导数在数学中的应用
剖析导数在高中数学中的几种应用
＝ｘ ３ 斗 ｘＬ＿９ — ｌ ｘ 。
（） ２ 函数 ｆ ） （ 的单调区间 。 ｘ
吸取意见改进 自己的教育 教学方法 。 ５坚持民主管理， 师互评 。 、 教 任何评优 评先、 教师晋级 、 民主考核 ， 都是教师先 自我 申报， 再由全体教师投票 产生 。 时， 平 校长还 经常和 教师个 别谈话 ， 针 对 教 师 的进 步 、 异 表 现 、 作 中 的 不 优 工 足进行真诚的交流 ， 从而促 进教师不断完 善 自身 。 （ 、 思 中 实 践— — 促进 教 师 素 养 五） 反 的转 化 。 如果说对 教师的培 训是 一个接 受过 程 的话 ，那么教师 自我 的反 思则 是内省、 强化 、 高 的过 程 ， 反 思 后 的 再 实 践 更 提 而 是教 师 专 业 升 华 的 过 程 。 管 我 们 的校 本 不 培训还是 教科研 、 教师评 价 ， 我们 都尤其 注重教师对过程 的反思和在 实践 ， 基本遵 僭 研 ， ‘ 讨— — 实 践— — 反 思 ” 的活 动 流 程 。 总之 ， 师 的 专业 发 展 是 一 个 逐 步 发 教 展 的动 态 过 程 。所 以 ， 们 的 努 力 不 见 得 我
初等方法研究要方便得多。 １ 数 在单 调性 中 的应 用 ． 导 函数 的单 调性是 函数最基本 的性质 之一 ， 是研 究 函数 所 要 掌握 的最 基 本 的知
识 。通 常 用 定 义 来 判 断 ， 当 函数 表 达 式 但 较 复 杂 时 判 断 ｆｘ）一ｆｘ 正 负 较 困难 。 （。 （ ） 运 用 导数 知 识 来 讨 论 函 数 单 调 性 时 ， 需 只 求 出 ｆｘ， ’】 （ 再考 虑 ｆｘ的 正 负 即 可 。此 方 （）
令 ｆ（）Ｏ 解 得 ｘ — １ ２ ３ ／ ＝， ｘ １ ， ＝． ｘ 当 Ｘ∈（ ｏ ， １ 时，／ ）Ｏ故 ｆ ） 一 ｏ 一 ） ｒ ｘ＞ ， （ （ ｘ 在（ 一 ， １上 为 增 函数 ； 一 ）
导数的几何意义及运用解密
导数的几何意义及运用解密导数作为高等数学中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
它既是一个数学工具，也是一种具有丰富几何意义的概念。
本文将从导数的几何意义和运用两个方面对导数进行深入解析，以便更好地理解这一重要概念。
一、导数的几何意义导数在几何学中有着直观的几何意义，可以反映出函数曲线在某一点的切线斜率。
以二次函数y=x^2为例，在任意一点(x0,y0)处的切线斜率为y'=2x0。
因此，当x0=1时，切线斜率为2，当x0=-2时，切线斜率为-4。
从几何意义上来说，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。
通过导数这个工具，我们可以更好地理解各种函数曲线的特征。
例如，曲线函数y=x^3呈现上升趋势，斜率也在不断增长，因此导数y'=3x^2也在不断增长，说明曲线的增长速度在逐渐加快。
而曲线函数y=sin(x)的导数y'=cos(x)呈现周期性变化，反映出曲线函数的特殊周期性。
此外，导数还可以告诉我们函数曲线的局部凸凹性质。
在导数为正的区域里，函数曲线呈现向上凸的形态；反之在导数为负的区域里，函数曲线呈现向下凸的形态；而切线斜率为0时，则表示函数曲线处于转折点上。
由此可见，导数的几何意义在分析函数曲线的形态和特点方面有着重要的作用。
二、导数的运用解密导数在实际应用中被广泛运用，尤其在物理、工程等领域中有着广泛应用。
例如，通过导数我们可以求出物理系统中的速度和加速度，以及电路中的电流和电压。
以下将介绍导数在实际应用中的几个典型案例。
1. 物理中的速度和加速度物理中的运动，通常需要用速度和加速度来描述。
而这些运动的变化可以通过计算导数的方式来进行描述。
例如，当对于绕圆心旋转的物体而言，它的速度在变化的同时也在改变方向。
此时，我们可以通过计算该物体的速度矢量在时间上的导数来求取该物体的加速度。
2. 经济中的边际效用经济学中，经济学家会关注某一特定产量水平下的增益变化。
由于边际效用是一种导数，因此可以通过计算导数的方式来描述增益变化的相关性质。
论导数在高中数学中的应用
对 州
论导数在高中数学中的应用
周 萍
吉 林省德惠市德惠实验 中学 摘要 ： 在 高 中数 学中导数部分 的知识是相 当重要 的部分 ， （ 三） 利用导数求不等式 它是 高中数 学后继课程的基础也是 高考 中的热点 问题 ，蕴含 函数与不等式 的结合 出题是 高中数学 中比较常见 的 ， 这 着丰 富的数学思想 ， 在数 学解题 中的运 用广泛。 在 高中数 学中 种题型乍一看解决起来 比较 困难但是运用导数来解决就 比较 我们来看一个类型题。 引入导数增添 了高中数 学的活力 ，让数学题 目的解答 变得更 简单 ， 加灵活、 简单 。 本文主要 是对导数在 高 中数 学 中的应 用进行探 例： 对 于 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ｘ —ａ ） （ ｘ —ｂ ） ， 其中 Ｏ ＜ ａ ＜ ｂ ， 设ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ Ｓ ， ｘ ＝ ｔ 取 到极值， 其中 ｓ ＜ ｔ ， 求证： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 索， 希 望能够在 导数 的学习和使用 中起到一定的作用。 关键词 ： 高中数 学 导数 解题 证明： 首先求 ｆ （ ｘ ） 导数， 得： （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ —２ （ ａ ＋ ｂ ） ｘ ＋ ａ ｂ 由ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ ８和 ｘ ＝ ｔ 取到极值 ， 知： ｓ ， ｔ 是 二次方程 ｆ ， （ ｘ ） ＝ Ｏ 导数 是新课 改下新增 的内容 ，这一 内容在高中数学 的比 的两实根， 重越来越 多 ，导数 在数学 中的引入加深 了学生对于 函数 的理 又： ｆ ｔ （ ０ ） ＝ ａ ｂ ＞ Ｏ ｆ （ ａ ） ＝ ａ 一ａ ｂ ＝ ａ （ ａ －ｂ ） ＜ ０ ｆ （ ａ ） ＝ ｂ 。 一ａ ｂ ＝ ｂ （ ｂ － １ ＞ ０ 解， 激发 了学生 的创新思维 ， 并且 能够 引导 学生将数学知识运 ａ 即ｆ ， （ ｘ ） 在区间 （ ０ ， ａ ） （ ａ ， ｂ ） 内分别有一个实根， 用到实际生 活中极大地激 发了学生对 于学习数学 的积极性 。 由ｓ ＜ ｔ ， ｓ ， ｔ 都是方程 ｆ （ ｘ ） ＝ ０的两实根， 得出： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 但是 对于初学 者来说 ， 导数的学习还是有一定 的难度 的 ， 所 以 二． 导数在 几何解题中的运用 必须 弄清导数 的定 义及其性质 ，并且慢慢地将 其运用到实际 解题 中去 ， 这样才能实现对导数的透彻理解。 在人教版高 中数 对 于一些几何 问题 的解决如果运用普通 的方法显得非 常 学中就有 “ 导数及其 运用 ” 一章 ， 在本文 中笔者 结合着课 本 内 麻 烦 ， 有时我们可以巧妙地运用导数来解决 。 我们 看下 面的一 容对 导数在高 中数学 中的运用进行一个新角度 的总结 。 个 例子 。 导数在代数解题中的运用 例： 用一条不限长度的钢丝 围成一个长方形 的框架 其长 、 （ 一） 小于等于 ８ ｍ） ， 那么 当其 长宽各 最 大面积是多少 ？ 在高 中数学 的学 习中会遇到判断 函数单调性 或是求 函数 为多少 时面积最大 ， 分析： 我们读 完题 目可 以看 出这是一个求最大值 的问题 ， 单调 区间的问题 ， 对于这个问题 利用导数 是特别容易解决 的， 正 如人教版高 中数学 中“ 导数及其 运用” 一章 中的“ 导数 在研 我们可 以将思维转 向函数 的导数上去解 决。 究 函数 中的应用 ” 一节就是运用导数 来解 决函数问题 的内容 ， 解： 设长方形 的宽 为 ｘ ｍ， 那么其长为 ２ ｘ ｍ ， 其中 ０ ＜ ｘ ≤８ ， 由 这是 因为 导数有这样 的性质 ， 对 于 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在 某个 区间（ ａ ， 题 意可 得 ： ｂ ） 上， 如果 ｆ （ ｘ ） ＞ ０ ， 那 么函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单调 递增 长方形 的面积 Ｓ ＝ ２ ｘ ￣ ，ｓ ＝ ４ ｘ ，对 于 ｓ 来说 ， ｓ 始终都是大 的， 如果 ｆ ， （ ｘ ） ＜ ０ ， 那么 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单 调递减 的， 于 ０的，所 以函数 ｓ是一个单调递增 的函数所 以当 ｘ ＝ ８时面 如果 ｆ （ ｘ １ ＝ ０ ， 那么 函数 ｙ － ｆ ｉ （ ｘ ） 是 常数 函数 ， 根 据导数 的这一 性 积有最 大值 ， 即宽为 ８ ｍ， 长为 １ ６ ｍ ， 最大面积 为 １ ２ ８ ｍ 。 质， 对于函数单调性的求解 就非 常容 易了。 三． 导 数在高中数学应用中要注意的问题 在导数部分 的教学过程中 ，要 注意一些问题把握教学要 例： 对于函数 ｘ ） ＝ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ求其单调区间。 分析 ： 对于这一道题 目， 我们观察发 现它 的最高次 幂是 ３ 求， 很好地抓住教学 的重难点 。 首先在导数的定义理解上要让 次， 直接运用函数图像 去观察函数 的单调 区间是十分 困难 的， 学生有一个详实 的了解 ， 明确导数 的涵义 ， 然后是对于导数 的 由于其是可导 的所 以我们就可 以运用导数的性质来求解。 各种性质 的学 习， 在导数 的运用 中都是利用导数 的性质 的 ， 所 以对 于导数 的各种性 质要让学生 “ 知其然知 其所 以然 ” ， 记牢 解： 函数 ｘ １ 的导数为 ｆ ＇ （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ， 当ｆ ， （ ｘ ） ＞ Ｏ时 ， ｘ ＞ Ｏ或 ｘ ＜ 一 ２ ， 即 函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ∞， 一 ２ ） ， （ ０ ， ＋ 这些性质并且理解这些性质 ， 最后就是运用导数进行解题 了 ， ∞） 上是单调递增 的； 运用导数去解题本身就是一种 比较便捷 的方法 ，在运用 的过 当ｆ （ ｘ ） ＜ ０时 ， 一 ２ ＜ ｘ ＜ Ｏ ， 即函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ２ ， ０ ） 上是 单调递减 程 中要避免学生又讲简单问题 复杂化 ，保证 学生能够巧妙地 运用导数来解题 。另外 ， 在导数知识 的学 习中 ， 要注意知识 的 的。 （ 二） 利 用 导 数 求 函数 的极 值 关联性与连续性 ， 学会让知识形成一个线形的系统。 在 高 中数 学 中还 经常 出现求 函数 在某 个 区间 的极 值 问 结语 ： 题 ，通过对导数的性质研究我们知道对于 函数 的导数在 区间 导数在高 中数学的地位重要 ， 由以上笔者 的分析 ， 可 以看 内如果两侧的符号不 同那么这个 函数在这个 区间上就存 在着 出运用导数可 以解决高中数学 中的许 多问题 ，这使原本枯燥 极大值或极小值 ，这就其实我们在求解 函数 的最值 时可 以通 的数学有 了乐趣 ， 原本 困难 的数学变得简单 ， 能够激发学生 的 过对于导数进行分析 。 学 习兴趣 ， 不失为一种不可多得 的数学学习方法。 例： 求 函数 ｆ （ ｘ ） 一ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ９ ｘ在单调区间【 １ ， ５ ］ 上的最大值 。 参考文献 ： ［ １ 】 常利军． 探析 导数在高 中数学 中的应用 叨． 语数外 学 分析 ： 这个题 目给出了函数解析式要求 区间上 的最大值 ， 我们根据函数导数的性质便 可以轻松 地计算 出其最 。 习． ２ ０ １ ３ （ ０ ５ ） ． ［ ２ 】 吴龙福． 例析 导数在 高 中数学题 目解答 中的典型性应 解： 函数 ｘ ） 的导数为 ｆ （ ｘ ） 一３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ＋ ９ ， 所 以在 区间（ 一 １ ， ３ ） 上是单调 递增 的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ； 在 区间（ 一 ｏ 。 ， 一 １ ） ， （ ３ ， ＋ 。 。 ） 上是单 用【 Ｊ ］ ． 数学大世界． ２ ０ １ ２ （ １ １ ） ． ［ ３ 】 漆建 哲． 导数在 高 中数学解题 中的应用分析 ［ Ｊ ］ ． 语数 调递减的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＜０ ， 所 以我们得 出， 对于区间［ １ ， ５ 】 在【 １ ， ３ 】 范 围 内ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ， 即是递增 的 ， 在［ ３ ， ５ 】 范 围内 ｆ （ ｘ ） ＜０ ， 即是递减 的 ， 所 外学习． ２ ０ １ ３ （ ０ ７ ） ． 以在 ｘ ＝ ３ 处取得最 大值 ， 即ｆ ３ ） ＝ ６ ３ 。
高等数学(理工科)课件第3章导数的应用
0
0
极
f (x) ↗ 大
值
极大值 f (1) 10,
极
↘
小
↗
值
极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0， 则 f (1) 10为极大值 由于 f (3) 12 0， 则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f（x）所有的临界点（驻点和不可导点）；
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值；
3、比较各函数值的大小，其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值，最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、 型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足：
2)
f
( x)、g ( x)
，在
o
U(x0 )
内可导，且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决，为此先介绍拉格朗日中值定理
导数在高中数学中的应用
导数在高中数学课程中的应用新乡市一中数学组 李凤德[摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数 新课程 应用一、 知识地位分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。
纵观2010年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。
内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。
今年是我省新教材实施的第一届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。
复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。
二、 导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1 设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．解 因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以⎩⎨⎧=++=++．，020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ． ⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2 求函数212)(+-+=x x x f 的值域．分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．解 显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于 12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ， 又 1222721222++++=+-+x x x x x ， 可见当21->x 时，0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是)⎡+∞⎣，． ⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3 求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值． 分析 先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值． 解 由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间；当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间． 又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，9)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑)(x f '的正负即可，当0)(>'x f 时，)(x f 单调递增；当0)(<'x f 时，)(x f 单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4 求x x x f 3)(3+=的单调区间．分析 应先确定函数)(x f 的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解 显然，)(x f 定义域为()()+∞⋃∞-,00,，又2222)1)(1)(1(333)(x x x x x x x f -++=-='， 由0)(>'x f ，得1-<x 或1>x ；又由0)(<'x f ，得01<<-x 或10<<x ，所以)(x f的增区间为()1-∞-，和()∞+，1，减区间为()01，-和()10，． （二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，)(0x f '的几何意义就是曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，过P 点的切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-，但应注意点))(,(00x f x P 在曲线)(x f y =上，否则易错． 例5(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. ∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .⒉求两曲线切线方程例6 已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解 由x x y C 221+=：，得22+='x y ，所以曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y -+=+-， 即211)22(x x x y -+=．(1)由a x y +-=2，得x y 2-='，所以曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是)(2)(2222x x x a x y --=+--， 即a x x x y ++-=2222．(2)若l 是过P 与Q 的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以⎩⎨⎧+=--=+．，a x x x x 222121222 消去2x ，得0122121=+++a x x ， 由题意知0)1(244=+⨯-=∆a ，所以21-=a ，则2121-==x x ，即点P 与Q 重合，此时曲线1C 和2C 有且仅有一条公切线，且公切线方程为014=+-y x ．（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7 求证：不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在()+∞∈,0x 上成立． 分析 通过作差，构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=， 和)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=， 再通过对)(1x f 和)(2x f 求导来判断．证明 构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，则01111)(21>+=+-+='x x x x x f ． 得知)(1x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(11=>f x f ，即2)1ln(2x x x ->+成立． 又构造函数)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，则 0)1(4211)1(42441)(222222>+=+-+-+-='x x x x x x x x f ． 得知)(2x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(22=>f x f ，即)1ln()1(22x x x x +>+-成立． 综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8 求和：12321-++++n nx x x (其中0≠x ，1≠x )．解 注意到1-n nx 是n x 的导数，即1)(-='n n nx x ，可先求数列{}n x 的前n 和x x x x x x x x x n n n--=--=+++11)1(12 ， 然后等式两边同时对x 求导，有12321-++++n nx x x2121)1(1)1()1()1]()1(1[x x n nx x x x x x n n n n n -++-=--+-+-=++．例9 求和：n n n n n n nC C C C )1(32321---+- ．解 因为n n n n n n nn x C x C x C x C x )1(1)1(33221--+-+-=- ． 上式两边对x 求导，有123211)1(2)1(---++-+-=--n n n n n n n n x nC x C x C C x n ，再令1=x ，可以得到0)1(32321=---+-n n n n n n nC C C C ．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A 处，乙村位于离河岸km 40的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距km 50．两村要在岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为千米元/3a 、千米元/5a ，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？(图1)分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．解 如图1，设点C 距点D xkm ，则 x AC -=50，40=BD ，2240+=x BC ．总的水管费用为22405)50(3)(++-=x a x a x f (500<<x )． 又224053)(++-='x axa x f ，令0)(='x f ，则30=x ．在()500，上，)(x f 只有一个极值点，根据实际问题的意义，知30=x 处取得最小值，此时2050=-=x AC ．所以供水站C 建在距甲村km 20处才能使水管费用最省．三、 结束语 A B C Dx 图1导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．。
导数在中学数学解析几何中的应用
导数在中学数学解析几何中的应用 中学数学新教材引入了微积分的有关内容，微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学。
在这里我们主要讨论一下微积分中导数的应用问题。
新增的导数知识，不仅拓展了学生学习的领域，使学生能以导数为工具，更加深入地研究中学数学出现的有关问题，加强了学生对中学数学知识的深刻理解和直观认识，而且它又是我们进一步学习所必需的。
在高中阶段学习导数，可以使高中知识与大学知识进行接轨，为我们进一步学习打下良好的基础。
在现行的高中教材中，导数处于一种特殊的地位，既有其几何意义，又有代数意义，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
有关导数的内容，其考试要求都是非常基本的，在以后会逐渐加深。
考查的基本原则是重点考查导数的概念、计算和应用。
高中阶段，我们主要学习导数与微分的初步知识以及导数在生活中的应用。
导数与微分的初步知识包括导数与微分的概念、求导及微分的基本方法。
导数的应用在中学数学是非常广泛的，涉及到了中学数学的各个方面，如画初等函数的图象，在代数和几何中的应用以及解决应用问题。
在这里我们主要讨论一下导数在中学数学解析几何中的具体应用。
例 1.确定抛物线方程2y x bx c =++中的常数,b c ，使得抛物线和直线2y x =在2x = 处相切.分析：这道题可以根据导数的几何意义来求，导数的几何意义是函数f 在点0x 的导数0'()f x 是曲线()y f x =在点0,0()x y 处的切线斜率.此抛物线切线斜率的方程可表示为'2y x b =+，根据直线2y x =是抛物线的切线，且在2x =处相切，可得'2y =，因此可得b 的值；又因为2x =是直线与抛物线交点的横坐标，根据直线方程可得交点为(2,4)，代入抛物线方程得到c 的值.解：因为'2,'4y x b k y b =+==+由题意知 24b =+所以 2b =-又因为 2x =时，22(2)2y c =+-⨯+代入2y x =，得4c =.例2.求曲线 24(0)y x x =->上与定点(0,2)P 距离最近的点. 分析：根据平面上两点间的距离公式，得到以x 为自变量的函数，这道题就转化成了求函数最值的问题.解：设曲线24y x =-上一点(,)Q x y ，,P Q 的距离()f x ===设[]2()()h x f x =，则3'()46h x x x =-令'()0h x =由0x >得x =当0x <<'()0h x <；当x >'()0h x >.所以()h x 在x =此时()f x 也取最小值，最小值为52即与(0,2)P最近的点为Q . 例 3.已知直线l 与抛物线2212:,:c y x c y x ax =-=-+分别相切于点,A B ，且4AB =a 的值. 分析：利用导数的几何意义求出切线的斜率关于切点坐标的[2]表达式，由公切线得切点坐标关于所求待定系数的表达式，把已知弦长转化为关于所求待定系数的方程.解：设112,2(,),()A x y B x y'2y x =-1c ∴在点A 处的切线方程是21112()y x x x x +=--即2112y x x x =-+同理，2c 在点B 处的切线方程是22(2)y x a x x =-++l 是1,2c c 的公切线，1c ∴在点A 处的切线方程与2c 在点B 处的切线方程相同12221222x x a x x =-⎧∴⎨=⎩ 解得1244a x ax ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩124AB x a =-=∴=导数的应用问题涉及到很多内容，以上仅仅讨论了在解析几何中的应用.现在我们在高中阶段学习导数的有关知识，可以开阔学生的视野，接触到极限等新的数学思想和方法，对数学的新发展将会有进一步的了解.同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，可以解决许多问题，使我们更加牢固的掌握中学数学的内容。
高中数学导数应用知识点精讲
高中数学导数应用知识点精讲在高中数学的学习中，导数是一个极其重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还为解决实际问题提供了有力的工具。
接下来，让我们深入探讨一下高中数学中导数的应用知识点。
一、导数的定义导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数 y ＝ f(x) 在点x ＝ x₀处的导数存在，那么其定义式为：f'（x₀) ＝ lim （Δx→0)f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
通俗地说，导数表示了函数在某一点处的切线斜率。
例如，对于函数 f(x) ＝ x²，我们来求它在 x ＝ 1 处的导数。
f(1 ＋Δx) ＝（1 ＋Δx)² ＝ 1 ＋2Δx ＋（Δx)² ，f(1) ＝ 1 。
那么 f'（1) ＝ lim （Δx→0) （1 ＋2Δx ＋（Δx)² 1) ／Δx ＝ lim （Δx→0) （2 ＋Δx) ＝2 ，所以函数 f(x) ＝ x²在 x ＝ 1 处的导数为 2 ，意味着在 x ＝ 1 处的切线斜率为 2 。
二、导数的几何意义导数的几何意义是函数图象在某一点处的切线斜率。
如果函数在某点处的导数存在，那么该点处的切线方程可以通过点斜式来求得。
比如，已知函数 f(x) ＝ 2x 3 ，其导数为 f'（x) ＝ 2 。
在点（2, 1) 处，切线的斜率为 2 ，所以切线方程为 y 1 ＝ 2(x 2) ，即 y ＝ 2x 3 。
三、导数与函数的单调性通过导数可以判断函数的单调性。
若函数在某个区间内的导数大于零，则函数在该区间单调递增；若导数小于零，则函数在该区间单调递减。
以函数 f(x) ＝ x³ 3x²为例，其导数为 f'（x) ＝ 3x² 6x 。
令 f'（x) ＞0 ，解得 x ＜ 0 或 x ＞ 2 ，所以函数在（∞， 0) 和（2, ＋∞）上单调递增；令 f'（x) ＜ 0 ，解得 0 ＜ x ＜ 2 ，所以函数在（0, 2) 上单调递减。
导数在中学数学解题中的应用
导数在中学数学解题中的应用摘要导数不仅是中学教材中必不可少的一部分，也是历年高考的考点。
导数在中学数学解题中的应用是十分广泛的，它包含了导数对不等式的证明、求曲线在某一点的切线斜率、分析函数的图像、极值与最优化、函数单调性等方面的应用。
应用导数知识解决中学数学问题不仅可以锻炼学生的思维，同时也简化了解题的难度，因此对导数知识进行整理是十分有必要的。
本文对导数在中学数学解题中的应用进行了归纳整理，同时也对导数应用中需要注意的几点事项做出了标注，分析了导数应用中的易错点。
从而为初学者查询导数相关知识提供了资料。
关键词：导数中学数学应用ABSTRACTDerivative is not only an essential part of the middle school textbooks, but also the college entrance examination over the years. The application of derivative in high school in mathematics is very extensive, it contains a proof, derivative of inequality in the analysis of the demand curve, tangent at a point in the application of function optimization, image, extremum and monotony of function etc.. The application of derivative knowledge to solve mathematical problems in middle school can not only train the students' thinking, but also simplify the difficulty of solving the problem. This paper summarizes the application of derivative in the middle school in mathematics, but also on some matters needing attention in the application of derivative made annotation, analyzes the application of derivative in error prone points. So as to provide useful information for beginners to query derivative knowledge.Keywords:Derivatives；Middle school mathematics；application1.绪论导数是微积分中一个重要的核心内容，导数的推广已经十分广泛，大多数的国家已经将导数列入到了中学教材中。
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导数在数学中的应用
导数是微积分中的重要概念，它在数学中有着广泛的应用。
无论是在物理学、
经济学还是工程学中，导数都扮演着重要的角色。
本文将探讨导数在数学中的应用，并且通过具体的例子来展示它的实际意义。
首先，导数在函数的图像研究中起到了关键作用。
通过求导，我们可以得到函
数在某一点的斜率。
斜率可以告诉我们函数在该点的增长趋势，从而帮助我们更好地理解函数的行为。
例如，对于一个凸函数，其导数始终大于零，这意味着函数在每个点上都是递增的。
而对于一个凹函数，其导数始终小于零，这意味着函数在每个点上都是递减的。
通过分析函数的导数，我们可以对函数的图像进行更准确的描述和推测。
其次，导数在最优化问题中具有重要地位。
在经济学中，我们经常需要找到某
个函数的最大值或最小值，以便做出最优的决策。
通过求导，我们可以找到函数的驻点，即导数为零的点。
这些驻点可能是函数的极大值或极小值。
通过进一步的分析，我们可以确定这些驻点的性质，从而找到函数的最优解。
例如，在生产函数中，我们可以通过求导找到产量最大的生产要素组合，以实现最大利润。
导数还在物理学中发挥着重要的作用。
在运动学中，速度是位置关于时间的导数。
通过求导，我们可以得到物体在不同时间点的速度。
而加速度则是速度关于时间的导数。
通过求导，我们可以得到物体在不同时间点的加速度。
这些导数的概念帮助我们更好地理解物体的运动规律。
例如，当我们知道一个物体的速度函数时，可以通过求导得到其加速度函数，从而了解物体的加速度变化情况。
此外，导数还在工程学中有广泛的应用。
在电路分析中，我们经常需要计算电
流和电压的关系。
通过求导，我们可以得到电流与时间的变化率，即电流的导数。
这个导数可以告诉我们电流的变化趋势，从而帮助我们更好地设计电路。
在控制系统中，导数还可以用来描述信号的变化率，从而实现对系统的控制。
例如，在自动驾驶汽车中，导数可以帮助车辆实时感知环境的变化，并做出相应的决策。
综上所述，导数在数学中的应用是多样且广泛的。
无论是在函数图像研究、最优化问题、物理学还是工程学中，导数都发挥着重要的作用。
通过求导，我们可以更好地理解函数的行为，解决最优化问题，揭示物体的运动规律，以及设计和控制工程系统。
导数的应用不仅仅局限于数学领域，它也在我们的日常生活中发挥着重要的作用。
因此，掌握导数的概念和应用是我们学习数学的重要一步。