误差理论

示例：一个标准电阻的误差是系统误差。
说明：1）其误差值基本上是一个固定值，亦即是个常数，这是最简单的函数规律。
4.产生误差的原因
（1）仪器误差；
（2）安装调整误差，如水银柱高、滴定管垂直否等；
（3）人为误差，如视差，读数过早或过迟等；
（4）方法误差（又称理论误差）。间接测量时，由于间接测量函数本身就是一个近似公式，存在一定的近似误差，这种误差称为间接测量误差；
（5）环境误差，由于周围环境等因素使仪器内部工作状态改变而引起的误差，习惯上称为环境误差。
●误差理论中对极限误差都以概率来定义，仪器生产部门对极限误差的定义则不引入概率因素，那么在实际工作中究竟以哪一个定义为准？由于两个定义不同会产生什么问题？ 思考题。
●关于“定义3σ为极限误差”
当具备以下三个条件
1只存在偶然误差；② 定义极限误差时取显著性水平为0.3%；③ 偶然误差为正态分布
时，极限误差Δmax= 3σ，是正确的。
2能反映误差的大小与方向。
3不能更确切地反映出测量工作的精细程度。
示例： 用一频率计测量100kHz的标准频率，示值为101kHz,Δ =(101-100)kHz=1kHz
用另一频率计测量1MHz的标准频率，示值为1.001MHz,则
Δ =(1.001-1.000)MHz=0.001MHz = 1kHz
●实际相对误差
δ实际= Δ/A0=(A-A0）/A0
示例：频率计一，δ实际= （101-100）kHz/100kHz= 1%
频率计二，δ实际= （1.001-1.000）MHz/1.000MHz=0.1%
由上可知，两频率计的绝对误差相同，都是1kHz，但实际相对误差不等，说明相对误差能反映测量工作的精细程度。
有3个测量目的，R20，α，β。因此，至少需3次测量。
Rt1= R20[1 +α(t1-20) +β(t1-20)2]
Rt2= R20[1 +α(t2-20) +β(t2-20)2]
：
：
：
Rtn= R20[1 +α(tn-20) +β(tn-20)2]
n > 3,可提高测量精度，并可以用最小二乘法处理实测数据。
解：δ引用= Δ/A上=(A-A0）/A上=100%×(2.50-2.51）A/5A = -0.2%
δ实际= Δ/A =(A-A0）/A0=100%×(2.50-2.51）A/2.51A≈-0.4%
δ额定= Δ/A =(A-A0)/A=100%×(2.50-2.51)A/2.50A=-0.4%
示例：量程10A的0.1级电流表，经检定最大示值误差为8mA,问该电流表是否合格？
示例：检定2.5级量程为100V的电压表，在50V点刻度上标准电压表示值为48V，试问此表是否合格？
电表的准确度等级是以引用相对误差表示的，2.5级电表的引用相对误差为±2.5%。已知检定点刻度值为A=50V，A0=48V，Δ=A-A0=2V，则引用相对误差
δ引用= 2/100 = 2% < 2.5%，故50V这点是合格的。
解：0.1级电流表允许的引用相对误差为±0.1%，允许的绝对误差为10×0.1% = 0.01A = 10mA。8mA<10mA，故该电流表合格。
示例：为什么选用电表时，不仅要考虑准确度，而且要考虑量程，在使用时应尽可能用在电表测量上限的三分之二以上？
解： 因电表准确度等级是以引用相对误差定义的，而电表各刻度点的额定相对误差是不同的，刻度点愈偏离测量上限，则额定相对误差愈大，而对测量者来说，真正关心的是额定相对或实际相对误差。若测量时用在仪表测量上限的三分之二以下，则额定相对误差较大，电表准确读不能得到充分利用。
7.间接测量法
直接测量的量待测量
已知函数关系
如， R = V/I，电阻 电压，电流
8．组合测量法
测量目的有多个，需解一方程组，才能求得测量目的。
示例：标准电阻在温度t时的电阻值为：
Rt= R20[1 +α(t-20) +β(t-20)2]
式中，R20——20℃时的电阻值
α，β——该标准电阻的一次和二次项温度系数
●相对误差的特点
1相对误差是一个比值，其值大小与被测量所取的单位无关；
2能反映误差的大小与方向；
3能更确切地反映出测量工作的精细程度。这是由于相对误差不仅与绝对误差的大小有关，同时与被测量的数值大小有关，因此它能更确切地反映出测量工作的精细程度。
示例：有一个5A的0.5级电流表，当其指针指在2.50A时，此点的实际值为2.51A,求该电流表在此点的引用相对误差、实际相对误差、额定相对误差各为多少？
注一：系统误差的原因可以知道，也可以不知道。
注二：系统误差和偶然误差主要是指误差性质，故应从误差服从什么规律来判定误差性质、确定系统误差的定义。
●系统误差的特点
① 系统误差是一个非随机变量，即系统误差的出现不服从统计规律而服从确定的函数规律。
② 重复测量时，误差的重现性。
③ 可修正性。由于系统误差的重现性，确定了它具有可修整的特点。
（2）系统误差（包括半系统误差）
（3）粗差
11.各类误差介绍
（1）绝对误差
Δ=A–A0
A0——被测量的真值
A —— 对于测量仪器，是仪器示值。
真值——一个量在被观测时，它本身所具有的真实大小称为真值。
实际值——满足规定准确度的、用来代替真值使用的量值称为实际值。
注意：量的真值是理想的概念，一般地是不可能确切地知道的。实际上，量子效应可排除唯一的真值。
●关于δ实际与δ额定
1）从定义看，δ实际与δ额定是两个概念，但当误差值较小时，从数值来说二者相差极微，因此在计算时，按δ实际或按δ额定计算，所得数值是相同的，故按那种计算都可以。
2）当误差较大时，则δ实际与δ额定也相差较大。因此，具体计算时，二者不能混用，要严格按规定的要求计算。
（3）极限误差
这是极端误差，测量结果（单次测量或测量系列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的概率为P，并使差值（1-P）可忽略。
在偏离测量规定条件时或由于测量方法所引入的因素，按某确定规律性所引起的误差。
注：系统误差包括已定系统误差和未定系统误差。前者是指符号和绝对值已经确定的系统误差，后者是指符号或绝对值未确定的系统误差。
《国际通用计量学名词》中对系统误差的定义是：“系统误差：测量误差的分量，在同一被测量的多次测量过程中，它保持常数或以可预定方式变化着“。
检查是用上一级精确度较高的仪器对下一级精确度较低的仪器进行检定，通过检定将量值从国家基准逐级传递给各级以至工作仪器，因此检定能达到量值传递的目的。对一台仪器进行检定，要确定该仪器各项技术指标是否达到规定的要求，从而确定该仪器合格或不合格。
国家标准计量局 省、市、县计量局,
传递性
10.误差分类
（1）偶然（随机）误差
示例： Clapeyrong equation
Clausius-Clapeyrong eq.
近似性：Vm(g)>>Vm(l),气 体为理想气体。
ln(p/pθ) = -ΔvapHm/RT+ C假定ΔvapHm与温度无关。
式中，C为积分常数。有
ΔvapHm= - R·斜率
事实上，ΔvapHm=f(T)，即ΔvapHm是温度的函数，有
ΔvapHm/kJ·mol-1
TcT/K
5.方法误差
就其性质来看，它属于系统误差，因重复测量时误差值是不变的，可以对其进行修正，误差的正负号也是可以确定的。
6.直接测量法无需对待来自的量与其他实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到待测量值的方法称为直接测量法。
如，用电压表测电压，温度计 温度，
注意：若计量器具的示值是从对照曲线或表格中读出的，则这种测量仍被看作是直接测量。
若已知实际相对误差δ实际和实际值A0，即可算出绝对误差
Δ=δ实际·A0
●额定相对误差
δ额定= Δ/A =(A-A0）/A
A为仪器示值，A0为实际值。
●引用相对误差
设A为仪表示值，A0为实际值，A上为仪表测量上限，则引用相对误差为
δ引用= Δ/A上=(A-A0）/A上
引用相对误差主要用来表示仪表的准确度，多数用在电工和热工仪表方面。
注一：在误差为正态分布及测量次数足够多时，单次测量的极限误差由±tσ所确定，测量系列的算术平均值的极限误差由±t 所确定。常用t=3,±3σ(或3 )对应的概率为99.73%；当P=99%时，t=2.58；当P=95%时，t=1.96。
注二：当测量次数较少时，测量系列的算术平均值的极限误差t值由t-分布计算。
古典误差理论对纯系统误差作一般讨论，重点是研究纯偶然误差，这是叫理想化的情况。在实际工作中，除了纯系统误差外，还存在半系统误差、极限误差等。所以，古典误差理论无法解决目前实际工作中遇到的一些问题，而现代误差理论除了讨论系统误差和偶然误差外，还重点讨论半系统误差（又称随机性系统误差、系统误差限）和极限误差，因此现代误差理论所讨论的问题比较符合实际工作中遇到的问题。
但在实际工作中，一般除偶然误差外，常存在系统误差，少数情况下偶然误差的分布为非正态分布。因此，在一般情况下，上述三个条件不一定都满足。Δmax= 3σ仅是一个特例，特例就不宜作为一般的定义。所以定义3σ为极限误差是不合适的。
有的书上定义Δmax= 3σ，理解此定义时应考虑上述三个条件。
（4）系统误差
置信度，置信水平，P；显著性水平，α=1-P。
由上可知，极限误差是以概率来定义的。而仪器生产部门对极限误差的定义不引入概率因素。
以概率0.3%(置信度99.7%)来定义极限误差，检定仪器时仅测量一次或数次，其中有一次超差，严格按概率来说还不能绝对判断该仪器不合格，因为大误差虽然出现的概率小，但毕竟不是绝对不可能出现，现在这台仪器是不是碰巧出现了大误差呢？因此，生产仪器的工业部门往往不引入概率这因素，以免生产厂在检验或处理用户与生产单位之间关于产品是否合格的纠纷时，使问题的解决复杂化。如，电子仪器有关部门文件中对极限误差的定义为：“在规定条件下使用时示值误差的最大值”。