2017北师大版选修1-2高中数学第四章《复数的几何意义》word导学案.doc
高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.2 复数的四则运算学案(含解析)北师大版选修1-2-北
复数的四则运算一、选择题1．i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC.1725＋3125i D ．－177＋257i【答案】 A【解析】 7＋i3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )25＝25－25i 25＝1－i.2．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为() A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3【答案】 D【解析】 本题考查复数除法及虚数定义．a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，∴a ＝3.3.1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i【答案】 B【解析】 本题考查了复数的除法运算．1＋2i (1－i )2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )·i －2i·i ＝－2＋i 2＝－1＋12i ，选B.二、填空题4．已知复平面内，向量AB →，BC →，AD →表示的复数分别为－2＋i,3－2i,1＋5i ，则CD →表示的复数为____________．【答案】 6i【解析】 AC →＝AB →＋BC →，故AC →表示的复数为1－i ，则CA →表示的复数为－1＋i ，又CD →＝CA →＋AD →，则CD →表示的复数为6i.5．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．【答案】 5【解析】 本题考查复数的概念与运算．由z ＝(2－i)2＝3－4i ，∴|z |＝9＋16＝5.三、解答题6．已知z 是虚数，且z ＋1z 是实数，求证：1－z 1＋z是纯虚数． [分析] 将z ＝x ＋y i(x ，y ∈R 且y ≠0)代入z ＋1z ，1－z 1＋z分别化为代数形式． 【解析】 设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0.由已知得z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝(x ＋x x 2＋y 2)＋(y －y x 2＋y 2)i. ∵z ＋1z 是实数，∴y －y x 2＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝1，且x ≠±1， ∴1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x ＋y i )(1＋x －y i )＝1－x 2－y 2－2y i 1＋2x ＋x 2＋y 2＝－y 1＋x i.∵y ≠0，x ≠－1， ∴1－z 1＋z是纯虚数．。
2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2练习：第四章 数系的扩充与复数的引入2.2 Word版含解析
2.2 复数的乘法与除法明目标、知重点 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.2．复数乘法的运算律对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用表示．即z ＝a ＋b i ，则＝a －b i.z z 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则＝＝＋i.z 1z 2a ＋b i c ＋d i ac ＋bd c 2＋d 2bc －ad c 2＋d 2[情境导学]我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？探究点一 复数乘除法的运算思考1 怎样进行复数的乘法？答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1.例 1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.思考3 如何理解复数的除法运算法则？答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．例 2 计算：(1)＋；4－3i 4＋3i 4＋3i 4－3i (2)()6＋.1＋i 1－i 2＋3i 3－2i 解 (1)原式＝＋＝＋＝＋＝(4－3i )2(4＋3i )(4－3i )(4＋3i )2(4－3i )(4＋3i )16－9－24i42＋3216－9＋24i42＋327－24i257＋24i25；1425(2)方法一 原式＝[]6＋(1＋i )22(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋＝－1＋i.6＋2i ＋3i －65方法二 (技巧解法)原式＝[]6＋＝i 6＋＝－1＋i.(1＋i )22(2＋3i )i(3－2i )i (2＋3i )i2＋3i 反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2 计算：(1)；(2).7＋i 3＋4i (－1＋i )(2＋i )－i解 (1)＝＝＝1－i.7＋i3＋4i (7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )25－25i25(2)＝＝＝－1－3i.(－1＋i )(2＋i )－i－3＋i －i (－3＋i )·i －i·i探究点二 共轭复数及其应用思考1 像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为.虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数．z 思考2 复数a ＋b i 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答 复数a ＋b i 的共轭复数可表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2＋b 2 ，所以两个共轭复数之积为实数．思考3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数．z (3)若z ≠0且z ＋＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．z 思考4 z ·与|z |2和||2有什么关系？z z 答 z ·＝|z |2＝||2.z z 例 3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数.z 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i 且|z |＝＝1，即a 2＋b 2＝1.①z a 2＋b 2因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数，所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得Error!或Error!所以＝－i ，或＝－＋i.z 4535z 4535反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．跟踪训练3 已知复数z 满足：z ·＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．z 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·＝a 2＋b 2，z ∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，∴Error!，解得Error!，∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A ．－i B ．i C ．－1 D ．1答案 A解析 z ＝＝－i.1i 2．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( )A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 答案 C解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝＝－4i.4i 3．复数等于( )i －21＋2i A ．i B ．－iC ．－－iD ．－＋i 45354535答案 A4．复数z ＝(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )2－i2＋i A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 因为z ＝＝＝，故复数z 对应的点在第四象限，选D.2－i2＋i (2－i )253－4i 5[呈重点、现规律]1．复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等的充要条件转化．一、基础过关1．复数－i ＋等于( )1i A ．－2i B.i 12C ．0 D ．2i 答案 A解析 －i ＋＝－i －＝－2i ，选A.1i i2i 2．i 为虚数单位，＋＋＋等于( )1i 1i31i51i7A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i 答案 A解析 ＝－i ，＝i ，＝－i ，＝i ，1i 1i31i51i7∴＋＋＋＝0.1i 1i31i51i73．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1 D ．a ＝1，b ＝－1答案 D解析 ∵(a ＋i)i ＝－1＋a i ＝b ＋i ，∴Error!.4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )i1＋i 3A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ＋(1＋i)2＝＋i ＋(－2＋2i)i1＋i 312123＝－＋(2＋)i ，32312对应点(－，2＋)在第二象限．323125．设复数z 的共轭复数是，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·是实数，则实数z z 2t ＝________.答案 34解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴＝t －i.z 2z 1·＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，z 2又∵z 1·∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝.z 2346．若z ＝，则复数＝________.1＋2i iz 答案 2＋i解析 z ＝＝2－i ，∴＝2＋i.1＋2i iz 7．计算：(1)＋()2 010；2＋2i (1－i )221＋i (2)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．解 (1)＋()2 010＝＋() 1 0052＋2i (1－i )221＋i 2＋2i －2i 22i ＝i(1＋i)＋()1 005＝－1＋i ＋(－i)1 0051i ＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i.二、能力提升8．设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z 等于( )A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i 答案 A解析 由已知得z ＝＝＝－1＋i.2i1－i 2i (1＋i )(1－i )(1＋i )9.复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )z A ．2＋i B ．2－iC ．5＋iD ．5－i 答案 D解析 由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝＝2＋i ，52－i ∴z ＝5＋i ，∴＝5－i.z 10．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________．答案 1解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 得到z ＝－1＝2＋3i －1＝1＋3i.－3＋2ii11．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及.zz 解 因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝＝＝2－i ，故＝2＋i.4＋3i 1＋2i (4＋3i )(1－2i )5z 所以＝＝＝＝－i.z z 2－i 2＋i (2－i )253－4i 5354512.已知复数z 的共轭复数为，且z ·－3i z ＝，求z .z z 101－3i 解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则＝a －b i.z 又z ·－3i z ＝，z 101－3i ∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝，10(1＋3i )10∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴Error!∴Error!或Error!.∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.三、探究与拓展13.已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试说明1－i 也是方程的根吗？解 (1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴Error!，得Error!.∴b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．。
数学北师大版选修1-2 第4章 1.2 复数的有关概念(2)
1.2 复数的有关概念(二)学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝a2＋b2.两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ×)3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( ×)类型一复数的几何意义例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线x－y－3＝0上．考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x<2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点Z(x 2＋x －6，x 2－2x －15)， 当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上． 引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限． 解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0， 即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x<5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0， 所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z ＝0. 若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.类型二 复数的模例2 已知复数z 1＝3－i ，z 2＝cosθ＋isi nθ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，点Z 为z 在复平面内所对应的点，则满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 构成了什么图形？ 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模解 (1)|z 1|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. 因为2>1，所以|z 1|>|z 2|.(2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O 为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O 为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O 为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想． 跟踪训练2 已知0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z|的取值范围是( ) A ．(1，10) B ．(1，3) C ．(1,3)D ．(1,10)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 A解析 0<a<3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)， 则|z|＝a 2＋1∈(1，10).1．当23<m<1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 D解析 ∵23<m<1，∴0<3m －2<1，m －1<0，∴复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于第四象限． 2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z 的对应点的轨迹是( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两个点D ．两个圆考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 A解析 由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．3．设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i(i 为虚数单位)，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a>1 B ．－1<a<1 C ．a>1D ．a>0考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求参数 答案 B解析 因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4<5，即a 2＋4<5， 所以a 2<1，即－1<a<1.4．若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z|＝3.5．当实数m 为何值时，复数(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i(i 为虚数单位)在复平面中的对应点 (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，得⎩⎪⎨⎪⎧m>5或m<3，－7<m<4，所以－7<m<3.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，所以m ＝4.1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应点的坐标为(a ，b)而不是(a ，bi)；(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模|z|＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z ＝cos3＋isin3的对应点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 ∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0，故复数z ＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．2．已知复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3) 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m<1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －ai 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －ai ＝－1＋i 对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B. 4．已知0<a<1，复数z 的实数为a ，虚部为－2，则|z|的取值范围是( ) A ．(2,5) B ．(2,3) C ．(2，5)D ．(2，3)考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 C解析 由题知z ＝a －2i ，所以|z|＝a 2＋4， 又a ∈(0,1)，所以|z|∈(2，5)．5．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0或a ＝2 D ．a ＝0考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于( ) A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i考点 复数的模的定义与应用题点 利用模的定义求复数 答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a<0，由|z|＝2知，a 2＋(3)2＝2， 解得a ＝－1(舍正)，所以z ＝－1＋3i.7．在复平面内，复数z 1，z 2的对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i考点 复数的模的定义与应用 题点 利用模的定义求复数 答案 D解析 设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.二、填空题8．若复数3－5i,1－i 和－2＋ai 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系 答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a ＝5.9．已知复数z ＝x －2＋yi 的模是22，则点(x ，y)的轨迹方程是________________． 考点 复数的几何意义的综合应用 题点 利用几何意义解决轨迹、图形 答案 (x －2)2＋y 2＝8解析 由模的计算公式得(x －2)2＋y 2＝22， ∴(x －2)2＋y 2＝8.10．设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝________. 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模答案 2解析 由(1＋i)x ＝1＋yi ，得x ＋xi ＝1＋yi ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋yi|＝x 2＋y 2＝ 2.11．若复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________． 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)， 因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a<2.由条件得|z|＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92. 因为－1<a<2，所以|z|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 三、解答题12．求实数m 的值，使复数z ＝m(m －1)＋(m －1)i 对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限． 考点 复数的几何意义 题点 复数与点的对应关系解 (1)由复数z 对应的点位于实轴上，可得m －1＝0， 解得m ＝1，即当m ＝1时，复数z 对应的点位于实轴上．(2)由复数z 对应的点位于第一象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)>0，m －1>0，解得m>1，即当m>1时，复数z 对应的点位于第一象限．(3)由复数z 对应的点位于第四象限，可得⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)>0，m －1<0，解得m<0，即当m<0时，复数z 对应的点位于第四象限．13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－12＋12i ，－12－32i ，并求出它们的模．考点 复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－12＋12i，－12－32i，与之对应的向量可用OA→，OB→，OC→来表示．|1|＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫122＝22，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i＝⎝⎛⎭⎪⎫－122＋⎝⎛⎭⎪⎫－322＝1.四、探究与拓展14．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案二解析因为不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，(－1)＋2＝nm，(－1)×2＝pm，所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0，p>0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．15．复数z满足|z＋3－3i|＝3，求|z|的最大值和最小值．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z＋3－3i|≥||z|－|3－3i||，又∵|z＋3－3i|＝3，|3－3i|＝12＝23，∴||z|－23|≤3，即3≤|z|≤33，∴|z|的最大值为33，最小值为 3.方法二|z＋3－3i|＝3表示以－3＋3i对应的点P为圆心，以3为半径的圆，如图所示，则|OP|＝|－3＋3i|＝12＝23，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋3＝33，|z|min＝|OB|＝|OP|－3＝ 3.。
北师大版高中数学选修1-2同步教学：第4章 2 第2课时 复数的乘法与除法
数系的扩充与复数的引入 §2 复数的四则运算
第2课时 复数的乘法与除法
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
根据复数的几何意义和平面向量在坐标表示下的加 (减)法运算，我们很容易规定了复数的加(减)法规则，因 为实数是复数的一部分，且实数有其乘法运算，因此我 们有理由且应当规定复数集内的乘法运算，使实数的乘 法作为复数乘法的一种特殊情况，考虑到复数的代数标 准形式及 i2＝－1，并联系多项式的乘法法则，就可建立复数的代数乘法规则。
• 〔跟踪练习1〕
• (1)(2018·全国Ⅱ卷文,2)i(2＋3Di)＝( )
• A．3－2i
B．3＋2i
• C．－3－2i D．－3＋2i • (2)(2018·全国Ⅲ卷理,2)(1＋i)(2－Di)＝( )
• A．－3－i B．－3＋i
• C．3－i D．3＋i
• [解析] (1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i. • 故选D． • (2)(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i. • 故选D．
• [解析] (1)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i • ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i • ＝(4－i2)(1＋2i)－5i • ＝5(1＋2i)－5i • ＝5＋10i－5i＝5＋5i. • (2)(1－i)2(1＋i)2＋4＝[(1－i)(1＋i)]2＋4 • ＝(1－i2)2＋4＝22＋4＝8.
解法二：∵ z＝2＋i，∴ z·z ＝|z|2＝5.故选 D．
• 4．已知复数z＝(2－i)2(i为虚数单位),则复数z的－虚4 部为 _________.
• [解析] z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝4－4i－1＝3－4i.
数学：4.1.1《复数的概念》课件(北师大版选修1-2)
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1 1 例1请说出 2 + 3i,−3 + i,− i,− 3 − 5i 复数的实部和虚部， 复数的实部和虚部， 请说出 2 3
有没有纯虚数？ 有没有纯虚数？ 例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？ 复数－ 的实部和虚部是什么？ 的实部和虚部是什么 例3实数 取什么数值时，复数 实数m取什么数值时 z=m+1+(m－1)i是: 实数 取什么数值时， － 是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 实数？ 虚数？ 纯虚数？ 实数 虚数 纯虚数 例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y. 4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R， x与
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共轭复数 （1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个 ）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时， 复数叫做互为共轭复数。（ 。（虚部不为零也叫做互为共 复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共 轭复数） 轭复数） （2）复数 的共轭复数用 ｚ表示．若 z=a+bi(a、b∈R) ， ）复数z的共轭复数用 表示． 、 ∈ 则 z=a－bi － 的共轭复数仍是a本身 （3）实数 的共轭复数仍是 本身，纯虚数的共轭复数是 ）实数a的共轭复数仍是 本身， 它的相反数． 它的相反数． （4）复平面内表示两个共轭复数的点 与ｚ 关于实轴对 ）复平面内表示两个共轭复数的点z与 称．
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复数与实数、虚数、纯虚数及 的关系 的关系： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
高中北师大数学选修1-2课件：第四章 数系的扩充与复数的引入 1 第1课时
(3)实数集 R 和虚数集都是复数集 C 的真子集，且 R∪{虚数}＝C，R∩{虚 数}＝∅.
(4)实数也是复数，但是复数不一定是实数，它也可能是虚数． 2．对于复数 a＋bi，当且仅当 b＝0 时，它是实数；当且仅当 a＝b＝0 时， 它是实数 0；当 b≠0 时，叫作虚数；当 a＝0 且 b≠0 时，叫作纯虚数．即
(2)当 k2－5k－6≠0，即 k≠6 且 k≠－1 时，z 是虚数．
(3)当kk22－－35kk－－46＝≠00 ，即 k＝4 时，z 是纯虚数．
(4)当kk22－－35kk－－46＝＝00 ，即 k＝－1 时，z 是零．
互动探究学案
命题方向1 ⇨复数的概念
(1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 虚部是 2i；
实数b＝0 复数 a＋bi(a、b∈R)虚数b≠0非纯纯虚虚数数a＝a≠0 0
• 1．复数1－i的A虚部是( )
• A．－1
B．1
• C．i D．－i
• [解析] 虚部是i的系数，为实数，故选A
．
• 2．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈C R)是实数， 则a＝( )
• A．－1 B．1
• C．±1 D．不存在
• 〔跟踪练习3〕 • 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， • 求实数x、y的值．
[解析] 因为 x、y 为实数， 所以 2x－1、y＋1、x－y、－x－y 均为实数． 由复数相等的充要条件，
知2y＋x－11＝＝－x－x－yy ，
所以xy＝＝3－2 .
准确掌握概念
在下列命题中，正确命题的个数是( A )
• 〔跟踪练习2〕 • 实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2
高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2.2复数的乘法与除法课件北师大版选修1-2
反思与感悟 (1)虚数单位i的周期性. ①i4n＋1＝i,i4n＋2＝－1,i4n＋3＝－i,i4n＝1(n∈N). n也可以推广到整数集. ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N).
跟踪训练 2 计算：
－1＋2 23＋3ii＋1＋2i2
4－8i2－－4＋8i2
004＋
.
11－ 7i
解
c2＋d2
＋
c2＋d2
i(c2＋d2≠0).
题型一 复数乘除法的运算
例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)； 解 (2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5. (2)(1＋2i)2. 解 (1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
反思与感悟 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则 进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方 差公式、完全平方公式等. (2)像3＋4i和3－4i这样的两个复数叫作互为共轭复数,其 形态特征为a＋bi和a－bi,其数值特征为(a＋bi)(a－bi)＝ a2＋b2.
12 345
4.设复数 z 的共轭复数是 z ,若复数 z1＝3＋4i,z2＝t＋i,且 z1·z 2
是实数,则实数 t 等于( )
A.34
B.43
C.－34
D.－34
解析 ∵z2＝t＋i,∴ z 2＝t－i. z1·z 2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i, 又∵z1·z 2∈R,∴4t－3＝0,∴t＝34. 答案 A
i1＋2 原式＝
1＋2
33ii＋1＋2i21
4－8i＋4－8i 002＋(4－8i＋8i－4)
11－ 7i
＝i＋(－i)1 002＋0＝－1＋i.
题型三 共扼复数及其应用
北师大版选修1-2--第四章-数系的扩充与复数的引入-本章整合----课件(31张)
证法一:设 z=a+bi(a,b∈R,b≠0).
由|z|=1,得 a2+b2=1,
1-
∴μ= 1+ =
2
1-(+i)
1++i
=
[(1-)-i][(1+)-i]
(1+)2 +
2
2
(1-2 )- -(1 + + 1-)i 1-2 - -2i
=
=
2
2
2
2
(1 + ) +
= -2
= -1.
∴存在复数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
10
1(2018·北京高考)在复平面内,复数 1-i 的共轭复数对应的点位于
(
)
A.第一象限
C.第三象限
1
B.第二象限
D.第四象限
1+i
解析:由 1-i = (1-i)(1+i) =
1
1
1+i
2
1
(1 + ) +
2
=−
i.
2
2
(1 + ) +
∵b≠0,∴μ 为纯虚数.
综合应用
专题一
专题二
专题三
专题四
证法二∵|z|=1,∴ = 1.
1-
-
-1
-1
∴μ= 1+ = + = +1 = +1 = −,
∴μ+ = 0. ∴ 为纯虚数.
综合应用
北师大版高中数学选修1-2同步教学：第4章 2 第1课时 复数的加法与减法
• 二审结论,明确解题方向,求|z1＋z2|的取值范围,可利用复数 运算法则及模的定义转化为求三角函数值域,要特别注意求 值域时x的取值范围不能认定就是[0,2π)．
• 『规律方法』 1.对于一些较复杂的复数运算问题,特别是 与复数的模有关的问题可将复数与复平面内以原点为起点 的向量加以转化,利用几何意义给予几何解释,数形结合解 决．
• 2．若几何图形的变换可以坐标化,可利用向量、点与复数 的关系转化为数的运算处理．
• 例如关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何解释为：平行四边形两 对角线长相等,故四边形OACB为矩形．
[解析] z1＋z2＝(a2－2＋a)＋(a2－3a＋2)i. ∵z1＋z2 为纯虚数，
∴aa22－－23＋a＋a＝2≠00 ，
∴a＝－2.
命题方向2 ⇨复数加、减法运算的几何意义
已知复平面内的平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复 数分别为 0、3＋2i、－2＋4i，试求：
(1)A→O对应的复数； (2)C→A对应的复数； (3)B 点对应的复数．
〔跟踪练习 3〕 若复数 z 满足|z＋ 3＋i|≤1，求： (1)|z|的最大值和最小值； (2)|z－1|2＋|z＋1|2 的最大值和最小值． [分析] 明确满足条件|z＋ 3＋i|≤1 的复数 z 的几何意义为：圆心为(－ 3， －1)，半径为 1 的圆内区域，包括边界，|z|则表示圆面上一点到原点的距离．如 图所示，O→A对应的复数模为最大值，O→B对应的复数模为最小值．
高中数学北师大版选修1-2练习课件：4.1.2复数的有关概念讲义
x＋1＝2， 2 设 D 点的坐标为(x，y)，则 y＋0 3 ＝2， 2 即 D 点的坐标为(3,3)． ∴D 点对应的复数为 3＋3i.
x＝3， ∴ y＝3.
→ → → 法二：由已知，得OA＝(0,1)，OB＝(1,0)，OC＝(4,2)， → → ∴BA＝(－1,1)，BC＝(3,2)． → → → ∴BD＝BA＋BC＝(2,3)． → → → ∴OD＝OB＋BD＝(3,3)． ∴点 D 对应的复数为 3＋3i.
解析：复数不能比较大小，排除选项 A，B. 又|z1|＝ 52＋32，|z2|＝ 52＋42. ∴|z1|<|z2|.故选 D.
答案：D
• 4．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点 到原点的距离为__________．
解析：∵|z|＝ －52＋－122＝13， ∴对应点到原点的距离为 13. 答案：13
知识点三
复数几何意义的应用
• 5.在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B， C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
解：法一：由已知，得点 A，B，C 的坐标分别为 A(0,1)， 3 B(1,0)，C(4,2)，则 AC 的中点为 E(2，2)． 由平行四边形的性质，知 E 也是 BD 的中点．
→ → 2．若OZ＝(0，－3)，则OZ对应的复数为( A．0 C．－3i B．－3 D．3
)
→ 解析：由OZ＝(0，－3)，得点 Z 的坐标为(0，－3)， → ∴OZ对应的复数为 0－3i＝－3i.故选 C..已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式 正确的是( ) • A．z1>z2 B．z1<z2 • C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
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陕西省榆林育才中学高中数学 第4章《数系的扩充与复数的引
入》复数的几何意义导学案（无答案）北师大版选修1-2
学习目标
理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点
及向量.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P62~ P64，找出疑惑之处）
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：复平面
问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实
数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部b同时确定，即有顺序的两实数，不难
想到有序实数对或点的坐标.
结论：复数与平面内的点或序实数一一对应.
新知：
1.复平面：以x轴为实轴， y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.
复数与复平面内的点一一对应.
显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
1. 复数的几何意义:
复数zabi一一对应复平面内的点(,)Zab；
复数zabi一一对应平面向量OZ；
复平面内的点(,)Zab一一对应平面向量OZ.
注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数.
2. 复数的模
变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).
小结：
复数zabi一一对应复平面内的点(,)Zab.
例2已知复数22276(56)()1aazaaiaRa，试求实数a分别取什么值时，对应的点
（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线0xy上；（4）在上半平面（含
实轴）
变式：若复数22(34)(56)zmmmmi表示的点（1）在虚轴上，求实数m的取值；
（2）在右半平面呢？
小结：复数zabi一一对应平面向量OZ.
※ 动手试试
练1. 在复平面内画出23,42,13,4,30iiiii所对应的向量.
练2. 在复平面内指出与复数112zi，223zi，332zi，42zi对应的点
1Z，2Z，3Z，4
Z
.试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 复平面的定义；
2. 复数的几何意义；
3．复数的模.
※ 知识拓展
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i（2）任何两个复数都不能比较大小（3）
任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是
复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2. 对于实数,ab，下列结论正确的是（ ）
A．abi是实数 B．abi是虚数
C．abi是复数 D．0abi
3. 复平面上有点A，B其对应的复数分别为3i和13i，O为原点，那么是AOB是
（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
4. 若12zi，则||z
5. 如果P是复平面内表示复数(,)abiabR的点，分别指出下列条件下点P的位置：
（1）0,0ab （2）0,0ab
（3）0,0ab （4）0b
课后作业
1．实数取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)zmmmmi的点（1）位于
第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线yx上？
2. 在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2i（1）如果点A关于实轴的对称点为
点B，求向量OB对应的复数.（2）如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应
的复数.