考点05 数列的新定义问题(学生版)

考点05 数列的新定义问题数列的新定义问题，是近几年高考的新题型，主要北京卷考查比较多。

例如：2020年北京高考[21],2020年江苏高考[20],2021年北京高考[21]，2022年北京高考[21]等都对数列的新定义问题进行了考查。

〔1〕新定义数列问题的特点：通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的。

〔2〕新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决。

例1．（2022·北京·高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈，在Q中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥，使得12i i i i j a a a a n +++++++=，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++<，求证：7k ≥．例2．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列： ①10a p +≥，且20a p +=； ①414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；①{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由； （2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．1．设n *∈N ，若无穷数列{}n a 满足以下性质，则称{}n a 为k C 数列：①()()110n n n n a a a a +--->，（n *∈N 且2n ≥）．①1n n a a +-的最大值为k ．(1)若数列{}n a 为公比为q 的等比数列，求q 的取值范围，使得{}n a 为k C 数列． (2)若k C 数列{}n a 满足：n *∀∈N ，使得21,,n n n a a a ++成等差数列， ①数列{}n a 是否可能为等比数列？并说明理由；①记数列{}n b 满足21n n b a -=，数列{}n c 满足2n n c a =，且12a a >，判断{}n b 与{}n c 的单调性，并求出1n n a a k +-=时，n 的值．2．已知等比数列{}n a 为递增数列，11a =，12a +是2a 与3a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若项数为n 的数列{}n b 满足：1i n i b b +-=（1i =，2，3，…，n ）我们称其为n 项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列{}n c 为()212k k -≥项的“对称数列”，其中1c ，2c ，3c ，…，n c 是公差为2的等差数列，数列{}n c 的最大项等于4a .记数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，若2132k S -=，求k . 3．已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列． (1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列； (3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k =是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值4．定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．5．已知无穷数列12:A a a ，，满足：①*N (12)i a i ∈=，，；①1i j i j i j a a a a a ++≤≤++（12i =，，；12j =，，；3i j +≥）.设*i a 为(12)i a i =，，所能取到的最大值，并记数列***12:A a a ，，.(1)若11a =，写出一个符合条件的数列A 的通项公式；(2)若121a a ==，求*4a 的值；(3)若1212a a ==，，求数列*A 的前100项和. 6．已知数列{}n a 为无穷递增数列，且11a =．定义： 数列{}k b ：k b 表示满足i a k ≤的所有i 中最大的一个．数列{}k B ：k B 表示满足i a k ≥的所有i 中最小的一个（1i =，2，3…）(1)若数列{}n a 是斐波那契数列，即121a a ==，21n n n a a a ++=+，（1n =，2，3，…），请直接写出10b ，10B 的值； (2)若数列{}n a 是公比为整数的等比数列，且满足345b b b <=且34B B =，求公比q ，并求出此时3b ，4b 的值； (3)若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，求所有可能的d ，使得{}n b ，{}n B 都是等差数列． 7．已知数列{}n a ，给出两个性质：①对于任意的*i N ∈，存在i k R ∈，当*,j i j >∈N 时，都有()j i i a a k j i -≥-成立；①对于任意的*,2i i ∈≥N ，存在i k R ∈，当*,j i j <∈N 时，都有()j i i a a k j i -≥-成立．(1)已知数列{}n a 满足性质①，且()*2i k i N =∈，141,7a a ==，试写出23,a a 的值； (2)已知数列{}n b 的通项公式为132n n b -=⨯，证明：数列{}n b 满足性质①；(3)若数列{}n c 满足性质①①，且当*,2i N i ∈≥时，同时满足性质①①的i k 存在且唯一.证明：数列{}n c 是等差数列． 8．设数列()12:,,,2n A a a a n ≥.如果{}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈=，且当i j ≠时，()1,i j a a i j n ≠≤≤，则称数列A 具有性质P .对于具有性质P 的数列A ，定义数列()121:,,,n T A t t t -，其中()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==-⎨⎩＜＞.(1)对():0,1,1T A ，写出所有具有性质P 的数列A ； (2)对数列()121:,,,2n E e e e n -≥，其中{}()0,11,2,,1i e i n ∈=-，证明：存在具有性质P 的数列A ，使得()T A 与E 为同一个数列；(3)对具有性质P 的数列A ，若()115n a a n -=≥且数列()T A 满足()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==-⎨⎩为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.9．如果无穷数列{}n a 是等差数列，且满足：①i ∀、*j ∈N ，*k ∃∈N ，使得i j k a a a =；①*k ∀∈N ，i ∃、*j ∈N ，使得i j k a a a =，则称数列{}n a 是“H 数列”.(1)下列无穷等差数列中，是“H 数列”的为___________；（直接写出结论）{}:1n a 、3、5、{}:0n b 、2、4、{}:0n c 、0、0、{}:1n d -、0、1、(2)证明：若数列{}n a 是“H 数列”，则1a ∈Z 且公差d ∈N ；(3)若数列{}n a 是“H 数列”且其公差*d ∈N 为常数，求{}n a 的所有通项公式.10．给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=且212a a -=，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意*n ∈N 都有0n S ≠，且12111111818n S S S <+++<，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =． 12．若数列{}n a 同时满足下列两个条件，则称数列{}n a 具有“性质A ”. ①212n n n a a a +++>(n *∈N )；①存在实数A ，使得对任意*n ∈N ，有n a A ≥成立. (1)设245,sin4n n n a n n b π=-+=，试判断{},{}n n a b 是否具有“性质A ”；(2)设递增的等比数列{}n c 的前n 项和为n S ，若2371,2c S =-=-，证明：数列{}n S 具有“性质A ”，并求出A 的取值范围；(3)设数列{}n d 的通项公式()122*222n n nt n nt t d n ++++=∈N ，若数列{}n d 具有“性质A ”，其满足条件的A 的最大值010A =，求t 的值.。