北师大版初一数学秋季班(教师版) 第6讲 整式的基本概念 --尖子班
北师大版七年级数学上册《整式及其加减——整式》教学PPT课件(4篇)
（ 4 ）产量由增长后，达到______________.
2.某班共有个学生，其中女生人数占45%，那么男生人数是（
A.
B
C.
D.
）
新课导入
小明房间的窗户如图所示，其中上方
的装饰物由两个四分之一圆和一个半
圆组成(它们的半径相同)。
（ 1 ）装饰物所占的面积是多少?
整
式
项：多项式中每一个项
多项式：几个单项式的和
次数：次数最高项的次数
课后探究
某小区一块长方形绿地的造型如下图所示（单位:），其中两个
扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开，那么需要铺多大面积
的五彩石？
第三章 整式及其加减
整式
1．经历用代数式表示具体情境中数量关系的过
程，理解字母表示数的意义。
2．了解单项式、多项式、整式及有关的概念，
（ 2 ）窗户中能射进阳光的部分的面
积是多少?(窗框面积忽略不计)
解：（ 1 ）装饰物所占的面积为:
（ 2 ）窗户中能射进阳光的部分的面积：
新课讲授ห้องสมุดไป่ตู้
（ 1 ）如右图所示，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地
面积是______________；
（ 2 ）当水结冰时，其体积大约会比原来增加，的水结成冰后体
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系
数；
一个单项式中，所有字母的指数的和，
叫做这个单项式的次数。
单项式概念中的字母具有可任意取值的含义。
➢注 意
是圆周率的代号，不是单
项式概念中的字母。
试一试
单项式 1 r 2h 2 .035 a 2 b xy 5 x 3 2 x 2 y 2 z 2 13 a 2bc
北师大版七年级数学下册第一章《整式》精品课件
总数的 3 ，男生人数为 5
3 5
x
;
(3) 一个长方体的底面是边长为 a 的正方形，
高是 h , 体积是 a2h .
议议一一议议
前面所得出的代数式：1 mn 、
2 有什么特点？
3 5
x
、a2h、
(
b 4
)2 即
b2
16
都是由数与字母的乘积组成的， 这样的代数式叫做单项式； 单项式中的数字因数叫做这个单项式的 系数（coeff（icimenotn）om；ial）； 一个单项式中，所有字母的指数的和 叫做这个单项式的 次数。
（degree）.
例如
3x是 1 5
次的， a2h 是 3 次的；
1 2
mn
是
2 次的，
b2
16
是
2
次的
➢注 意 是圆周 率的代号，不是单项式 概念中的字母。
单项式概念中的字母具 有可任意取值的含义。
练一练
练一练
单项式
1 3
r 2h
2.035a2b
xyΒιβλιοθήκη 5 6x32 x2 y2z2 13a2bc
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021 7:24:55 AM 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/292021/7/292021/7/29Jul-2129-Jul-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/292021/7/292021/7/29Thursday, July 29, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
2024年北师大版初一数学上册知识点汇总
2024年北师大版初一数学上册知识点汇总2024年北师大版初一数学上册知识点汇总1整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。
②单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2024年北师大版初一数学上册知识点汇总2七年级上册数学知识点总结之有理数及其运算板块：1、整数包含正整数和负整数，分数包含正分数和负分数。
正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数。
2、正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。
3、绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“||”表示。
七年级上册数学知识点总结之整式板块：1、单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。
2、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3、整式：单项式与多项式统称整式。
4、同类项：字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
七年级上册数学知识点总结之一元一次方程。
1、含有未知数的等式叫做方程，使方程左右两边的值都相等的未知数的值叫做方程的解。
2、移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项等。
其实，七年级上册数学知识点总结还包括很多，但是我想，万变不离其宗。
大家平时要注意整理与积累。
配合多加练习。
一些知识要点及时记录在笔记本上，一些错题也要及时整理、复习。
一个个知识点去通过。
我相信只要做个有心人，就可以在数学考试中取得高分。
2024年北师大版初一数学上册知识点汇总31.有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；(2)有理数的分类:①②(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数0和正整数；a＞0a是正数；a＜0a是负数；a≥0a是正数或0a是非负数；a≤0a是负数或0a是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；(3)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2)绝对值可表示为：或；绝对值的问题经常分类讨论；(3)；；(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a·b|,.5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a≠0，那么的倒数是；倒数是本身的数是±1；若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.7.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.10有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.14．乘方的定义：（1）求相同因式积的`运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a2是重要的非负数，即a2≥0；若a2+|b|=0a=0,b=0；（4）据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.2024年北师大版初一数学上册知识点汇总4__内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
北师大版数学七年级上册3.3《整式》教案
北师大版数学七年级上册3.3《整式》教案一. 教材分析《北师大版数学七年级上册3.3《整式》》这一节主要讲述了整式的概念、分类和运算法则。
整式是初等代数中的基本概念，对于学生来说，理解整式的概念和掌握整式的运算法则是非常重要的。
本节课的内容是学生学习更复杂代数式的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题具有重要意义。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了实数和代数式的基本知识，对于代数式的运算也已经有一定的了解。
但是，学生对于整式的概念和分类可能还存在一定的困惑，需要通过实例和讲解来加深理解。
此外，学生对于整式的运算法则的掌握可能还不够熟练，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.理解整式的概念，能够正确判断一个代数式是否为整式。
2.掌握整式的分类，能够正确区分单项式、多项式等。
3.掌握整式的运算法则，能够进行整式的加减乘除运算。
4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.整式的概念和分类。
2.整式的运算法则。
五. 教学方法采用讲解法、实例分析法、练习法、小组合作法等教学方法。
通过讲解和实例分析，使学生理解整式的概念和分类；通过练习，使学生掌握整式的运算法则；通过小组合作，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入整式的概念。
例如，某商店进行打折活动，原价为100元，打8折后的价格为80元，求打折后的价格。
引导学生思考，如何用数学表达式来表示这个问题。
从而引出整式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解整式的概念和分类。
整式是由数字、变量和运算符组成的代数式。
根据整式中变量的个数和次数，可以分为单项式、多项式等。
单项式是只有一个变量或常数的整式，例如3x、-5、2x2等。
多项式是有两个或两个以上变量或常数的整式，例如x2+2x-1、3a+4b-5等。
3.操练（15分钟）进行整式的加减乘除运算。
北师大七年级数学教案-整式
《整式》第1課時說課稿【教材】北師大版七年級下冊《整式》尊敬的各位領導、老師：大家上午好！我說課的課題是《整式》，源于北師大版數學七年級（下冊）第七章第1節．下面我將從“教什麼”、“怎樣教”和“為什麼這樣教”進行闡述，來彙報我這節課的教學設計．1．背景分析（1）學習任務分析．(正確說明本堂課的核心概念、數學思想方法以及與相關知識的聯繫，明確教學重點．) 本章的主要內容是單項式、多項式、整式的有關概念，合併同類項、添括弧法則、整式的四則運算、乘法公式以及因式分解．這些知識是以後學習分式、根式運算以及函數等知識的基礎．同時也是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可或缺的數學工具．這節課作為本章起始課顯得很重要，核心概念是單項式與多項式，及由此歸納出的整式的的概念．這也是本節課教學重點．通過數與式之間的聯繫，教材中蘊含的主要數學思想方法有“類比”,“轉化”的思想方法，由單項式與多項式間的關係，體現了數學知識間具體與抽象的內在聯繫及數學的內在統一性．（2）學生情況分析．（正確說明學生已有認知結構與新內容之間的關係，明確學生可能遇到的難點．）注意發揮本節內容整式承前啟後的作用，在小學和七年級，已經學習了用字母代替數，列代數式表示現實世界中簡單的數量關係、根據數量關系列方程和解方程，有了這些基本知識，學生已經對整式具有了一定的感性認識．但在學習本課重點----單項式的概念，係數和次數，理解多項式的概念和正確確定多項式的次數和項數這些新出現的概念與名詞時特別要處理好本課教學難點：①係數是負數或分數時的情形．②多項式的次數和項的次數混淆．2．教學目標設計．（正確闡述通過教學，學生在“雙基”、數學能力、理性精神等方面所能得到的發展，並說明其依據．）（1）理解並掌握單項式的概念，係數和次數；（2）理解並掌握多項式的概念和正確確定多項式的次數和項數；（3）瞭解多項式升冪或降冪的排列方式．（1）培養學生的自學能力．（2）培養學生認真參與、積極交流的主體意識和樂於探索、勇於創新的科學精神．（1）培養學生的探索精神；（2）通過數與與式之間的聯繫，讓學生感受到數學知識間的內在統一性．（3）在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，拉近學生之間、師生之間的情感距離．3．課堂結構設計．[正確說明如何根據教學內容的特點（如概念、原理，例題、練習，學習應用，研究性學習等），按照數學知識的邏輯順序選擇恰當的課堂結構，安排教學活動順序．]本節課堂教學採用“情境—問題—探究—反思—提高”課堂結構，使學生初步體驗到數學是一個充滿著觀察、實驗、歸納、類比和猜測的探索過程．通過觀察課件的演示，讓學生分組討論、交流、總結，由小組內民主推選代表發表意見．本課主要的教法為：學生在教師營造的“可探索”的教學情境裡，積極參與，生動活潑地獲取知識，掌握規律、主動發現、主動發展．本課學生學法為：主動探究——自學議論----主動總結——主動提高．4．教學媒體設計．（正確闡釋如何根據教學任務以及學生學習需要，選擇恰當的教學媒體．）①電腦輔助教學②小組合作討論式教學兩種方式．5．教學過程設計．（說明設計怎樣的問題系列，激發學生學習興趣，引導學生開展積極主動的數學思維；說明如何根據學生實際提供適度的學習指導；說明如何安排變式訓練和知識應用，鞏固知識，加深對數學本質的理解；說明如何安排反思活動，引導學生歸納、總結並概括本堂課的學習內容．）（1）引入由教材章頭圖的引例引入（電腦螢幕顯示）．對於同一圖形的面積，由於考慮的角度不同，因而得出結論的表現形式也各異，但因它們都是表示同一數量關係，所以它們的值應該是相等的，從而得到等式m(a+b+c)和ma+mb+mc,顯然兩者是相等的，從數學的角度看兩者是方向相反的變形．這兩個等式的得出，將知識發生的過程清楚地展現在學生面前，同時也使學生對學習本章有一個感性的認識，為下一步概念的教學奠定基礎．給出教材上一組思考題，學生解出後在電腦民間上放大課本上的“小貼示”，為了更明顯的顯示這五個式子都是數位與字母的乘積．可引導學生一同分析上述各式子，指出各式的共同點．（2）歸納出單項式的概念提出“單項式”的概念，並舉例說明係數、次數的概念．這是本課第一個重點內容．通過一組練習幫助學生學會識別係數與次數，特別弄清負數做係數，強調係數包括前面的符號．還要弄清只含有字母因數的單項式的係數是1或-1，類比整數的乘法．如3x=x+x+x,3表示字母x的個數，單獨一個字母x，就是1個x，，係數1常省略．-x就是-1·x係數是-1，省略-1寫成-x．（3）通過一組思考練習題歸納出“多項式”的概念從單項式到多項式的概念提出，是一個從特殊到一般的一個過程，也有一個類比的思想．而緊接著的概念提出的和判斷練習，不僅把學生對同類項的認識由感性上升到理性，同時也使學生在不自覺中體驗了由一般到特殊的認識過程．單項式到多項式，又加深了學生對單項式概念的理解，使學生的認識在原有的基礎上得以提高，知識得以昇華．多項式也是一個重點內容，指出共同點，著重指明多項式是幾個單項式的和．強調多項式的讀法，首先要讀出每一項是什麼，還要使學生單項式前的符號，有正號，也有負號．（4）通過一組練習題識別多項式的項與次數除課本上已有的兩例以外，再舉一些，幫助學生掌握．（5）歸納出整式的概念．設計一組小練習，給出若干代數式，讓學生把這些式子的序號填寫到相應的集合中．加深對單項式、多項式、整式概念的掌握．（6）鞏固練習教材上兩道習題（7）小結引導學生小組間進行民主小結，本課學到哪些知識？（8）當堂回饋設計一組涵蓋本課主要內容的檢測題，時間5分鐘．檢測題要充分體現本課的重點與難點．在最後小題設計一道體現升冪排列或降冪排列的多項式，用於評講時，滲透一下多項式的升冪或降冪排列這一概念，但不去深究．（9）佈置課後作業，讓學生帶著問題離開課堂。
【北师大版】初一数学上册《【教案】 整式》
3.3 整式【数学目标】知识与技能1.理解单项式及单项式的系数、次数的概念.2.掌握多项式及其项数、常数项的概念和整式的概念.3.会判断一个式子是不是整式,会求整式的次数、系数和项数.过程与方法通过小组讨论、合作交流让学生经历新知的形成过程,培养比较、分析、归纳的能力.由单项式与多项式归纳出整式,这样更有利于学生把握概念的内涵与外延,有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新.情感、态度与价值观通过整式的学习认识整式产生的背景,激发学生学好数学的信心.【教学重难点】重点掌握整式、单项式及多项式的有关概念,掌握单项式和多项式的定义，单项式、多项式的项和次数以及常数项等概念.难点多项式的次数.【教学过程】一、复习收入1.师:请用含字母的式子填空:(1)若正方形的边长为a,则正方形的面积是 ;(2)若三角形的一边长为a,并且这边上的高为h,则这个三角形的面积为 ;(3)若x表示正方体的棱长,则正方体的体积是 ;(4)若m表示一个有理数,则它的相反数是 ;(5)小明从每月的零花钱中储存x元钱捐给希望工程,一年下来小明捐款元.【答案】(1)a2 (2)ah (3)x3 (4)-m(5)12x2.师:请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同运算特征.由小组讨论后,经小组推荐代表回答,教师适当点拨.二、讲授新课1.单项式.通过特征的描述引导学生概括单项式的概念,从而引入新课:单项式,并板书单项式的概念,即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式,然后教师补充,单独一个数或一个字母也是单项式,如a,5.2.练习:师:请同学们判断下列各代数式哪些是单项式.(1);(2)abc;(3)b2;(4)-5ab2;(5)y;(6)-xy2;(7)-5.(加强学生对不同形式的单项式的直观认识,同时利用练习中的单项式转入单项式的系数和次数的教学)【答案】(2),(3),(4),(5),(6),(7)是单项式.3.单项式的系数和次数.直接引导学生进一步观察单项式的结构,总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.以四个单项式a2h,2πr,abc,-m为例,让学生说出它们的数字因数是什么,从而引入单项式系数的概念并板书,接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么、各字母的指数分别是多少,从而引入单项式次数的概念并板书.4.例题讲解:【例1】判断下列各代数式是否是单项式.若不是,请说明现由;若是,请指出它们的系数和次数.(1)x+1;(2);(3)πr2;(4)-a2b.解:(1)不是,因为原代数式中出现了加法运算;(2)不是,因为原代数式是1与x的商;(3)是,它的系数是π,次数是2;(4)是,它的系数是-,次数是3.【例2】下面各题的判断是否正确?(1)-7xy2的系数是7;(2)-x2y3与x3没有系数;(3)-ab3c2的次数是0+3+2;(4)-a3的系数是-1;(5)-32x2y3的次数是7;(6)πr2h的系数是.解:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×(6)×教师通过例题强调应注意以下几点:(1)圆周率π是常数;(2)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写,如x2,-a2b等;(3)单项式的次数只与字母的指数有关.指数是1,省略不写,但求和时不能省略.【例3】 (1)苹果原价是每千克p元,按8折优惠出售,用式子表示现价;(2)某产品前年的产量是n件,去年的产量是前年产量的m倍,用式子表示去年的产量;(3)一个长方体包装盒的长和宽都是acm,高是hcm,用式子表示它的体积;(4)用式子表示数n的相反数.解:(1)现价是每千克0.8p;(2)去年的产量是mn件;(3)由长方体的体积=长×宽×高,得这个长方体包装盒的体积是a·a·hcm3,即a2hcm3;(4)数n的相反数是-n.5.多项式.板书由学生自己归纳得出的多项式的概念.上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的.像这样,几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项,叫做常数项.例如,多项式x2-2x+5有三项,它们是x2,-2x,5,其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫做几项式.多项式里次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式2x2+3x-1是一个二次三项式.注意:(1)多项式的次数不是所有项的次数之和;(2)多项式的每一项都包括它前面的符号.(教师介绍多项式的项、次数以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,渗透类比的数学思想)整式是单项式和多项式的统称6.例题讲解.【例1】判断下列说法是否正确.(1)多项式a3-a2b+ab2-b3的项为a3,a2b,ab2,b3,次数为12;(2)多项式3n4-2n2+1的次数为4,常数项为1.(这两个判断能使学生清楚地理解多项式中项和次数的概念,第(1)题中第二、四项应为-a2b、-b3,而往往很多同学都认为是a2b和b3,不把符号包括在项中,另外也有同学认为该多项式的次数为12,应注意:多项式的次数为最高次项的次数)【例2】指出下列多项式的项和次数,各是几次几项式.(1)3x-1+3x2;(2)4x3+2x-2y2(让学生口答,教师在黑板上规范书写格式.应特别提醒学生注意多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为最高次项的次数)7.课堂练习(1)游戏:一个小组的学生说出一个单项式,再指定另一个小组的学生回答它的系数和次数,然后交换,看两小组哪一组回答得又快又准.(2)用单项式填空,并指出它们的系数和次数:①每包书有12册,n包有册;②一辆汽车的速度是vkm/h,它t小时行驶的路程为 km;③一台电视机原价为a元,现9折出售,这台电视机的售价为元;④长为0.9、宽为a的长方形面积是 .师:上题中③和④的结果一样,这说明用字母表示数后,同一个式子可以表示不同的含义,你能赋予0.9a一个含义吗?学生思考并回答,教师予以点评.(3)填空:-a2b-ab+1是次项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 ;(4)已知代数式3x n-(m-1)x+1是关于字母x的三次二项式,求m、n的值.【答案】(2)①12n ②vt ③0.9a ④0.9a (3)三三 - -ab 1-a2b,-ab,1 (4)n=3 m=1三、课堂小结1.教师引导学生理解并掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2.理解多项式的定义,能说出一个多项式是几次几项式、最高次数是几、分别由哪几项组成、各项的系数分别为多少、常数项为几.3.这节课学习了多项式,与前一节课所学的单项式合起来统称为整式.(让学生小结,教师进行补充)。
北师大版七年级数学上册-整式 课件演示
11
2 a b2 23x2y 3 16
2 3
16
23
1 23
北师大版七年级数学上册-整式 课件演示（精品课件）
北师大版七年级数学上册-整式 课件演示（精品课件）
总结
注意是一个数
1.单项式的次数只与字母的指数有关，与系数无关 .
如24 x3y2 的次数是5，而不是9 .
2. 单独的一个数构成的单 项式，可以看成是零次单项
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例2
2x23x47
2 x 2 3x47
3项
4次 常数项
多项式 2x23x47是一个四次三项式
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练习 2
填表
多项式
各项
次数
2ab6
2ab, 6
2
2x 3y
2m
1
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单项式的系数:一个单项式中的数字因数.
1
10 x 9
a2h
Hale Waihona Puke 单项式的次数:一个单项式中的所有字母的指 数之和.
10 x 1次 9
2+1=3次
a2h
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例1
指出： 2a、-3b2、3x2 , 这几个单项式的系数和次数 .
解： 单项式 2a 3b2 3 x 2
系数 2
3
-3
次数 1 2
2
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北师大版七年级数学下册第一章《整式》课件
(1)窗户中能射迸阳光
的部分的面积分别是:
ab b2 , ab b2 ;
8
32
(2) 它们都是 2 项式,
次数都是 2.
图1—3
解题后的归纳
试将单项式、多项式、整式、代数式进行分类。 可使用下列两种方式之一：
单项式 多项式
整 式
,
2x4-1
，1
7
a
1 d
abc 2
m n ， 多项式有 （ ）
m
A .2个 C .4个
B .3个 D .5个
4. 下列说法中正确的是 （ ）
A . 单项式 3xy 的系数是-3；
4
B . 单项式- 5 × 102k的系数是-5×102 次数是2；
C . 代数式4x2+3x+23是二次三项式
D . 代数式2a2+3是二次三项式
系数
1Байду номын сангаас
3
2.035
1
5 6
9
1
次数 3
3
21
6
4
➢注 意 当单项式的系数为1或 –1时， 这个“1”应省略不写。
单项式、多项式、整式
几个单项式的和叫做 多项式(polynomial)， 多项式中的每一个单项式，叫做多项的 项。
单项式和多项式统称 整式(integral expression).
一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
（degree）.
例如
3x是 1 5
次的， a2h 是 3 次的；
1 2
mn
是
2 次的，
b2
北师大版七年级数学上《整式》讲述
(1)装饰物所占的面积是多
少？ b2
16
(2)窗户中能射进阳光的部 分的面积是多少？(窗框面积忽
略不计) ab b2
16
如图3-5，一个十字形花坛铺满了草皮， 这个花坛草地面积是多少？
ab 4c2
当水结冰时，其体积大约会比原来
增加 1 ， xm3 的水结成冰后体积是多少？ 9
10 x 9
如图3-6，一个长方体的箱子紧靠墙角， 它的长、宽、高分别是a,b,c. 这个箱子露在外 面的表面积是多少？
ab+ac+bc
某件商品的成本价为a元，按成本价提高 15%后标价，又以8折(即按标价的80%)销售， 这件商品的售价为多少元？
数，如 b2 的系数是 ，10 x 的系数是 10．
16
16 9
9
所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，如
16
b2是2次的，12a3b
是4次的.
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，
如多项式 ab b2 是ab与 b2两项的和. 一
16
16
个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多
项式的次数.如 ab b2 是2次的, a2b 3a2 1
是3次的.
16
小红和小兰房间窗户的装饰物如图3-7所示， 它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径 分别相同).
(1)窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多 少？(窗框面积忽略不计)
(2)你能指出其中的单项式或多项式吗？他们 的次数分别是多少？
下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？ 分别填入所属的圈中．指出其中各单项式的系数； 多项式中哪个次数最高？次数是多少？
_七年级秋季班-第1讲：整式的基本概念-教师版
七年级秋季班整式的基本概念内容分析代数式是七年级数学上学期第一节内容，主要根据题意，会用规范的格式用字母表示数，掌握代数式的值的概念，能用具体数值代替代数式中的字母，求出代数式的值，理解单项式．多项式和整式的定义．重点是理解代数式的值的意义并能准确求出代数式的值，正确理解单项式．多项式及整式的概念，会把一个多项式按某个字母降幂排列或升幂排列．难点是会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数，能够正确区分单项式和多项式，通过这节课的学习为我们后期学习整式计算提供依据．知识结构模块一：字母表示数知识精讲1．字母表示数字母可以表示运算律；字母可以表示公式；字母可以表示数量关系或方程里的求知量；字母可以表示探究得出规律的数．2．字母表示数的规范要求（1）数字与字母及字母与字母间的乘号省略，且数字要写在字母之前；（2）当数字是带分数时，要写成假分数；（3）除法运算中的除号要用分数线来表示．班秋季级年七⑤ ⑥【例1】 下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（ ）． ①1⋅ x 2 y② ab ÷ c 2③ 2 ⨯ (a + b ) ④ ab ⋅ 2 27a 1 xy 34 A ．1个 B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【难度】★ 【答案】A ．【解析】①、③、④数字应该写在字母前面，乘号省略；②要书写成分数的形式；⑤中带分数要化成假分数．【总结】本题考查了用字母表示数的规范要求．【例2】 某种商品降价 x ％后，售价为 a 元，则原售价是（ ）．A ． ax 元B ． a ⎛1 +x ⎫元C ． 100a 元D ．a 元100 100 ⎪ xx⎝ ⎭【难度】★ 【答案】D ．【解析】现价=原价×（1-x %）．1 - 100【总结】本题考查了用字母表示数的规范要求，同时考查了成本问题．【例3】 某次数学测试，班级中男生20 名平均得 a 分，女生25 名平均得b 分，此次测验全班的平均分是多少？ 【难度】★★【答案】 4a + 5b ．9【解析】解：班级的总分： (20a + 25b ) 分全班的平均分为： (20a + 25b ) ÷ 45 =4a + 5b9【总结】书写代数式时，要注意运算中的除号要用分数线表示，另外注意要进行约分．例题解析七年级秋季班【例4】一个两位数为x ，三位数为y ，将x 放在y 的左边得到一个五位数，用含x ．y 代数式表示这个五位数．【难度】★★【答案】1000x +y ．【解析】解：x 移向y 的左边，因为y 是三位数，所以x 扩大了1000 倍，所以是1000x，而y 没有改变还是原来的三位数，所以这个五位数是：1000x +y ．【总结】本题考查代数式的表示．【例5】画一个正方形，使它的边长为2 厘米，它的面积是平方厘米．再取各边中点，再连成第2 个正方形，它的面积是平方厘米．再取第2 个正方形的各边中点，连成第3 个正方形，它的面积是平方厘米．如果依此方法画出第4 个．第5 个正方形······那么第20 个正方形的面积是平方厘米，第n 个正方形的面积是平方厘米．【难度】★★★【答案】4；2；1；1217；1．2n-3【解析】第一个正方形面积：2×2=4 平方厘米；第二个正方形面积：4×12=2 平方厘米；第三个正方形面积：4×1×1=1 平方厘米；第20 个正方形面积：4×1=1平方厘米2 2第n 个正方形面积：4×1=1平方厘米．219 2172n-1 2n-3【总结】本题不仅考查了代数式的表示，还要注意正方形的性质，求出前几个正方形的面积再寻找它们之间的关系．班秋季级年七b2 b5【例6】（1）一组按规律排列的式子：-，a a2b8，-，a3b11a4，…( ab ≠ 0 )，其中第7 个式子是，第n 个式子是( n 为正整数)．（2）搭建如图①的单顶帐篷需要17 根钢管，这样的帐篷按图②．图③的方式串起来搭建，则串7 顶这样的帐篷需要根钢管.【难度】★★★b20①②③n b3n-1【答案】-a7 ；(-1)⋅a n；83．b20 n b3n-1【解析】（1）由给出的规律可得：第7 个式子是-a7 ，第n 个式子是(-1)⋅；a n（2）第一个帐篷需要17 根钢管，第二个帐篷需要：17+11=28 根，第三个帐篷需要：17+11+11=39 根:所以第7 帐篷需要：17+11×6=83 根．【总结】本题属于找规律的题型，要注意式子之间的规律，推算出后面的式子．七年级秋季班1．代数式（1）用运算符号和括号把数或字母连结而成的式子叫做代数式．(这里的运算符号一般指加、减、乘、除，以及以后要学的乘方，开方) （2）单独一个数字或者一个字母也是代数式．（3）因为等号和不等号不是运算符号，所以等式和不等式不是代数式．【例7】 下列各式中，是代数式的有（ ）．① 3xy 2 ② 2π R ③ S = π r 2④ b ⑤ 5 + 1 > 2⑥ab2A ． 3 个B ． 4 个C ． 5 个D ． 6 个【难度】★ 【答案】B ．【解析】③是等式，⑤是不等式，都不是代数式． 【总结】本题查考了代数式的概念．【例8】 下列代数式中，书写规范的是（）． A ． 5 1 ⨯ 7ab 3 【难度】★【答案】D ．B ． 2a 2 ⨯ b - 6C ． 6ab ÷ 9D ． 1a 2b3【解析】 A 正确的写法是112 ab ； B 正确的写法是2a 2b - 6 ； C 正确的写法是 2ab ． 3 3 【总结】本题考查了代数式的书写要求． 模块二：代数式知识精讲例题解析班秋季级年七a b ⎪ 【例9】 下列代数式的值一定是正数的是（ ）．A ． 2x + y 2B ． x - yC ． 2x 2 + 3D ． (x + y )2【难度】★★ 【答案】C ．【解析】B 、D 是非负数，可以为 0．A 可以为负．【总结】本题考查了非负数的表示方法，初中常见的非负数的表示方法有①某数或某式子的偶次方；②绝对值；③根式．【例10】 某项工程，甲队完成需要 a 小时，乙队完成需要b 小时，则甲．乙两队合作1 小时可完成该工程的（ ）．A ． 1 + 1a b 【难度】★★ 【答案】A ．B ． 1 a + bC ． 1abD ．1 ÷ ⎛ 1 + 1 ⎫⎝ ⎭【解析】解：甲的工作效率：1÷a = 1 ,乙的工作效率：1÷b = 1，a b甲、乙合作 1 个小时完成的工作量：1×（ 1 + 1 ）= 1 + 1．a b a b 【总结】工程问题中的等量关系：工作总量=工作时间×工作效率；工作时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间．【例11】 用语言描述3a -15 的数量关系，其中错误的是（）．A ． a 的3 倍与15 的差B ． 3a 与15 的相反数的和C ． a 与5 的差的3 倍D ． a 与15 的差的3 倍【难度】★★ 【答案】D ．【解析】D 答案的表示是： 3(a -15) ．【总结】本题主要考查的是代数式的意义，属于基础题型．七年级秋季班【例12】下列语句中，不正确的是（）．A ．代数式x2 -y2 的意义是x 与y 的平方差．B ．代数式1 (x -y )的意义是x 与y 的差的一半．2C ．x 的7 倍与y 的和的一半，用代数式表示是7x +y ．2D ．x 的16与y 的18差，用代数式表示是1x -1y ．6 8【难度】★★【答案】C．【解析】C 答案代数式的表示为：1 (7x +y )．2【总结】要注意语句中的关键字，注意平方差和差的平方的区别．【例13】用文字语言表示下列式子：（1）2a +1；（2）3(a - 2) ；（3）a -5．【难度】★★【答案】（1）a 的2 倍与1 的和；（2）a 与2 的差的3 倍；（3）a 与5 的差的绝对值．【解析】（1）中是一个求和的式子；（2）中是乘积，3 倍的关系；（3）中是绝对值．【总结】本题主要考查的是代数式的意义，属于基础题型．【例14】汽车每小时耗油10 升，油箱中已装油a 升．（1）当a = 80 时，汽车行驶多少小时后，油箱中剩余油为20 升？（2）用代数式表示汽车行驶x 小时后，油箱中剩余的油量y ．【难度】★★【答案】(1)6；（2）y =a -10x ．【解析】解：（1）（80-20）÷10=6 （小时）（2）y =a -10x ．【总结】应用题中，要找到等量关系，抓住关键字，再列式计算．班秋季级年七⎣ ⎦⎣ ⎦【例15】 正方形的边长为a cm ，边长增加2cm 后，面积增加（）．A ． 4cm 2B ． (a 2 + 4)cm 2C ． (a + 2)2cm 2D ．⎡(a + 2)2 - a 2 ⎤ cm 2【难度】★★ 【答案】D ．【解析】解：原来正方形的面积是： a ⨯ a = a 2cm 2 ，边长增加 2cm 后面积为： (a + 2)⨯ (a + 2) = (a + 2)2c m 2 ，增加的面积为：⎡(a + 2)2- a 2 ⎤ cm 2 ． 【总结】注意正方形的面积公式，边长增加 2cm 后的图形还是正方形．注意代数式的书写要求，规范表示．【例16】 船在静水中的速度为 x 千米/时，水流速度为2 千米/时(x > 2) ，若 A 、B 两地相距s 千米，则在 A 、B 间往返一次共需 小时．【难度】★★★【答案】⎛ s+ s ⎫ ．x + 2 x - 2 ⎪ ⎝ ⎭【解析】解：当船顺水而行时： s ÷ (x + 2) = 当船逆水而行时： s ÷ (x - 2) =sx + 2sx - 2（小时）；（小时）往返一次的时间为： ⎛ s+ s ⎫ （小时）．x + 2 x - 2 ⎪ ⎝ ⎭【总结】行船问题公式：顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速，时间=航行路程÷航行速度．【例17】 浓度为80 ％的酒精a 克，加水10 克后的浓度是多少？ 【难度】★★★【答案】 4a．5a + 50【解析】浓度为80 ％的酒精a 克中纯酒精为 80% a 克，加水后的浓度是 80% ⋅ a = 4a克． a + 10 5a + 50【总结】浓度问题：溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量；溶质的重量÷溶液的重量×100％=浓度；七年级秋季班溶液的重量×浓度=溶质的重量．班秋季级年七1．代数式的值用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．2、求代数式的值的方法直接代入法；整体代入法．【例18】 当 x 2 + y 2 = 1， 3x - 2 y 2 = -2 时， 4x - y 2 的值是（）．A ． -2 【难度】★ 【答案】B ．B ． -1C ． 3D ． 6【解析】 x + y 2 = 1，3x - 2 y 2 = -2 ，∴ (x + y 2 )+ (3x - 2 y 2 )= 1 - 2 = -1，即4x - y 2 = -1 ．【总结】本题考查了整体代入法求值，属于基础题型．【例19】 求代数式x - y2x + 3y的值，其中（1） x = -2 ， y = -5 ；（2） x = 2 ， y = 5 ．【难度】★【答案】（1） - 3 ；（2） - 3．19 19【解析】（1） x - y = -2 + 5 = - 3；（2） x - y =2-5 = - 3 2x + 3y -4 -15 19 2x + 3y 4 + 15 19【总结】本题主要考查了代数式的值，在代值过程中要注意符号的问题．模块三：代数式的值知识精讲例题解析1b【例20】若a = 3 ，b = 0.3 ，则3 = ．2a【难度】★★【答案】1．601b1⨯0.3 1 ⨯3【解析】解：3 =3 =3 10 =1 ．2a 6 6 60【总结】本题主要考查了代数式的值，如果既有分数又有小数的时候，可以把分数小数进行互化．【例21】如果x - 3 +(y- 2)2 = 0 ，则y x =．【难度】★★【答案】8．【解析】解：由x - 3 +(y- 2)2 = 0 ，可得：x-3=0，y-2=0，解得：x=3，y=2，所以y x = 23 = 8 ．【总结】本题一方面考查了绝对值的性质，另一方面考查了代数式的求值．【例22】如果a2 +ab = 5 ，b2 + 3ab = 9 ，则a2 - 2ab -b2 = ．【难度】★★【答案】-4 ．【解析】解：(a2 +ab)-(b2 + 3ab )=a 2 +ab -b 2 - 3ab =a 2 - 2ab -b2 ，∴a2 - 2ab -b2 = 5 - 9 =-4 ．【总结】本题主要考查了整体代入思想的运用．【例23】若代数式2a2 + 3a +1 的值是5 ，求代数式6a2 + 9a - 8 的值．【难度】★★【答案】4．【解析】解：2a2 + 3a +1 = 5 ，2a2 + 3a = 4 ，∴ 3(2a2 + 3a)= 6a2 + 9a = 3⨯ 4 =12 ，∴ 6a2 + 9a- 8= 1-2=8 ．【总结】本题一方面考查了代数式的求值，另一方面考查了整体代入思想的灵活运用．⎣ ⎦ 【例24】 已知 a - 4 与 a + 2b 互为相反数，求代数式10(a - b )3 - 8(a - b )2+ 9(b - a )3+7(b - a )2的值． 【难度】★★ 【答案】180．【解析】由题意可得： a - 4 + a + 2b = 0 ，∴ a - 4 = 0，a + 2b = 0 ，解得： a = 4，b = -2 ．原式 = 10 (a - b )3 - 9 (a - b )3 - ⎡8(a - b )2 - 7 (a - b )2⎤= (a - b )3 - (a - b )2 = (4 + 2)3- (4 + 2)2= 180【总结】本题中互为相反数的两个数之和为 0，还要注意奇负偶正的灵活运用．【例25】 （1）当a = 1， b = 1 及a = 3 ， b = 1时，分别计算 a 2 - 2ab + b 2 及(a - b )2 的值，3 4 2并观察所得代数式的值，有什么发现？可猜想出什么规？ （2）应用你发现的规律，计算：101.232 - 2 ⨯101.23⨯1.23 +1.232 ． 【难度】★★【答案】（1） 4 ； 4 ； 1 ； 1； a 2 - 2ab + b 2 = (a - b )2 ；（2）10000．9 9 60 60【解析】（1）当a = 1， b =； (a - b )2 = 1 - ⎪ = ；3 1 9 3 1 1 ⎛ 3 1 ⎫21 当 a = ， b = 时， a2 - 2ab + b 2 = - + = ； (a - b )2= - ⎪ = ；4 2 16 4 4 16 ⎝ 4 2 ⎭ 16发现a 2 - 2ab + b 2 = (a - b )2 ．（2）由（1）中的规律可得：101.232 - 2 ⨯101.23⨯1.23 +1.232= (101.23 -1.23)2=1002 =10000．【总结】本题考查了代数式的求值问题，同时也考查了找规律．1 时， a2 - 2ab + b 2 =1 - 2 + 1 = 4⎛ 1 ⎫24 3 3 9 9 ⎝ 3 ⎭ 90 1 2 3 4 5 6【例26】 已知a + 19 = b + 9 = c + 8 ，求(a - b )2 + (b - c )2+ (c - a )2 ．【难度】★★★【答案】222． 【解析】解：a +19 =b + 9 ，a +19 =c + 8 ，b + 9 = c + 8 ，∴ a - b = 9 -19 = -10 ， c - a = 19 - 8 = 11， b - c = 8 - 9 = -1，所以原式= (-10)2+ (-1)2+ (11)2= 100 + 121 + 1 = 222 ．【总结】本题考查了代数式的求值，要学会从已知中提取需要的知识点．【例27】 已知： (2x 2 - x -1)3= a x 6 + a x 5 + a x 4 + a x 3 + a x 2+ a x +a ．求：（1） a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 的值；（2） a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 - a 5 + a 6 的值；（3） a 0 + a 2 + a 4 + a 6 的值．【难度】★★★【答案】（1）0；（2）8；（3）4．【解析】解：（1）由已知可得，当 x = 1 时， (2 -1 -1)3= a+ a + a + a + a + a + a= 0 ；123456（2）由已知可得，当 x = -1 时， (2 + 1 -1)3= a - a + a - a + a - a + a = 8 ；123456（3）由（1）和（2）可知，(a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) + (a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 - a 5 + a 6 ) = 0 + 8 = 8即2(a 0 + a 2 + a 4 + a 6 ) = 8 ，所以a 0 + a 2 + a 4 + a 6 = 4 ．【总结】本题主要考查了代数式的求值，注意观察系数的特征．1、单项式由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式． 单独一个数或字母也是单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 2、多项式由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数就是这个多项式的次数． 3、多项式的升幂或降幂排列（1）把一个多项式按其一个字母的指数从高到低的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（2）把一个多项式按某一个字母的指数从低到高的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列． 4、整式单项式．多项式统称为整式．【例28】 下列说法正确的是（）．A ． 1不是单项式B ． b是单项式2aC ． x 的系数是0D ． 3x 2 y 是整式2【难度】★ 【答案】D ．【解析】A 是单项式；B 答案不是整式，而是分式；C 的系数是 1 不是 0． 【总结】本题考查了整式最基本的概念．模块四：整式知识精讲例题解析【例29】32005 x2 y2 是次单项式．【难度】★【答案】4．【解析】单项式的次数是所有字母的指数和，2+2=4，所以是4 次单项式．【总结】本题主要考查了单项式的次数的计算方法，属于基础题．【例30】把多项式a3 - 3ab + 5b3 - 6a2b 按a 的降幂排列为．【难度】★【答案】a3 - 6a2b - 3ab + 5b3 ．【解析】只看字母a 的指数的大小，降幂排列是指数从大到小，所以是a3 - 6a2b - 3ab + 5b3 ．【总结】本题主要考查了多项式的排列，要注意升幂和降幂的排列顺序．【例31】已知-2ab3-7a n-1b2与-32 π2 x3 y5 的次数相等，则(-1)n+1 =．【难度】★★【答案】1．【解析】解：单项式-32 π2 x3 y5 的指数是3+5=8，而多项式中-2ab3 的指数为4，所以-7a n-1b2的指数n -1 + 2 = 8 ，∴n = 7 ，∴(-1)n+1 =(-1)7+1 =1．【总结】本题主要考查了单项式和多项式的次数的表示．【例32】多项式3a2b - 2a5 - 4b +ab6的一次项是，三次项系数是，常数项是．【难度】★★【答案】-2b ；1；0．3【解析】解：23a2b - 2a5 - 4b +ab =1 a2b -1a5-2b +1ab ，所以一次项为-2b ，三次项系6 2 3 3 6 3数为1，常数项为0. 2【总结】本题考查了多项式的相关知识点，属于基础题，要注意分母 6 要整理到系数中去．【例33】多项式3x n-2+2x n-4x n+3-3x n-1（n是大于3 的整数），按x的升幂排列为．【难度】★★【答案】3x n-2 - 3x n-1 + 2x n - 4x n+3 ．【解析】解：按x 的升幂排列：按x 的指数从低到高的顺序排列，所以是3x n-2-3x n-1+2x n-4x n+．【总结】本题主要考查多项式的排序问题，属于基础题目．【例34】m 、n 都是正整数，多项式x m +y n + 3m+n 的次数是（）A.2m + 2nB.m 或nC.m +nD.m 、n 中的较大数【难度】★★【答案】D．【解析】本题只告诉了m、n 都是正整数，不知道其大小，多项式的次数是看次数最高项次数，所以是m、n 中较大数．【总结】本题考查了多项式的次数的定义，属于基础题．【例35】一个n 次多项式，它的任何一项次数都．【难度】★★【答案】小于或等于n．【解析】多项式的次数是看次数最高项的次数，所以其他项的次数小于或等于n．【总结】本题考查了多项式的次数的定义，属于基础题．【例36】若多项式x4 -ax3 +x3 - 5x2 -bx - 3x -1不含x 的奇次项，求a +b 的值．【难度】★★★【答案】-2 ．【解析】解：原式=x4 +(1-a)x3 -5x2 -(b+3)x-1，不含x的奇次项，则1-a=0，b+30=，所以a = 1，b =-3 ，所以a +b = 1 - 3 =-2 ．【总结】多项式中不含某项，就是使该项的系数为0，要注意先要合并同类项．【例37】若多项式x4-n + 2x n+1 - 3 是三次三项式，求n 的值．【难度】★★★【答案】n=1 或n=2．【解析】解：4 -n = 3 ，或n + 1 = 3 ，解得：n = 1 或n = 2 ．当n = 1 时，该多项式为x3 + 2x2 - 3 是三次三项式；当n = 2 时，该多项式为x3 + 2x2 - 3 是三次三项式．综上，n = 1 或n = 2 ．【总结】本题考查了多项式中几次几项式的概念，本题要注意的是分类讨论后，还要检验求出的n 的值是否符合题意．【例38】若关于x、y 的多项式(a -4)x a y +(4 -a)x a-1 y +(2-b) x2y a-2+5a a-3y2是一个四次三项式，求a 、b 的值，并写出此三项式．【难度】★★★【答案】a=3，b=2，-x3 y +x2 y + 5y2 .【解析】解：原式要求是三项式，必须有一项为0，∴ 2 -b = 0，b = 2 ．最高次数为4，a +1>a ，∴a +1 = 4，a=．将a = 3，b = 2 代入，原式= -x3 y +x2 y + 5y2 ．【总结】本题主要考查了几次几项式的概念，同时也考查学生的分析能力和观察能力．师生总结1．整式与代数式有何关系？2．如何识别整式？3．整式分为哪几类？1 ，2 2 1【习题1】 将下列代数式分别填入相应的括号内：1 ab2 a 12 2 1 x - 2 1 21， ， ，x + x ，m n - mn + 3n - 2 ， ， ，x + - 32 b3 3 3 x + yx 22 3 3 3；二项式：x + x 2x - 2 ， 3二次多项式： x + x 2； 整式： 1 ab 2 ， x + x ，m n - mn + 3n - 2 x - 2 ， 2 3 3 3【解析】解： 1 ab 2 为单项式； a 不是整式，属于分式； 1属于单项式； x + x 2 属于二次二2 b 3项式； m 2 n - 1 mn + 3n - 2 属于三次四项式； x - 2属于一次二项式； 1 属于分式；x 2 + 1 x 23- 3 属于分式．3 x + y【总结】本题主要考查的是单项式、多项式以及整式的相关概念．【习题2】 已知关于 x 的多项式(m - 2) x 2 - m x + 3 中的 x 的一次项系数为-2 ，则这个多项式是 次项式．【难度】★ 【答案】一，二．【解析】解：x 的系数为-m ，m = -2，m = 2 ，将 m = 2 代入，原式= -2x + 3 ，∴这个多项式为一次二项式． 【总结】本题考查了几次几项式的概念．随堂检测； .单项式（ 多项式（ 二项式（ 二次多项式（ ）； ）； ）； ）；整式（）．【难度】★1 1 1x - 2【习题3】 在下列各式中，符合书写格式要求的有（ ）．a 2 ，1 ÷ x ，11 m ， - 3 ， 3⨯ (x + 2 y ) ，1m 2n 3 ， 7ab ， ac ÷ b 2 ． 2 y 3A ．1个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【难度】★ 【答案】B 【解析】略．【总结】本题只要考查代数式的书写要求．【习题4】 把多项式5x 3 y - y 4 - 3xy 3 + 2x 2 y 2 - 7（1）按 x 的升幂排列 ； （2）按 y 的降幂排列 ．【难度】★【答案】(1) -7 - y 4 - 3xy 3 + 2x 2 y 2 + 5x 3 y ；(2) - y 4 - 3xy 3 + 2x 2 y 2 + 5x 3 y - 7 .【解析】解：（1）按 x 的升幂排列： -7 - y 4 - 3xy 3 + 2x 2 y 2 + 5x 3 y ；（2）按 y 的降幂排： - y 4 - 3xy 3 + 2x 2 y 2 + 5x 3 y - 7 ．【总结】本题主要考查了多项式的升降幂的概念．【习题5】 某学生参加教育储蓄，把1000 元存入银行，如果月利率是0.2 ％，那么 x 个月后， 本金与利息的和是 元（教育储蓄不计利息税）．【难度】★★ 【答案】(1000+2x )【解析】解：1000 ⨯ 0.2% ⨯ x +1000 = 2 x +1000 ，∴本金与利息的和是(2x + 1000)元．【总结】本题主要考查银行本金利息问题，要注意代数式的正确表示形式．【习题6】 买 a 支水笔用了50 元，毛笔每支比水笔贵2 元，那么买a 支毛笔需 元钱．【难度】★★ 【答案】(50+2a )．【解析】[(50 ÷ a ) + 2]⨯ a = 50 + 2a （元）． 【总结】本题主要考查了代数式的表示形式．【习题7】 已知：x = (-1 ÷ 1 ⨯ 3⨯ 1)3 ，则代数式1+ x + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x 2012 + x 2013 的值是（ ）．2 6A ． 2013B ． 2012C ．1D ． 0【难度】★★ 【答案】D【解析】∵ x = (-1⨯ 2 ⨯ 3⨯ 1)3 = (-1)3= -1，6∴ 1 + x + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + x 2012 + x 2013 = (1 - 1) + (1 - 1) ++ (1- 1) = 0 ．【总结】本题主要考查了多项式的代值求解问题．【习题8】 已知： a - 2b= 4 ，求代数式 3(a - 2b ) + 3(a + 2b ) 的值．a + 2b4(a + 2b ) a - 2b【难度】★★【答案】3 3．4【解析】解：原式= 3 ⨯a - 2b + 3⨯ a + 2b = 3 ⨯ 4 + 3⨯ 1 = 3 3． 4 a + 2b a - 2b 4 4 4【总结】本题主要考查多项式代值求解的问题，要注意倒数问题．【习题9】 -23 a 2b 3 的系数是 ，次数是．【难度】★★ 【答案】-8，5．【解析】解： -23 a 2b 3 的系数为-23 = -8 ，次数为2 + 3 = 5 ． 【总结】本题主要考查单项式的相关概念．【习题10】先观察多项式：x ，- 3x2 ，5x3 ，- 7x4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅按这些单项式的系数和指数变化规律写出第50 个单项式；再求当x = 1 时，前50 个单项式和的值．【难度】★★【答案】-99x50 ；-50 ．【解析】解：Θ单项式的系数从第二项开始与前一个系数之差的绝对值为2，∴第50 个单项式系数为：1 + 49 ⨯ 2 = 99 ，Θ第奇项为正，第偶项为负，所以第50 个单项式系数为：-99．Θ单项式的次数就是项数，所以第50 个单项式为-99x50 ．当x =1 时，1 - 3 + 5-7 ++ 97 - 99 =(1 - 3)+(5 - 7)++(97 - 99)=-2 ⨯ 25 =-50 ．【总结】本题属于找规律的题目，考查学生的分析能力和观察能力。
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第6讲 整式的概念
字母表示数
整式的概念整式
同类项
知识点1：字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚
至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．
1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）
表示．
2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．
3.出现除式时，用分数表示．
4.结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5.系数是带分数时，带分数要化成假分数．
【典例】
1.2015年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的服装以（45a﹣20）
元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（ ）
A. 将原价降低20元之后，再打8折
B. 将原价打8折之后，再降低20元
C. 将原价降低20元之后，再打2折
D. 将原价打2折之后，再降低20元
【解析】解：代数式
4
5
a﹣20的意义是比a的80%少20元．
故选B
【方法总结】
根据四则运算法则，代数式（
4
5
a﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题
中即先对原价打八折再降低20元。
【随堂练习】
1．（2018•永州）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、
B两处所购买的西瓜重量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平均
数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为（ ）
A．商贩A的单价大于商贩B的单价
B．商贩A的单价等于商贩B的单价
C．商版A的单价小于商贩B的单价
D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关
【解答】解：利润=总售价﹣总成本=×5﹣（3a+2b）=0.5b﹣0.5a，赔钱了说明利润＜0
∴0.5b﹣0.5a＜0，
∴a＞b．
故选：A．
2．（2017秋•罗山县期中）每家乐超市出售一种商品，其原价a元，现有三种调价方案：（1）
先提价20%，再降价20%；（2）先降价20%，再提价20%；（3）先提价15%，再降价15%．问
这三种方案调价结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？
【解答】解：由题意可得，
（1）中调价结果是：a（1+20%）（1﹣20%）=0.96a，
（2）中的调价结果是：a（1﹣20%）（1+20%）=0.96a，
（3）中的调价结果是：a（1+15%）（1﹣15%）=0.9775a，
由上可得，三种方案调价结果不一样，最后是不是都没恢复原价．
知识点2 整式
1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．
2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就
把这个多项式叫做几项式；次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常
数项．
3.单项式和多形式统称为整式
【典例】
【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个
【解析】解：a，b，c的指数分别为：
1、1、5；1、2、4；1、3、3；1、4、2；1、5、1；
2、1、4；2、2、3；2、3、2；2、4、1；
3、1、3；3、2、2；3、3、1；
4、1、2；4、2、1；
5、1、1；
共15种情况，
故选C
【方法总结】
单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，
确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果．
2.下列说法正确的是（ ）
A． ﹣a是单项式，它的系数为1
B． 3𝑥+3xy﹣3y2+5是一个多项式
C． 多项式x
2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2
的和
D． 如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3
【解析】解：A、﹣a是单项式，它的系数为﹣1，故选项错误；
B、3𝑥+3xy﹣3y2+5有字母在分母上，故不是一个多项式，故选项错误；
C、多项式x
2﹣2xy+y2是单项式x2、﹣2xy、y2
的和，故选项错误；
D、如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3是正确的．
故选D．
【方法总结】
１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号， 所以单项式前面有“―”时，系数
应为负．
２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．
３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．
3.对于多项式2x2+
25𝑥3+𝑥−1
3
，按x的升幂排列正确的是（ ）
A． −
13+𝑥+2𝑥2+2
5
𝑥
3
B． 𝑥+2𝑥
2+25𝑥3
−
1
3
C． −
13+2
5
𝑥3+2𝑥2+𝑥
D．
25𝑥3+2𝑥2+𝑥−1
3
【解析】解：按x的升幂排列为−13+𝑥+2𝑥2+25𝑥3，
故选A
【方法总结】
给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：
1.列出每一项，系数要包含前面的符号；
2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；
3.最后将各项组合即可。
【随堂练习】
1．（2018秋•义乌市期末）如图，有一种飞镖游戏，将飞镖圆盘八等分，每个区域内各有一
个单项式．现假设你的每支飞镖均能投中目标区域，①如果提供给你1支飞镖，那么你
投中目标区域的单项式有 8 种可能；②如果只提供给你四支飞镖，那么要使你投中的
目标区域内的单项式之和为2a+b，共有 8 种方式（不考虑投中目标的顺序）．
【解答】解：①∵飞镖圆盘八等分，每个区域内各有一个不同的单项式，
∴如果提供1支飞镖，那么投中目标区域的单项式有8种可能；
②投中的目标区域内的单项式之和为2a+b，共有8种方式：
2a，b，a，﹣a；
3a，2b，﹣b，﹣a；
2a，0，2b，﹣b，
b，0，3a，﹣a；
a，a，2b，﹣b，
b，0，a，a；
2a，b，0，0；
2a，b，b，﹣b；
故答案为：8，8．
2．（2018秋•安岳县期末）把多项式2m3﹣m2n2+3﹣5m按字母m的升幂排列是 +3﹣5m﹣
m2n2+2m
3
．
【解答】解：把多项式2m3﹣m2n2+3﹣5m按字母m的升幂排列是+3﹣5m﹣m2n2+2m3．
故答案为：+3﹣5m﹣m2n2+2m3．
3．（2018秋•东丽区期末）如果整式xn﹣2+3x﹣2是关于x的四次三项式，那么n 的值为 6 ．
【解答】解：根据题意，可得：n﹣2＝4，
解得：n＝6，
故答案为：6．
4．（2018秋•滨州期末）若与﹣3ab
3
﹣
n
的和为单项式，则m+n＝ 4 ．
【解答】解：∵与﹣3ab3﹣n的和为单项式，
∴2m﹣5＝1，n+1＝3﹣n，
解得：m＝3，n＝1．
故m+n＝4．
故答案为：4．
知识点3：同类项
字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项．
【典例】
1. 已知代数式﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，那么m﹣n=______
【解析】解：∵﹣5am﹣1b2n﹣3与2abn+3是同类项，
∴m﹣1=1，2n﹣3=n+3．解得：m=2，n=6，
∴m﹣n=2﹣6=﹣4．
【方法总结】
根据同类项的定义，字母相同且相同字母的指数也相同，找出相同字母的指数列出等式即可
求出m、n的值。