最新(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训讲义

(黄倩霞)大学生数学竞《解析几何》培训

讲义

大学生数学竞赛解析几何培训讲义第三章平面与空间直线

二、本章重点及难点

解析几何最显著的特点就是用代数方法来研究几何.因此学习解析几何不仅要有良好空间图形的认知能力，而且更要有一些必要的代数知识，特别是向量代数知识.作为最简单的曲面与曲线——平面与空间直线来说，图形的认知应该是比较容易的，关键是要学会灵活运用有关它们的一些数量、向量以及向量形式的方程，比如平面上或直线上的点的坐标、平面的法向量、直线的方向向量、平面的向量式方程以及直线的向量式参数方程等来解决有关几何问题.

本章的重点是：

●平面的各种形式的方程及其相互转换；

●直线的各种形式的方程及其相互转换；

●点、平面及直线的关系.

本章的难点是：

●点与平面的离差，平面划分空间问题；

●向量式方程的运用；

●灵活运用某些点、平面的法向量、直线的方向向量，平面束等来解

决一些几何问题.

三、本章的基本知识要点

1.平面的方程

在中学的立体几何中，读者知道了一个公理：空间中不在一条直线上的三个点可以确定唯一的平面，还知道两个定理：①空间的两条相交直线可以确定

准一的平面，②垂直于平面的直线同时垂直平面内的一切直线．通过上述的知识和利用矢量运算，可以得到以下平面的方程．

(1)向量式方程：

«Skip Record If...» (3.1)

其中u,v为参数．

在仿射坐标系下，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»

将它们代人式(3．1)，可得到下述参数式方程．

(2)参数式方程

«Skip Record If...» (3.2)

由于向量«Skip Record If...»共面，可以得到下述混合积方程．

(3)混合积方程：

«Skip Record If...»（3.3）

将对应的向量的坐标代入式(3. 3)中，可得到下述点位式方程．

(4)点位式(或行列式)方程

«Skip Record If...» (3.4)

将式(3．4)中的行列式按第一行展开，可得到下述一般方程．

(5)一般方程(或称为普遍式方程)

«Skip Record If...» (3.5)

这是一个三元一次方程．当D不等于零时，可以得到下述截距式方程．

(6)裁距式方程

«Skip Record If...»（3.6）

为了便于讨论点到平面的距离和点与平面的位量关系，将平面方程的讨论限制在直角坐标系下．在空间直角坐标系下．设平面上点Mo的径矢«Skip

Record If...»，平面上任意一点M的径矢«Skip Record If...»以及平面的法向量«Skip Record If...»，由于«Skip Record If...»，所以通过«Skip Record If...» (3．7)

可以得到平面的点法式方程．

(7)点法式方程

«Skip Record If...»（3. 8)

格式(3. 8)展开整理后，仍可以得到与式(3．5)类似的三元一次方程.

为了计算点到平面距离和讨论点与平面的相对位置，需要指定平面的法矢．将取自原点O出发，垂直于平面«Skip Record If...»的矢量指定为平面«Skip Record If...»的法矢，有了指定法矢的平面常被称为有向平面．此时平面«Skip Record If...»上任意点M的径矢«Skip Record If...»与平面«Skip Record If...»的单位法矢«Skip Record If...»有下面的关系：

«Skip Record If...» (3．9)

其中p是非负的．是原点O到平面«Skip Record If...»的距离．将式(3 9)中各矢量的坐标代入，可得到下述的法式方程．

(8)法式方程

«Skip Record If...»（3.10）

将一般方程«Skip Record If...»转化为法式方程时，需要在方程两边同时乘上法化因子«Skip Record If...»

其中«Skip Record If...»的正负号选取应满足«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»时，取«Skip Record If...»与D异号，当D=0时，取

«Skip Record If...»与第一个变量的系数同号．例如，«Skip Record If...»取«Skip Record If...»

(9)三点式方程

«Skip Record If...»（3.11）

这个方程可以看做与式(3．4)为同一类．

2．平面与点的相关位置

(1)点«Skip Record If...»与平面间«Skip Record If...»的离差«Skip Record If...»（3.12）

其中«Skip Record If...»为原点指平面«Skip Record If...»的单位法矢矢,

«Skip Record If...»p为原点O到平面«Skip Record If...»的距离．式(3．12)也可以写成代数表达式

«Skip Record If...» (3．13)

原点«Skip Record If...»与平面«Skip Record If...»间的离差为«Skip Record If...»，反映出原点O、平面«Skip Record If...»、及其单位法矢

«Skip Record If...»之间的关系．点与平面间的离差是一个代数值，它的正负号反映出点在平面的侧向．在平面«Skip Record If...»同侧的点，«Skip Record If...»的符号相同；对于在平面«Skip Record If...»异仍的点，«Skip Record If...»的符号相反；平面«Skip Record If...»上的点，«Skip Record If...»等于零．点与平面向的离差公式(3.13)可以将空间不在平面上的点分成两部分．同理，两个相交的平面将空间的点分成四部分．

(2)点«Skip Record If...»与平面«Skip Record If...»间的距离为

«Skip Record If...»（3.14）