江苏省苏州市2015届高三上学期期末考试文科数学试卷(jxh)
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题一、填空题 （70分）1、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则A B ＝＿＿＿＿＿＿2、已知i 是虚数单位，则21(1)ii +－的实部为＿＿＿＿＿3、命题P ：“2,230x R x x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：＿＿＿＿＿4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x ，y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿ 9、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：3x y +＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿＿11、已知A （,A A x y ）是单位圆（圆心为坐标极点O ，半径为1）上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点B （,B B x y ），已知m ＞0，若2A B my y -的最大值为3，则m ＝＿＿＿＿ 12、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是＿＿＿＿ 13、设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿＿ 二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。
江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题及答案
江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题
数学I
一、填空题
1.
已知集合{2,1},{1,2,3}A B ，则A B . 2.
已知复数z 满足341(i z i 为虚数单位，则z 的模为 . 3.某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，
现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为
. 4.
函数2()lg(23)f x x x 的定义域为 . 5.
有图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 . 6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个
点的正方体玩具，观察向上的点数，则两个点数之积不小于
4的概率为 .
7.
底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为 . 8.
在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x 为渐近线，且经过抛物线
24y x 焦点的双曲线的方程是9.在平面直角坐标系xOy 中，记曲线
2(,2)m
y x x R m x 1x 处的切线为直线.若直线在
两坐标轴上的截距之和为
12，则m 的值为 . 10.已知函数()s i n 26f x x .若()(0)2y f x 是偶函数，则
.
11.在等差数列{}n a 中，已知首项10a ，公差0d .若122360,100a a a a ，则155a a 的最大值为 .
12.已知函数
(0)x y a b b 的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b 的最小值为 .。
南通市2015届高三上学期期末考试数学试题(含答案)
江苏省南通市2015届高三上学期期末考试数学试题数学I一、填空题1.已知集合{2,1}A，{1,2,3}B ，则A B.2.已知复数z 满足341(i z i 为虚数单位)，则z 的模为.3.某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人．现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为.4.函数2()lg(23)f x x x 的定义域为. 5.右图是一个算法流程图，则输出的x 的值是. 6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为.7.底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为.8.在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x 为渐近线，且经过抛物线24yx 焦点的双曲线的方程是.9.在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(m yxxx R ，2)m在1x 处的切线为直线l ．若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为.10.已知函数()sin 26f x x．若()(0)2yf x 是偶函数，则.11.在等差数列{}n a 中，已知首项10a ，公差0d．若1260a a ，23100a a ，则155a a 的最大值为.12.已知函数(0)xyab b 的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b的最小值为.13.如上图，圆O 内接ABC 中，M 是BC 的中点，3AC．若4AO AM ，则AB.开始y<50x ←2x+y 输出x结束YNy ←2x+yx ←1,y ←113yOxACBOM （第12题）（第13题）14.已知函数()f x 是定义在1,上的函数，且1|23|,12,()11(),2,22x x f x f x x 则函数2()3y x f x 在区间(1,2015)上的零点个数为.二、解答题15.在?ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2cos b Cc B a A ．（1）求角A 的大小；（2）若3AB AC，求ABC 的面积．16.如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ，14CC ，M 是棱1CC 上的一点．（1）求证：BC AM ；（2）若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M ，求CM 的长．ACBMNC 1B 1A 117.如图，在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b ab的左、右焦点，顶点B 的坐标为0,b ，且12BF F 是边长为2的等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，C 两点，记2ABF ，2BCF 的面积分别为1S ，2S ．若122S S ，求直线l 的斜率．18.在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点C )，展厅入口位于长方形的长边的中间．在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示)．（1）若圆盘半径为25m ，求监控摄像头最小水平视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角．）Oxy BACF 1F 2BC入口16m20m19.若函数()y f x 在0x x 处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()yf x 的极值点．已知函数3()3ln (f x axx xa aR )．（1）当0a 时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间1(,)e e上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围．（注：e 是自然对数的底数）20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若1122n na a (nN *)，则称{}n a 是“紧密数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2134n S nn (nN *)，证明：{}n a 是“紧密数列”；（2）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列．若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围．数学Ⅱ附加题部分注意事项1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，分别延长AB，CD相交于点M，N为圆O上一点，AN＝AC，证明：∠MDN＝2∠OCA．B．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵273mM的逆矩阵127nMm，求实数m，n．C．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标xOy中，已知曲线C的参数方程为21,214x ty t（t为参数），曲线与直线l：12y x相交于A，B两点，求线段AB的长．D．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）已知a，b，c均为正数．求证：111a b cbc ca ab a b c．OACBMDN【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥A-BCDE 中，底面BCDE 为平行四边形，平面ABE ⊥平面BCDE ，AB ＝AE ，DB ＝DE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90o ．（1）求异面直线AB 与DE 所成角的大小；（2）求二面角B-AE-C 的余弦值．23.设n a 是满足下述条件的自然数的个数：各数位上的数字之和为n (nN *)，且每数位上的数字只能是1或2．（1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）求证：51n a (nN *)是5的倍数．BAEDCASq12ABE ACE。
(完整版)2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为 ．考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解解：答：=+=++++=++=++，∴（a k •a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点： 余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题： 解三角形． 分析：（1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答：解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB ＜BC ，∴C 为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
江苏省常州市2015届高三第一学期期末考试(一模) 数学试卷 含答案
江苏省常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =，则A B I = ▲ ． 2． 设复数3i1im z m +=+（0m >，i 为虚数单位），若z z =，则m 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2241ax y -=a 的值为 ▲ ． 4． 函数()22()log 6f x x =-的定义域为 ▲ ．5．函数()cos sin 222x x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期为 ▲ ．6． 右图是一个算法流程图，则输出的a 的值是 ▲ ．7． 现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．8． 若实数,x y 满足约束条件22,1,1,x y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为 ▲ ．9． 曲线cos y x x =-在点22p p ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程为 ▲ ．10．已知函数()22x f x =-()()1,2x ∈-，则函数(1)y f x =-的值域为 ▲ ．11．已知向量()1,1=a ，()1,1=-b ，设向量c 满足()()230-⋅-=a c b c ，则c 的最大值为 ▲ ．12．设等比数列{}n a 的公比为q （01q <<），前n 项和为n S ，若1344a a a =，且6a 与434a 的等差中项为5a ，则6S = ▲ ．13．若不等式22()2cx y x x y --≤对任意满足0x y >>的实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，1O ，2O 两点的横坐标之积为6，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为 ▲ ．（第6题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知b c ，3A C p +=． （1）求cos C 的值；（2）求sin B 的值；（3）若b =ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面 ABCD ， PB =PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证： （1）OM ∥平面PAD ； （2）OM ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x （m ），三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数关系式； （2）求S 的最大值．D（第16题）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，直线:10()l x my m --=∈R 过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点5(,0)2D ，连结BD ，过点A 作垂直于y 轴的直线1l ，设直线1l 与直线BD 交于点P ，试探索当m 变化时，是否存在一条定直线2l ，使得点P 恒在直线2l 上？若存在，请求出直线2l 的方程；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤．①若13a =，14d =，求证：2M ∈；②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分） 已知a b ，为实数，函数1()f x b x a=++，函数()ln g x x =． （1）当0a b ==时，令()()()F x f x g x =+，求函数()F x 的极值；（2）当1a =-时，令()()()G x f x g x =⋅，是否存在实数b ，使得对于函数()y G x =定义域中的任意实数1x ，均存在实数2[1,)x ∈+∞，有12()0G x x -=成立，若存在，求出实数b 的取值集合；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一 点，PC 是APB ∠的平分线，E 是下半圆的中点. 求证：直线PC 经过点E .B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 满足：i i i l =M αα，其中(1,2)i i l =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α 是非零的平面列向量，11l =，211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M .C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知两个动点P ，Q 分别在两条直线1:l y x =和2:l y x =-上运动，且它们的横坐标分别为角q 的正弦，余弦，[0,π]q ∈.记OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r，求动点M 的轨迹的普通方程.D ．选修4—5：不等式选讲已知0,0a b >>，证明：222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥.（第21-A 题）C【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的,,,,A B C D E 五种商品有购买意向.已知该网民购买,A B 两种商品的概率均为34，购买,C D 两种商品的概率均为23，购买E 种商品的概率为12.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. （1）求该网民至少购买4种商品的概率；（2）用随机变量h 表示该网民购买商品的种数，求h 的概率分布和数学期望.23．（本小题满分10分）设n 个正数12,,,n a a a L 满足12n a a a L ≤≤≤（*N n ∈且3n ≥）． （1）当3n =时，证明：233112123312a a a a a a a a a a a a ++++≥； （2）当4n =时，不等式2334124112343412a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++≥也成立，请你将其推广到n （*N n ∈且3n ≥）个正数12,,,n a a a L 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．江苏省常州市教育学会高三学生学业水平监测参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．{}0,1 23．8 4．(),-∞+∞U 5．2p 6．127 7．9108．1 9．202x y p --= 10．[)0,2 11 12．63413．4 14 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为A B C p ++=，3A C p +=，所以2B C =． ………………………2分又由正弦定理，得sin sin b c B C =，sin sin b Bc C=，2sin cos sin C C C =，化简得，cos C =………………………5分（2）因为()0,C p ∈，所以sin C ==．所以sin sin 22sin cos 2B C C C ====． ………………………8分 （3）因为2B C =，所以211cos cos22cos 12133B C C ==-=⨯-=-． ……………………10分因为A B C p ++=，所以sin sin()sin cos cos sin 1()3A B C B C B C +-=++== ………………………12分因为b c =， b =92c =．所以△ABC 的面积119sin 222S bc A ==⨯． ………………………14分 16．证明：（1）连结AC ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点． ………………………2分 在△PAC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥PA ． ………………………4分 因为OM ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以OM ∥平面PAD ． ………………………6分（2）连结PO ．因为O 是BD 的中点，PB =PD ， 所以PO ⊥BD ．又因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD I 平 面ABCD =BD ，PO ⊂平面PBD 所以PO ⊥平面ABCD ．从而PO ⊥CD ．……………………8分又因为CD ⊥PC ，PC PO P =I ,PC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC ．因为OM ⊂平面PAC ，所以CD ⊥OM ． ………………………10分 因为PA ⊥PC ，OM ∥PA ，所以OM ⊥PC ． ………………………12分 又因为CD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，CD PC C =I ,所以OM ⊥平面PCD ． ………………………14分 17．解：（1）由题设，得()9007200822916S x x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭，()8,450x ∈． ………………………6分（2）因为8450x <<，所以72002240x x +≥， ……………………8分 当且仅当60x =时等号成立． ………………………10分 从而676S ≤． ………………………12分答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m 2 ． ………………………14分18． 解：（1）由题设，得11,2c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12,c a =⎧⎨=⎩，从而2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． ………………………4分（2）令0m =，则3(1)2A ，，3(1)2B -，或者3(1)2A -，，3(1)2B ，．当3(1)2A ，，3(1)2B -，时，3(4)2P ，；当3(1)2A -，，3(1)2B ，时，3(4)2P -，，所以，满足题意的定直线2l 只能是4x =． ………………………6分 下面证明点P 恒在直线4x =上．设11()A x y ，，22()B x y ，，由于PA 垂直于y 轴，所以点P 的纵坐标为1y ，从而只要证明1(4)P y ，在直线BD 上． ………………………8分D由2210143x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(43)690m y my ++-=，2144(1)0m D =+>Q ，122643m y y m -∴+=+，122943y y m -=+．① ………………………10分 ∵212212122233()002255533341()222222DB DPy y my y y y y k k x my my -----=-=-=--+-- 121222+332y y my y my -=-， ………………………13分 ①式代入上式，得0DB DP k k -=， 所以 =DB DP k k ． ………………………15分 ∴点1(4)P y ，恒在直线BD 上，从而直线1l 、直线BD 与直线2:4l x =三线恒过同一点P ， 所以存在一条定直线2l ：4x =使得点P 恒在直线2l 上． ………………16分 19．解：（1）当1a =时，16115a d =+，311615a d =+，4611615()a d d =++． ………………………2分因为0d ≠，21d d +≥，或21d d-+≤， 所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞U ． ………………………4分（2）①由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，314i j k b ++-=+． ……………6分令3124i j k ++-+=，得7i j k ++=． 因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤，所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈． ………………………8分②不存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． ………………………9分假设存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ．(1)n a a n d =+-Q ，∴3(3)b a i j k d =+++-，从而{|3,342,}M b b a md m m Z ==+∈≤≤． ………………………11分因为18，1，5340同时属于M ，所以存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈），使得13,831,533,40a xd a yd a zd ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩从而7(),86(),5y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则3548y x z x -=-． ………………………13分 因为35与48互质，且y x -与z x -为整数， 所以||35,||48y x z x --≥≥，但||39z x -≤，矛盾．所以不存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ． ………………………16分20．解：（1）1()ln F x x x=+， 21()x F x x-'=，令()0F x '=，得1x =． ………………………1分 列表：所以()F x 的极小值为(1)1F =，无极大值． ………………………4分 （2）当1a =-时，假设存在实数b 满足条件，则11()()ln 1G x b x x =+-≥在(0,1)(1,)x ∈+∞U 上恒成立． ………………………5分1）当(0,1)x ∈时， 1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≤， 令()(1)ln 1,(0,1)H x bx b x x x =+--+∈，问题转化为：()0H x ≤对任意(0,1)x ∈恒成立；（*） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≤时，因为11(1)1(1)121022b x x +-+-<⨯-=≤， 故()0Q x '<，所以函数()y Q x =在(0,1)x ∈时单调递减，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(0,1)x ∈时单调递增，故()(1)0H x H <=，所以（*） 成立，满足题意； ………………………7分②当12b >时，221[(1)](1)1()b x b x b Q x x x --+-'==， 因为12b >，所以111b -<，记1110,1I b =-I （，）（），则当x I ∈时，1(1)0x b-->， 故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在x I ∈时单调递增，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在x I ∈时单调递减，所以()(1)0H x H >=，此时（*）不成立； 所以当(0,1)x ∈，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≤； ………………9分 2）当(1,)x ∈+∞时，1()()ln 11G x b x x =+-≥可化为(1)ln 10bx b x x +--+≥， 令()(1)ln 1,(1,)H x bx b x x x =+--+∈+∞，问题转化为：()0H x ≥对任意的(1,)x ∈+∞恒成立；（**） 则(1)0H =，1()ln 1bH x b x b x-'=++-，(1)0H '=． 令1()ln 1b Q x b x b x -=++-，则2(1)1()b x Q x x +-'=． ①12b ≥时，1(1)1212102b x b +->-⨯-=≥，故()0Q x '>，所以函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，()(1)0Q x Q >=，即()0H x '>，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递增，所以()(1)0H x H >=，此时（**）成立；11分 ②当12b <时， ⅰ）若0b ≤，必有()0Q x '<，故函数()y Q x =在(1,)x ∈+∞上单调递减，所以()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，从而函数()y H x =在(1,)x ∈+∞时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； ………………………13分ⅱ）若102b <<，则111b ->，所以当11,1x b∈-（）时， 221[(1)](1)1()0b x b x b Q x x x--+-'==<， 故函数()y Q x =在11,1x b ∈-（）上单调递减，()(1)0Q x Q <=，即()0H x '<，所以函数()y H x =在11,1x b∈-（）时单调递减，所以()(1)0H x H <=，此时（**）不成立； 所以当(1,)x ∈+∞，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时，12b ≥； ………………15分 综上所述，当(0,1)(1,)x ∈+∞U ，1()()ln 11G x b x x =+-≥恒成立时， 12b =，从而实数b 的取值集合为1{}2． ………………………16分高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明： 连结,,AE EB OE ，则o 90AOE BOE ∠=∠=． ………………………2分 因为APE ∠是圆周角，AOE ∠同弧上的圆心角， 所以o 1452APE AOE ∠=∠=． ………………………5分 同理可得，o 45BPE ∠=，所以PE 是APB ∠的平分线． ………………………8分 又PC 也是APB ∠的平分线，APB ∠的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E . ………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：由题意，1l ，2l 是方程2()0a f ab b l l l l-==-=-的两根． 因为11l =，所以1ab =．① ………………………2分又因为222l =M αα，所以2011011a b l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而22,.a b l l =⎧⎨=⎩ ………………………5分 所以221ab l ==． 因为12l l ≠，所以21l =-．从而1a b ==-． ………………………8分故矩阵0110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：设(,)M x y ，则sin cos ,sin cos ,x y q q q q =+⎧⎨=-⎩………………………2分 两式平方相加得222x y +=． ………………………5分又π),4x q =+π),4y q =-[0,π],q ∈所以x ⎡∈-⎣，y ⎡∈-⎣. ………………………8分所以动点M 轨迹的普通方程为222x y +=（,x y ⎡∈-⎣）．………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为0,0a b >>所以2230a b ab ab ++=>≥， ………………………4分22130ab a b ab ++>≥， ………………………8分 所以222222()(1)9a b ab ab a b a b ++++≥. ………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“该网民购买i 种商品”为事件,4,5i A i =，则：5332211()443328P A =⨯⨯⨯⨯=,114223322133221223311()(1)(1)(1)4433244332334423P A C C =⨯⨯⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯=,……………2分 所以该网民至少购买4种商品的概率为 541111()()8324P A P A +=+=. 答：该网民至少购买4种商品的概率为1124. ………………………3分 （2）随机变量h 的可能取值为0,1,2,3,4,5， 332211(0)(1)(1)(1)(1)(1)44332288P h ==-⨯-⨯-⨯-⨯-=,11223322122331(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P C C h ==⨯-⨯-⨯-⨯-+⨯-⨯-⨯-⨯-+1332211(1)(1)(1)(1)24433288⨯-⨯-⨯-⨯-=, 3322122331(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4433233442P h ==⨯⨯-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯-⨯-+11222233133221(1)(1)(1)(1)(1)(1)3344244332C C -⨯⨯-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯ 112233221(1)(1)(1)44332C C +⨯-⨯⨯-⨯-=47288, 1114711(3)1(0,1,2,4,5)128828828838P P h h ==-==-----=97288, 41(4)()3P P A h ===, 51(5)()8P P A h ===. ………………………8分 所以：随机变量h 的概率分布为：故11147971110012345288288288288383E h =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………10分23．解：（1）证明：因为n a （*N n ∈且3n ≥）均为正实数，左—右=132323131212123231312111222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123111222222a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥ =0， 所以，原不等式231312123123a a a a a a a a a a a a ++++≥成立． ………………………4分 （2）归纳的不等式为：23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++L L ≥+（*N n ∈且3n ≥）．…5分 记()23211112123412n n n n n n n n a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-+++L L +， 当3n =（*N n ∈）时，由（1）知，不等式成立；假设当n k =（*N k ∈且3k ≥）时，不等式成立，即()232111121234120k k k k k k k k a a a a a a a a a a a F a a a a a a a ---=++++-+++L L ≥+． 则当1n k =+时，()2321111112112134112k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a F a a a a a a a a a ---+++++=+++++-++++L L + =111111111212k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a F a a a a a a -++-++++---+ …………………………7分 =()11111112111k k k k k k k k a a F a a a a a a a a a -+++⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ ()21111111101k k k k k k k a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥+ =()11111k k k k k k k a a a a a a a a a +++⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭， 因为1k k a a +≥，112k k a a a a +≥，111112k k k k k k a a a a a a +++++++=≤， 所以10k F +≥， 所以当1n k =+，不等式成立． …………………………9分 综上所述，不等式23211112123412n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++++++L L ≥+（*N n ∈且3n ≥）成立．…10分。
2015年江苏省苏南四市(苏州无锡常州镇江)高三二模考试数学试题含答案
2015年江苏省苏南四市(苏州无锡常州镇江)高三二模考试数学试题含答案2015年苏锡常镇高三数学（二模）试卷及答案一．填空题（5×14=70分）1.已知集合 $A=\{-1,1,3\},B=\{2,2,-1,A\}$，则实数 $a$ 的值是 $\boxed{2}$。
2.设 $1+2i=2i(a+bi)(i$ 为虚数单位，$a,b\in R)$，则$a+b$ 的值是 $\boxed{1}$。
3.某工厂生产某种产品 $5000$ 件，它们来自甲、乙、丙$3$ 条不同的生产线。
为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样。
若从甲、乙、丙 $3$ 条生产线抽取的件数之比为$1:2:2$，则乙生产线生产了$\boxed{2000}$ 件产品。
4.根据XXX所示的伪代码，若输入的 $x$ 值为 $-1$，则输出的 $y$ 值为 $\boxed{1}$。
5.从 $3$ 名男生和 $1$ 名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 $\boxed{\dfrac{3}{4}}$。
6.已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$ 的离心率等于 $2$，它的焦点到渐近线的距离等于 $1$，则该双曲线的方程为$\boxed{\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1}$。
7.已知向量 $a=(1,2),b=(0,-1),c=(k,-2)$，若 $a-2b\perp c$，则实数 $k=\boxed{4}$。
8.已知常数 $a>0$，函数 $f(x)=x+\dfrac{a}{x}$ 在定义域$(1,+\infty)$ 内单调递减，则 $a$ 的值为 $\boxed{4}$。
9.函数$y=3\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})(x>1)$ 的最小值为$3$，则 $a$ 的值为 $\boxed{\dfrac{1}{2}}$。
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题2015年2月第I 卷一、填空题 （70分）1、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则A B ＝＿＿＿＿＿＿2、已知i 是虚数单位，则21(1)ii +－的实部为＿＿＿＿＿3、命题P ：“2,230x Rx x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：＿＿＿＿＿ 4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x ，y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿9、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l：x ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿＿ 11、已知A （,A A x y ）是单位圆（圆心为坐标极点O ，半径为1）上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点B （,B B x y ），已知m ＞0，若2A B my y -的最大值为3，则m ＝＿＿＿＿12、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是＿＿＿＿13、设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿ 14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB AP 学科网的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿＿ 二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。
江苏省苏州市2025届数学高三上期末统考试题含解析
江苏省苏州市2025届数学高三上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，1|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =2．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或03．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ）A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近线C 的实轴的长为 A ．1 B ．2C ．4D ．55．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84B ．54C ．42D ．186．若复数z 满足1z =，则z i -（其中i 为虚数单位）的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2sin 2y x =的图象 8．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 11．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6D ．812．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题含答案
江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题一、填空题1.已知复数z 满足()11i z i -=+,则z 的模为 .2.已知集合{}|21,A x x k k ==-?Z ,{}|13B x x =-＃,则A B =I .3.已知角a 的终边经过点(),6P x -,且3tan 5a =-,则x 的值为 . 4.根据如图所示的流程图，则输出的结果为 .5.将2本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为 .6.若一组样本数据8,,10,11,9x 的平均数为10，则该组样本数据的方差为 .7.已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =?，则该双曲线的离心率为 .8.三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . 9.将函数()3cos sin y x x x =+?¡的图像向左平移个()0m m >单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是 .10.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?o ,点,E F 分别在边,BC DC 上，,BE BC CF CD l l ==uuu r uuu r uuu r uuu r .若1AE BF?-uuu r uuu r ，则l = . 11.已知正实数,a b 满足2291a b +=，则3ab a b+的最大值为 . 12.已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足()*122n n a S n ++=?¥，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值为 .13.已知点()0,2A 位圆()22:2200M x y ax ay a +--=>外一点，圆M 上存在点T 使得45MAT ?o ，则实数a 的取值范围是 . 311a -≤<14.已知函数()y f x =是定义域为¡的偶函数，当0x ³时，()21-,024,13,224x x x f x x ìïï＃ïïï=íï骣ï÷ç-->÷ïçï÷ç桫ïî若关于x 的方程()27()0,16a f x af x a 轾++=?犏臌¡有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是 .二、解答题15.（本小题满分14分）已知向量3(sin ,),(cos ,1)4a xb x ==-r r . (1)当时，求tan()4x p -的值； (2)设函数()2()f x a b b =+?r r r ，当0,2x p 轾犏Î犏臌时，求()f x 的值域. 16. （本小题满分14分）如图，过四棱柱1111ABCD A B C D -形木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形时矩形11BB D D ，试证明：平面BDEF ^平面11AC CA .17. （本小题满分14分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足24x P +=（其中0,x a a ＃为正常数）.已知生产该批产品还要投入成本16()P P +万元（不包含促销费用），产品的销售价格定为20(4)P +元/件. (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？18. （本小题满分16分）已知椭圆22:142x yC+=的上顶点为A，直线:l ykx m=+交椭圆于,P Q两点，设直线,AP AQ的斜率分别为12,k k.(1)若0m=时，求12k k×的值；(2)若121k k?-时，证明直线:l y kx m=+过定点.19. （本小题满分16分）在数列{}{}n na b、中，已知1a=，21a=，11b=，212b=，数列{}n a的前n项和为nS，数列{}n b的前n项和为n T，且满足21n nS S n++=，2123n n nT T T++=-，其中n为正整数.(1)求数列{}{}n na b、的通项公式；(2)问是否存在正整数m，n，使121nmnT mbT m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分16分）设函数()22ln-+f x x x ax b=在点()()0,0x f x处的切线方程为y x b=-+.(1)求实数a及x的值；(2)求证：对任意实数，函数()f x有且仅有两个零点.21、A（10分）选修4-1几何证明选讲如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE。
江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题(含详细解答)
扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题一、填空题 （70分）1、集合A ＝{－1,0，2}，B ＝{x ｜｜x ｜＜1}，则A B ＝＿＿＿＿＿＿2、已知i 是虚数单位，则21(1)ii +－的实部为＿＿＿＿＿ 3、命题P ：“2,230x Rx x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：＿＿＿＿＿ 4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m 的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x ，y 满足24011x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos 5απα∈=-，则tan()4πα+＝＿＿＿＿ 9、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线l：x ＝0垂直，且C的一个焦点到l 的距离为2，则C 的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f （x ）的值域为R ，是实数a 的取值范围是＿＿＿＿ 11、已知A （,A A x y ）是单位圆（圆心为坐标极点O ，半径为1）上任一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π到OB 交单位圆于点B （,B B x y ），已知m ＞0，若2A B my y -的最大值为3，则m ＝＿＿＿＿12、设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是＿＿＿＿ 13、设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿＿14、已知A （0,1），曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且21AB AP （世纪教育网）的最小值为2，则a ＝＿＿＿＿＿ 二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<部分图象如图所示。
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苏州市2015届上学期高三期末调研考试
文科数学试题
一、填空题
1.已知集合{|22},{|1}AxxBxx，则AB .
2.已知23(,,iabiabRii为虚数单位)，则ab .
3.已知函数()sin()5fxkx的最小正周期是3，则正数k的值为 .
4.某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分
别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 .
5.已知等差数列{}na中，4610aa，若前5项的和55S，则其公差为 .
6.运行如图所示的流程图，如果输入1,2ab，
则输出的a的值为 .
7.以抛物线24yx的焦点为顶点，顶点为中心，
离心率为2的双曲线标准方程为 .
8.设{1,1},{2,0,2}xy，则以(,)xy为坐标
的点落在不等式21xy所表示的平面区域内的
概率为 .
9.已知函数()lg(1)2xafx的定义域是1(,)2，
则实数a的值为 .
10.已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为 .
11.如图，在ABC中，已知4,6,60ABACBAC，
点,DE分别在边,ABAC上，且2,3ABADACAE，
点F为DE中点，则
BFDE
的值为 .
12.已知函数24,()43,fxxx,.xmxm若函数()()2gxfxx恰有三个不同的零点，则实数
m
的取值范围是 .
13.已知圆22:(1)(1)4Mxy，直线:60,lxyA为直线l上一点，若圆M上存在两
A
D
F
E
B
C
开始
输入a,b
a > 8
a a+b
输出a
结束
Y
N
点,BC，使得60BAC，则点A的横坐标的取值范围是 .
14.已知,ab为正实数，且2ab，则2221abab的最小值为 .
二、解答题
15.已知向量(sin,2),(cos,1)ab，且,ab共线，其中(0,)2.
（1）求tan()4的值；
（2）若5cos()35cos,02，求的值.
16.如图，在正方体1111ABCDABCD中，,EF分别是1,ADDD中点.
求证：（1）EF∥平面1CBD；
（2）1AC平面1CBD.
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
17.如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为
120,,ABAC
的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.
（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000
元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
18.如图，已知椭圆22:1124xyC，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点A（A
点在x轴下方），且线段AB的中点E在直线yx上.
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线yx于点M、N，证明：
OMON为定值.
A
P
Q
B
C
P
N
M
B
O
A
x
y
E
19.已知函数()(1)xfxeax，其中,aRe为自然对数底数.
（1）当1a时，求函数()fx在点(1,(1))f处的切线方程；
（2）讨论函数()fx的单调性，并写出相应的单调区间；
（3）已知bR，若函数()fxb对任意xR都成立，求ab的最大值.
20.已知数列{}na中1111,33nnnanaaan((nn为奇数）为偶数）.
（1）是否存在实数，使数列2{-}na是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若nS是数列{}na的前n项和，求满足0nS的所有正整数n.