新人教B版高中数学选修4-5第2章2.1.1 2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明讲义

学习目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题．教材整理1 柯西不等式1．柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2. 2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. 3．柯西不等式的三角不等式：|α|＋|β|≥|α＋β|.4．柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12(b 21＋b 22＋…＋b 2n )12≥|a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n |，其中等号成立⇔a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a n b n(当某b j ＝0时，认为a j ＝0，j ＝1,2，…，n)．教材整理2 参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8[解析] 由柯西不等式可求出(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·a y 2＝(1＋a )2，当x ＝1，y ＝a 时，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值是(a ＋1)2，故只需(1＋a )2≥9， 即a ≥4即可． [答案] B121212[精彩点拨] 如果对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论．若把第二个小括号内的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证．[自主解答] ∵a ，b ，x ，y 大于0，∴(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝(a ＋b )2x 1x 2. 又因为a ＋b ＝1， 所以(a ＋b )2x 1x 2＝x 1x 2，其中等号当且仅当x 1＝x 2时成立． 所以(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．1．设x 1，x 2，…，x n 为正数，求证： (x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2.[证明] 由柯西不等式得 (x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n≥⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2.[精彩点拨] 由x ＋y ＋z ＝1以及u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的形式，联想柯西不等式，构造因式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1解决问题．[自主解答] 由x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z .根据柯西不等式，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋12·(2x 2＋3y 2＋z 2)＝116(2x 2＋3y 2＋z 2)，因此1＝(x ＋y ＋z )2≤116(2x 2＋3y 2＋z 2)，∴u ＝2x 2＋3y 2＋z 2≥611，当且仅当2x ＝λ2，3y ＝λ3，z ＝λ时等号成立．∴x ＝λ2，y ＝λ3，z ＝λ代入x ＋y ＋z ＝1，得x ＝311，y ＝211，z ＝611时，等号成立．故函数u ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值是611.1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于对目标函数配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：(1)巧拆常数；(2)重新安排某些项的次序；(3)适当添项；(4)适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值．2．若实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝9，则x ＋2y ＋3z 的最大值是________．[解析] 由柯西不等式得(x ＋2y ＋3z )2≤(1＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)＝14×9，故x ＋2y ＋3z ≤314，所以x ＋2y ＋3z 的最大值是314.[答案] 314【例3】 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式x ＋y ＋y ＋z ＋z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．[精彩点拨] “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值． [自主解答] ∵x >0，y >0，z >0， 且x ＋y ＋z ＝xyz ， ∴1yz ＋1xz ＋1xy＝1.又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32， 当且仅当x ＝y ＝z 时， 即x ＝y ＝z ＝3时等号成立， ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x 的最大值为32. 故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立时， 应有λ≥32.因此λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”的应用定理．3．已知函数f (x )＝2x ＋5－x .若关于x 的不等式f (x )≤|m －2|恒成立，求实数m 的取值范围． [解] 由柯西不等式得(2x ＋5－x )2≤(22＋12)·|(x )2＋(5－x )2|＝25， 所以f (x )＝2x ＋5－x ≤5. 当且仅当x2＝5－x 1， 即x ＝4时，等号成立． 又不等式f (x )≤|m －2|恒成立， 所以|m －2|≥5， 解得m ≥7或m ≤－3.故m 的取值范围为(－∞，－3]∪[7，＋∞).1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝c d吗？ [提示] 不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝c d不成立．2．在平面直角坐标系中，若△ABC 的三个顶点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)．则二维柯西不等式的三角形式又是怎样体现的呢？[提示] 根据二维柯西不等式的几何意义，在△ABC 中，三角形式的柯西不等式为(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.3．在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？ [提示] 不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在． 4．利用柯西不等式时，常用的变形技巧有哪些？[提示] 柯西不等式形式优美，有重要的应用价值，应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变形，常用的变形技巧有：(1)等价变形，将要解决的不等式问题作等价变形，构造出几个实数的平方和与另n 个实数平方和的乘积的形式．(2)配辅助式，为了应用柯西不等式，有时要根据所证不等式的结构特征，结合柯西不等式等号成立的条件，配凑适当的辅助式，使问题获证．(3)适当换元，有时根据所证不等式的结构特征适当换元，转化为容易应用柯西不等式的结构特征，使问题简捷获解．(4)配系数，为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间的联系，有时要通过巧配系数来完成． 【例4】 已知3x 2＋2y 2≤6，求证：2x ＋y ≤11.[精彩点拨] 将不等式2x ＋y ≤11的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明． [自主解答] 2x ＋y ＝23·3x ＋12·2y .由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，于是2x ＋y ≤11， 当且仅当3x 23＝2y 12，即x y ＝43时等号成立．4．已知x ＋2y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________． [解析] ∵1＝x ＋2y ，∴1＝(x ＋2y )2≤(1＋22)(x 2＋y 2)． 当且仅当x ＝15，y ＝25时，取等号，∴(x 2＋y 2)min ＝15.[答案] 151．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13D ．0[解析] (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)，∴x 2＋y 2≥13. [答案] C2．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是( ) A ． 2 B ．2 C ． 3D ．3[解析] 2x ＋y ＝2·2x ＋1×y≤ (22＋12)[(2x )2＋y 2]＝ 3(2x 2＋y 2)＝3， 当且仅当2y ＝2x ， 即x ＝y ＝33时等号成立． [答案] C3．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]D ．[－5，5][解析] ∵(a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∴|a －b |≤20＝25，∴a －b ∈[－25，25]． [答案] A4．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值为________．[解析] ∵a ，b ，c 为正数，∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝121，当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k >0)时等号成立． 故(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是121.[答案] 1215．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． [解] 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1， ∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1， 即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.。