《二次根式(第3课时)》教案 (公开课)2022年

第二章 实数

7．二次根式〔第3课时〕

一、学生情况分析

前面学习了实数，实数的运算法那么，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四那么运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏．为今后的学习扫清计算方面的障碍． 二、教学任务分析

二次根式〔第3课时〕是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章?实数?第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续稳固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．

二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算根本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。假设能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题根本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。因此本节课的目标定为： 1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。 2.了解根号内含有字母的二次根式的化简

3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题． 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．

4.在运算过程中稳固知识，通过与人交流总结方法． 根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点． 三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识稳固； 第三环节：问题解决 ；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结； 第六环节：作业布置. 第一环节：复习引入 内容：

〔1〕最简二次根式的概念；

〔2〕二次根式化简过程中，你有哪些体会？

〔3〕上节课课后作业：假设414.12≈，732.13≈，449.26≈，求

2

3

．你

是怎样解决的？

意图：借助复习，在稳固旧知的同时，导入新课． 第二环节：知识稳固 1.稳固提升 例6计算：

〔1〕

322

3-；〔2〕81

818+-；〔3〕3)6124(÷-；〔4解：〔1〕

322

3-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3121(-＝661

； 〔2〕81818+

-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝24

5； 〔3〕3) 6124(÷-

＝ 361324÷-÷＝ 361324÷-÷ ＝ 3618⨯-

＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 26

11

；

〔4. 说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．

2.交流

收集第〔3〕小题有多少种解决方法．让学生说说想法． 3.反思

以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？ 4.练习 化简： 〔1〕

10152-；〔2〕31312+-；〔3〕8)2

118(⨯-． 解：〔1〕

10152-＝10101015552⨯⨯-⨯⨯＝101011051-＝1010

1

；

〔2〕31312+

-＝3331334⨯⨯+-⨯＝331332+-＝33

4； 〔3〕8)2

118(⨯-

＝821818⨯-⨯＝821818⨯-⨯

＝82

1

818⨯-

⨯＝4144-＝212-＝10． 第三环节：问题解决

如以下列图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形 的面积，你有哪些方法，与同伴交流．

1.交流

让学生充分发表意见． 2.答案

〔1〕直接求法．

过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE 都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得： AB ＝25， CD ＝2，DE ＝23，面积梯形ABCD 的面积是

23)225(2

1

⨯+＝18. 〔2〕间接求法．

将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的

面积，得梯形ABCD 的面积是112

1

2421552175⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯＝18．

*第四环节：知识提升〔教师根据实际情况进行〕 1.知识探索

问题：2a 〔0>a 〕等于多少？

根据算术平方根的定义，可知a a =2〔0>a 〕． 2.知识运用 例7 化简：

〔1〕3325b a 〔0>a ，0>b 〕；〔2〕3)(y x +〔0≥+y x 〕；〔3〕

a

b

b

a

〔0>a ，

0>b 〕．

解：〔1〕3325b a ＝ab b a ⋅2225＝ab b a ⋅2225＝ab ab 5； 〔2〕3)(y x +＝)()(2y x y x +⋅+＝y x y x ++)(； 〔3〕

a b b

a

＝2

a a

b b a ＝ab a b a 1⨯＝ab b 1

． 3.课堂练习

1.当0>a ，0>b 时化简： 〔1〕)(

a b

b a ab +；〔2〕324b a ；〔3〕ab b a

⨯-)1(； 〔4〕b

a

a b ab a 155

102÷⋅． 解：〔1〕)(

a b b a ab +＝a b ab b a ab ⨯+⨯＝a

b ab b a ab ⨯+⨯ ＝22b a +＝b a +；

〔2〕324b a ＝b b a ⋅2222＝b b a ⋅2222＝b ab 2； 〔3〕ab b a

⨯-)1(

＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a ⨯-⨯1＝a b b ⨯-2

＝a b b -； 〔4〕b a a b ab a

155102

÷⋅＝b a a b ab a ÷⋅÷⨯)15510(2

＝a

b a 32310⋅

＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a ba b a ⋅⋅＝222310a

ab b a ⋅⋅＝ab a b

a ⋅⋅2310

＝

ab ab 3

10

． 2. 求代数式ab b a

⨯-)1

(

的值，其中3=a ，2=b ． 解：由题知0>a ，0>b ．

ab b a ⨯-)1(

＝ab b ab a ⨯-⨯1＝ab b ab a

⨯-⨯1＝2ab b -

＝a b b -．

当3=a ，2=b 时，a b b -＝322-． 第五环节：课堂小结 〔1〕二次根式的化简：

二次根式的化简一定要化成最简二次根式．

〔2〕利用式子a a =2〔0>a 〕可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式． 第六环节：课后作业 习题 2．11 1， 3 补充作业：

化简：〔1〕)263)(232(+-； 〔2〕)4838

1

4

122(23+-； 〔3〕)0,0()2

(≥≥⋅+-y x xy y

x

x

y

xy ； 〔4〕)0,0()(33≥≥⋅-+b a ab ab ab b a ； 〔5〕)0(4

322763232≥+-

a a a

b a b ab a ． 答案：〔1〕64216-；〔2〕6648-；〔3〕x y xy +-2；〔4〕ab ab ab b a -+22；〔5〕

a ab

32

5． 五、教学反思

本节课继续熟练二次根式的化简，要求化成最简二次根式．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到熟练并能灵活运用．

本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简，仍然要求化成最简二次根式．这局部内容对学生的根底要求较高，根底不好的班级可降低难度． 平行四边形

的性质

总体说明

〔1〕本节的主要内容包含平行四边形的性质。教学中可以通过让学生举实际生

活中的例子，以加深学生对平行四边形的认识。

〔2〕教学中应引导学生通过操作与探索，发现平行四边形是中心对称图形，在此根底上认识平行四边形的性质。

〔3〕探索平行四边形的性质，熟练的运用平行四边形的性质解决问题。 第一课时

重点：平行四边形的概念和性质 难点：探索平行四边形的性质 解决过程 环节1：

学生举生活中平行四边形的实例；

回忆概念“两组对边分别平行的四边形，叫平行四边形〞 并据此性质从图16.1.1中找出平行四边形。 环节2：【探究】

学生操作探索：如图16.1.2，在方格纸上画一个平行四边形。

如图16.1.2，用剪刀把ABCD 从方格纸上剪下，再在一张纸上沿ABCD 的边沿，画出一个四边形，记为EFGH 。在ABCD 中连接AC 、BD ，它们的交点记为O 。用一枚图钉在O 点穿过，将ABCD 绕点O 旋转180度。观察旋转后的180度和纸上所画的

EFGH 是否重合。根据观察结果，运用上一章所学的知识，你能探

索出ABCD 中存在哪些相等的边与相等的角？

让学生用数学语言描述观察和探索的结果，再试用文字总结，得“平行四边形的对边相等，对角相等〞 。【注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是

(H)

(G)

(F)(E)D C B

A

O

H G

F

E

D

C B

A (B)(D)

(C)(A)

H G F E 图16.1.3

指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．〔教学时要结合图形，让学生认识清楚〕】【〔相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和七年级学的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．〕】

环节3：

理解和稳固：

例1 如图16.1.4，在ABCD中，∠A=40度，

求其他各个内角的度数。

例2 如图16.1.5，在ABCD中，AB=8，周长为24，求其余三条边的长

环节4、〔随堂练习〕

1．填空：

〔1〕在ABCD中，∠A=

50，那么∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．〔2〕ABCD中，∠A—∠B=240°，那么∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= ．〔3〕如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．

〔4〕在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有．

第2课时

重点、难点

重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．

难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算

二解决过程

环节1

1．复习提问：

〔1〕什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：

〔2〕平行四边形的性质：

①具有一般四边形的性质〔内角和是 360〕． ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 边：平行四边形的对边分别平行且相等． 环节2【探究】：

在像上节课有图16.1.3那样的旋转过程中，让学生探究OA 与OC 、OB 与OD 的关系

〔1〕平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； 〔2〕平行四边形的对角线互相平分

注意：教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法．如图，设平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，假设AC 与BD 互相平分，那么有OA ＝OC ，OB ＝OD ． 环节3： 理解和稳固：

例3如图16.1.6，在ABCD 中，对角线AC 和BD 相交与点O ，△AOB 的周长为15，AB=6，那么对角线AC 与BD 的和是多少？ 环节4、〔随堂练习〕

1、如图，ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AC=8，OB=6，那么OA= ，OC= OD= BD=

2、在ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,AC ＋BD=24,且AC=3BD,那么OA= OB=

3、在平行四边形ABCD 中，周长等于48， ① 一边长12，求各边的长 ② AB=2BC ，求各边的长

③ 对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长

第3课时：平行线间距离处处相等的性质 一、重点：平行线间距离处处相等的性质

难点：平行四边形性质与平行线间距离处处相等性质的应用

O

D

C

B

A

二、解决过程 环节1：

学生回忆：平行四边形的性质 环节2：

平行四边形性质的应用：

例1平行四边形的一个内角比它的邻角大42度，求四个内角的度数。 例2如图，在ABCD 中，AE 垂直于CD ，E 是垂足。如果∠B=42°,那么∠D 与∠DAE 分别等于多少度？

例3如右上图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，两条对角线的和为36厘米，CD 的长为5厘米，求三角形OCD 的周长。 环节3： 学生实践操作：

在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取假设干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间的垂线段的长度。 学生探索：你发现什么结论？在其中一条直线上再取一点，验证一下。 教师给出概念“两条平行线之间的距离〞

学生试总结平行线的性质：平行线之间的距离处处相等。 环节4：学生稳固：

例4如图，如果直线m ∥n,那么△ABC 的面积和△DBC 的面积是相等的。你能说出理由吗？你还能在两条平行线m 、n 之间画出其他与△ABC 面积相等的三角形吗？

第4课时：平行四边形的综合练习

E

D

C

B

A

O

D

C

B

A

m

D

C

B

A

n

一、重点：平行四边形的性质的综合应用

难点：开展学生进一步的推理能力和解决问题的能力

二、解决过程

环节1：

学生回忆：平行四边形性质。

题组一：〔复习〕

1、在ABCD中，假设∠A+∠C=130,那么∠A= ，∠B=。

2、在ABCD中，假设周长为40厘米，两邻边AB与AD之比为：3：2，那么CD= AD= 。

3、ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是〔〕。

A 1：2：3：4

B 1：2：2：1

C 1：2：1：2

D 2：2：1：1

环节2：

例1、四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．

分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高〔高为此底上的高〕，可求得ABCD的面积．〔平行四边形的面积小学学过，再次强调“底〞是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底〞，“底〞确定后，高也就随之确定了．〕

解略．

环节3：

题组二〔稳固〕

1、在ABCD中，AB=10，AB与CD之间的距离为6，那么S ABCD=

2、平行四边形一边长为10，那么它的对角线长度可以为〔〕。

A.8和12

B.20和30

C.6和8

D.4和6

3、平行四边形被一条对角线分得的两个三角形〔〕。

A、关于该对角线成轴对称

B、关于该对角线的中心成中心对称

C、既关于该对角线成轴对称，又关于该对角线的中点成中心对称

D、既不关于该对角线成轴对称，又不关于该对角线的中点成中心对称

环节4：

思考与探究〔提高〕

1、如图，假设P 点是ABCD内的一点，连接AP、BP、CP、DP，假设△APB 的面积是40平方厘米，△BPC的面积是25平方厘米，△CPD的面积是15平方平方，请问根据题目所给条件能求出△PAD的面积吗？如能，请求出△PAD的面积；如不能，请说明理由。

P

B