二次函数最值问题教学设计

二次函数最值重难点设计

尊敬的各位评委老师大家好：

本题出自人教版数学九年级上册第二十二章二次函数中的实际问题与二次函数习题第6题，我将从原题再现，数学地位，目标理念，分析指导，拓展延伸，教学反思这几个流程来完成说题。

首先我们来看下原题：.....

数学地位：

函数与几何综合题能有效的考查学生对学习数学知识的掌握和灵活运用的程度。在各地的中考数学试题中，有关函数与几何构成的综合题占据相当的比例，分值也很大；进入高中后，二次函数的应用更加广泛，更加灵活，更加突出了其重要性。这类题型设计优美，新颖独特，活不超纲，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求。

目标理念：主要是从考试大纲分析

本题重要考点是相似三角形的应用及二次函数的应用。直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半及勾股定理是学生熟悉的，相对较易掌握，对于单独求二次函数的最值问题学生大部分也能掌握，有待提高的是知识点之间的联系和从几何问题中整理出二次函数的模型并利用二次函数的知识求最值，以上是学生现有的能力表现。通过这道题目的讲解，让学生能分析出题目要考查的知识点以及知识点之间的联系，掌握建模思想，并能将这种思想运用到新的题目当中，以实现解题目标。

分析指导：（两种方法）

方法一分析：

首先在Rt △ABC 中利用∠A ＝30°、AB ＝12，求得BC ＝6、AC 的长，然后根据四边形CDEF 是矩形得到EF ∥AC 从而得到△BEF ∽△BAC ，设AE ＝x ，则BE ＝12－x ．利用相似三角形成比例表示出EF 、DE ，然后表示出有关x 的二次函数，然后求二次函数的最值即可． 解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝12，

∴BC ＝6，AC ＝AB •cos30°＝12×2

3＝63． ∵四边形CDEF 是矩形，

∴EF ∥AC ．

∴△BEF ∽△BAC ．

∴EF:AC ＝BE:BA ．

设AE ＝x ，则BE ＝12－x ．

EF ＝2

3（12-x ） 在Rt △ADE 中，DE ＝21AE ＝2

1x ． 矩形CDEF 的面积S ＝DE •EF ＝2

1x •23(12−x)＝−43x 2＋33x （0＜x ＜12）． 当x ＝6时，S 有最大值．

∴点E 应选在AB 的中点处． 方法二分析：

本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：矩形的面积=大三角形的面积-两个小三角形的面积．

指导学生：

本题属于应用迁移层面的题目，所考查的知识能力属高阶思维，这类题对我们的学生来说一般难度较大，难在将几何知识与函数知识结合起来，从几何问题中整理出二次函数的模型并利用二次函数的知识求最值，然而这个要求较高，学生很难把握到位。根据我做的一个小调查，我们的学生能完全做出的不足20%。所以要教会学生解此类题的规律是什么，要知道哪些是同类试题，答题时哪些是采分点。中考是网上阅卷，字迹要工整，美观，干净，尽量减少涂改，养成良好的答题习惯。

拓展延伸：

拓展迁移，解此题的规律迁移，找出同类试题。

拓展一分析：

欲求使长方形面积最大的边长x，先利用长方形的面积=大三角形的面积-两个小三角形的面积表示出函数y，再利用二次函数的性质求出最大值及相应的x的值即可。

拓展二分析：

设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．

点评：本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．

教学反思：

方法上：注重学生知识的迁移能力。

效果上：具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。

以上是我对这道题的理解分析，请评委指正。