高中数学专题排列组合中的分组分配问题
排列组合中分组(分堆)与分配问题
太奇MBA 数学助教李瑞玲一．分组（分堆）与分配问题将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。
将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
一．基本的分组问题例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本（部分平均分组问题）分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。
分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。
现把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）（5,6）（3,4）（1,2）由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。
以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组的顺序，即除以33P ,于是最后知分法为1569033222426==P C C C .(2)先分组，分组方法是60332516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很关键的问题）由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有60332516=C C C 。
（3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需要好好考虑）现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）56（1,2,3,4）652）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下5（1,2,3，4）66（1,2,3,4）53）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下56（1,2,3,4）65（1,2,3,4）由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为1523022111246==P C C C .通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n 个不同的元素分成p 组，各组内元素个数分别为p m m m ,,,21⋯，其中k 组内元素个数相等，那么分组方法数为()kk mm m m m m n m m n m n P C C C C pp i i ⋯⋯⋯121211−+++−−，即选完元素后要除以元素相同的总组数的全排列！三．基本的分配问题1.定向分配问题例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。
高中数学排列组合平均分组分配问题
C61C52C33
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法
六、非均分组分配对象确定问题
C61C52C33
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人1人1本1人2本1人3本有多少种分法
C61C52C33
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高中数学排列组合平均分组分配问题
1掌握平均分组问题解决方法理解其实际应用 2 理解的非均分组问题解决方法及其简单应用
一、学习目标
一、平均分组问题 1.平均分成的组不管它们的顺序如何都是一种情况所以分组后要除以Amm 即m其中m表示组数 2.有分配对象和无分配对象
3
4
5
C
5
2
C
3
3
C
6
1
A
3
3
C
5
2
C
3
3
C
6
1
C
2
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C
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1
C
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4
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C
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1
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1.取消组合
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三、效果检测
一、均分无分配对象的问题
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是指将一组元素分成不同的组，每个组中的元素个数可以不同，同时每个元素只能属于一个组。
这类问题在实际生活中非常常见，比如将不同班级的学生分配到不同的宿舍，将不同商品分配到不同的仓库等。
在解决这类问题时，可以使用回溯法进行穷举搜索，具体步骤如下：1. 定义一个空的结果集，用来存储所有的有效分组分配方案。
2. 定义一个空的临时集合，用来存储当前正在处理的分组分配方案。
3. 使用回溯法进行搜索，从第一个元素开始，尝试将其放入不同的组中。
4. 对于每个选择，如果选择当前组的元素数量小于或等于规定的数量，则将该元素加入到临时集合中，并递归处理下一个元素。
5. 如果当前组的元素数量大于规定的数量，则回溯到上一层，并尝试选择其他组进行分配。
6. 当所有元素都被分配完毕时，将临时集合存入结果集中。
7. 返回结果集，即为所有的有效分组分配方案。
这种解法的时间复杂度为O(k^n)，其中n为元素的个数，k为分组的个数。
在实际使用中，由于组合数目可能非常大，可能需要进行一些剪枝优化，以提高运行效率。
还可以使用动态规划方法解决分组分配问题。
动态规划方法将问题分为多个子问题，然后利用子问题的解来求解原问题。
具体步骤如下：1. 定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示将前i个元素分配到j个组中的方案数。
2. 初始化dp数组，将所有元素分配到一个组中的方案数为1，其他地方为0。
3. 使用动态规划进行求解，从第一个元素开始，依次遍历所有可能的组合情况。
4. 对于每个元素，从1到j（j为组的数量）进行遍历，分别计算分配到该组和不分配到该组的方案数之和，并更新dp数组。
5. 当所有元素都遍历完毕后，dp[n][k]即为最终的解。
这种解法的时间复杂度为O(nk^2)，可以在不超出计算能力的情况下求解大规模的分组分配问题。
排列组合中的分组分配问题可以使用回溯法和动态规划方法进行求解。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
在实际生活中，我们经常会遇到这样的问题，比如如何将一群人分成几组参加比赛，或者如何将一批货物分配到不同的仓库中。
研究分组分配问题的有效解法对于解决各种实际问题具有重要的意义。
排列组合中的分组分配问题可以分为两种类型：一种是固定分组数量的分配问题，另一种是灵活分组数量的分配问题。
在解决这两种类型的问题时，通常可以运用排列组合的知识以及一些数学方法来进行分析和求解。
我们来讨论固定分组数量的分配问题。
在这种情况下，我们需要将一组元素分配到固定数量的分组中，每个分组的元素数量也是固定的。
通常情况下，我们可以使用排列组合的方法来解决这类问题。
假设有n个元素需要分配到m个分组中，每个分组需要包含k个元素，那么可以计算出一共有多少种不同的分组分配方式。
我们需要计算出总的元素数量n个中选取出k个元素的组合数，即C(n,k)。
然后，对于确定了k个元素的第一个分组，剩下的n-k个元素中再选取k个元素，再选取k个元素，直到最后一个分组选取出来。
根据乘法原理，可以得到总的分组分配方式数量为 C(n,k) * C(n-k,k) * C(n-2k,k) * ... * C(n-(m-1)k,k)。
举个例子来说明，假设有12个人需要分为3组，每组4人，那么分组的方式就可以通过计算C(12,4) * C(8,4)来得到。
这种方法可以帮助我们有效地解决固定分组数量的分配问题，并得到所有可能的分组分配方式。
一种常见的方法是使用动态规划来解决灵活分组数量的分配问题。
动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题而有效解决复杂问题的方法。
对于分组分配问题来说，可以将问题分解为将第i个元素分配到第j个分组中的子问题，然后逐步求解，最终得到整个分组分配问题的解。
排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。
高中数学分堆分配问题
高中数学分堆分配问题篇一：高中数学排列组合中的分组分配问题排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.22分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是C26C4C2=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A3所以分法是3，222C6C4C2=15(种)。
(2)先分A3323组，方法是C1那么还要不要除以A3由于每组的书的本数是不一样的，6C5C3，3？我们发现，23因此不会出现相同的分法，即共有C16C5C3=60(种) 分法。
11(3)分组方法是C46C2C1=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，CC2C1=15(种)。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，在实际生活中也有很多应用。
这类问题通常涉及将一定数量的对象分配到一定数量的组中，而且每组对象的数量有限制。
解决这类问题需要运用排列组合的知识，有时也需要借助图论等数学工具。
下面将介绍一些有效的解法。
一、基本概念在讨论排列组合中的分组分配问题之前，先来了解一下相关的基本概念。
在排列组合中，排列是指不同元素按照一定规则排成的一列，而组合是指从给定的元素中取出一定数量的元素组成的一个集合。
分组分配问题则是指将一定数量的对象分配到一定数量的组中的问题。
在分组分配问题中，通常会遇到一些特殊的情况，比如分组中的对象需要满足一定的条件，或者每个对象只能分配到某个特定的组中。
这些特殊情况需要根据具体问题进行分析，选择合适的解法。
二、贪心算法贪心算法是解决分组分配问题的一种常用方法。
贪心算法的基本思想是每一步都选择当前最优的解，从而希望最终得到全局最优的解。
在分组分配问题中，贪心算法通常可以通过排序来实现。
以将一定数量的对象分配到一定数量的组中，每组对象数量固定为例，贪心算法的解法如下：1. 将所有对象按照一定的规则排序，比如按照对象的重要性、价值等；2. 依次将对象分配到各个组中，每次都选择当前剩余空间最大的组，并将对象放入其中；贪心算法的优点是简单易实现，但并不是对所有分组分配问题都有效。
有些情况下，贪心算法得到的解并不一定是最优解，因此在使用贪心算法时需要谨慎选择排序规则和验证算法的有效性。
三、动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种常用方法。
动态规划的基本思想是将原问题分解成若干个子问题，然后依次求解这些子问题，最终得到原问题的解。
1. 定义状态dp[i][j]表示将前i个对象分配到前j个组中的方案数；2. 根据分组条件，构造状态转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]*j；动态规划的优点是能够得到全局最优解，但需要分析问题的子结构并构造合适的状态转移方程，整个过程相对复杂。
(完整版)高二数学分组与分配问题专题
超越文化培训高二数学寒假专题讲座探讨排列组合中分组与分配问题2017.3分组与分配模型是排列组合中比较普遍，也是较难解决的一类应用问题。
如何把有关排列组合中的应用问题化归为分组与分配模型，可以帮助我们正确理解排列组合应用问题，准确求解分组与分配中的分组个数和分配个数。
从而能掌握该节内容。
下面就分组与分配问题的概念及模型进行提练和归纳；并就这类问题的解决方法进行总结：一、分组与分配的相关概念：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题. 分组问题有非平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
二、分组与分配模型的分类：①均匀分组；②非均匀分组；③均匀分组与分配；④非均匀分组定向分配；⑤非均匀分组不定向分配；三、分组与分配模型的适用范围：n个不同元素分配给k（k n<）个不同的对象，每个对象至少分配1个元素。
四、例题精选:(一)分组与分配问题的基本模型：例1、6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?（1）平均分成三堆；-----------均匀分组问题（2）平均分给甲、乙、丙3人；-----------均匀分组分配问题（3）一堆1本，一堆2本，一堆3本；-----------非均匀分组问题（4）甲得1本，乙得2本，丙得3本；-----------非均匀分组定向分配（5）一人得1本，一人得2本，一人得3本；--------非均匀分组不定向分配分析：（1）6本不同的书平均分成三堆的方法数共有22264233C C CA种。
注意：不同的两本书放在其中任意一组都是同一种方法；（2）6本不同的书平均分给甲、乙、丙3人，这是均匀分组分配问题。
可先对6本书进行分组，共有分组方法数22264233C C CA种；然后再把三堆书分别分给甲、乙、丙3人，这是两步骤，用乖法原理，因此平均分给甲、乙、丙3人的方法数共有2223642333C C CAA•种，即222642C C C种。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到的问题领域非常广泛，其中之一就是分组分配问题。
分组分配问题是指将一定数量的元素分配到若干个组中，并且每个组的元素数量可能不同。
在实际应用中，分组分配问题有着广泛的应用，比如分配任务、分配资源等。
在这篇文章中，我们将介绍一些有效的解决分组分配问题的方法。
让我们来定义一下分组分配问题的数学模型。
假设有n个元素和m个组，每个元素只能分配到一个组中，并且每个组的元素数量可能不同。
我们的目标是找到一种分配方案，使得每个元素都被分配到一个组中，且每个组的元素数量满足一定的条件。
在实际问题中，要解决分组分配问题，需要考虑以下几个因素：1. 元素的数量和组的数量：分组分配问题的规模取决于元素的数量和组的数量。
如果元素和组的数量都很大，那么问题的难度也会增加。
2. 分配条件：每个组的元素数量可能受到一些限制条件的约束，比如每个组的元素数量之和必须等于总的元素数量。
解决分组分配问题时，需要考虑这些条件，并找到满足条件的分配方案。
3. 目标函数：在分组分配问题中，我们通常会有一些额外的参考标准，比如使得每个组的元素数量尽可能均匀，或者使得某个组的元素数量最大等。
这些参考标准可以通过定义一个目标函数来实现，然后再根据目标函数来选择最优的分配方案。
在解决分组分配问题时，可以采用不同的方法，其中一些常用的方法包括：1. 暴力枚举法：暴力枚举法是一种常用的解决分组分配问题的方法。
它的基本思想是对所有可能的分配方案进行穷举，然后根据目标函数来选择最优的分配方案。
虽然暴力枚举法可以找到最优的分配方案，但是当元素和组的数量较大时，算法的时间复杂度会呈指数级增长，效率较低。
2. 贪心算法：贪心算法是一种常用的启发式算法，它的基本思想是每次选择当前最优的分配方案，并在后续的选择中继续按照最优的原则进行分配。
贪心算法可以在较短的时间内找到较好的解，但是不能保证一定能找到最优的解。
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高中数学专题排列组合中的分组分配问题
Ⅰ.概述
分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征：
（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；
（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；
（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复出现的情况，作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题
一.分组与分配有关概念
1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；
3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相关，分配通常与排列相关。
二．基本的分组问题
（一）分组问题的基础题例
【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
注意，这里6个元素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，6）只能算作1个计数；
三．基本的分配问题
（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象
【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）甲两本、乙两本、丙两本.
（2）甲一本、乙两本、丙三本.
（3）甲四本、乙一本、丙一本.
(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象
【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）每人两本.
（2）一人一本、一人两本、一人三本.
（3）一人四本、一人一本、一人一本.
Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究
一．分组问题的基本类型--思想方法
（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：
“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
【题例4】7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？
（1）分成3组，分别为1人、2人、4人；
（2）选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
（二）分组问题类型2--均匀分组（去除重复法）：
“均匀分组”是指将所有元素分成各组中元素个数相等的组，或部分组中元素个数相等的组；
均匀分组类型：（1）整体均分--全部平均分组；（2）部分均分--局部平均分组。
1.均匀分组--整体均分（去除重复法）
【题例5】7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？
（三）分组问题类型3--分类综合型（先分类后分组）：
【题例7】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
二．分配问题的变形问题
【题例8】四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？。