微积分试题1(完整答案)

第1学期模拟试卷1

一、填空题（15分，每小题3分）

1. 252

lim

sin 32x x x x

→∞+=+ . 2. 用( , )L M 语言叙述lim ()x f x →-∞

=+∞的定义 :

3. 数集(1)1n n n N n +⎧⎫--↓∈⎨⎬+⎩⎭

的上确界是 , 下确界是 .

4．设1

(1)1

y x x =

≠-+，则n 阶导数=)(n y . 5．定积分1251

||(sin )x x x dx -+=⎰ .

二、选择题（15分，每小题3分）

1. 设1(), ()11x

f x

g x x

-=

=+则当1x →时 ( ) . （A ）()f x 与()g x 为等价无穷小；（B ）()f x 与()g x 为同阶无穷小但不等价；

（C ）()f x 是()g x 的高阶无穷小；（D ）()f x .是()g x 的低阶无穷小；

2.. 当x →+∞时 ()f x 不以a 为极限的定义是( ) （A ）;0, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∀>-≥; （B ）000, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-≥; （C ）00000, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-<; （D ）0000 0, 0, , ().M x M f x a εε∃>∀>∃>-≥.

3． 数集{} (1,0.1) 0 ( 0.1 ,1 )A =-- 的所有聚点的集合是 ( ) （A ）A ； （B ）{} [1,0.1 ] 0 [ 0.1 ,1 ]-- ；

（C ） [1,0.1 ] [ 0.1 ,1 ]-- ；（D ） (1,0.1)

( 0.1 ,1 )-- ； 4. 设)(x f 在0x =处二阶可导，且 0

()

lim

1x f x x

→'=, 则( ). （A ）0x =是)(x f 的极小值点； （B ）0x =是)(x f 的极大值点；

（C ）(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点； （D ）. 以上都不是。 5. 设)(x f 是周期为T 的连续函数，则下列函数为周期函数的是( ). （A ）0()()x

F x f t dt =⎰; （B ）0()()x T F x f t dt +=⎰

; ( C ) 0()()x F x f t T dt =+⎰; （D ）()()x T

x

F x f t dt +=⎰.

三、求极限（12分，每小题6分）

1.11lim()1ln x x x x

→-- 2. tan 01lim x

x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭

四、求不定积分（12分，每小题6分） 1．5sin x dx ⎰ 2.

ln(1) x x dx +⎰.

五、计算定积分（12分，每小题6分）

1. 2.10

x ⎰

六、（8 分）设2

1sin x +是)(x f 的一个原函数，求

4

(2)x f x d x

π

'⎰

七、（10分）设曲线 2y x =(01)x ≤≤ 和直线 1 , 0y x == 围成平面图形D 。

( 1 ) 求D 的面积； ( 2 )求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积;

( 3 ) 求D 绕直线 1x = 旋转而成的旋转体的体积. 八、（8分）设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,f f f '==

求证：( 0, 1 )ξ∃∈ 使 ()2f ξ''=.

九、（8分）. 利用确界存在定理证明闭区间套定理：

设 {}, n n a b ⎡⎤⎣⎦ 为闭区间套，则 {}

, n n a b ⎡⎤⎣⎦ 必存在唯一的公共点。

第1学期模拟试卷1答案

一、填空题（15分，每小题3分）

1. 252lim

sin 32x x x x →∞+=+2

3

2. 用( , )L M 语言叙述lim ()x f x →-∞

=+∞的定义 :

0, 0, , ()L M x M f x L ∀>∃

>∀<-> 3. 数集(1)1n n n N n +⎧⎫--↓∈⎨⎬+⎩⎭

的上确界是 13 , 下确界是2-

4．设1(1)1y x x =≠-+，则n 阶导数=)

(n y 1

(1)!(1)

n n n x +-+. 5．定积分1

251

||(sin )x x x dx -+=

⎰1

2

二、选择题（15分，每小题3分）

1. B

2.. D 3． C 4. A 5. D 三、求极限（12分，每小题6分）

1.11lim(

)1ln x x x x

→-- =1111ln 1ln 11ln ln 11lim lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 22

ln (1)

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

→→→→-++-+====-+-++- 2. tan 01lim x

x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭

=2000

01

sin ln ln sin lim (tan ln )

lim

lim

lim lim

cos csc csc cot cos 1x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x e e e e

e

+

++++→→→→→---=====

四、求不定积分（12分，每小题6分）

1．5sin x dx ⎰ 422sin (cos )(1cos )(cos )xd x x d x =-=--⎰⎰

243521

(12cos cos )(cos )cos cos cos 35

x x d x x x x C

=--+=-+-+⎰

2. ln(1) x x dx +⎰.=22

2111ln(1)()ln(1)2221x x d x x x dx x

+=+-+⎰⎰

2

221111ln(1)(1)ln(1)ln(1)22124

x x x x dx x x x x C x ⎡⎤=+--+=++-+-+⎣⎦+⎰ 五、计算定积分（12分，每小题6分）

1.

2420

4

cos sin (cos sin )(sin cos )1)

x x dx x x dx x x dx π

π

π

π=-=-+-=⎰⎰⎰

2.1

0x

⎰.(sin x t =) 2

222

20

00

11sin cos cos sin 2(1cos 4)48t t tdt tdt t dt π

ππ===-⎰

⎰⎰

=2011sin 8416

t t π

π

⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦

六、（8 分）设2

1sin x +是)(x f 的一个原函数，求

4

(2) x f x d x

π

'⎰

解 1

[][][]444

00444400004011 (2) (2) (2) (2)221111(2)(2)sin 4sin 42222

111cos 4(cos cos 0)884

x f x dx x f x d x x df x xf x f x dx x x xdx x π

π

π

ππππ

π

π''=

===-=-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰