八年级地理最短路径问题
人教版数学八年级上册最短路径问题精品课件PPT
A
B
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
2：平面图形（建立“对称模型 ”）
• 要在街道旁边修建一个奶站,向居民区A,B提 供牛奶,奶站应建 在什么地
• 方,才能使从A,B到它的距离和最短?
B A
L
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
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于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若 PA=2，则PQ的最小值为_____________
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
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• 2、立体图形（展开成平面图形）
• 例题2：如图，圆锥的底面半径为1，母线
长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出
•
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
感谢观看，欢迎指导！
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋ MD的值最小时，求m的值．
y
AO C D
x B
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
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学习任务三
小明带着牛在A处，打算带着牛先去吃草，然 后到河边喝水，再回家，请问这次小明带着牛 怎样走能使所走路径最短？
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
任务拓展
变式五：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A(2,—3）B(4, 1）， 若点P(m,0)和点Q(m+1,0) 是x轴上的两个动点， 则当m= 时， AP+PQ+QB最小．
八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)
八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)第6讲最短路径问题知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。
本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。
知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短 C D A B E A地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？选A-B，因为两点之间，直线最短垂线段最短如图，点P是直线L外一点，点P与直线上各点的所有连线中，哪条最短？PC最短，因为垂线段最短两点在一条直线异侧如图，已知A点、B点在直线L异侧，在L上选一点P，使PA+PB最短、连接AB交直线L于点P，则PA+PB最短、依据：两点之间：线段最短 A P L B相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦、有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地、到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？两点在一条直线同侧作法：1、作B点关于直线L的对称点B’；2、连接AB’交直线L于点C；3、点C即为所求、证明：在直线L上任意选一点C’（点C’不与C重合），连接AC’、BC’、B’C’、在△AB’C’中，AC’+B’C’＞AB’∴AC’+BC’＞AC+BC所以AC+BC最短、课堂精讲精练【例题1】已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）A、B、C、D、【答案】 D【解析】根据作图的方法即可得到结论、解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB的值最小，∴D 的作法正确，故选：D、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键、教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习1、1】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄、欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A、B、C、D、【答案】 D【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离、解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M、根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短、故选：D、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了最短路径的数学问题、这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”、由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别、教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【练习1、2】如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大、【答案】见解析【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大、解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键、教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2021【例题2】如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小、【答案】【解析】由于△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直线l 上找一点P，使PA+PB最小、如果设A关于l的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小、解：作法：作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P、则点P就是所要求作的点；理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′、∵A和A′关于直线l对称，∴PA=PA′，P′A=P′A′，而A′P+BP＜A′P′+BP′∴PA+BP＜AP′+BP′∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′即△ABP周长小于△ABP′周长、讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决、教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习2、1】（Ⅰ）如图①，点A、B在直线l两侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB 的值最小；（Ⅱ）如图②，点E、F在直线l同侧，请你在直线l 上画出一点P，使得PE+PF的值最小；（Ⅲ）如图③，点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最小、（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】（I）图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；（II）图2，作E关于直线的对称点，连接FE′即可；（III）图③，画出图形，作N的对称点N′，作NQ∥直线l，NQ=1cm，连接MQ得出点O即可、解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB最小，理由是：两点之间，线段最短；（II）如图②，先作点E关于直线l的对称点E′，再连接E′F交l于点P，则PE+PF=E′P+PF=E′F，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；（III）如图③，作N关于直线l的对称点N′，过N′作线段N′Q∥直线l，且线段N′Q=1cm，连接MQ，交直线l 于O，在直线l上截取OP=1cm，如图，连接NP，则此时MO+OP+PN 的值最小、讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力、教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题3】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点、若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△CDM周长的最小值、【答案】10【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论、解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=4AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+4=8+2=10、讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键、教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习3、1】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值、【答案】5【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5、解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C 和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=5，即BF+EF=5、故答案为：5、讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用、教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题4】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸、关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的、解：如图，作BB垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，则PD∥BB′且PD=BB′，于是PDBB′为平行四边形，故PB′=BD、根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短、故桥建立在PD处符合题意、讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题、目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法、教学建议：将3条线段进行转化成一条线段、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习4、1】作图题（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线、（2）如图2，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示、试问：桥CD建在何处，才能使A 到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置、【答案】见解析【解析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题、（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置、解：（1）根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如图1所示：（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置、如图2，讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图、教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题5】如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是多少？【答案】30【解析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小解：连接PB、由题意知，∵B、C关于直线MN对称，∴PB=PC，∴PC+PD=PB+PD，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，连接BD交MN于P，∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴PA=PC，∴∠PCD=∠PAD=30讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型、教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题、难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习5、1】已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为多少？【答案】10cm【解析】连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线、解：连接PC，∵△ABC为等边三角形，D 为AB的中点，∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm、讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，注意灵活应用等边三角形的性质、教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题、难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题6】如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹、【答案】见解析【解析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求、解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求、理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短、讲解用时：5分钟解题思路：本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型、教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习6、1】知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）【答案】见解析【解析】作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F、此时△PEF周长有最小值；作图如下：讲解用时：3分钟解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键、教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：【例题7】如图，∠AOB=30，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值、【答案】【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可、解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N、连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件、连接OM、ON，由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8，∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=230=60，则△MON为等边三角形，∴MN=8，∵QP=QM，RN=RP，∴△PQR周长=MN=8，讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用、教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点、难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：【练习7、1】如图，∠AOB=30，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R、若△PQR周长最小，求它的最小值、【答案】10【解析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM、作PN⊥O B与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN、连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形、再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解、解：设∠POA=θ，则∠POB=30﹣θ，作PM⊥OA与OA 相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM、作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN、连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形、∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF、∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30﹣θ）=60，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10、故答案为：10、讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答、教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题、难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2021课后作业【作业1】如图，在铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场C，货场应建在什么地方，才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短？【答案】见解析【解析】作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则点C即为所求点、解：如图所示：讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：【作业2】用三角板和直尺作图、（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧、（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小、（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大、【答案】见解析【解析】（1）作点A关于直线l的对称点，再连接解答即可；（2）连接BA，延长BA交直线l于N，当N即为所求；解：（1）如图所示：（2）如图所示；理由：∵NB﹣NA≤AB，∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大、讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：【作业3】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F是AD边上的动点，求BF+EF的最小值、【答案】 6【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6、解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF 最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C 和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90，在△AD B和△CEB中，∵，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6、讲解用时：3分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：【作业4】如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30，OP=8cm，M，N 是OA，OB上的两个动点，则求△MPN周长的最小值？【答案】8【解析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小、解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN、∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=8cm、∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8cm、故答案为：8、讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2021。
最短路径问题(新)课件人教版八年级数学上册ppt优秀课件
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
A
连接A′B，交直线b于点N.
A′
M′
点 N 即为所求.
a
N′ b N
B
初中数学
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
A
连接A′B，交直线b于点N.
A′
M M′
点 N 即为所求.
a
N′ b N
B
初中数学
初中数学
A
作法：将A沿与河岸垂直的方向
l
A′′
初中数学
初中数学
问题转化为：当点Q在什么位置时，A′Q+QB最小．
a A A′
作A′关于直线l的对称点A′′
B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点 即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ， 使得四边形APQB的周长最小．
初中数学
练习 已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作 两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四 边形APQB的周长最小． 作法：
在直线b上任取一点N′ ，
过N′作N′M′⊥a 已连知接线 A′B段，a交，直点线A、b于B在点直N.线l的同侧，在A直线l上求作两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．
② 利用平移，实现线段的转移. 当点Q在什么位置时，AP+PQ+QB+BA最小．
连接AM′，A′N′，N′B
即AM+NB< AM′+N′B
A′
如何证明这条路径AMNB最短？ 当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 连接A′B，交直线b于点N. ① 实际问题用数学语言表达.
八年级最短路径问题归纳小结
八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】PA +PB +PC 值最小． AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A ．23B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．32D ．43．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），A DEPBC DACMABMN且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． 8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ，此时 C 、D 两点的坐标分别为 ．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA -的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCEDEABCy xBOACDyxBOA yxBOA yxBAO的度数．11．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF ＝CD；（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B 点路径最短？。
八年级最短路径问题归纳小结之欧阳美创编
八年级数学最短路径问题时间：2021.01.01 创作：欧阳美【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理连AB，与l交点即为两点之间线段最短．在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小． P ．PA+PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小． 作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为AB ＇． 【问题3】作法图形 原理上分别求、在直线点M 、N ，使△PMN 的周长最小． 分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM+MN+PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长． 【问题4】 作法图形 原理上分别求、在直线点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小． 分别作点Q 、P 关于直＇Q 的对称点、线和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题5】“造桥选址” 作法 图形原理、，在∥直线、M ，上分别求点，且MN ⊥，使N AM+MN+BN 的值最小．将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连，过N 于点，交B ＇A ．M 于NM ⊥作N两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇B+MN ．【问题6】 作法图形原理N 、M 上求两点在直线（M 在左），使，并使AM+MN+NB 的值最小．个长向右平移A 将点度单位得A ＇，作A ＇ ＇＇，A 的对称点关于，交直线B ＇＇A 连 于点N ，将N 点向左平．M 个单位得移两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇＇B+MN ．【问题7】作法 图形原理上，在A 上求点在求点B ，使PA+AB 值最小．的对称点关于P 作点于B ⊥＇P ＇，作P ．A 于，交B点到直线，垂线段最短．PA+AB 的最小值为线段P ＇B 的长．【问题8】 作法图形原理为B 上一定点，为A 上求上一定点，在，N 上求点，在M 点使AM+MN+NB 的值最小．的对称点关于A 作点的关于B ＇，作点A 对称点B ＇，连A ＇B ＇．N 于，交M 于交两点之间线段最短． AM+MN+NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】 作法 图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0．【问题10】作法图形原理l PB'ABl 1l 2N MP''P'Pl 1l 2NMP'Q'Q Pl 1l 2P Qm n M NA'BA l a ABM N mnABM N lA''A'BAM Nl 1l 2A BP'Pl 2l 1ABNM l 2l 1M N A'B'ABlPBA在直线l 上求一点P ，使的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ．的最大值＝AB ．【问题11】 作法 图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ＇．最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短． PA+PB+PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ） A ．B ．C ．3D ．2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC′、AD′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．C ．D ．43．四边形ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）lPABlBPAB'PEDCBAAD EP B CABMNA ．120° B．130° C．110° D．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是．5．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB ＝6，点E在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合）， 且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC 中，∠C＝90°，则有）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B(，0)．OC 平分∠AOB，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在轴上，D 在轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为． 9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标；yxBO ADA CMyxBAO（2）P 为轴上一动点，求的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC+CD+DB 的最小值和此时C 点的坐标； 10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ，求证：AF+BF+CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A，∠C 均小于120°，求作一点P ，使PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．12．荆州护城河在CC ＇处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD ＇、EE ＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A 到B 点路径最短？时间：2021.01.01创作：欧阳美yxBO AC D y xBOA。
八年级最短路径归纳小结
......八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：-①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．-③确定起点终点的最短路径问题-求图中所有的最短路径．④全局最短路径问题【问题原型】．，“造桥选址”，“费马点”“将军饮马”【涉及知识】，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．“两点之间线段最短”【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题【问题1】作法图形原理A A连，与交点即为．Pl两点之间线段最短．l lPABPAPB AB．最小值为+B在直线上求一点，使B l PPAPB值最小．+2】“将军饮马”作法【问题图形原理A AB l BB＇关于作的对称点两点之间线段最短．B l＇．连＇，与交点即为．最小值为+ A Bll PA PBA BPP P l，使在直线上求一点B'PAPB值最小．+【问题3】作法图形原理P'l l 11P 关于两直线的两点之间线段最短．分别作点M P+ +＇，的最小值为对称点＇和＇，连＇P lPM MNPNPPPP2M N PP＇＇的长．．线段，＇与两直线交点即为l l、上分别求点在直线l212NM N PMN的周长最、，使△P''小．【问题4】作法图形原理l 1l1Q'QQ P 关于直线、分别作点Q两点之间线段最短．MP P Q、l l ＇的对称点＇和PQMN周长的最21小四边形Pl2＇＇，与两直线交点即连Q P P P＇的长．＇值为线段l 2、l l上分别求点在直线N M．，为N21MN PQMN的周，使四边形、P'长最小．5】“造桥选址”作法图形【问题原理学习参考......A A M m两点之间线段最短．MN A的长度将点向下平移A'M n N m A AB于，交＇单位得n＇，连AMMNBN的最小++B n．，点，过作⊥于∥直线，在、ABMN．＇+值为N MNNNM nmnmm B NM MN，使上分别求点、AMMNBN的++⊥m ，且值最小．图形原理】6作法【问题A A'A A 个长度向右平移将点a B B两点之间线段最短．l A A的＇，作单位得＇关于l a l M N B A A，交直线，连对称点＇＇AMMNBN的最小++NM ABMN．＇值为+ N M l N Ml N点向左平移（、于点在直线上求两点，将A''Ma MN．个单位得在左），使，并使a 的值最小．+ + AMMN NB图形原理】7作法【问题l l11P'P点到直线，垂线段最短．P l 的对称点关于作点P1A PAAB的最小值为线段+ l BP PB l B P，交⊥＇＇，作于＇l 222A．于的长．l 2 l A l 上求上求点，在在21B AB B PA值最小．点+，使图形原理】【问题8作法l 1B'N A l 1l A 的对称点关于作点l22BM 两点之间线段最N l B A关于＇，作点的对称1A NBMNAM的最小+短．+l l l点＇，连＇＇交为MB221A BAB 于上上一定点，为，AB＇的长．＇值为线段l 2BM l l 交上求点NM．，于一定点，在12A'l 在N 使，点上求1NBMNAM的值最小．++图形原理】【问题9作法A A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．B AB AB的中垂线与，作连l l P l ．的交点即为直线PA PB ＝0．P P l ，使上求一点在直线的值最小．PA PB图形原理】【问题10作法学习参考......A三角形任意两边之差小于A B AB．≤PBPA第三边．的交作直线，与直线l l B AB．点即为l P P P l ，使在直线上求一点AB．＝PB 的最大值PAPA PB 的值最大．【问题11】作法图形原理A三角形任意两边之差小于AB l B＇作的对称点关于l B'第三边．PAAB＇．≤PB l l A B交点即作直线＇，与B P．为B PAB＇．＝PB 最大值PA P l，使在直线上求一点PA PB 的值最大．【问题12】“费马点”作法图形原理A所求点为“费马点”，即满D APC APB BPC＝∠足∠＝∠A°．以＝120 为边、两点之间线段最短．E ACAB CB PAPBPC CD．＝+最小值+ACEABD，、△向外作等边△P，点连、相交于△中每一内角都小于CB ABC PPCD BEABC内求一点120°，在△即为所求．P PAPBPC值最小．，使++【精品练习】12，△是等边三角形，点在正方形．如图所示，正方形的面积为内，在对角线上有一点E ACABE1ABCDABCD）+，使的和最小，则这个最小值为（PPD PE AD2 32 66ADB C．．．3．PEBCABCD ABC ACD A AC AD′绕点′°，若将△2 2．如图，在边长为的菱形旋转，当中，∠、＝60CDBC分别与交、E F CEF的周长的最小值为（、）于点，则△A．2B．2 3C．23D．4ABCDBDCBCCD上分别找一、70＝°，在3．四边形中，∠＝∠°，∠＝90MN AMN AMN ANM∠点∠+、，使△的周长最小时，AD学习参考BN......的度数为（）B．130°C．110°D．A．120°140°BACBACBC D M N AD AB上于点分别是，和2 ，∠＝45°，∠、的平分线ABABC的 4 交4．如图，在锐角△＝中，CMN BM的最小值是+动点，则．D MA B NB C重、RtABCCBABEABDBC边上（不与点合），在边上，点＝6，点5．如图，△中，∠＝90°，∠在＝30°，且＝，则线段的取值范围是．EDAEAE A ECD BOB OA 上，则、AOBMNOAOBOMONPQMP分别在边，、、＝分别在边3、上，且，点＝6．如图，∠＝30°，点1的最小值是_________ ．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即△＋＋Rt PQ QN中，∠＝90 °，则有222ABCCACBCAB）7．如图，三角形△＝15°，点(6 3，0)．轴的正半轴，坐标为＝∠在中，∠ABCOABAOBBxBMA MNOC AOB M OC 的最小值是平分∠的延长线上，，点＋在NOA上的点，则______．为边点A B C y D ABCD的x在轴上，则四边形）．）、（8．已知2，4（4，2在轴上，，周长最小值为y学习参考AB...... D C ．此时两点的坐标分别为、．已知9BA）．11）、2，（，（4y PBPPA P 的最小值和此时+ x （1）轴上一动点，求为点的坐标；B A x O P P 的值最大时PB 轴上一动点，求PA （2）为x 点的坐标；yBAOxCDD C CD ACCDDB C点的坐标；点右边且+＝+1，求当（3）的最小值和此时为x 轴上一条动线段，在yBAOC DxCAOB内一点．10 ．点为∠OAD OB E CDE上求作点，求作点（1）在的周长最小，请画出图形；，使△AOB OC CDE DCE周长的最小值和此时∠30°，，求△＝）在（（2 1）的条件下，若∠＝10的度数．ACO B学习参考......ABD ACE均为等边三角形，BE CE F AF AFBFCF11 ．（1）如图①，△CD和△；，求证：+、+交于＝，连ABCABCABBC＝8，∠A，∠C 均小于120°，求作一点P＝6，PAPB（2）在△PC中，∠30＝°，的值最，使++小，试求出最小值并说明理由．DAA EF B C图②B C图①．荆州护城河在＇处直角转弯，河宽相等，从12 ＇，护城河及两桥都是处，需经过两座桥＇、处到达BA EECCDDB A 点路径最短？到东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使所有努做事上上计较人，不能干的年越来易，可是每天奋斗就来越容一年一难，可斗就是么是奋要练好是羊就就要练能面壁，也不！宁可能闲死在路上宁可累死，也不在家里去碰壁。
八年级最短路径问题归纳小结之欧阳道创编
八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】 作法 图形 原理在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小． 连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为AB ． 【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小． 作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为AB ＇． 【问题3】作法图形 原理上分别求、在直线点M 、N ，使△PMN 的周长最小． 分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形 原理上分别求、在直线点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小． 分别作点Q 、P 关于直＇Q 的对称点、线和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题5】“造桥选址” 作法 图形原理、，在∥直线、M ，上分别求点，且MN ⊥，使N AM+MN+BN 的值最小．将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连，过N 于点，交B ＇A ．M 于NM ⊥作N两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇B+MN ．【问题6】 作法图形原理N 、M 上求两点在直线（M 在左），使，并使AM+MN+NB 的值最小．个长向右平移A 将点度单位得A ＇，作A ＇ ＇＇，A 的对称点关于，交直线B ＇＇A 连 于点N ，将N 点向左平．M 个单位得移两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇＇B+MN ．【问题7】作法 图形原理上，在A 上求点在求点B ，使PA+AB 值最小．的对称点关于P 作点于B ⊥＇P ＇，作P ．A 于，交B点到直线，垂线段最短．PA+AB 的最小值为线段P ＇B 的长．【问题8】作法图形原理为B 上一定点，为A 上求上一定点，在，N 上求点，在M 点使AM+MN+NB 的值最小．的对称点关于A 作点的关于B ＇，作点A 对称点B ＇，连A ＇B ＇．N 于，交M 于交两点之间线段最短． AM+MN+NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】 作法 图形 原理l PB'ABl 1l 2N MP''P'Pl 1l 2NMP'Q'Q Pl 1l 2P Qm n M NA'BA l a ABM N mnABM N lA''A'BAM Nl 1l 2A BP'Pl 2l 1ABNM l 2l 1M N A'B'AB在直线l 上求一点P ，使的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0． 【问题10】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ．的最大值＝AB ． 【问题11】 作法 图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ＇．最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短． PA+PB+PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．B ．C ．3D ．2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC′、AD′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．C ．D ．4lPBAlPABlBPAB'PEDCBAADEPB C3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120° B．130° C．110° D．140°4．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），且ED＝AE，则线段AE的取值范围是．6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有）7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(，0)．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在轴上，D在DAM ABMNyA轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为． 9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P点的坐标；（2）P 为轴上一动点，求的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC+CD+DB 的最小值和此时C 10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ，求证：AF+BF+CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于120°，求作一点P ，使PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．12．荆州护城河在CC ＇处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD ＇、EE ＇，护城河及两yxBO ACDyxBOAy xBOA桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。
八年级最短路径问题归纳小结之欧阳史创编
八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】在直线l 上求一点P ，使PBPA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线AB ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PBPA -≤AB ＇．PBPA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠AP C ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△AC E ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短．PA +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23．26．3 D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．32+D ．43．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．l A BlB PAB'A BCPEDBAAD EP BCDCMABMN5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为． 9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA -的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．DEABC yxBAyxBO Ay xBO AyxBAO（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．11．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD；（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？创作：欧阳史。
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八年级地理最短路径问题
最短路径问题是地理学中一个重要的概念。
它主要用于确定两个地点之间的最短距离，以便为旅行和导航提供指导。
问题描述
最短路径问题可以用以下方式描述：给定一个地理区域，其中包含多个地点和连接这些地点的道路或路径，我们需要找到从起点到终点的最短路径。
解决方法
解决最短路径问题的方法有很多。
其中一个常用的方法是使用迪杰斯特拉算法。
该算法通过计算每个节点到起点的最短距离，并通过比较不同路径的距离来更新最短路径。
最终得到的最短路径将是从起点到终点的路径。
另一个解决最短路径问题的方法是使用弗洛伊德算法。
该算法通过计算任意两个节点之间的最短距离来解决问题。
它采用动态规划的策略，逐步更新路径的长度，直到找到最短路径。
应用
最短路径问题在实际生活中有广泛的应用。
例如，在导航系统中，我们经常使用最短路径算法来找到从起点到终点的最短驾驶路线。
在物流中，最短路径算法可以用于优化货物运输路线，减少运输成本。
此外，在城市规划中，最短路径问题也可以被用来确定最佳的交通路线规划。
总结
八年级地理最短路径问题是一个重要的地理学概念。
通过使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法等解决方法，可以找到起点到终点的最短路径。
最短路径问题在实际应用中具有广泛的用途，包括导航系统、物流和城市规划等领域。