，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22b .（1）若b a =，求x tan 的值；（2）设函数()2+⋅=b a x f ，求()x f 的值域．【答案】（1）1tan =x ；（2）[]3,1．18．（本小题满分8分）等比数列{}n a 中，11=a ，354a a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63=m S ，求m ．【答案】（1）()12--=n n a 或12-=n n a ；（2）6=m ．19．（本小题满分8分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥BD ，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为45 ，点E ，F 分别是AC ，AD 的中点．（1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求三棱锥A BCD -的体积．【答案】（1）证明：略；（2）8=-BCD A V ．20．（本小题满分8分）在ABC △中，7=a ，8=b ，1cos -=B ．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求ABC △的面积．【答案】（Ⅰ）3π=∠A ；（Ⅱ）36△=ABC S ．21．（本小题满分10分）在等差数列{}n a 中，11=a ，532=+a a .（1）求n a ；（2）设nn n a b 2⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n a n =；（2）()2211+-=+n n n T ．22．（本小题满分12分）已知O为坐标原点，点P 在圆22:410M x y x ay +-++=上，（1）求实数a 的值；（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；（3）过点O 作互相垂直的直线12,l l ，1l 与圆M 交于,A B 两点，2l 与圆M 交于,C D 两点，求||||AB CD ⋅的最大值．解：（1）把P 点代入圆22:410M x y x ay +-++=得0=a ；（2）圆心坐标为(2,0)M ，2=OP k ，∴过圆心且与OP 平行的直线方程为)2(20-=-x y ，即222-=x y ；（3）设直线AB 的方程为0=-y kx ，直线CD 的方程为0=+ky x ，圆心到直线AB 的距离为2112k d +=，21432||k AB +-=∴，同理可得221432||k k CD +-=，42242)1414(64)143)(143(4||||222222=⨯=+++-⨯≤+-+-=⋅∴k k k k k k CD AB .。
湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考(开学考试)数学试题(含答案解析)
湖南省衡阳市第八中学2022届高三下学期第六次月考（开学考试）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合{A x y ==，集合{}20xB =≥，则A B 等于（ ） A ．(],1-∞ B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[)1,+∞D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．若32a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32-B ．23-C ．23D ．323．下列有关命题的说法正确的是( ) A ．若+=-a b a b ，则a b⊥ B ．“sin x =的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若命题p ：0x ∃∈R ，0e 1<x ，则命题p ⌝：x ∀∈R ，e 1x ≥D ．α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，n β，那么αβ⊥ 4．定义：在数列{}n a 中，若满足211n n n na a d a a +++-=(*n ∈N ，d 为常数)，称{}n a 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{}n a 中，121a a ==，33a =，则20212019a a 等于（ ） A ．2420171⨯- B ．2420181⨯- C ．2420191⨯-D ．2420201⨯-5．已知(),,0,1a b c ∈，且2ln 32ln 13a a --=，212ln 1b b e --=，2ln 2ln 1c c ππ--=，则（ ） A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>6．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC上，则线段PQ 长度的最小值是( )．A B C ．23D 7．已知()1,0F c -、()2,0F c 是双曲线2222:1x yC a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，1F 关于双曲线的一条渐近线的对称点为P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则双曲线的离心率为（ ）A1B ．2C D 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，当2x ≤时，()xf x xe =．若关于x 的方程()()22f x k x =-+有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1- B ．()()1,01,-⋃+∞ C ．()(),00,e e -D ．()(),0,e e -+∞二、多选题9．某学校为研究高三学生的考试成绩，根据高三第一次模拟考试在高三学生中随机抽取50名学生的思想政治考试成绩绘制成频率分布直方图如图所示，已知思想政治成绩在[)80,90的学生人数为15，把频率看作概率，根据频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）A ．0.03a =B ．0.034b =C ．本次思想政治考试平均分为80D ．从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在[]90,100内的概率为()()334C 0.1610.16-10．已知函数()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期为2π3B ．函数()f x 图象的一条对称轴为直线π9x =-C ．函数()f x 在10π,π9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 的最小值为4-11．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆交y 轴于,M N 两点，设线段AB 的中点为P ，则下列说法正确的是（ ）A ．若抛物线上的点(2,)E t 到点F 的距离为4，则抛物线的方程为24y x =B ．以AB 为直径的圆与准线相切C ．线段AB 长度的最小值是2pD ．sin PMN ∠的取值范围为1[,1)212．如图，已知菱形ABCD 中，2AB =，120BAD ∠=︒，E 为边BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折成△1AB E （点1B 位于平面ABCD 上方），连接1B C 和1B D ，F 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．平面1⊥AB E 平面1B EC B ．1AB 与CF 的夹角为定值3πC ．三棱锥1B AED - D ．点F 的轨迹的长度为2π 三、填空题13．已知()()401211x a a x -=+- ()()()234234111a x a x a x +-+-+-，则2a =__________． 14．过抛物线C :2yx 上的一点M (非顶点)作C 的切线与x 轴､y 轴分别交于A ､B 两点，则MAMB=______. 15．某种游戏中，黑､黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是111A A A D →→，黄“电子狗”爬行的路线是1AB BB →→，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段､黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑､黄“电子狗”间的距离是___________.16．设方程()1110x m e +--=的两根分别为1x ，()212x x x <，方程10xe m --=的两根分别为3x ，()434x x x <，若10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()4132x x x x +-+的取值范围为____________. 四、解答题17．已知函数()21sin cos 12f x x x x =(x ∈R )（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值.18．已知数列{}n a 为等比数列,数列{}n b 满足2log n n b a =,且451a b ==.设n S 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a ､{}n b 的通项公式及n S ; （2）若数列{}n c 满足nn n S c a n=,求{}n c 的前n 项和n T . 19．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=︒，4AB =，2AD =，3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE (如图)，G 为AE 中点.（1）求证：DG ⊥平面ABCE ； （2）求四棱锥D ABCE -的体积；（3）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不20．平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （△）求椭圆C 的方程；（△）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．21．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F 遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A 型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A 型材料更好地投入商用，拟对A 型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x (亿元)与产品的直接收益y (亿元)的数据统计如下：当017x <≤时，建立了y 与x 的两个回归模型：模型△： 4.1109ˆ.yx =+，模型△：ˆ14.4y=；当17x >时，确定y 与x 满足的线性回归方程为ˆˆ0.7y x a =-+． (1)根据下列表格中的数据，比较当017x <≤时模型△，△的相关指数2R 的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据(1)中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小．附： 刻画回归效果的相关指数()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑，且当2R 越大时，回归方程的拟合效果越好．用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的截距：ˆˆa y bx =- 4.1≈ 22．设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a △R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．参考答案：1．B 【解析】 【分析】由对数函数及指数函数的性质可化简集合，利用交集的定义即求. 【详解】由题意得()0.5log 210x -≥，即()0.50.5log 21log 1x -≥， 根据对数函数的单调性得0211x <-≤，解得112x <≤， 所以集合112A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，20x ≥得23x ≤，故集合23B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭， 所以12,23A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦.故选：B ． 2．C 【解析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解. 【详解】 由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a ii i i -----+==++-， 因为32a ii-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =.故选：C 【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠. 3．C 【解析】 【分析】A ：根据向量加法的性质即可判断；B ：根据充分条件的概念即可判断；C ：根据含有一个量词的命题的否定的改写方法判断即可；D ：根据空间线面关系即可判断. 【详解】A ：若+=-a b a b ，则,a b 方向相反且a b ≥，故A 错误；B ：若3x π=，则sin x =“3xπ=”是“sin x =的充分条件，故B 错误； C ：命题p ：0x ∃∈R ，0e 1<x ，则其否定为p ⌝：x ∀∈R ，e 1x ≥，故C 正确； D ：如果m n ⊥，m α⊥，n β，则无法判断α、β的位置关系，故D 错误. 故选：C. 4．C 【解析】 【分析】由题知1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，则121n n a n a +=-，利用202120212020201920202019a a a a a a =⨯即可求解． 【详解】 由题意可得：323a a =，211a a =，32212a a a a -=， 根据“等差比数列”的定义可知数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，则11(1)221n na n n a +=+-⨯=-， 所以20212020220201220191a a =⨯-=⨯+，20202019220191aa =⨯-， 所以2202120212020201920202019(220191)(220191)420191a a a a a a =⨯=⨯+⨯-=⨯-． 故选：C 【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：△求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；△将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 5．D【解析】 【分析】令()22ln 1f x x x =--，即可得到()ln 33f a =，()1f b e =，()ln f c ππ=，利用导数说明()f x 在()0,1的单调性，再令()ln xg x x=，利用导数说明其单调性，即可得到ln ln 313eππ<<，从而得到()()()f c f a f b <<，即可得解； 【详解】解：令()22ln 1f x x x =--，()0x >，所以()2ln 32ln 13f a a a =--=，()212ln 1f b b b e =--=，()2ln 2ln 1f c c c ππ=--=，所以()()()21122x x f x x x x+-'=-=，因为(),,0,1a b c ∈，所以当()0,1x ∈时()0f x '<，即()f x 在()0,1上单调递减，令()ln x g x x =，()0x >，则()21ln xg x x -'=，所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，函数单调递减，所以()g x 在x e =处取得极大值即最大值，()()max 1g x g e e ==，因为3e π>>，所以ln ln 313eππ<<，即()()()f c f a f b <<，所以c a b >>，故选：D 6．C 【解析】 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，设点P 的坐标为(0，λ，2λ)，λ△[0,1]，点Q 的坐标为(1－μ，μ，0)，μ△[0,1]，△PQλ＝19，μ＝59时，线段PQ 的长度取得最小值23.7．D 【解析】 【分析】由点关于线的对称点的性质可知，垂直平分，所以能得到122F PF π∠=，12PF b =，又122F F c =，从而22PF a =，再结合抛物线的定义得到关于a ,c 的关系式，计算得到离心率.【详解】由题意1F 关于双曲线的一条渐近线的对称点为P ，且1F 到渐近线的距离为b ， △12F PF △中，122F PF π∠=，12PF b =，又122F F c =，所以22PF a =，△12tan bF F P a∠=，△12cos aF F P c∠=，又点P 在抛物线24y cx =上， △12F F 的长度为抛物线中抛物线的焦点到抛物线的准线的距离， △由抛物线的定义得到：122212cos F F PF PF F F P =+∠， △12222cos c a a F F P =+∠，△210e e --=，△e =故选：D.【点睛】关键点点睛：充分利用“点关于线的对称点的性质：垂直平分+抛物线的定义”. 8．A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和对称性画出函数图像，()22y k x =-+过定点()2,2，计算直线和曲线相切的情况计算斜率得到答案. 【详解】当2x ≤时，()()()'1x xf x xe f x x e =∴=+函数在(),1-∞-上单调递减，在()1,2-上单调递增，且()11f e-=-()()22f x f x -=+，函数关于2x =对称，()22y k x =-+过定点()2,2如图所示，画出函数图像：当()22y k x =-+与()xf x xe =相切时，设切点为()00,x y则()000000022122x x y x e x e k x x --+===-- 根据对称性考虑2x =左边图像，根据图像验证知00x =是方程唯一解，此时1k = 故答案为()()1,00,1k ∈-⋃【点睛】本题考查了零点问题，对称问题，函数的单调性，画出函数图像是解题的关键. 9．ABD 【解析】 【分析】对于A ，直接利用已知的数据可求出a 的值；对于B ，利用所有频率和为1求解b ；对于C ，利用平均数的定义求解即可；对于D ，由频率分布直方图可得[]90,100内的概率为0.16，从而可得结论 【详解】由题知，1550100.03a =÷÷=，选项A 正确；()10.0080.0120.0160.03010100.034b =-+++⨯÷=⎡⎤⎣⎦，选项B 正确；本次思想政治考试平均分估计值为550.08650.12750.34850.3950.16⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=78.4，选项C 错误；可知在[]90,100内的概率为0.16，从高三学生中随机抽取4人，其中3人成绩在[]90,100内的概率为()()334C 0.1610.16⋅-，选项D 正确， 故选：ABD ． 10．ABD 【解析】 【分析】对函数进行化简，转化为正弦型函数，进而利用性质判断出结果即可.解：函数()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-233212sin 2x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭32cos3x x =-143cos32x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭4sin 36x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的周期为223T ππω==，故A 选项正确； 当π9x =-时，4sin 34996f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以直线π9x =-是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 选项正确； 当10π,π9x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，则7π219π3,66x π⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知，此时()f x 单调递减，故C 选项错误；由()4sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可知，当sin 316x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值为4-，故D 选项正确.故选：ABD. 11．BCD 【解析】 【分析】由抛物线的定义和焦半径公式，列出方程求得4p =，可判定A 不正确；分别过点A ，B 作准线的垂线，由抛物线的定义和梯形的中位线，得到圆心到准线的距离等于半径，可判定B 正确；根据焦点弦和焦半径公式和弦长公式，可判定C 正确；设直线l 的方程为2px my =+，联立方程组，求得1212,y y x x ++，结合sin d PMN MP ∠=，可判定D 正确.【详解】由题意，抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2pF ，准线方程为2p x =-，对于A 中，由抛物线上的点(2,)E t 到点F 的距离为4，抛物线的定义，可得242p+=，解得4p =，所以抛物线的方程为28y x =，所以A 不正确；对于B 中，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B ，如图所示， 则线段AB 的中点为P 到准线的距离为112AA BB PQ +=根据抛物线的定义，可得11,AF AA BF BB ==，所以11AB AF BF AA BB =+=+， 所以12PQ AB =，即圆心P 到准线的距离等于圆的半径， 即以AB 为直径的圆与准线相切，所以B 正确；设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的定义，可得12AB AF BF x x p =+=++， 当直线l 的斜率不存在时，可设直线l 的方程为2p x =，联立方程组222p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12,==-y p y p ，此时2AB p = 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2py k x =-，联立方程组2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22222(2)04k p k x k p p x -++=， 可得21222k p p x x k ++=，所以212222222k p p pAB x x p p p p k k +=++=+=+>， 综上可得，线段AB 长度的最小值是2p ，所以C 正确；设直线l 的方程为2p x my =+，联立方程组222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y pmy p --=， 可得21212,2y y pm y y p +==-，则21212()2x x m y y p pm p +=++=+，则21222AB x x p pm p =++=+则点P 到y 的距离为21222x x pd PC pm +===+， 所以2221112sin 1112(1)222ppm PC d PMN MP pm p m AB +∠====-≥-=++， 所以1sin [1)2PMN ∠∈，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】解决直线与抛物线的弦及弦长问题的常用方法：1、有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用抛物线的焦点弦公式，若不过焦点，则用圆锥曲线的一般弦长公式求解；2、涉及到抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代换”等解法. 12．ABD 【解析】 【分析】A 由题设结合线面垂直的判定证AE ⊥面1B EC ，再由面面垂直的判定即可判断正误；B 若G '是1AB 的中点，应用平行四边形的性质有//CF EG '，可知1AB 与CF 的夹角为AG E '∠或其补角，进而求其大小；C 根据A 、B 的分析，当1B E ⊥面ABCD 时1B AED V -最大，求其最大值；D 确定F 的轨迹与G 到G '的轨迹相同，且G 到G '的轨迹为以AE 中点为圆心，12B E为半径的半圆，即可求轨迹长度. 【详解】A ：由2AB =，120BAD ∠=︒，E 为边BC 的中点知：3B π∠=且1BE =，易知AE EC ⊥，1AE B E ⊥，而1EC B E E ⋂=，故AE ⊥面1B EC ，又AE ⊂面1AB E ，所以面1⊥AB E 面1B EC ，正确；B ：若G '是1AB 的中点，又F 为1B D 的中点，则//G F AD '且12G F AD '=，而1122EC BC AD ==且//EC AD ，所以//G F EC '且G F EC '=，即FG EC '为平行四边形，故//CF EG '，所以1AB 与CF 的夹角为AG E '∠或其补角，若G 为AB 中点，即AG E AGE '∠=∠，由A 分析易知：23AGE π∠=，故1AB 与CF 的夹角为3π，正确；C ：由上分析知：翻折过程中当1B E ⊥面ABCD 时，1B AED V -最大，此时1111112332B AED AEDV B E S-=⋅⋅=⨯⨯=D ：由B 分析知：EG CF '=且//EG CF '，故F 的轨迹与G 到G '的轨迹相同，由A 知：B 到1B 的轨迹为以E 为圆心，1B E 为半径的半圆，而G 为AB 中点，故G 到G '的轨迹为以AE 中点为圆心，12B E 为半径的半圆，所以F 的轨迹长度为112222B E ππ⨯⨯=，正确.故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：应用线面、面面垂直的判定判断面面垂直；根据线线角的定义，结合平行四边形的性质找到线线角的平面角并求大小；判断动点的轨迹，由圆的性质及棱锥的体积公式求1B AED -的最大体积以及F 的轨迹的长度. 13．24 【解析】 【详解】分析：由题意根据()()4421211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，利用二项展开式的通项公式，求得a 2的值．详解：由题意根据()()4421211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，()()22221421241T C x x +=-=-⎡⎤⎣⎦. 即答案为24 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 14．12【解析】利用导数求出切线方程，分别得到两点的坐标，即可得到结果. 【详解】 由2yx ，则2y x '=.设点()()2000,0M x x x≠,则曲线C 在M 处的切线的斜率为02k x =.所以曲线C 在M 处的切线方程为：20002()y x x x x -=-.即2002y x x x =-.所以()2000,0,2x A B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由,,M A B 三点的坐标可得，A 点为BM 的中点. 所以12MA MB =. 故答案为：12 【点睛】本题考查利用导数求切线方程和根据点的坐标求线段的长度之比，属于中档题. 15．1 【解析】 【分析】根据题意写出两个电子狗爬行的路线，结合周期性可求结果. 【详解】由题意，黑"电子狗"爬行路线为111111A C A D A D C C CB BA →→→→→→，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，所以黑"电子狗"爬完2008段后实质是到达点C ;同理，黄"电子狗"也是过6段后又回到起点.111111AB BB B C C D D D DA →→→→→→黄“电子狗"爬完2009段后到达点D ; 此时的距离为1CD =. 故答案为: 1.16．3ln 5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】由条件求得()()241322ln 2m m x x x x m m ++-+=--，令222+=--m mt m m ，则原式ln =t ，利用二次函数的性质求得1t的范围，可得t 的范围，从而求得ln t 的范围，即为所求.【详解】由方程()1110x m e +--=的两根为1x ，()212x x x <，可得1111xe m -=+，2111xe m -=+， 求得1ln1mx m =+，22ln 1m x m +=+，由方程10xe m --=的两根为3x ，()434x x x <，可得31-=x e m ，41-=x e m ，求得()3ln 1x m =-，()4ln 1x m =+， △()()()()24132221ln lnln12m m m mx x x x m m m m +-++-+=-=+--，令222+=--m mt m m，则原式ln =t ，且 221221111()24t m m m =-+=-+++-， 由10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得21130()244<+-<m ，228113()24m >+-， △21251113()24tm =-+>+-，305t <<， 故原式3ln ln 5t ⎛⎫=∈-∞ ⎪⎝⎭，，故答案为3ln 5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题主要考查指数函数的综合应用，不等式的基本性质，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于难题．17．（1）π；（2）当3x π=时，()max 1f x =；当12x π=-时，()min 32f x =-.【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解..（2）根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得到22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）()21sin cos 12f x x x x =，1sin 2214x x =-， 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）△,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，△22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当233x ππ-=，即3x π=，()max 1f x =，当232x ππ-=-，12x π=-时，()()min 131122f x =⨯--=-.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．18．（1）*4,n b n n n =-∈,42n n a -=,*n n =,*1(7),2n S n n n n =⋅-⋅∈；（2）44441(7)22,(7)231(7)22,(8)2n n n n n n n T n n ----⎧--⋅+-≤⎪⎪=⎨⎪-⋅-+≥⎪⎩【解析】 【分析】(1)由已知得112122log log log n n n n n na b b a a a +++-=-=,可得出数列{}n b 为等差数列，求得其公差，可得数列{}n b 的通项公式，及n S ，再由对数的运算可得数列{}n a 的通项公式; (2)由（1）得451(7)2||(7)22n n n n n S c a n n n --==⋅-⋅=-⋅,根据错位相减法求得数列5(7)2n n c n -'=-⋅的前n 项和，再分当7n ≤时和当8n ≥时分别求得.【详解】(1)对*2121,log ,log n n n n n n b a b a -+∈==,则112122log log log n n n n n na b b a a a +++-=-=,因为{}n a 为等比数列,则1n n a a +为定值.则12log n na a +为定值,则数列{}nb 为等差数列. 42425log log 0,11b a b ====,则*4,n b n n n =-∈,422n a n n a -==,*n n ∈,*1(7),2n S n n n n =⋅-⋅∈; (2)451(7)2||(7)22n n n n n S c a n n n --==⋅-⋅=-⋅, 设5(7)2n n c n -'=-⋅,n T '为数列{}n c '的前n 项和,则有:4325(6)2(5)2(4)2(7)2,(*)n n T n ----'=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯ 32142(6)2(5)2(4)2(7)2,(**)n n T n ----'=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯(*)式-(**)式,得:()()314325444212(6)2222(7)2(6)2(7)212n n n n n T n n ---------⋅-'-=-⨯+++--⨯=-⨯+--⋅+-,441(7)222n n n T n --'=-⨯--.当7n ≤时,441(7)222n n n n T T n --'=-=--⋅+-; 当8n ≥时,4444471312(7)2221(7)2222n n n n n n T T T n n ----''=-=-⋅-++-=-⋅-+,即44441(7)22,(7)231(7)22,(8)2n n n n n n n T n n ----⎧--⋅+-≤⎪⎪=⎨⎪-⋅-+≥⎪⎩【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，前n 项和的求解方法，以及运用错位相减法求数列的和，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2（3）存在，34BP BD = 【解析】 【分析】（1）证明DG AE ⊥，再根据面面垂直的性质得出DG ⊥平面ABCE ； （2）分别计算DG 和梯形ABCE 的面积，即可得出棱锥的体积；（3）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证明//PCF 平面ADE ，故//CP 平面ADE ，根据//PF AD 计算BP BD的值. 【详解】（1）因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥，因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =， DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ；（2）在直角三角形ADE 中，2AD DE ==，AE ∴=12DG AE ∴== 所以四棱锥D ABCE -的体积为()111142332D ABCE ABCE V S DG -=⋅=⨯⨯+⨯=梯形； （3）如图，过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ， 因为//CF AE ，AE ⊂平面ADE ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ，同理//PF 平面ADE ，又因为CF PF F ⋂=，所以平面//PCF 平面ADE ，因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ，所以BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，//AE CF ，//AF CE∴四边形AECF 是平行四边形，1AF CE ∴==，3FB ∴=，又//PF AD ，34BP BF BD AB ∴==. 20．（△）2241x y +=;（△）（△）见解析；（△）12S S 的最大值为94，此时点P的坐标为1)4【解析】【详解】试题分析：（△）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（△）（△）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（△）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标． 试题解析：（△=2a b =． 因为抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,2a b ==， 所以椭圆的方程为2241x y +=．（△）（1）设2,(0)2m m P m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =可得y x '=， 所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为2()2m y m x m -=-，即22m y mx =-． 设()()()112200,,,,,A x y B x y D x y ，联立方程组2222m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理可得()223441410m x m x m +-+-=，故由其判别式0∆>可得0m <<3122441m x x m +=+， 故312022241x x m x m +==+, 代入22m y mx =-可得()202241m y m =-+， 因为0014y x m =-，所以直线OD 的方程为14y x m=-． 联立14y x m x m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得点的纵坐标为14y =-，即点M 在定直线14y =-上． （2）由（1）知直线l 的方程为22m y mx =-， 令0x =得22m y =-，所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又()2322212,,,0,,2241241m m m P m F D m m ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2111||124S GF m m m ==+，()()22202211||2841m m S PM m x m +=⋅-=+， 所以()()()221222241121m m S S m ++=+，令221t m =+，则1222(21)(1)112S t t S t t t -+==-++， 因此当112t =，即2t =时，12S S 最大，其最大值为94，此时m =满足0∆>， 所以点P 的坐标为14⎫⎪⎪⎝⎭，因此12S S 的最大值为94，此时点P 的坐标为14⎫⎪⎪⎝⎭． 考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力．21．(1)对A 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为72.93(亿元)；(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小.【解析】【分析】(1)根据模型和相关系数公式计算比较即可，然后将x ＝17代入较好的模型即可预测直接收益；(2)根据回归方程过样本中心点(,x y )求出ˆa，再令x ＝20算出预测的直接收益，即可算出投入20亿元时的总收益，与(1)中的投入17亿元的直接收益比较即可.(1)对于模型△，对应的15222740485460=387y ++++++=， 故对应的()772221171750i i i i y y y y ==-=-=∑∑， 故对应的相关指数2179.1310.9551750R =-≈， 对于模型△，同理对应的相关指数2220.210.9881750R =-≈， 故模型△拟合精度更高、更可靠.故对A 型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为21.314.472.9ˆ3y=≈(亿元).另解：本题也可以根据相关系数的公式，直接比较79.13和20.2的大小，从而说明模型△拟合精度更高、更可靠.(2)当17x >时， 后五组的2122232425235x ++++==，68.56867.5+66+65675y ++==， 由最小二乘法可得()ˆ670.72383.1a=--⨯=， 故当投入20亿元时公司收益(直接收益＋国家补贴)的大小为：0.72083.1+574.172.93-⨯+=>，故投入17亿元比投入20亿元时收益小.22．（I ） 见解析（II ） 1[,)2a ∈+∞. 【解析】【详解】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（△）问，对()f x 求导，再对a 进行讨论，从而判断函数()f x 的单调性；第（△）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.试题解析：（△）2121()2(0).ax f x ax x x x--=>'= 0a ≤当时，()'f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减. 0a >当时，由()'f x =0，有x =此时，当x ∈（时，()'f x <0，()f x 单调递减； 当x ∈+)∞时，()'f x >0，()f x 单调递增. （△）令()g x =111ex x --，()s x =1e x x --. 则()s x '=1e 1x --.而当1x >时，()s x '>0，所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增. 又由(1)s =0，有()s x >0，从而当1x >时，()f x >0.当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<.故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当102a <<>1. 由（△）有(1)0f f <=,从而0g >， 所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. 当12a ≥时，令()()()(1)h x f x g x x =-≥， 当1x >时，3212222111112121()20x x x x x h x ax e x x x x x x x x --+-+=-+->-+-=>>'， 因此，()h x 在区间(1,)+∞单调递增.又因为(1)=0h ，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立. 综上，1[,)2a ∈+∞. 【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．。
衡阳市八中高三第二次月考数学试题答案.docx
衡阳市八中2017届高三第二次月考数学试题答案 （考试内容：集合与逻辑用语、函数、导数、三角函数） 共150分，考试用时120分钟。
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 答案：B2.已知a 函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =( ) (A)-16 (B) -2 (C)16 (D)2 【答案】D3.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ， b ，c 的大小关系是（A ）A 、a ＞c ＞bB 、a ＞b ＞cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4．函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象作以下平移得到（ D ）A. 向右平移π6B. 向左平移π6C. 向右平移 π12D. 向左平移 π125．已知函数31(),3(),(2log 2)3(1),3xx f x f f x x ⎧≥⎪=+⎨⎪+<⎩则的值为（ B ）A ．227-B ．154C ．227D ．54-6. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（B ） A ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小正周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小正周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭7．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos = （ A ） A ．97-B ．31- C ．31 D ．978.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（ A )【解析】：由题意得，x a =，x b =为()f x 的零点，由图可知，01a <<，1b <-，∴()g x 的图象可由xy a =向下平移b -个单位得到，∵01a <<，由于1-<b ，1->∴b 故可知A符合题意，故选A ．9．设12322()log (1)2x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则不等式()2f x >的解集为 （ C ） A ．(1,2)(3,)⋃+∞ B ．(10,)+∞C ．(1,2)(10,)⋃+∞D ．（1，2）10. 已知函数1()()2ln ()f x a x x a R x =--∈，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的范围为( B )A ．[2e ，+∞) B ．(0，+∞) C ．[0，+∞) D ．(2e，+∞) 【答案】B11．已知函数()224|log |02151222x x f x x x x <<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 满足()()()()f a f b f c f d ===其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ B ）. A ．()16,21 B ．()16,24 C ．()17,21 D ．()18,24 【答案】B.1,0log 2=∴=∴ab ab 从而的两根是方程则记,12521,,log 422t x x d c t b =+-=2416,2416,40),12(2<<∴<<∴<<-=abcd cd t t cd 而512π 3π-xy 2O12．已知定义在R 上的奇函数f (x )的导函数为)(x f '，当x <0时，f （x ）满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则f (x )在R 上的零点个数为( A )A .1B .3C . 5D .1或3 【答案】A仅一个零点又时时)(,0)0(.0)()(0.0)(,0x f f x f x f x x f x ∴=>--=>∴<<二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B = 【答案】{1,4}14.以曲线x y 2cos =为曲边的曲边形(如下图阴影部分)面积为45|2sin 21|2sin 212cos 2cos :434412434412=-=-=⎰⎰ππππππππx x xdxxdx S 解15．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则(0)f 的值是 .解：353(),,241234T T ππππω=--=∴=∴=把5(,2)12π代入，得552sin()22662k ππϕπϕπ+=⇒+=+ 2,,3223k k Z ππππϕπϕϕ∴=-+∈-<<∴=-()2sin(2)(0)2sin()333f x x f ππ∴=-∴=-=-16. 已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在(1,2)处的切线方程式为_____________________________. 【答案】2y x = 【解析】试题分析：当0x >时，0x -<，则1()x f x ex --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()x f x f x e x -=-=+，所以1()1x f x e -'=+，则切线斜率为(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．三 解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
2021届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考文科数学试卷
2021年湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|13A x x =-≤≤，集合1|0B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}|10x x -<< B ．{}|10x x -≤< C ．{}|0x x < D ．{}|3x x ≤2．1-=m 是直线()0112=+-+y m mx 和直线093=++my x 垂直的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．50404．某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．323a πB ．33a πC ．36a π D ．3a π5．等差数列{}n a 中，564,a a +=则10122log (222)a a a ⋅⋅⋅=（ （a正视图 左视图俯视图A ．40B ．20C ．10D ．2+52log 6．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-则sin 2θ=（ ） A ．1 B ．3 C ．12 D ．35 7．若函数kx x x f -=sin )(存在极值，则实数k 的取值范围是（ ）A ．)1,1(-B ．)1,0[C ．),1(+∞D ．)1,(--∞8．给出下列命题,其中正确命题的个数为：（ ）①在区间),0(+∞上，函数1-=x y ，x y =，2)1(-=x y ，3x y =中有三个增函数； ②若03log 3log <<n m ，则10<<<m n ；③若函数)(x f 是奇函数，则)1(-x f 的图象关于点)0,1(对称；④若函数323)(--=x x f x ，则方程0)(=x f 有两个实数根.A ．1B ．2C ．3D ．49．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A,B,C 所对的边，C=3π,若2OD aOE bOF =+且D 、E 、F 三点共线（该直线不过点O ），则 △ABC 周长的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4二、填空题10．以下四个命题，其中正确的序号是____________________．①从匀速传递的产品生产流水线上，每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程0.212ˆyx =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；④分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值为k ，当k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大.11．设i 是虚数单位，若复数()10a a R 3i-∈-是纯虚数，则a 的值为______． 12．在边长为2的正△ABC 中，则=⋅BC AB 。
衡阳市八中单独招生考试数学试卷
衡阳市八中单独招生考试数学试卷A、1B、2C、3轴的一个交点B （4, 0）,直线y2= mx+ n（m^ 0）与抛物线交于A、B两点，下列结论:①2a + b= 0;②abc> 0③ 方程ax2+ bx+ c= 3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（一1, 0）;⑤当1v x v 4时，有y2 v %,其中正确的是（）A、①②③B、①③④C、①③⑤D、②④⑤、选择题1、满足| a -b | ab = 1 的非负整数（a,b）的个数是（）2、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE= BC, P为CE上任意一点，PQ丄BC于点Q , PR丄BE于点R,贝U PQ+ PR的值是（） 2A、-31B、-2C、3、如图，为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGBI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上，若AB= 5, BG = 3,则厶GFH的面积为何?A、10B、114、如图，已知双曲线1 5C、2x x xPA1y二45D、—4丄x轴交于点A, PA, PO分别交双曲线于B, C两点，则△ PAC的面积为（）A、1B、1.5C、25、如图是抛物线y1 =ax2bx，c（a =0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A (1, 3), 与x二、填空题么空AG12、在直线坐标系中，直线y = x + 1与y 轴交于点A,按如图试作正方形 A 1B 1C 1O 、A 2B 2C 2C 1、6、如图，Rt A ABC 中，AC = BC = 2,正方形 CDEF 的顶点D 、F 分别在 AC 、BC 边上，设 CD 的长度为x ,A ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ,则下列图象中能表示 y 与x7、 已知关于 x 的不等式组 x _ a i 05 —2x .1 有且只有一个整数解时，则 a 的取值范围是如果实数 x 、y 满足2x _6xy 亠9 y _4x 亠4 =09、 已知实数 m,n 满足3m 2 m n 则一—— n m10、如图，在O O 的内接五边形中，/ CAD = 35 °11、如图，△ ABC 的两条中线 AD 和BE 相交于点G ,过点E 作EF // BC 交AD 于点F ,那 之间的函数关系的是（ ) 20 xC AB DBA3B3C1C2…，A i、A?、A3…在直线y= x+ 1上，点C i、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、S n,贝y S n的值为______ .三、解答题13、如图，在Rt A ABC中，/ ABC = 90 ° AC的垂直平分线分别与与AC、BC及AB的延长线相交于点D、E、F，且BF = BC, O O是厶BEF的外接圆，/ EBF的平分线交BF于点G , 交O O 于点H，连接BD , FH。
2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第六次月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第六次月考数学（理）试题一、单选题1．设集合()2{|log 2}A x y x ==-， 2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】B【解析】A={x|y=log 2（2﹣x ）}={x|x ＜2}，B={x|x 2﹣3x+2＜0}={x|1＜x ＜2}， 则∁A B={x|x≤1}， 故选B ．2．设i 为虚数单位，若()2a iz a R i -=∈+是纯虚数，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】按照复数的代数形式的乘除运算，计算复数z ，再根据复数z 是纯虚数即实部为零，得到方程解得. 【详解】 解：()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a z i i i i ---+------====+++-Q 又因为复数z 是纯虚数2105a -∴= 解得12a =故选：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的相关概念，属于基础题. 3．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元【答案】D【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：月1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 份收20 30 20 10 30 30 60 40 30 30 50 30 益-月总收益所以7月收益最高，A选项说法正确；4月收益最低，B选项说法正确；16-月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C选项说140万元，712-=万元，所以D选项说法错法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100误.故选D.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.4．已知sin()32πα-=2020cos()3πα+=（ ）A ．B ．C ．12D ．12-【答案】D【解析】利用诱导公式及二倍角公式将2020cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭变形为212sin 32πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再代入求值即可. 【详解】 解：2020cos cos 673cos cos 233332ππππααπααπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Qcos 232πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭212sin 32πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭sin()322πα-=-Q 22112sin 12322πα⎛⎛⎫∴--=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 20201cos 32πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭故选：D5．已知12121ln ,2x x e -==，3x 满足33ln xe x -=，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【答案】A【解析】根据对数的化简公式得到11ln202x ln ==-<,由指数的运算公式得到122x e-=()0,1，由对数的性质得到33ln x e x -=>0,31x ∴>，进而得到结果.【详解】 已知11ln202x ln ==-<,122 x e -==()0,1e ∈,33ln x e x -=>0,31x ∴> 进而得到123x x x <<. 故答案为A. 【点睛】本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差和0比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判断最值和0的关系. 6．函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在(0,)2π内正负情况，即可排除所有错误选项. 【详解】21()(1)sin sin 11xx xe f x x x e e-=-=++ 则111()sin()(sin )sin ()111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D. 当(0,)2x π∈时，1,sin 0x e x >>即()0f x <，排除A.故选:C. 【点睛】解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值的正负进行判断.7．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190-B ．5101900-C ．510990-D ．4109900- 【答案】B【解析】根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为110当阿基里斯和乌龟的速度恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为552110011********* (101900110)-⎛⎫- ⎪-⎝⎭+++==- 故选B8．函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，且()f x 在()0,π上单调，则下列说法正确的是( ) A ．12ω=B．8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C【解析】由题意得函数()f x 的最小正周期为2T πω=，∵()f x 在()0,π上单调， ∴2T ππω=≥，解得01ω<≤．∵8f π⎛⎫=⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴3842ωππϕωπϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2323ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22()2sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 对于选项A ，显然不正确． 对于选项B，227()2sin 2sin 838312f ππππ⎛⎫-=-⨯+== ⎪⎝⎭，故B 不正确． 对于选项C ，当2x ππ-≤≤-时，220333x ππ≤+≤，所以函数()f x 单调递增，故C 正确．对于选项D ，32327()2sin 2sin 043436f ππππ⎛⎫=⨯+=≠ ⎪⎝⎭，所以点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 图象的对称中心，故D 不正确．综上选C ．点睛：解决函数()()sin f x A x ωϕ=+综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数,,A ωϕ的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将x ωϕ+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．9．AOB V 中，OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，，满足||2a b a b ⋅=-=r r r r，则AOB ∆的面积的最大值为（ ） AB ．2C．D．【答案】A【解析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及基本不等式得到||||4a b ≤rr ，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=r rr r ,即2cos ||||AOB a b ∠=r r22(||||)4sin 1|||2|||||a b AOB a b a b -⎛⎫∴∠=-= ⎪⎝⎭r r r r r r 22||||2||2a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r ，即228||||2||||a b a b =+≥r r r r 所以||||4a b ≤rr所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=32222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-r r r r r r r r r r故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），1F ，2F 分别为其左、右焦点，O为坐标原点，若点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意，1(,0)F c -，2(,0)F c ，设一条渐近线方程为by x a=，则2F 到渐近线的距离为b ，设2F 关于渐近线的对称点为M ，2F M 与渐近线交于A ，则1MF c =，22MF b =，A 为2MF 的中点，又O 是12F F 的中点，1//OA F M ，12F MF ∴∠为直角，12MF F ∴V 为直角三角形，∴由勾股定理得22244c c b =+，()22234c c a∴=-，224ca ∴=，2c a ∴=，则2e =.故选：C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）．①存在P ，Q 的某一位置，使AB PQ ∥ ②BPQ V 的面积为定值③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面 ④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥ A ．①②④ B ．①③C ．②④D ．①③④【答案】D【解析】依次判断，每个选项：①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确；取特殊位置BPQ V 的面积为变化，故错误；③假设不成立推出矛盾，正确；④BC ⊥平面PFGQ ，正确.得到答案. 【详解】①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确；②当P 与A 重合时：212BPQ S a =V ；当P 与1D 重合时：2BPQ S a =V （a为正方体边长），错误；③当0PA >时，假设直线1PB 与直线AQ 是共面直线，则AP 与1B Q 共面，矛盾，正确；④如图所示：,F G 分别为,P Q 在平面内的投影，易证BC ⊥平面PFGQ ，正确. 故选：D【点睛】本题考查了空间几何中直线的平行，垂直，异面，意在考查学生的空间想象能力. 12．若函数12()2log (0)x x f x ex a a -=+->在区间(0,2)内有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．22,2)e B ．(0,2]C ．22(2,2)e + D ．3424(2,2)e +【答案】D【解析】分离常数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出实数a 的取值. 【详解】 解：()122log 0x x f x ex a -=+-=Q12log 12x e a x -∴=+在()0,2内有两解，令()112x e f x x -=+则()()1212x e x f x x--'= ()f x ∴在()0,1为减函数，在()1,2上为增函数，∴当1x =时，取得最小值()()11min311212e f x f -==+=⨯且当0x →时，()f x →+∞，()21421224e e f -+=+=⨯ 234log 24e a +∴<<342422e a +∴<<故选：D 【点睛】本题考查函数的零点问题，参变分离是解答的关键，属于中档题.二、填空题 13．若ax 2+的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______.【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此【考点】二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项往往是考查的重点.本题难度不大，易于得分.能较好地考查考生的基本运算能力等.14．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则AB 的长为_________． 3【解析】建立空间直角坐标系，列出等式求解即可． 【详解】解：取BD 中点O ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB m =，等边三角形ABD 中心为1I ，等边三角形BCD 中心为2I ，外接球球心为I ， 则3)A m ，(.0,0)B m ，(,0,0)D m -，3,0)C m ，13)I ，23,0)I ，33)I ， 则半径为53R IA m ==u u r ， 因为外接球表面积为245S R ππ==， 553=，所以3m =，所以23AB m =， 故选：B ． 【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积计算方法，属于中档题．15．已知数列{}n a 满足11a =，135n n a a n ++=+，*n N ∈，则(1)21n a -=________， (2)2111(1)i i ni i a a +=+-=∑_____________.【答案】32n -. 293322n n--. 【解析】（1）将已知等式中的n 换为1n -，作差即求得；（2）将所求式子，整理后，运用等差数列的定义和求和公式，计算可得所求和． 【详解】解：（1）11a =，135n n a a n ++=+①， 当1n =时，27a =可得132n n a a n -+=+，2n …②， ①-②得113n n a a +--=，2n …； {}21n a -∴为以11a =为首项，3d =的等差数列，2132n a n -=-∴（2）12233445212221n n n n a a a a a a a a a a a a -+-+-+⋯-21343522121242()()()(3)()n n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-=-++⋯+由（1）得2{}n a 为公差为3的等差数列，又由128a a +=可得27a =，则212233445212221(1)933(3)(73)22n n n n n n n na a a a a a a a a a a a n -+-+-+-+⋯+-=-+=-g ． 故答案为：32n -；29332n n+-【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．16．如图，哈尔滨市有相交于点O 的一条东西走向的公路l 与一条南北走向的公路m ，有一商城A 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路PQ ，点,P Q 分别在公路,l m 上，且要求PQ 与椭圆形商城A 相切，当公路PQ 长最短时，OQ 的长为________千米.3【解析】设PQ 为y kx b =+,联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,利用0∆=可得()22114k b =-,则()2222222114b b PQ b b kb =+=+-,利用均值不等式求最值,再由取等条件求得OQ 即可 【详解】由题,设PQ 为y kx b =+,由图易得1,2b b k >->,联立2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,则()()222124104kb k b ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭, 即()22114k b =-, 因为P 为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭,Q 为()0,b , 则()22222222222244411114b b b PQ b b b b k b b b =+=+=+=++--- ()22451591b b =++-≥+=-,当且仅当22411b b -=-,即b =时取等,即OQ =【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=． （1）求角B 的值； （2）若△ABC 的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．【答案】（1）23B π=；（2【解析】（1）根据tan(sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=，化简可得cossin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，然后求出B 的值； （2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，利用向量的模和基本不等式可求BD u u u r 的取值范围，即可得到BD的最小值. 【详解】 解：（1）由tan(sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A Ca b a +=， 即(coscos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=. 由正弦定理得sin cos sin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠，所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==，所以1cos(0)2222B B π=<<， 所以23B π=，即23B π=.（2）由△ABC 的面积为1sin 2ac B =12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r，所以2221(2)4BD BA BC BA BC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac u u u r =++≥-==，当且仅当a c ==“=”，所以BD u u u r≥BD .【点睛】本题考查了三角恒等变换，面积公式和基本不等式，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．18．已知正方形ABCD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C 的大小为()0θθπ<<.（1）证明：点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上； （2）求角θ的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）15sin 4θ=. 【解析】（1）过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD ．证明G 在CD 的垂直平分线上，则点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上，（2）以G 点为坐标原点，以GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过G 点作平行于DC 的向量为x 轴建立空间直角坐标系．设正方形ABCD 的边长为2a ，分别求出平面DEC 与平面ADE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得角θ的正弦值． 【详解】（1）证明：过点A 作AG ⊥平面BCDE ，垂足为G ，连接GC ，GD. 因为△ACD 为等边三角形，所以AC=AD ，所以点G 在CD 的垂直平分线上. 又因为EF 是CD 的垂直平线，所以点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上. 另证：过点A 作AG ⊥EF ，再证AG ⊥CD ，从而证得AG ⊥平面BCDE ， 即点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上（2）解：以G 为坐标原点，GA 所在直线为z 轴，GF 所在直线为y 轴，过点G 作平行于DC 的直线为x 轴建立空间直角坐标系.设正方形ABCD 的边长为2a ，连接AF ， 则3AF a =，AE a =，2EF a =所以333(0,0,0),(0,0,),(,,0),(,,0),(0,,0)2222aG A a C a a D a a E --设平面ADE 的一个法向量为(),,m x y z =u r ，则3302·20m AD ax ay az m DE ax ay ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪=+=⎩u uu v v u u u v v ， 令1y =，得32,1,3m u r 骣÷ç÷=--ç÷ç÷ç桫，又平面CDE 的一个法向量()0,0,1n =r 所以1cos 4m n m n u r r g u r r q==，15sin 4θ∴=. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，属于中档题． 19．如图，已知椭圆的长轴，长为4，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线交椭圆于、两点，直线，的斜率之积为.（1）求椭圆的方程； （2）已知直线，直线，分别与相交于、两点，设为线段的中点，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由长轴长为4可得a ，设出点B ，C 的坐标，利用斜率之积为，可得，即可得到b 2，可得椭圆方程；（2）设直线BC 的方程为：y ＝k （x ﹣1）与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，直线的方程为：y（x +2）与x=4联立，可得点M ，N 的坐标，可得线段MN 的中点E ．利用根与系数的关系及其斜率计算公式可得，只要证明1即可．【详解】 （1）设，，因点在椭圆上，所以，故.又，， 所以，即，又，所以故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为：，，，联立方程组，消去并整理得，，则，.直线的方程为，令得，同理，；所以，代入化简得，即点，又，所以，所以.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知函数()()e sin 2R 2x f x ax x a π⎛⎫=+--∈⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()f x 在区间[],ππ-上的值域. （2）对于任意120x x π<<<，都有()()21212e e2x x f x f x a π->---，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()()4e 34e ,22ππππ-⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦(2) 1a π≥ 【解析】试题分析：（1）先求导数，再求()sin cos 12g x x x x π=++--导数，得()02g x g π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，从而确定()0f x '≤，再根据()f x 单调性得值域（2）先整理不等式得()()21212e 2e 22x x f x a f x a ππ⎛⎫⎛⎫--->--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，转化为函数()()2e 2x G x f x a π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在区间()0,π为增函数，再转化为对应函数导数恒非负，分离变量得sin cos x x a x +-≤最小值，最后利用导数求函数()sin cos x xh x x+=单调性，得最值，即得实数a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =时，()e sin 22xf x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭， ()e sin cos 12x f x x x x π⎛⎫=++-- ⎝'⎪⎭，令()sin cos 12g x x x x π=++--，有()1cos sin 14g x x x x π⎛⎫=+-=-' ⎪⎝⎭，当x ππ-≤≤时，53444x πππ-≤-≤，当()0g x '<时sin 4x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 得3444x πππ≤-≤，解得：2x ππ≤≤， 故当2x ππ≤≤时，函数()g x 单调递减，当2x ππ-≤≤时，函数()g x 单调递增，所以当x ππ-≤≤时，()02g x g π⎛⎫≤=⎪⎝⎭，可得()0f x '≤， 函数()f x 在区间[],ππ-上单调递减， ()()()min 4ee 222f x f πππππ-⎛⎫==-=⎪⎝⎭， ()()()max34e 3e 222f x f πππππ--+⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间[],ππ-上的值域为()()4e 34e ,22ππππ-⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦. （2）由120x x π<<<，有21e e 0x x ->，故()()21212e e 2x x f x f x a π->---可化为()()()21212e e 2x x f x f x a π⎛⎫->--- ⎪⎝⎭，整理为：()()21212e 2e 22x x f x a f x a ππ⎛⎫⎛⎫--->--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()()2e 2x G x f x a π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在区间()0,π为增函数，()e sin 22x G x ax x π⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭()2e e sin 2x xa ax x a π⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，()()e sin cos x G x ax x x ='++，故当[]0,x π∈时，()0G x '≥，即sin cos 0ax x x ++≥， ①当0x =时，R a ∈；②当0x π<≤时，整理为：sin cos x x a x+-≤， 令()sin cos x xh x x +=，有()()()2cos sin sin cos x x x x x h x x --+=' ()()21cos 1sin x x x x x --+=，当01x <<，()1cos 0x x -<，()1sin 0x x +>，有()0h x '<， 当1x π≤≤时，由cos sin x x ≤，有()()1cos 1sin x x x x --+≤()()1sin 1sin 2sin 0x x x x x --+=-<，可得()0h x '<，由上知0x π<≤时，函数()h x 单调递减， 故()()min sin cos 1h x h πππππ+===-，故有：1a π-≤-，可得1a π≥.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21．随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x =1”表示2015年，“x =2”表示2016年，依次类推；y 表示人数)：（1）试根据表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人；（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。
湖南省衡阳市第八中学2024年高考适应性练习数学试题及参考答案
湖南省衡阳市第八中学2024年高考适应性练习数学试题及参考答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}{},0,11U A x x B x x ==≥=-<<R ，则{}10x x -<<=（）A.A B⋃ B.()UA B⋂ð C.()U A B ð D.()U A B ⋂ð2．已知1z ，2z 是方程2220x x +=-的两个复根，则2212z z -=（）A.2B.4C.2iD.4i3．已知圆台,O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为（）A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π4．在数列{}n a 中，已知132nn n a a ++=⋅，25a =则{}n a 的前11项的和为（）A ．2045B ．2046C ．4093D ．40945．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.t Peu ker 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为t Peu ker 常数，为了测算某蓄电池的t Peu ker 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I=时，放电时间20h t =；当放电电流30A I =时，放电时间10h t =.则该蓄电池的t Peu ker 常数n 大约为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A.43B.53C.83D.26．已知函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于,A B 两点．若3AB π=，则ω=（）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知函数2()e (R)2(1)xf x x bx a b a =--∈+，没有极值点，则1a +的最大值为（）A ．2B ．e 2C ．eD ．2e 2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.给定数集()∞+==，0,B R A ，y x ,满足方程02=-y x ，下列对应关系f 为函数的是（）A.()x f y B A f =→，：B.()x f y A B f =→，：C.()y f x B A f =→，： D.()y f x A B f =→，：10．三棱锥-P ABC 各顶点均在半径为2的球O 的表面上，2,90AB AC BAC ==∠= ，平面PBC 与平面ABC 所成的角为45 ，则下列结论正确的是（）A.直线OA ∥平面PBC .B.三棱锥O ABC -的体积为3C.点O 到平面PBC 的距离为1D.点P 形成的轨迹长度为11．日常生活中植物寿命的统计规律常体现出分布的无记忆性.假设在一定的培养环境下，一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量X ，根据统计数据，它近似满足如下规律：对任意正整数n ，寿命恰好为n 的植物在所有寿命不小于n 的植物中的占比为10%.记“一株植物的寿命为n ”为事件n A ，“一株植物的寿命不小于n ”为事件n B .则下列结论正确的是（）A.()20.01P A = B.()10.9n n P B -=C.设()12n n a P A B +=∣，则{}n a 为等比数列D.设()n n S nP A =，则110nkk S=<∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.将1到10这10个正整数平均分成甲、乙两组，每组5个正整数，且甲组的中位数比乙组的中位数小1，则不同的平分方法共有种.13.已知点M 为直角△ABC 外接圆O 上的任意一点，90,1,ABC AB BC ∠=︒==()OA OB BM -⋅的最大值为．14.已知平面直角坐标系xOy 中，直线12:2,:2l y x l y x ==-,点P 为平面内一动点，过P 作2DP l ∥交1l 于D ,作1EP l ∥,交2l 于E ,得到的平行四边形ODPE 面积为1,记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(1)计算()P A 和()|P A B 的值，并判断A 与B 是否为独立事件；(2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为*()m m N ∈的样本，利用独立性检验，计算得2 1.350χ=．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的*N ()t t ∈倍，使得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定t 的最小值．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．16.(15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别为AB ，PD 上的点，且1BE PFCD PD+=.(1)证明：//AF 平面PCE ；(2)若PD ⊥平面ABCD ，E 为AB 的中点，2PD AD CD ===，60BAD ∠=︒，求二面角P CE F --的正切值.17．（15分）已知函数()ln kf x x x=+最小值为1ln2-(1)求k ；(2)若,R a b ∈，且1a >，过点(),a b 可以作曲线()y f x =的三条切线．证明：()1012b f a a -<<-18．（17分）已知双曲线2212:1y C x b -=经过椭圆2222:1x C y a +=的左、右焦点12,F F ，设12,C C 的离心率分别为12,e e ，且1262e e =．（1）求12,C C 的方程；（2）设P 为1C 上一点，且在第一象限内，若直线1PF 与2C 交于,A B 两点，直线2PF 与2C 交于,C D 两点，设,AB CD 的中点分别为,M N ，记直线MN 的斜率为k ，当k 取最小值时，求点P 的坐标．19．（17分）设整数,n k 满足1k n ≤≤，集合{}201,mA m n m =≤≤-∈Z .从A 中选取k 个不同的元素并取它们的乘积，这样的乘积有C kn 个，设它们的和为,n k a .例如0102123,222222214a =⋅+⋅+⋅=.(1)若2n ≥，求,2n a ；(2)记()2,1,2,1nn n n n n f x a x a x a x =++++ .求()()1n n f x f x +和()()12n n f x f x +的整式表达式；(3)用含n ，k 的式子来表示1,1,n k n ka a ++.参考答案一、单项选择题1.B2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 7.A8．B解析：函数()()21e 21xf x x bx a =--+没有极值点，1()e 01x f x x b a '∴=--≥+，或()0f x '≤恒成立，由e x y =指数爆炸的增长性，()f x '不可能恒小于等于0，1()e 01x f x x b a '∴=--≥+恒成立．令()1e 1xh x x b a =--+，则()1e 1x h x a '=-+，①当10a +<时，()0h x '>恒成立，()h x 为R 上的增函数，因为()e 0,x∈+∞是增函数，()1,1x b a --∈-∞+∞+也是增函数，所以，此时()(),h x ∈-∞+∞，不合题意；②当10a +>时，()1e 1xh x a '=-+为增函数，由()0h x '=得()ln 1x a =-+，令()()()()0ln 10ln 1h x x a h x x a ''>⇔>-+<⇔<-+，，()h x ∴在()()ln 1a -∞-+，上单调递减，在()()ln 1a -++∞，上单调递增，当()ln 1x a =-+时，依题意有()()()()min ln 11ln 1011a h x h ab a a +=-+=+-≥++，即()ln 1111a b a a +≤+++，10a +> ，()()2ln 1111a ba a ++∴≤++，令1(0)a x x +=>，()()2ln 10x u x x x +=>，则()()()43ln 122ln 1x x x x u x x x -+⋅-+'==，令()100e u x x '>⇔<<，令()0u x '<，解得1ex >，所以当1e =x 时，()u x 取最大值1.e 2eu ⎛⎫= ⎪⎝⎭故当e 11a +=，e 2b =，即e 1e a =-，e 2b =时，1b a +取得最大值e .2综上，若函数()h x 没有极值点，则1ba +的最大值为e .2二、多项选择题9.ABD10．BCD 解析：如图，设1O 是△ABC 的外心，2O 是△PBC 的外心，则1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面PBC ，所以1OO BC ⊥，2OO BC ⊥，又21OO OO O = ，21,OO OO ⊂平面12OO O ,所以BC⊥平面12OO O ，又12O O ⊂平面12OO O ，所以12BC O O ⊥，由2,90AB AC BAC ==∠= ，则1O 是BC 的中点，所以1BC AO ⊥，且12O A =，所以12AO O ∠是二面角P BC A --的平面角，即1245AO O ∠=︒，因为2211422OO R O A =-=-=，所以145OAO ∠=︒，所以2190AO O ∠=︒，即212AO O O ⊥，又12,,,A O O O 四点共面，且221OO O O ⊥，则2O 是OA 中点，如图，显然，直线OA 与平面PBC 相交于2O ，故A 错误；1111222223323O ABC ABC V OO S -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故B 正确；由2O 是OA 中点，则21OO =，故C 正确；由2O P ===P故轨迹长度为，故D 正确.11．BCD 解析：设植物总数为M ，寿命为i 年的植物数为i m ，由题意，()110i i m P A M ==，则()12112111010i i i i m M m m m m m m m M --=-+++⇒++++=⎡⎤⎣⎦ ①112110i i i m m m m m M +-+++++= ②②-①得，()()()111919109101010i i i i i i m m P A P A P A -++⎛⎫=⇒=⇒= ⎪⎝⎭，即()1191010n n P A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()212190.091010P A -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故A 错误；由()()()121111010i i i i m M m m m P A P B -=-+++⇒=⎡⎤⎣⎦ ，故()()191010n n n P B P A -⎛⎫== ⎪⎝⎭，故B 正确；由()()()()()21121221191910109101010n nn n n n a B P A B P A P B P B A P -+++==⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭===⋅ ⎪⎝⎭∣，故1910n n a a +=，即{}n a 为等比数列，故C 正确；因为()1191010n n n S nP A n -⎛⎫== ⎪⎝⎭，设1nn kk C S==∑，则012199991012310101010n n C n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()123199999912311010101010n nn C n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，相减可得12319999911010101010n nn C n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭191991010(10)91010110n n n nn n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以1910(10)1010nnk k S n =⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭∑，故D 正确.三、填空题12.3613.32解析：设直角△ABC 外接圆的半径为r ，由正弦定理得22sin ACr ABC==∠，故1r =，所以()()cos cos OA OB BM BA BM BA BM ABM BM ABM -⋅=⋅=⋅∠=∠，当过点圆上一点M 作平行于BC 的圆的切线时，此时cos BM ABM ∠最大，由于O 到BC 的距离为1122d BA ==，所以cos BM ABM ∠ 的最大值为32d r +=.14．()4,1四、解答题15．解析：（1）由已知()()13|1|144P A B P A B =-=-=，()()31|1|144P A B P A B =-=-=，又因为4()5P B =，所以()()411155P B P B =-=-=，所以()()()()()431113||545420P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=，又()()()343|455P AB P A B P B =⋅=⨯=，所以()()()P AB P A P B ≠，所以A 与B 不为独立事件；（2）假设原列联表为根据原数据有()()()()()21.35n ad bc a b c d a c b d -=++++若将样本容量调整为原来的*()t t N ∈倍，则新的列联表为：则()()()()()()()()()()()()22222t ad t bcad bc t a b t c d c t a c t b d a b d t a c b c d t d a c b a b d χ--==+⋅+⋅+⋅+++++++++++1.357.879t =≥，解得 5.84t ≥，又*N t ∈，所以t 的最小值为6.16.解：（1）如图，在CD 上取一点G ，使得CG AE =，连接AG ，FG ，因为1BE PFCD PD +=，且ABCD 是平行四边形，所以1PF BE CGPD CD CD=-=，故//FG PC ，又因为PC ⊂平面PCE ，FG ⊄平面PCE ，所以//FG 平面PCE ，因为ABCD 是平行四边形，且CG AE =，所以AECG 是平行四边形，故//AG EC ，又因为EC ⊂平面PCE ，AG ⊄平面PCE ，所以//AG 平面PCE ，因为AG FG G ⋂=，且AG ⊂平面AFG ，FG ⊂平面AFG ，所以平面//AFG 平面PCE ，因为AF ⊂平面AFG ，所以//AF 平面PCE .（2）方法1：当E 为AB 中点，PD AD CD ==，60BAD ∠=︒时，是平行四边形，227+=，CD ED，18．解：（1）依题意可得211a -=，得22a =，由122e e =，得222212211312b a e e a +-=⋅=，解得22b =，故1C 的方程为2221,2y x C -=的方程为2212x y +=．（2）易知()()121,0,1,0F F -，设()00,P x y ，直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，则200012122000,,111y y y k k k k x x x ===+--，()00,P x y 在221:12y C x -=，即有220012y x -=，可得20122021y k k x ==-为定值．设直线1PF 的方程为：()11y k x =+，联立2212x y +=可得()()2222111214210,Δ0kx k x k +++-=>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则有211221421k x x k -+=+，可求得21122112,2121k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设直线2PF 的方程为：()()()233441,,,,y k x C x y D x y =-，同理可得22222222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则()()()()122222122112222222121221221221212121222212212121k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=-=-++++++()()()()()()1212121222222221212121212212182822k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++=-=-⎡⎤++++-⎣⎦由122k k =可得：()()122125242k k k k k +=-++，点P 在第一象限内，故210k k >>，()121255324242k k k k k =-≥--+++当且仅当()1212242k k k k =++，即12kk +=时取等号，而12k k +>=，故等号可以取到．即当k 取最小值时，12k k +=，联立122kk =，可解得121,1k k =-=+，故1PF 的方程为：)()211,y x PF =+的方程为：)()11y x =+-，联立可解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩)P．说明：第（2）问中未说明能取到最小值扣1分，另外可以分别设直线方程11x t y =-和21x t y =+求解，此时：121222221122221,,,,22222t t M N t t t t t t ⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()()()12121222212122528412t t t t t t k t t t t +++=-=-++++也可以直接通过()00,P x y 的横纵坐标代换来求解，此时：()()()()()()2200000022222222000000001122,,,12121212y x y x y y M N x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪++++-+-+⎝⎭⎝⎭()2222000000000022222200000000214114522422242243x x y x y x y x x y k y x y y x y x y -++=-⋅=-=-⋅+++++都可以根据相应步骤给分．19．解：（1）()()221122,20011214114142222122221412333n n n n n n k k n nn k k a --==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫---⎢⎥=-=-=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑（2）因为()()()()()012112121212n n f x x x x x -=++++ ，()()()()()()012111212121212n n n f x x x x x x -+=+++++ ，两式相除，()()112n n n f x x f x +=+，()()()()()01212122122122122n n f x x x x x-=+⋅+⋅+⋅+⋅ ()()()()12112121212n n x x x x -=++⋯++，两式相除，()()112n n f x xf x +=+（3）因为(),0nkn n k k f x a x ==∑①，所以,01n a =，因为()111,0n kn n k k f x a x +++==∑②，所以1,01n a +=，由（2）和①可得，()()()()11,,,,101222nnnnknk n k n n n k n kn k n k k k k f x x f x a x axa a x ++-====+⋅=+=+∑∑∑③，由②和③，比较1k x +的系数，可得1,1,1,2nn k n k n k a a a +++=+④，因为()()()()()1,01222nnk kn n n k k k f x x f x x x a x+===+=+∑∑()11,,,,10222n nnkkk k k k n k n k n k n k k k k a x a xa a x +--====+=+∑∑∑，由②比较1k x +的系数可得11,1,1,22k k n k n k n k a a a ++++=+⑤，由④⑤消去,1n k a +可得()()111,1,2122k n k k n k n k a a +++++-=-，所以11,11,2221n k kn k k n ka a +++++-=-.。
湖南省衡阳八中高一数学下学期6月五科联赛试题新人教A版
衡阳市八中2014年上期五科联赛试卷高一数学考生注意:本试卷共21道小题,满分100分,时量120分钟,请将答案写在答题卡上.一.选择题:本大题共10小题，每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.1、数列2，5，8，11，…，则23是这个数列的 A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项2、已知ABC ∆中4,30a b A ===，则B 等于A 、60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150° 3、在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:4:5A B C =，则A cos 的值为A 、35 B 、45C 、0D 、1 4、已知数列{}n a 中，21=a ，*11()2n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 A ．50 B ．51 C ．52 D ．535、若互不等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a =A. 4-B. 2-C. 2D. 4 6、等差数列{}n a 的通项公式21n a n =-，设数列11{}n n a a +，其前n 项和为n S ，则n S 等于A.221n n + B. 21n n + C. 21nn - D ．以上都不对7、在ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60B ∠=,,a b c 且成等比数列，则ABC ∆的形状为A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不确定8、等比数列{}n a 的前m 项和为4,前2m 项和为12,则它的前3m 项和是 A.28 B.48 C.36 D.52 9、在Rt ABC ∆中，D 为BC 的中点，且AB 6AC 8==，，则AD BC 的值为 A 、28- B 、28 C 、14- D 、1410、 设等差数列{}n a 满足公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范围A 74(,)63ππ B 74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 43(,)32ππD 43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二. 填空题:共5小题,每小题3分,共15分,把答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知向量(4,)a x =，(2,4)b =，若a b ⊥，则x ＝ ； 12. 已知等比数列{}n a 的公比为正数，且3963a a a ＝，则6a ＝ ； 13. 若数列{n a }的前n 项和23n S n n =+，则456123a a a a a a ++++ 的值为 ；14．数列{}n a 中，12a =，*132()n n a a n N +=+∈，则{}n a 的通项公式为 ；15．在ABC ∆中的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，重心为G ，若2330aGA bGB cGC ++=；则cos B = ；三、解答题(本大题共6小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分8分)在等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==． （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的前n 项和n S .17. (本小题满分8分)设向量(3sin ,sin ),(cos ,sin ),0,2a x x b x x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（1）若||||a b =，求x 的值（2）设函数()f x a b =，求()f x 的取值范围18. (本小题满分8分)已知ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin cos c C c A=+， (1)求角A(2)若a =ABC ∆求ABC ∆的周长.19. (本小题满分9分)在火车站A 北偏东30方向的C 处有一电视塔，火车站正东方向的B 处有一小汽车，测得BC 距离31km ，该小汽车从B 处以60公里每小时的速度前往火车站，20分钟后到达D 处，测得离电视塔21km,问小汽车到火车站还需要多长时间20. (本小题满分9分)设数列为等差数列，且，，数列的前项和为21()n n S n N *=-∈， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和．21．(本小题满分13分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点 ⎝⎛⎪⎭⎫n S n n ,都在函数xax x f n 2)(+=的图象上 （1）求,,,321a a a 归纳数列{}n a 的通项公式（不必证明）；（2）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），(),32a a ，(),,654a a a ， (),,,10987a a a a ；()11a ，()1312,a a ，(),,161514a a a ，(),,,20191817a a a a ；()21a ，…..，北A D B{}n a 145=a 720a ={}n b n {}{},n n a b ,1,2,3,n n n c a b n =⋅={}n c n n T分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{}n b ， 求1005b b +的值； （3）设n A 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n nn 23)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围衡阳市八中2014年上期五科联赛考试高一数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBBCABCACC二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.11. 2 12. 3 13. 2 14. 31n- 15.112三、解答题：本大题共5小题，共52分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.解：（1）3411=8;2,222n n nn a a q a q a -=∴===为等比数列且（2）35335553132n 2;2,b 224;12216;(1)16126222n a b a b b b d d a a d n n S n n n ====∴-==∴==-=--=-+=-又因为为等差数列所以17：2222(1)||||,(3sin )(sin )cos sin ,0,21sin ,26a bx x x x x x ππ⎡⎤=∴+=+∈⎢⎥⎣⎦∴=故x=（2）f x a b x x x x x x x x f x πππππ=+=-+⎡⎤⎡⎤=-+∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦211()=3sin cos sin 2cos 22215sin(2),0,;2,;6226663()0,2因为又故 18解sin cos sin sin sin cos ,sin 0172sin()=,,=626663c C c A C A CC A C A A A πππππ=+=+≠∴+<+<由及正弦定理得又因为故（2） 2221=bcsin bc 422cos;b+c 4S A b c bc A ===+-=三角形面积公式为故由余弦定理：a 得19.由条件A ∠=60,设,ACD CDB αβ∠=∠=,在BCD ∆中,由余弦定理得2221cos 27CD BD BC CD BD β+-==-⋅ ∴sin 7β==.∴sin sin(60)sin cos60cos sin60αβββ=-=-=.在ADC ∆中,由正弦定理,得sin 15sin CD AD A α⋅==( km )∴15601560⨯=(分钟)20.解：7551111126,d 3(5)14(5)33121q 2222n n nn n n nn a a a d a a n d n n S b S b b q ---===∴=+-=+-=-=-==∴===为等差数列则故又满足等比数列求和的性质且=2,（2）n 1234234511234n 1211131,2(31)2225282112(31)22225282112(31)2=22+32+2+2+2)(31)22(1243()(31)212(34)28n n n n nn n n n n n n n a n b C n T n T n T n n n ++-++=-==-∴=+++++-=+++++----=+---=-+则将上式相减得-（21.解：（1）因为点(,)n S n n 在函数()2n af x x x=+的图象上， 故2n n S a n n n =+，所以212n n S n a =+．令1n =，得11112a a =+，所以12a =；令2n =，得122142a a a +=+，所以24a =；令3n =，得1233192a a a a ++=+，所以36a =．由此猜想：2n a n=（2）因为2n a n =（*N n ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 1006824801988b =+⨯=．又5b =22，所以5100b b +=2010.………………8分（3）因为111n n n a a a -=-，故12111(1)(1)(1)n nAa a a =--⋅⋅-， 所以12111(1)(1)(1)nA a a a =--⋅⋅-．又333()2222n nn a a a f a a a a a a a++-=+-=-， 故3()2n a A f a a+-对一切*N n ∈都成立，就是121113(1)(1)(1)2n a a a a a--⋅⋅--对一切*N n ∈都成立．……………9分设12111()(1)(1)(1)ng n a a a =--⋅⋅-max 3[()]2g n a a <-即可．由于1(1)121(1)()22n g n n g n a n+++=-=+1=<，所以(1)()g n g n +<，故()g n是单调递减，于是max [()](1)g n g ==32a a<-，………………………………………………………………………12分即>，解得0a <<，或a >综上所述，使得所给不等式对一切*N n ∈都成立的实数a 的取值范围是((3,)+∞．。
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Oxy1
6
1112
第六次月考《参考答案》1.已知全集0,1,2,3,4,1,2,3,,0,1,3UAB，则下列结论正确的是(B)
A．BAB．{0,}4U
AC＝C．1,3ABD．
0,2AB
2.若复数|13|1izi,则z的虚部是（C）
A．iB．iC．1D．13.已知抛物线24yx
，其焦点为F，准线为l，则下列说法正确的是（C）
A.焦点F到准线l的距离为1B.焦点F的坐标为(1,0)
C.准线l的方程为116yD.对称轴为x轴
4.在ABC中，,BDDCE是AD的中点，则BE（A）A.3144ABACB.3144ABAC
C.2133ABACD.2133ABAC
5.函数sin0,0,2fxAxA的部分图象如图所示，则函数
yfx对应的解析式为（C）
A.cos26yxB.cos26yx
C.sin26yxD.sin26yx
6.函数xxye，在区间[0,]e上的最大值是（C）A.0B.eeeC.1eD.2ee
7.若ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且22(sinsin)sinsinsinABCAB
，
则角C为（B）A．6B．3C．23D．56
8.已知椭圆E：22221(0)xyabab的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1,1)，则椭圆E的离心率为(A)
A.22B.12C.32D.23
9.已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径．若平面
PAC⊥平面PBC，PAAC，PBBC，三棱锥PABC的体积为
8
3，则球O的体
积为（D）A.36B.16C.12D.323
10.已知数列{}n
a是递增数列，且对*nN，都有2nann，则实数的取值范
围是(D)A.(,2]B．(,1]C．(,2)D．(,3)
11.已知O为坐标原点，12,FF分别是双曲线22143xy的左、右焦点，点P为双曲线左支上任一点（不同于双曲线的顶点）．在线段2PF上取一点Q，使1
PQPF，
作12FPF的平分线，交线段1
FQ于点M，则|O|M（B）
A．12B．1C．2D．4
12.已知函数22log(1),01,()1,1,xxfxxx若关于x的方程1()()
4fxxmmR
恰
有两个互异的实数解，则实数m的取值范围是（A）A．59(,]{1}44B．59[,]{1}44C．59[,]44D．59(,]
44题号123456789101112答案BCCACCBADDBA
13.若曲线2ymx
在点（1，m）处的切线与直线450xy垂直，则m；
-214.已知等比数列na中,12725aaa,nb
是等差数列,且77ba则
311bb；
10
15.已知变量,xy满足2,(),36,xyfxyxxy则1yx的最小值是；12
16.关于 x的方程2222xxkxk
有两个不等的实数根,则实数k的取值范围
为.3(,1]
4
17.（12分）记Sn为等比数列na的前n项和，已知S2=−4，S3=12．
（1）求na
的通项公式；
（2）求Sn
；
（3）判断Sn+1，Sn，Sn+2
是否成等差数列，若是，写出证明过程；若不是，说明
理由。
【答案】（1）1(2)nna；（2）2142
(1)
33
nnnS
(3)是的。证明如下：342312
822(1)(1)
333
nnnnnnSS
341822(1)[]333nnn3182(1)33nn2142
2[(1)]2
33
nnnS
故Sn+1，Sn，Sn+2
成等差数列。
18．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是
等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若AD＝8，BC＝4，设AC∩BD＝O，且∠DPO＝π6，求四棱锥P－ABCD
的体积．
解(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.又AC⊥BD，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(2)如图，连接OP，由(1)知，BD⊥平面PAC，又PO⊂平面PAC，知BD⊥PO.在Rt△POD中，因为∠DPO＝π6，得PD＝2DO.
又因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形．
从而梯形ABCD的高为12AD＋12BC＝6，
于是梯形ABCD的面积S＝12×(8＋4)×6＝36.在等腰直角三角形AOD中，OD＝22AD＝42，
所以PD＝2OD＝82，PA＝PD2－AD2＝8.故四棱锥P－ABCD的体积为V＝13S·PA＝13×36×8＝96.
19．已知椭圆E：
x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点A(0,3)，右焦点到直线x＝a2
c
的距离为3.(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点A作两条互相垂直的直线l1，l2分别交椭圆于M，N两点．求证：
直线MN恒过定点P3(0,)7.解(1)由题意知，a2c－c＝3，b＝3，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，c＝1.所以椭圆的标准方程为22143xy.(2)证明：显然直线l1，l2的斜率存在．
设直线l1
的方程为y＝kx＋1，
联立方程组22
3
143
ykxxy
得(4k2＋3)x2＋83kx＝0，
解得x1＝－28343kk，x2
＝0，
所以xM＝－28343kk，yM
＝
2
24333
43k
k
.由l1，l2垂直，可得直线l2
的方程为y＝－
1
kx＋1.
用－1k替换前式中的k，可得xN＝28334kk，yN
＝
2
23343
34k
k
.
则kMP＝222433334378343kkkk＝2337k，
kNP＝22
2
334333478334
kkkk
＝2337k，
所以kMP＝kNP
，故直线MN恒过定点P
3(0,)
7.
20.在衡阳市“创全国文明城市”(简称“创文”)活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表：
假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的．(1)若本市共8000名高中学生，估计C学校参与“创文”活动的人数；(2)在上表中从A，B两校没有参与“创文”活动的同学中随机抽取2人，求恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率；(3)在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评（满分为100分），得到如上的频率分布直方图，其中a＝4b.求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数．(计算结果保留两位小数)
解(1)C学校高中生的总人数为100÷2008000＝4000，
学校ABCD抽查人数101510075“创文”活动中参与的人数9108049