【大师特稿】高考数学答题模板：第5讲-圆锥曲线的常规问题含解析
【优化指导】2021高考数学总温习 专题05 圆锥曲线的综合问题强化冲破 理（含解析）新人教版(1)
【优化指导】2021高考数学总温习 专题05 圆锥曲线的综合问题强化冲破 理（含解析）新人教版1．(2021·新课标全国高考)等轴双曲线C 的中心在原点，核心在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，那么C 的实轴长为( )B ．22C ．4D ．8解析：选C 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，因此点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，因此C 的实轴长为4.应选C.2．(2021·沈阳质检)假设直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，那么过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有( ) A ．最多一个 B ．2个 C ．1个D ．0个 解析：选B ∵直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，∴m 29＋n 24＜m 29＋4－m 24＝1－536m 2＜1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，应选B.3．(2021·浙江名校联考)已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的一点，点M 知足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，那么当|PM →|取得最小值时，点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( )C ．4D ．5解析：选B 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，依照勾股定理，求|PM →|的最小值能够转化为求|OP →|的最小值，当|OP →|取得最小值时，点P 的位置为双曲线的极点(±3,0)，而双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，因此所求的距离d ＝125，应选B.4．(2021·合肥模拟)已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，那么|PQ|的最小值等于( ) B ．22解析：选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，那么由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0y 2＝2x 消去x 整理得y 2＋2y ＋2m ＝0，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值即为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，因此所求最小值为d ＝|5－12|2＝924.应选A.5．(2021·铜川模拟)假设点O 和点F (－2,0)别离为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左核心，点P 为双曲线右支上的任意一点，那么OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)解析：选B 由题意知a 2＝(－2)2－12＝3，故双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设点P 的坐标为(x 1，y 1)(x 1≥3)，那么x 213－y 21＝1，∴OP →·FP →＝(x 1，y 1)·(x 1＋2，y 1)＝x 21＋2x 1＋y 21＝x 21＋2x 1＋x 213－1＝4x 213＋2x 1－1.又函数f (x 1)＝4x 213＋2x 1－1在x 1∈[3，＋∞)上单调递增，因此f (x 1)≥4×323＋2×3－1＝3＋23，即OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)，选B.6．已知椭圆x 24＋y 23＝1，假设此椭圆上存在不同的两点A ，B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，那么实数m 的取值范围是( )解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－14，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，又3x 21＋4y 21＝12①， 3x 22＋4y 22＝12②，①②两式相减得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，即y 1＋y 2＝3(x 1＋x 2)，即y ＝3x ，与y ＝4x＋m 得x ＝－m ，y ＝－3m ，又点M (x ，y )在椭圆的内部，因此m 24＋9m 23＜1，解得－21313＜m ＜21313.应选B.－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率是2，那么b 2＋13a的最小值为________．解析：233 因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，那么b 2＝3a 2，因此b 2＋13a ＝3a 2＋13a ＝a ＋13a≥213＝233，当且仅当a ＝13a ，即a ＝33时等号成立． 8．(2021·广东六校联考)已知双曲线C 的核心、实轴端点恰好是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、核心，那么双曲线C 的渐近线方程是________．解析：4x ±3y ＝0 椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点为(±5,0)、核心为(±3,0)，因此双曲线的核心为(±5,0)，实轴端点为(±3,0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，即c ＝5，a ＝3，b ＝4，因此渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.9．(2021·湖南十二校联考)设F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左核心，过点F 的直线l 与双曲线右支交于点P ，与圆O ：x 2＋y 2＝a 2恰好切于线段PF 的中点M ，那么双曲线的离心率为__________．解析：5 设右核心为F 2，连接PF 2，OM ，那么PF 2∥OM ，|PF 2|＝2|OM |＝2a ，∠FPF 2＝π2，又|PF |－|PF 2|＝2a ，∴|PF |＝4a ，在Rt △FPF 2中，|PF 2|2＋|PF |2＝|FF 2|2，得20a 2＝4c 2，∴e ＝ca＝ 5.10．已知抛物线y ＝x 2－1上有必然点B (－1,0)和两个动点P 、Q ，假设BP ⊥PQ ，那么点Q 的横坐标的取值范围是________．解析：(－∞，－3]∪[1，＋∞) 设P (x P ，x 2P －1)(x P ≠1)，Q (x Q ，x 2Q －1)，由k BP ·k PQ ＝－1，得x 2p －1x p ＋1·x 2Q －x 2px Q －x P ＝－1，因此x Q ＝－x P －1x P －1＝－(x P －1)－1x P －1－1.因为|x P －1|＋1|x P －1|≥2，因此x Q ≥1或x Q ≤－3.故所求范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞).11．(2021·杭州质检)已知直线y ＝2x －2与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于M 1，M 2两点，且|M 1M 2|＝815.(1)求p 的值；(2)设A 是直线y ＝p2上一点，直线AM 2交抛物线于另一点M 3，直线M 1M 3交直线y＝p 2于点B ，求OA →·OB →的值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝2py消去y 整理得x 2－4px ＋4p ＝0，设M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16p 2－16p ＞0，x 1＋x 2＝4p ，x 1·x 2＝4p ，∵|M 1M 2|＝815，∴[x 1＋x 22－4x1x 2]1＋22＝815，∴16p 2－16p ×5＝815.整理得p 2－p －12＝0，解得p ＝4或p ＝－3(舍去)， 且p ＝4知足Δ＞0，∴p ＝4.(2)由(1)知抛物线方程为x 2＝8y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16，x 1x 2＝16，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，M 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，设M 3⎝⎛⎭⎪⎫x 3，x 238，A (t,2)，B (a,2)，由A ，M 2，M 3三点共线得kM 2M 3＝kAM 2，∴x 2＋x 38＝x 228－2x 2－t，∴x 22＋x 2x 3－t (x 2＋x 3)＝x 22－16，整理得x 2x 3－t (x 2＋x 3)＝－16，①由B ，M 3，M 1三点共线，同理可得x 1x 3－a (x 1＋x 3)＝－16.② ②式两边同乘x 2得x 1x 2x 3－a (x 1x 2＋x 2x 3)＝－16x 2，即16x 3－a (16＋x 2x 3)＝－16x 2，③ 由①得x 2x 3＝t (x 2＋x 3)－16，代入③得16x 3－16a －at (x 2＋x 3)＋16a ＝－16x 2， 即16(x 2＋x 3)＝at (x 2＋x 3)，∴at ＝16. ∴OA →·OB →＝at ＋4＝20.12．(2021·太原四校联考)已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．过点P (－4,0)作斜率为－14的直线l ，使得l 与G 交于A ，B 两点，和y 轴交于点C ，而且点P 在线段AB 上，又知足|PA ||PB |＝|PC |2.(1)求双曲线G 的渐近线方程； (2)求双曲线G 的方程；(3)椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴，若是S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部份．求椭圆S 的方程．解：(1)设双曲线G 的渐近线的方程为y ＝kx ，那么由渐近线与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切可得|5k |k 2＋1＝5，解得k ＝±12，因此双曲线G 的渐近线方程为y ＝±12x .(2)由(1)可设双曲线G 的方程为x 2－4y 2＝m ，把直线l 的方程y ＝－14(x ＋4)代入双曲线方程，整理得3x 2－8x －16－4m ＝0，∴x A ＋x B ＝83，x A x B ＝－16＋4m3.(*)∵|PA ||PB |＝|PC |2，P ，A ，B ，C 共线且P 在线段AB 上， ∴(x P －x A )(x B －x P )＝(x P －x C )2， 即(x B ＋4)(－4－x A )＝16， 整理得4(x A ＋x B )＋x A x B ＋32＝0.将(*)代入上式得m＝28，∴双曲线的方程为x228－y27＝1.(3)设椭圆S 的方程为x 228＋y 2a 2＝1(a ＞27)，设垂直于l 的平行弦的两头点别离为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)，那么x 2128＋y 21a 2＝1，x 2228＋y 22a2＝1， 两式作差得x 1－x 2x 1＋x 228＋y 1－y 2y 1＋y 2a 2＝0.由于y 1－y 2x 1－x 2＝－4，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，∴x 028－4y 0a2＝0. ∴垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线x28－4ya 2＝0在椭圆S 内的部份．又由已知，那个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部份， 因此a 2112＝12，得a 2＝56，故椭圆S 的方程为x 228＋y 256＝1.13．(2021·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，过右核心F的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22.(1)求a ，b 的值；(2)C 上是不是存在点P ，使适当l 绕F 转到某一名置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？假设存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；假设不存在，说明理由．解：(1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0， ∴O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c2，由已知得c2＝22，∴c ＝1.由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝ 2.(2)假设C 上存在点P ，使适当l 绕F 转到某一名置时，有OP →＝OA →＋OB →成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由(1)知C 的方程为x 23＋y 22＝1.由题意知l 的斜率必然不为0，设其方程为x ＝ty ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋1x 23＋y 22＝1消去x 整理得(2t 2＋3)y 2＋4ty －4＝0.则y 1＋y 2＝－4t 2t 2＋3， ∴x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t (y 1＋y 2)＋2＝－4t 22t 2＋3＋2＝62t 2＋3， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62t 2＋3，－4t 2t 2＋3. ∵点P 在C 上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫62t 2＋323＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4t 2t 2＋322＝1，化简整理，得4t 4＋4t 2－3＝0，即(2t 2＋3)(2t 2－1)＝0，解得t 2＝12. 当t ＝22时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－22，l 的方程为2x －y －2＝0； 当t ＝－22时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，22，l 的方程为2x ＋y －2＝0.故C 上存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，±22，使OP →＝OA →＋OB →成立，现在l 的方程为2x ±y －2＝0.14．已知椭圆C 的中心在原点，一个核心为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是 2∶1.(1)求椭圆C 的方程；(2)假设椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 别离交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△PAB 面积的最大值．(1)解：设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b 2＋c 2，a b ＝2，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2.因此椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)证明：由题意知直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知P (1，2)，故直线PB 的方程为 y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝k x －1y 24＋x22＝1消去y 整理得 (2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k2＋22k －22＋k 2，则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k 2. 因此k AB ＝yA －y Bx A －x B ＝2(定值)．(3)解：由(2)设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋my24＋x22＝1消去y 整理，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得m 2＜8. 设A 、B 两点的坐标为A (x A ，y B )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝－2m2，x A ·x B ＝m2－44.又点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3，|AB |＝x A －x B 2＋y A －y B 2＝ －32m 2＋12.∴S△PAB＝12d·|AB|＝12·|m|3·24－3m22＝12m28－m22≤24·⎣⎢⎡⎦⎥⎤m2＋8－m22＝ 2.当且仅当m2＝8－m2，即m2＝4时等号成立．因此△PAB面积的最大值为 2.。
2021届数学专题五圆锥曲线的综合及应用问题第1课时含解析
2021届高考数学一轮知能训练：专题五圆锥曲线的综合及应用问题第1课时含解析专题五圆锥曲线的综合及应用问题第1课时1．已知椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点为F,P是椭圆上一点,点A （0，2 错误!），当点P在椭圆上运动时,△APF的周长的最大值为________ .2．已知点F1,F2是错误!＋y2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上运动,则错误!·错误!的最大值是（)A．4 B．5C．2 D．13．已知抛物线C：y2＝x,M为x轴负半轴上的动点,MA，MB为抛物线的切线，A,B分别为切点，则错误!·错误!的最小值为（）A．－错误!B．－错误!C．－错误!D．－错误!4．(2018年福建泉州惠安三中高三上学期月考试题)已知抛物线y＝错误!x2与双曲线错误!－x2＝1（a>0）有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上,则错误!·错误!的最小值为（) A．3－2 错误!B．2 错误!－3C．－74D。
错误!5．已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点（2，4），圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M,N，则｜PN|＋4|QM｜的最小值为() A．23 B．42C．12 D．526．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧,错误!·错误!＝2 (其中O为坐标原点),若△AOB的面积记为S1，△AFB的面积记为S2，则2S1－S2的最小值是（)A．3B．4 错误!C.错误!D.错误!7．已知点F（1,0），圆E：(x＋1)2＋y2＝8，点P是圆E上任意一点,线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q。
（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；(2）若直线l与圆O：x2＋y2＝1相切，并与（1)中轨迹Γ交于不同的两点A，B.当错误!·错误!＝λ,且满足错误!≤λ≤错误!时,求△AOB面积S的取值范围．8．(2018年浙江）如图Z5。
高考数学讲义第5讲.“突破”圆锥曲线(理)
“突破”圆锥曲线一、 直线与圆锥曲线的位置关系1． 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系可分为：相交、相切、相离． 这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，椭圆方程C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩， 消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．24b ac ∆=-，0∆>⇔相交，直线与椭圆有两个交点； 0∆<⇔相离，直线与椭圆无交点； 0∆=⇔相切，直线与椭圆有一个交点． 2． 直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切； 直线与双曲线位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，双曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩， 消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=． 若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交，直线与双曲线有两个交点； 0∆<⇔相离，直线与双曲线无交点； 0∆=⇔相切．直线与双曲线有一个交点．若0a =，得到一个一次方程，与双曲线相交，有一个交点，l 与双曲线的渐近线平行． 3． 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切； 直线与抛物线位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，抛物线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩， 知识框架消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=． 若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交； 0∆<⇔相离； 0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程，与抛物线相交，有一个交点，l 与抛物线的对称轴平行． 4． 连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为1212||AB x y -=-．两根差公式：如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则12x x -==0∆>）． 5．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>判断交点个数时，一般方法是联立直线与椭圆的方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，根据判别式的情况判断交点情况．如果一条直线与椭圆只有一个交点，则此直线一定与椭圆相切，对于双曲线与抛物线，此说法不成立．注意椭圆上的点可以直接设为(cos ,sin )(02π)a b θθθ<≤，此处的θ的几何意义不明显；6．过双曲线22221x y a b-=外一点00()P x y ，的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线，以及只与双曲线的一支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线，以及只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一条渐近线平行的直线，一条是切线； ④P 为原点时不存在这样的直线． 7．抛物线22(0)y px p =>焦点：02p ⎛⎫⎪⎝⎭，，通径2AB p =；准线：2p x =-；焦半径：12p CF x =+，过焦点弦长121222p pCD x x x x p =+++=++，2212124p x x y y p ==-，．)利用抛物线的定义可以简化并解决抛物线中的很多问题，对于椭圆与双曲线，也有类似的定义，称为椭圆与双曲线的第二定义．圆锥曲线可以统一定义为：平面内，到一个定点距离与一条定直线（定点不在定直线上）的距离的比为常数e 的点的轨迹，当此常数e 大于1时，轨迹为双曲线；等于1时，轨迹为抛物线；小于1时，轨迹为椭圆．这里的定点与定直线是圆锥曲线对应的焦点与准线．题型一：弦长问题，面积问题设圆锥曲线C ∶(),0f x y =与直线:l y kx b =+相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点， 则弦长AB 为：12AB x x =-==g12AB y y =-g 或1. 三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+d PH ==12ABPS AB d ∆=⋅=2. 焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为112121212ABF S F F y y c y y ∆=⋅-=-=3. 平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ d CH ==1AB=ABCDS AB d=⋅=Y相关向量知识点1.A B C，，①//AB ACu u u r u u u r；②存在实数λ，使AB ACλ=u u u r u u u r；③若存在实数αβ，，且1αβ+=，使OC OA OBαβ=+u u u r u u u r u u u r．2.给出0MA MB⋅=u u u r u u u r，等于已知MA MB⊥，即AMB∠是直角；给出0MA MB⋅<u u u r u u u r，等于已知AMB∠是钝角，给出0MA MB⋅>u u u r u u u r，等于已知AMB∠是锐角．3.给出MA MBMPMA MBλ⎛⎫⎪+=⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u ru u u r u u u r，等于已知MP是AMB∠的平分线．4.在ABC△中，给出OA OB OB OC OC OA⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，等于已知O是ABC△的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）．5.如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化．垂直与角度常考题型1.以AB为直径的圆过原点O121200OA OB x x y y⇔⋅=⇔+=u u u r u u u r推广：以AB为直径的圆过焦点1F222 11121212120()()0(1)()()0F A F B x c x c y y k x x km c x x m c⇔⋅=⇔+++=⇔++++++= u u u r u u u r可以看得出，同样可以采用整体法处理.2.角度问题，成锐角或钝角原点O在以AB为直径的圆内121200OA OB x x y y⇔⋅<⇔+<u u u r u u u r原点O在以AB为直径的圆外121200OA OB x x y y⇔⋅>⇔+>u u u r u u u r题型三：向量形式成比例问题由直线y kx m =+与椭圆方程22221x y a b+=联立得221222222222(1)1km kma b x x k b a k a b =-=-++L ，22222122222221()(2)1m a m b b x x k b a k a b--==-++L 设P 点为(0,)t ，则1212(3)()(4)x x PA PB y t y t λλλ=⎧=⇔⎨-=-⎩u u u r u u u r L L L（3）（4）是等价的，我们在椭圆的问题上只选择（3）运用 将（3）代入（1）得22222222222(1)(5)1km kma b x k b a k a b λ+=-=-++L 将（3）代入（2）得22222222222221(6)1m m a b b x k b a k a b λ--==++L L 2(5)/(6)得22222222222222222222222222212()(1)4()()11()()1()(1)km k kmk m a b a b b k m k m b a k m b a b b a b b λλ++=-⋅==+-+-+-故2222222222222222222222222212()142()()11()()1()(1)km k km k m a b a b b k m k m b a k m b a b b a b bλλ+++=-⋅==+-+-+-成比例的问题主要就是消去参数12,x x ，求出,,,,a b k m λ的关系式线段类成比例，共线类问题，向量的线性表示问题设1122(,),(,),(0,),(,0)A x y B x y P t Q s 12AP BQ y t y λλ=⇔-=- 12AP BP x x λλ=⇔=- 212()BP AB x x x λλ=⇔-=- 12AQ BQ y y λλ=⇔=- 112()AQ AB y y y λλ=⇔=-线段成比例主要利用相似转化为12,x x 或是12,y y 成比例的关系上，慎用弦长公式求线段长，计算量较大.共线问题可以用向量PA PB λ=u u u r u u u r或斜率相等来解答.向量的线性表示问题的形式为OP OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r,通常P 为圆锥曲线上一点，解题思路是利用P 的坐标满足圆锥曲线方程而建立等式，解决问题。
圆锥曲线中的定点问题(解析版)-学霸养成2022高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线
专题5 圆锥曲线中的定点问题一、考情分析定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题． 二、解题秘籍(一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略 1．处理定点问题的思路：(1)确定题目中的核心变量（此处设为k ）(2)利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y = 的联系，得到有关k 与,x y 的等式(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。
此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y 。
常见的变形方向如下：① 若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可② 若等式为含k 的分式， 00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）2．处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【例1】（2022届北京大学附属中学高三12月月考）已知点()11,0F -，()21,0F ，曲线C 上的动点M 满足12122MF MF F F +=．（1）求曲线C 的方程；（2）若直线1MF 与曲线C 相交于另一点N ，当直线MN 不垂直于x 轴时，点M 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PN 恒过一定点．【分析】（1）由题意得出12124MF MF F F +=>，根据椭圆的定义可知曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程为()1y k x =+或1x ty =-，把直线方程与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据点M 的坐标写出点P 的坐标，从而求出直线PN 的方程，证明直线PN 与x 轴的交点为定点即可. 【解析】（1）因为122F F =，12124MF MF F F +=>， 所以曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆， 所以2a =，1c =，b =所以曲线C 的方程为22143x y +=．（2）解法一：因为直线MN 不与x 轴垂直，所以设直线MN 的方程为()1y k x =+ 由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()()2222348430k x k x k +++-=，因为点1F 在曲线C 内，所以0∆>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=-+，()21224334k x x k -=+． 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -． 所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=--． 令0y =，得()211211212121x x y x y x y x xy y y y -+=+=++()()()211221112x k x x k x k x x ⋅++⋅+=++()12122122x x x x x x ++++=()2222224382343448234k k k k k k -⎛⎫⨯+- ⎪++⎝⎭==--++． 所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-． 综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．解法二：当MN 不与x 轴重合时，设直线MN 的方程为1x ty =-，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690t y ty +--=，()()()()2226434914410t t t ∆=--⨯+⨯-=+>．设()11,M x y ，()22,N x y ，设122634ty y t +=+，122934y y t =-+． 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以()11,P x y -． 所以直线PN 的斜率2121+=-PN y y k x x ，直线PN 的方程是()211121y y y y x x x x ++=-- 令0y =，得()()()211211112121111ty ty y x x y x xty y y y y ---⎡⎤-⎣⎦=+=+-++122121ty y y y =-+ 22923414634t t t t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=-+， 所以此时直线PN 过定点()4,0-．当直线MN 与x 轴重合时，直线PN 为x 轴，显然过点()4,0-． 综上所述，直线MN 恒过定点()4,0-．【例2】椭圆C的焦点为()1F，)2F，且点)M在椭圆C 上．过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D （不同于点A ）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标． 【分析】（1）计算1224a MF MF =+=，得到椭圆方程.（2）考虑斜率存在和不存在两种情况，联立方程得到根与系数的关系，通过特殊直线得到定点为2(0)Q ，，再计算斜率相等得到证明.【解析】（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得124c a MF MF ==+=.所以2a =，2222b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(0)y kx k =+≠．由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y -，则()22122122Δ16821042122k k k x x k x x k x ⎧=++>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩，特殊地，当A 的坐标为(2)0，时，12k =-，所以2423x =-，223x =-，143y =， 即24,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点B 关于y 轴的对称点为24,33⎛⎫⎪⎝⎭D ，则直线AD 的方程为2y x =-+.当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为0x =. 如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点2(0)Q ，， 111112111QA y y k k x x x ---===-，22221QD y k k x x -==-+-， 又因为121212112()2220.QA QD x x k k k k k k x x x x +-=-+=-=-= 所以QA QD k k =，即,,A D Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0)2，． (二) 直线过定点问题 1.直线过定点问题的解题模型2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y kx b =+，然后利用题中条件整理出,k b 的关系，若(),b km n m n =+为常数，代入y kx b =+得()y k x m n =++，则该直线过定点(),m n -。
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。
在高考中，经常出现各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。
本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。
常见题型1. 判定方程类型判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。
同学们需要掌握二次型的知识，使用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。
其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型：$AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程；2. 求曲线方程通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。
此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法：（1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。
例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解出对称轴和开口方向，进而确定方程。
（2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。
例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准式求解方程。
3. 定位点通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。
此类问题有多种方法，例如利用坐标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系求解点的坐标等。
4. 证明定理此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。
需要掌握各种定理的证明方法，例如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。
5. 计算面积此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。
需要灵活运用面积公式、积分等方法，注意确定积分区间以及被积函数的形式。
解题技巧1. 建立坐标系建立坐标系是解决圆锥曲线问题的前提，可以帮助理清几何图形的关系和计算各种量的大小。
要注意选择坐标系的方向和起点，以便于计算和简化计算公式。
2. 利用几何条件圆锥曲线问题往往给出具体的几何条件，同学们需要认真理解并灵活运用。
常见的几何条件有点的坐标、直线的方程、曲线类型、焦准距等等。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的一个重要概念，在高考数学考试中经常出现。
圆锥曲线问题在高考中的题型多样，涉及到椭圆、双曲线和抛物线等各种不同的情况。
学生需要掌握不同类型圆锥曲线的基本知识和解题方法，才能在考试中取得好成绩。
本文将详细介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。
一、椭圆问题在高考数学中，椭圆问题是圆锥曲线中的一个常见题型。
椭圆是圆锥曲线中的一种，其数学方程一般表示为x²/a² + y²/b² = 1。
椭圆问题在高考中主要涉及到椭圆的性质、方程和相关的几何问题。
下面是一些常见的椭圆问题和解题技巧：1. 椭圆的性质椭圆有许多独特的性质，例如焦点、长轴、短轴等。
解决椭圆问题时，首先需要熟悉椭圆的基本性质，包括焦点的坐标、长轴和短轴的长度等。
了解这些性质可以帮助学生更好地理解和解决椭圆相关的问题。
2. 椭圆的方程学生需要掌握椭圆的标准方程和一般方程，以及如何从一个方程中得到椭圆的相关信息。
如何通过椭圆的方程确定焦点和长轴的长度等。
熟练掌握椭圆的方程和相关的计算方法是解决椭圆问题的关键。
3. 几何问题在高考中，椭圆问题经常涉及到与椭圆相关的几何问题，例如椭圆的切线、法线、焦点、离心率等。
解决这些问题需要学生具有一定的几何直觉和解题技巧，可以通过画图、几何推理等方法来解决。
二、双曲线问题三、抛物线问题在解决圆锥曲线问题时，学生需要注意以下几个解题技巧：1. 画图对于圆锥曲线相关的几何问题，画图是非常重要的。
学生可以通过画图来直观地理解问题，并且可以通过几何推理来解决问题。
2. 几何推理圆锥曲线问题往往需要一定的几何推理能力，例如通过推导得到相关的性质和结论。
学生需要熟练掌握几何推理的方法，以便解决圆锥曲线问题。
3. 代数计算除了几何推理，对于圆锥曲线的方程和相关计算问题，学生还需要掌握代数计算的方法，包括因式分解、配方法、求导等。
圆锥曲线之定值定点问题 经典例题+题型归纳+解析
又
y1
−
y2
=
k(x1
+
x2
−
4)
=−
8k 1 + 4k2
，
所以直线
PQ
பைடு நூலகம்的斜率
kPQ
=
y1−y2 x1 − x2
=
1 2
，所以直线
PQ
的斜率为定值
，该值为
21 .
方法二 设直线 PQ 的方程为 y = kx + b，
点
P(x1,y1),Q(x2,y2)
则
y1
=
kx1
+
b,y2
=
kx2
+
b，所以
kPA
二、例题精讲
题型一: 斜率为定值
例1.
已知椭圆
C
： xa22
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
的离心率为
3 2
，且过点
A(2,1)．若
P
，Q
是椭圆
C
上的两个动
点，且使 ∠PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若
不是，请说明理由．
【解析】方法一 ：因为椭圆
由
y = kx +
x2 8
+
y2 2
b =
1
得（1
+
4k2)x2
+
8kbx
+
4b2
−
8
=
0
②则
x1
+
x2
=−
8kb 1 + 4k2
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第5讲 圆锥曲线的常规问题
例6 已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－
1,0)到直线l的距离之和s≥45c，求双曲线的离心率e的取值范围．
审题破题 用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围．
解 设直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝ba－1a2＋b2，
同理可得点(－1,0)到直线l的距离为d2＝ba＋1a2＋b2，
于是s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc.
由s≥45c，得2abc≥45c，即5ac2－a2≥2c2，
可得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，
解得54≤e2≤5.
由于e>1，故所求e的取值范围是52，5.
构建答题模板
第一步：提取．从题设条件中提取不等关系式；
第二步：解不等式．求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；
第三步：下结论．根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参数的取值范围；
第四步：回顾反思．根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲线自身的一些几何意义，
如离心率的范围，圆锥曲线定义中的a，b，c的大小关系等．
对点训练6 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l与y轴交于点P(0，
m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP→＝3PB→.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围．
解 (1)设椭圆C的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，
设c>0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝2，ca＝22，
所以a＝1，b＝c＝22.
故椭圆C的方程为y2＋x212＝1，即y2＋2x2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 y＝kx＋m，2x2＋y2＝1，得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
Δ＝(2km)
2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2
＋2)>0，(*)
x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2.
因为AP→＝3PB→，所以－x1＝3x2，
所以 x1＋x2＝－2x2，x1x2＝－3x22.所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.
所以3·－2kmk2＋22＋4·m2－1k2＋2＝0.
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.
当m2＝14时，上式不成立；当m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，
由(*)式，得k2>2m2－2，