高中数学人教B版选修4-5教师用书：3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式 Word版含解析

3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；了解贝努利不等式的应用条件.[基础·初探]教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1”成立时其他的方法如比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地运用.教材整理2贝努利不等式1.定理1(贝努利不等式)设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞1＋nx.2.定理2(选学)设α为有理数，x>－1，(1)如果0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx；(2)如果α<0或者α>1，则(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立.事实上，当α是实数时，也是成立的.，则2n与n的大小关系是()设n∈N＋A.2n>nB.2n<nC.2n ＝nD.不确定【解析】2n ＝(1＋1)n ，根据贝努利不等式有(1＋1)n ≥1＋n ×1＝1＋n ，上式右边舍去1，得(1＋1)n >n ，即2n >n .【答案】A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N ＋)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N＋).【精彩点拨】求S n 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n表示前n 项的和(n >1)，首先验证n ＝2，然后证明归纳递推.【自主解答】(1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立.(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2. 当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12.故当n ＝k ＋1时，命题也成立.由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，S 2n >1＋n2都成立.此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为12k ＋1，实际上应为12k ＋1；二是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1共有多少项之和，实际上 2k ＋1到2k ＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .[再练一题]1.若在本例中，条件变为“设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，由f (1)＝1>12，f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，…” .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明.【解】数列1,3,7,15，…，通项公式为a n ＝2n －1，数列12，1，32，2，…，通项公式为a n ＝n2，∴猜想：f (2n －1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立. ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k －1)>k2，则f (2k ＋1－1)＝f (2k－1)＋12k＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1>f (2k－1)＋＝f (2k－1)＋12>k 2＋12＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立.据①②知对任何n ∈N ＋原不等式均成立.设P n ＝(1＋x )n，Q n ＝1＋nx ＋2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比较P n 与Q n 的大小，并加以证明.【导学号：38000059】【精彩点拨】本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n 取特殊值，猜想P n 与Q n 的大小关系，然后利用数学归纳法证明.【自主解答】(1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n . (2)当n ≥3时，(以下再对x 进行分类). ①若x ∈(0，＋∞)，显然有P n ＞Q n . ②若x ＝0，则P n ＝Q n . ③若x ∈(－1,0)，则P 3－Q 3＝x 3＜0，所以P 3＜Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )＜0，所以P 4＜Q 4. 假设P k ＜Q k (k ≥3)，则P k ＋1＝(1＋x )P k ＜(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3＜Q k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式成立. 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n ＜Q n .1.利用数学归纳法比较大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立.2.本题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探索大小关系时，不能只顾“n ”，而忽视其他变量(参数)的作用.[再练一题]2.已知数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n ＋1)(n ∈N ＋)，若函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1(x )，b ＝1，f (1)＜1，证明：对任意x ∈N ＋，a n ＋1＜a n .【证明】因为g (x )＝f －1(x )，所以a n ＝g (b n ＋1) ＝f －1(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n ).下面用数学归纳法证明a n ＋1＜a n (n ∈N ＋). (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)＜1，得 a 1＝f (b 1)＝f (1)＜1， b 2＝f (a 1)＜f (1)＜1， a 2＝f (b 2)＜f (1)＝a 1， 即a 2＜a 1，结论成立.(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1＜a k .由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)＜f (a k )，即b k ＋2＜b k ＋1. 进而得f (b k ＋2)＜f (b k ＋1)，即a k ＋2＜a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立. 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1＜a n .设n 为正整数，记a n ＝⎝ ⎭⎪⎫1＋1n n +1，n ＝1,2,3，….求证：a n ＋1<a n .【精彩点拨】用求商比较法证明a n ＋1<a n ，其中要用贝努利不等式. 【自主解答】 由a n 的意义知对一切n ＝1,2,3，…都成立. ∴只需证明a na n ＋1>1，n ＝1,2,3，….由于a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋1n 1＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(n ＋1)(n ＋1)n (n ＋2)×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋n (n ＋2)n (n ＋2)×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n (n ＋2)×n ＋1n ＋2，因此，根据贝努利不等式， 有a na n ＋1>⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(n ＋1)×1n (n ＋2)×n ＋1n ＋2>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋n ＋1n 2＋2n ＋1×n ＋1n ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1×n ＋1n ＋2＝1.∴a n >a n ＋1对于一切正整数n 都成立.本题在证明的过程中，综合运用了求商比较法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立.[再练一题]3.设a 为有理数，x >－1.如果0<a <1，证明：(1＋x )a ≤1＋ax ，当且仅当x ＝0时等号成立.【证明】 0<a <1，令a ＝mn ，1≤m <n ，其中m ，n 为正整数，则由平均值不等式，得(1＋x )a＝(1＋x )mn＝≤m (1＋x )＋(n －m )n ＝mx ＋n n ＝1＋m n x ＝1＋ax ，当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立.[探究共研型]探究【提示】 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标.而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考虑.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k2＜1k(k－1)，1k2＞1k(k＋1)，1k＜2k＋k－1，1k＞2k＋k＋1(k∈R，k＞1)等.证明：2n＋2>n2(n∈N＋).【精彩点拨】验证n＝1，2，3时不等式成立⇒假设n＝k成立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证【自主解答】(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边.因此当n＝1,2,3时，不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2>k2(k∈N＋).当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.(因为k≥3，则k－3≥0，k＋1>0)所以2k＋1＋2>(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立.根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立.1.本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.2.利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累.[再练一题]4.设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.【证明】(1)当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时命题成立.(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，即(1＋x)k＞1＋kx，则当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.即n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.探究2【提示】利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时.若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论.【导学号：38000060】【精彩点拨】先通过n 取值计算，求出a 的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便.【自主解答】当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a24，则2624>a24，∴a <26. 又a ∈N ＋，∴取a ＝25.下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.(1)n ＝1时，已证.(2)假设当n ＝k 时(k ≥1，k ∈N ＋)，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524，∴当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛ 13k ＋2＋13k ＋3＋⎭⎪⎫13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1). ∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)，∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0，∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋， 都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， ∴a 的最大值为25.1.不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.2.本题中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边添加项是13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1，这一点必须清楚.[再练一题]5.设a n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，是否存在n 的整式g (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)对大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论.【解】假设g (n )存在，那么当n ＝2时， 由a 1＝g (2)(a 2－1)，即1＝g (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1，∴g (2)＝2；当n ＝3时，由a 1＋a 2＝g (3)(a 3－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝g (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1， ∴g (3)＝3，当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝g (4)(a 4－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝g (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14－1，∴g (4)＝4，由此猜想g (n )＝n (n ≥2，n ∈N ＋). 下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立. (1)当n ＝2时，a 1＝1， g (2)(a 2－1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1， 结论成立.(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时结论成立， 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k (a k －1)成立， 那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k ＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k ＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＋1＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1k ＋1－1＝(k ＋1)(a k ＋1－1)， 说明当n ＝k ＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n ，存在g (n )＝n 使等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)成立.[构建·体系]1.用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值至少取( )A.7B.8C.9D.10【解析】左边等比数列求和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞12764， 即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞127128，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜1128，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜⎝ ⎛⎭⎪⎫127，∴n ＞7， ∴n 取8，选B. 【答案】B2.用数学归纳法证明2n ≥n 2(n ≥5，n ∈N ＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )A.假设n ＝k 时命题成立B.假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立C.假设n ＝k (k ≥5)时命题成立D.假设n ＝k (k >5)时命题成立【解析】 由题意知n ≥5，n ∈N ＋， 故应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立. 【答案】 C3.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )【导学号：38000061】A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1，12k ＋2C.增加了两项12k ＋1，12k ＋2，但减少了一项1k ＋1D.以上各种情况均不对 【解析】∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.【答案】C4.用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步的验证为________.【解析】当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立. 【答案】21＋1≥12＋1＋2 5.试证明：1＋12＋13＋…＋1n <2n (n ∈N ＋). 【证明】(1)当n ＝1时，不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即 1＋12＋13＋…＋1k<2k . 那么n ＝k ＋1时， ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1<k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2k ＋1.这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知，不等式对n∈N＋成立.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。