第三章第7讲正弦定理与余弦定理

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第七节正弦定理和余弦定理课件人教新课标

[类题通法]
正、余弦定理的应用原则 (1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．
[演练冲关] 在锐角三角形 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 3a－2bsin A＝0. (1)求角 B 的大小； (2)若 a＋c＝5，且 a>c，b＝ 7，求 AB·AC 的值．
基础盘查二三角形中常用的面积公式
(一)循纲忆知
会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S＝12absin
C.
(二)小题查验 1．判断正误
(1)公式 S＝12absin C 适合求任意三角形的面积 (2)三角形中已知三边无法求其面积
( √) (× )
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积
[典题例析]
(辽宁高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，且 a>c .已知BA·BC ＝2，cos B＝13，b＝3，求： (1)a 和 c 的值； (2)cos(B－C)的值．
解：(1)由 BA·BC ＝2 得，c·acos B＝2，又 cos B＝13，所以 ac＝6. 由余弦定理，得 a2＋c2＝b2＋2accos B. 又 b＝3，所以 a2＋c2＝9＋2×2＝13. 解aa2c＋＝c62，＝13，得ca＝＝32，或ca＝＝23.，因为 a>c，所以 a＝3，c＝2.
[演练冲关] 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acos C ＋ 3asin C－b－c＝0. (1)求 A； (2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b，c.

高考数学总复习第三章第7课时正弦定理和余弦定理课时闯关(含解析)1

（福建专用）2013年高考数学总复习第三章第7课时正弦定理和余弦定理课时闯关（含解析）一、选择题1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223C ．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin60°＝10sin B ，∴sin B ＝10·sin60°15＝10×3215＝33.∵a >b ，A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63. 2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形解析：选A.∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14<0，即90°<C <180°.∴△ABC 是钝角三角形．故选A. 3．(2012·福州调研)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2解析：选D.sin 2A si n B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，故sin B ＝2sin A ，所以b a＝ 2. 4．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°.若该三角形有两个解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2 D ．2<x <2 3 解析：选C.由题意得b <a ，且b >a sin B ，所以2<x <2 2.5．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C的值为( )A.2633B.2393C.393 D.1333解析：选B.由S △ABC ＝12bc sin A ，得3＝12c sin60°，所以c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝1＋16－2×1×4cos60°＝13，所以a ＝13，所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝2133＝2393.二、填空题6．(2012·厦门质检)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析：由正弦定理，有3sin2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12. ∵∠C 为钝角，∴∠B 必为锐角，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π6.∴a ＝b ＝1.答案：17．a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为△ABC 的面积，且S ＝c 2－(a －b )2，则tan C ＝________.解析：由余弦定理得S ＝c 2－(a 2＋b 2)＋2ab ＝－2ab cos C ＋2ab ＝2ab (1－cos C )＝12ab sin C ，∴1－cos C sin C ＝14，即tan C 2＝14，tan C ＝815.答案：8158．在△ABC 中，给出下列结论：其中正确结论的序号为________．①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 为60°；③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.解析：在①中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，所以A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形，故①正确；在②中，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，所以A ＝120°，故②不正确；在③中，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab >0，故C 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形，故③不正确；在④中A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，故A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，故④不正确．答案：① 三、解答题9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3.(2)由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc .∴(b －c )2＝0，即b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形．10．△ABC 中，a ，b ，c 是A ，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求∠B 的大小；(2)若a ＝4，S ＝53，求b 的值．解：(1)由cos B cos C ＝－b 2a ＋c ⇒cos B cos C ＝－sin B2sin A ＋sin C⇒2sin A cos B ＋cos B sin C ＝－sin B cos C ⇒2sin A cos B ＝－sin B cos C －cos B sin C .∴2sin A cos B ＝－sin(B ＋C )⇒2sin A cos B ＝－sin A⇒cos B ＝－12，又0＜B ＜π，∴B ＝23π.(2)由a ＝4，S ＝53有S ＝12×4ac sin B ＝12×c ×32⇒c ＝5，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒b 2＝16＋25＋2×4×5×12⇒b ＝61.一、选择题1．已知△ABC 为锐角三角形，且B ＝2A ，求b a的取值范围( )A ．(2，3)B ．(2，3]C ．(2，2)D ．(2，2] 解析：选A.在△ABC 中，B ＝2A ，A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝180°－A －B ＝180°－3A <90°，A >30°. 又2A <90°，即A <45°.所以30°<A <45°.所以22<cos A <32.由正弦定理得b a ＝sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2cos A ，所以2<ba< 3.2．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(3，＋∞)解析：选B.设△ABC 三内角为A 、B 、C ，其对边为a 、b 、c ，且A <B <C ，由2B ＝A ＋C ，且A ＋B ＋C ＝180°，可得B ＝60°，由已知A <30°，m ＝c a＝sin C sin A ＝sin 60°＋A sin A ＝32·1tan A ＋12＞2. 另解：(几何法)如右图，B ＝60°，设AB ＝2，角C 1＝90°，则BC 1＝1，要使角C 为钝角，只须BC <BC 1＝1，即m ＝c a＞2.二、填空题3．(2011·高考天津卷改编)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为________．解析：设BD ＝2，则AB ＝AD ＝3，BC ＝4.在△ABD 中，cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22×AD ×BD ＝3＋4－32×3×2＝33，∴sin ∠BDC ＝1－cos 2∠BDC ＝1－13＝63. 在△BDC 中，由正弦定理得4sin ∠BDC ＝2sin C，即sin C ＝12sin ∠BDC ＝12×63＝66.答案：664．在△ABC 中，tan A tan B ＝2c －bb ，则∠A ＝________.解析：tan A tan B ＝2c －b b ，有sin A cos A ·cos Bsin B＝2sin C －sin Bsin B，又∵sin B ≠0，∴sin A cos B ＝2sin C cos A －sin B cos A ， ∴sin (A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A .又∵sin C ≠0，∴cos A ＝22.∴∠A ＝45°. 答案：45° 三、解答题5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝233ac sin B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，求边长c 的取值范围．解：(1)在△ABC 中，根据余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，∵a 2＋c 2－b 2＝233ac sin B ，∴2ac cos B ＝233ac sin B ，∴tan B ＝ 3.又∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－A .由正弦定理，得：c sin C ＝b sin B ＝3sinπ3＝2.∴c ＝2sin C ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A . ∵π6＜A ＜π2，∴π6＜2π3－A ＜π2，∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＜1， ∴1＜c ＜2.6．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝()2sin B ，－3，n＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2B ，2cos 2B2－1，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解：(1)m ∥n ⇒2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B2－1＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－ 3.∵0＜2B ＜π，∴2B ＝2π3，∴锐角B ＝π3.(2)由tan2B ＝－3⇒B ＝π3或5π6.①当B ＝π3时，已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，∴△ABC 的面积最大值为 3.②当B ＝5π6时，已知b ＝2，由余弦定理得：4＝a 2＋c 2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac (当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立)，∴ac ≤4(2－3)，∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝14ac ≤2－3，∴△ABC 的面积最大值为2－ 3.。

第七节正弦定理和余弦定理

1 π 则 cos A＝ .因为 0<A<π，所以 A＝ . 2 3
b c sin B b (2)由＝，可得＝＝2， sin B sin C sin C c 即 b＝2c. b2＋c2－a2 4c2＋c2－9 1 所以 cos A＝＝＝， 2bc 4c2 2 解得 c＝ 3，b＝2 3， 1 1 3 3 3 所以 S△ABC＝ bcsin A＝ ×2 3× 3× ＝ . 2 2 2 2
π (1)求证：B－C＝； 2
(2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积．
[教你快速规范审题]
1．审条件，挖解题信息
π π 观察 π ―→ A＝，bsin4＋C－csin4＋B＝a 4 条件 π π 等式中既有边又有角， ――――――――――→ sin Bsin4 ＋C－sin Csin4＋B＝sin A 应统一
1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， asin Asin B＋bcos2A＝ 2a. b (1)求； a
(2)若c2＝b2＋ 3a2，求B.
解：(1)由正弦定理得， sin2Asin B＋sin Bcos2A＝ 2sin A，即
sin B(sin2A＋cos2A)＝ 2sin A. 故 sin B＝ b 2sin A，所以a＝ 2.
定理
变形公式解决的问题
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两
个角
3．三角形中常用的面积公式
1 (1)S＝ ah(h表示边a上的高)； 2 1 1 1 (2)S＝ bcsin A＝ acsin B ＝ absin C ； 2 2 2
1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 2
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正弦定理和余弦定理

第3讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B . 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( )． A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6解析由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°，由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22.∴c ＝1063. 答案 C2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 答案 B3．(2011·郑州联考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝60°. 答案 C4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为( )．A ．3 3B ．2 3C ．4 3 D. 3 解析 ∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3. 答案 C5．已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________．解析 ∵a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32，故C ＝150°为三角形的最大内角．答案 150°考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A ，C 和边c .[审题视点] 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32∵a ＞b ，∴A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin Csin B ＝6－22.(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．【训练1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.解析因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝bsin B代入数据解得a ＝210. 答案255210考向二利用余弦定理解三角形【例2】►在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．[审题视点] 由cos B cos C ＝－b2a ＋c ，利用余弦定理转化为边的关系求解．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c22ab.将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c ，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， ∴13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【训练2】 (2011·桂林模拟)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A2＋cos A ＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2cos 2 A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． [审题视点] 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解由已知(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，得b 2[sin(A －B )＋sin C ]＝a 2[sin C －sin(A －B )]，即b 2sin A cos B ＝a 2cos A sin B ，即sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos B sin B ，所以sin 2B ＝sin 2A ，由于A ，B 是三角形的内角．故0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π. 故只可能2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ；则△ABC 是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆半径)． ∴sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C. 即tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C . 答案 B考向三正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题．解 (1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2. (2)由题意，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A . 当cos A ＝0，即A ＝π2时，B ＝π6，a ＝433，b ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12a b sin C ＝233.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．【训练3】 (2011·北京西城一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．解 (1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.第7讲正弦定理、余弦定理应用举例基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522 m解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A ．α＞β B ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 解析根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )． A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D．北偏西10°解析如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )． A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.510(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°).解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长． [审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a .(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620km.考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系．解如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ，解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β). 考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长．[审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可．解在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC， sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910. ∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910， ∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BD sin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922. 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.。

正弦定理和余弦定理ppt课件

总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦定理，我们可以更准确地计算这些力的作用效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。

第7讲正、余弦定理解斜三角形

正弦、余弦定理解斜三角形【知识网络】1、三角形基本公式（1）内角和定理：A+B+C=180°sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=−，tan()tan A B C +=−； sincos 22A B C +=，cossin 22A B C +=，tan cot 22A B C+=； sin sin A B A B >⇒>.（2）面积公式：S=21ab sinC=21bc sinA=21ca sinB=4abc R= pr =))()((c p b p a p p −−−，其中p =2cb a ++，r 为内切圆半径. （3）射影定理：a = b cos C +c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A . 2、三角形中的边角关系（1）三角形中的边之间的关系：①a b c +>，a b c −<；②勾股定理222a b c +=.（2）三角形中的边角关系：大边对大角，大角对大边. 3、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 4、余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA ，222cos 2b c a A bc+−=5、利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：b sin A <a <b 时有两解；a =b sin A 或a =b 时有解；a <b sin A 时无解. 6、利用余弦定理，可以解决以下三类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角；（3）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.【典型例题】【例1】已知：△ABC 中，三边长分别是3，4，求：△ABC 中的最大角.【例2】如图，在△ABC 中，2AC =，1BC =，43cos =C . （1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.【例3】若m ，m +1，m +2是钝角三角形的三条边，求实数m 的取值范围.【例4】在△ABC 中，（1）已知a =3，b =2，B =45°，求A 、C 及边c ；（2）2a =，b =，4A π=，求B ；（3）2a =，4A π=，2sin 3B =，求c .【例5】在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.【例6】求证：（1）求证：平行四边形各边平方和等于对角线平方和. （2）已知：AD 是△ABC 中BAC ∠的平分线.求证：BD ABCD AC=.【同步练习】一、选择题1、在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果2b =a +c ，∠B =6π，△ABC 的面积为23，那么b 等于（）A.231+ B.1+3C.232+ D.2+3 3、下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（）A.sin A +cos A =51B.·＞0C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°4、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b ac =，且2c a =，则cos B =（）A.14 B. 34C.4 D. 3二、填空题5、在△ABC 中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边.若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c __________.6、在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.参考答案【例1】解：223437121cos 234242θ+−==−=−×× ()0,πθ∈∵ 2π3θ∴=【例2】解析：（1）由余弦定理， 2222..cos AB AC BC AC BC C =+−341221 2.4=+−×××=∴AB =（2）由3cos 4C =，且0,C π<<得sin 4C == 由正弦定理:,sin sin AB BC C A =解得sin sin 8BC C A AB ==.所以，cos 8A =.由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =⋅=，且29cos 212sin 16A A =−=，故 ()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+=. 【例3】解：()()222120012m m m m m m m ⎧++−+<⎪⎪>⎨⎪++>+⎪⎩∵ 21230m m m >⎧∴⎨−−<⎩ ()1,3m ∴∈ 【例4】（1）解：由正弦定理得：sinA=sin 2a B b ==，因为B =45°<90°且b<a ，所以有两解A =60°或A =120°（1）当A =60°时，C =180°-(A+B )=75°，c=sin sin 75sin sin 452b C B +==当A =120°时，C =180°-(A+B )=15°，c=sin sin15sin sin 452b C B ==（2）解：由题意2> π4B ∴<2πsin sin 4B ∴=1sin 2B ∴= π6B ∴= （3）2sin 3B =∵cos 3B ∴==ππ2sin sin πsin 442223236C B B B B ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∴=−+=+=+=±+×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎝⎠（舍负） 2sin sin 4cC ∴=c ∴==又0°＜A ＜180°，∴A －45°=60°，A =105°.tan ∴A =tan （45°+60°）=－2sin ∴A =sin105°=sin （45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=4.∴S △ABC =12AC ·AB sin A =12=34）.法二：sin ∵A +cos A =2，① ∴（sin A +cos A ）2=12，2sin ∴A cos A =－12. 0°∵＜A ＜180°，sin ∴A ＞0，cos A ＜0.90°∴＜A ＜180°.∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =32，sin ∴A －cos A ②+①②得sin A .①－②得cos A =4.tan ∴A =sincos A A =4－2以下同解法一.【例6】（1）证明：设DAB α∠=△DAB 中 2222n a b ab =+−cos α ①△ABC 中 ()2222cos πm a b ab α=+−− ② ①+② 222222m n a b ∴+=+ ∴得证（2）△ABD 中sin sin BD ABαβ= ① △ACD 中()sin sin πCD ACαβ=− ② ∴①÷②得BD ABCD AC=同步练习：选择题1-4：BBCB1、B 解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°. 2、B 解析：2b =a +c 平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .由S=21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12，得cos B =ac b c a 2222−+=6212422×−−b b =442−b =23，解得b =1+3. 3、C 解析：由tan A +tan B +tan C=tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 4、B 解析略. 填空题 5、26、1＜c ＜5 解析：若c 最大，由cos C ＞0，得c ＜5。

3、7第七节正弦定理和余弦定理

2 2 2 2 2 2
答案：2
5．(2012 年高考福建卷)在△ABC 中，已知∠BAC＝60° ，∠ABC＝ 45° ，BC＝ 3，则 AC＝________.
解析：本题可利用正弦定理求解． AC BC BC· B sin 3sin 45° 根据正弦定理，得＝，故 AC＝＝＝ sin B sin A sin A sin 60° 2 3× 2 ＝ 2. 3 2
答案：B
3．(课本习题改编)在△ABC 中，B＝60° ，a＝1，b＝ 3，则 S△ABC 等于( A. 2 3 C. 2 ) B. 3 D．2
3 1 1 解析：由正弦定理得＝，sin A＝，A＝30° ，又∵B＝60° ， sin 60° sin A 2 ∴C＝90° ，即△ABC 为直角三角形． 1 3 ∴S△ ABC＝ ×1× 3＝ . 2 2
答案：D
2．(2012 年高考北京卷)在△ABC 中，若 a＝2，b＋c＝7，cos B＝－ 1 ，则 b＝________. 4
解析：将 b＋c＝7 变形为 c＝7－b 后，利用余弦定理求解．在△ABC 中，由 b2＝a2＋c2－2accos B 及 b＋c＝7 知，
1 b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×－， 4
考向三与三角形面积有关的问题 [例 3] (2012 年高考浙江卷)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分 2 别为 a，b，c.已知 cos A＝，sin B＝ 3 (1)求 tan C 的值； (2)若 a＝ 2，求△ABC 的面积．
[解析] 2 (1)因为 0<A<π，cos A＝，得 3
整理得 15b－60＝0. ∴b＝4.
答案：4
3．(2012 年高考江西卷)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.已知 3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C. (1)求 cos A； (2)若 a＝3，△ABC 的面积为 2 2，求 b，c. 解析：(1)由 3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C，

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套第三章三角函数、解三角形第7节正弦定理和余弦定理

2009~2013年高考真题备选题库第3章三角函数、解三角形第7节正弦定理和余弦定理考点正、余弦定理及其应用1．(2013天津，5分)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010B.105C.31010D.55解析：本题考查三角形中余弦定理、正弦定理的应用，意在考查考生分析问题的能力．由余弦定理可得AC 2＝9＋2－2×3×2×22＝5，所以AC ＝ 5.再由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A，所以sin A ＝BC ·sin BAC＝3×225＝31010.答案：C2．(2013湖南，5分)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π3B.π4C.π6D.π12解析：本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力．由正弦定理可得，2a sin B ＝3b 可化为2sin A sin B ＝3sin B ，又sin B ≠0，所以sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，得A ＝π3. 答案：A3．(2013陕西，5分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2，故选B.答案：B4．(2013安徽，5分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a ，3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：本题考查正弦定理和余弦定理的应用．由3sin A ＝5sin B 可得3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，所以可令a ＝5t (t >0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(5t )2＋(3t )2－(7t )22×5t ×3t ＝－12，故C ＝2π3.答案：2π35．(2013福建，4分)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．解析：本题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．因为sin ∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BAD ＝223，所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理得， BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝ 3.答案： 36．(2013浙江，4分)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin∠BAC ＝________.解析：本题考查正弦定理、三角函数定义、诱导公式以及利用相关定理解决与几何计算有关的问题．考查考生灵活利用公式的能力．△ABM 中，由正弦定理BM sin ∠BAM ＝ABsin ∠BMA＝AB cos ∠MAC，所以32a ＝c a 2＋4b 22b ，整理得(3a 2－2c 2)2＝0 ，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：637．(2013新课标全国Ⅰ，12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：本题主要考查两角差的正弦公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理等知识，意在考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力．(1)由已知得，∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74.故P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α. 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34. 8．(2013江西，12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：本题主要考查三角变换与解三角形知识，意在考查考生综合运用知识的能力． (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B － 3 sin A cos B ＝0，即有sin A sin B － 3 sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B － 3 cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14. 又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.9．(2012天津，5分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C2 sin B＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝2×(45)2－1＝725. 答案：A10．(2011辽宁，5分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2解析：由正弦定理，得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ·(sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A ，所以sin B ＝2sin A .∴b a ＝sin B sin A＝ 2.答案：D11．(2010湖南，5分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定解析：法一：由余弦定理得2a 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°，b 2＋ab －a 2＝0，即(b a )2＋ba －1＝0，b a ＝－1＋52<1，故b <a .法二：由余弦定理得2a 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°， b 2＋ab －a 2＝0，b ＝a 2a ＋b，由a <a ＋b 得，b <a . 答案：A12．(2011新课标全国，5分)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为____．解析：在△ABC 中，根据AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝332sin C ＝2sin C ，同理BC＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin C ＋4sin(23π－C )＝4sin C ＋23cos C ＝27sin(C ＋φ)(tan φ＝32)，因此AB ＋2BC 的最大值为27. 答案：2713．(2011北京，5分)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝____；a ＝____.解析：因为△ABC 中，tan A ＝2，所以A 是锐角，且sin Acos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝255，再由正弦定理得a sin A ＝b sin B，代入数据解得a ＝210.答案：25521014．(2010江苏，5分)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B的值是________．解析：取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan Ctan B＝4. 另解：由b a ＋a b ＝6cos C 得，a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C (cos A sin A ＋cos B sin B )＝sin 2C cos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案：415．(2012新课标全国，12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.16．(2012浙江，14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin (A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.17．(2010辽宁，12分) (本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)得：sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B＋12sin B＝sin(60°＋B)．故当B＝30°时，sin B＋sin C取得最大值1.。

2015届高考数学总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理教学案

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理第四章 (对应学生用书(文)、(理)53～54页)1. (必修5P 10习题1.1第1(2)题改编)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．答案：23解析：在△ABC 中，AC sinB ＝BC sinA ，∴ AC ＝BC·sinBsinA＝32×2232＝2 3.2. (必修5P 24复习题第1(2)题改编)在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．答案：60°解析：由余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝60°.3. (必修5P 17习题1.2第6题改编)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a ＝2bcosC ，所以由余弦定理得a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得b 2＝c 2，故此三角形一定是等腰三角形．4. (必修5P 17习题6改编)已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C ＝________．答案：60°解析：cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.∵ 0°＜C ＜180°，∴ ∠C ＝60°.5. (必修5P 11习题1.1第6(1)题改编)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13，则△ABC的面积为________．答案：43解析：∵ cosC ＝13，∴ sinC ＝223，∴ S △ABC ＝12absinC ＝12×32×23×223＝4 3.1. 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)．2. 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝a 2＋c 2－2accosB ；c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 或cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab.3. 三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π.(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式① S ＝12a ·h(h 表示a 边上的高)；② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc4R ；③ S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)；④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12(a ＋b ＋c)．[备课札记]题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. 解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2sin45°， ∴ sinA ＝32. ∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsinCsinB ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝bsinCsinB ＝6－22.变式训练在△ABC 中，(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________．(2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A ＝________．答案：(1) 22 (2) 无解 (3) 45°或135°解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由∠B ＝30°，∠C ＝105°，得∠A ＝45°.由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝4sin30°sin45°＝2 2.(2) 由正弦定理得sinB ＝bsinC C ＝32>1，∴ 无解．(3) 由正弦定理BC sinA ＝AB sinC ，得6sinA ＝312，∴ sinA ＝22.∵ BC>AB ，∴ A>C ，∴ ∠A ＝45°或135°. 题型2 余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cosB cosC ＝－b2a ＋c .(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理知：cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cosB cosC ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c，整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac.∴ cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵ B 为三角形的内角，∴ B ＝23π.(2) 将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB ，∴ 13＝16－2ac ⎝⎛⎭⎫1－12，∴ ac ＝3. ∴ S △ABC ＝12acsinB ＝334.备选变式（教师专享）(2014·南京期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4. 因为△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，所以sinBcosA ＝2sinAcosA. 当cosA ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6，所以a ＝433，b ＝233.当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233.题型3 三角形形状的判定例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，判断三角形的形状．解：已知等式可化为a 2[sin(A －B)－sin(A ＋B)]＝ b 2[－sin(A ＋B)－sin(A －B)]， ∴ 2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA ， ∴ sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0，∴ sin2A ＝sin2B.由0<2A<2π，0<2B<2π得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 为等腰或直角三角形．备选变式（教师专享）已知△ABC 中，b·cosC c ·cosB ＝1＋cos2C1＋cos2B ，试判断△ABC 的形状．解：由已知，得1＋cos2C 1＋cos2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b·cosCc ·cosB ， ∴cosC cosB ＝bc. 由正弦定理知b c ＝sinB sinC ，∴ sinB sinC ＝cosCcosB .∴ sinCcosC ＝sinBcosB ，即sin2C ＝sin2B ，因为∠B 、∠C 均为△ABC 的内角．所以2∠C ＝2∠B 或2∠C ＋2∠B ＝180°，所以∠B ＝∠C或∠B ＋∠C ＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型4 正弦定理、余弦定理的综合应用例4 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且bcosB 是acosC 、ccosA 的等差中项．(1) 求B 的大小；(2) 若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由题意，得acosC ＋ccosA ＝2bcosB.由正弦定理，得sinAcosC ＋cosAsinC ＝2sinBcosB ，即sin(A ＋C)＝2sinBcosB.∵ A ＋C ＝π－B ，0＜B ＜π， ∴ sin(A ＋C)＝sinB ≠0.∴ cosB ＝12，∴ B ＝π3.(2) 由B ＝π3，得a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12，∴ ac ＝2.∴ S △ABC ＝12acsinB ＝32.变式训练已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，acosC ＋3asinC －b －c ＝0. (1) 求A ；(2) 若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b 、c. 解：(1) 由acosC ＋3asinC －b －c ＝0及正弦定理得sinAcosC ＋3sinAsinC －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sinAsinC －cosAsinC －sinC ＝0. 由于sinC ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A<π，故A ＝π3.(2) △ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1. (2013·安徽)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若b ＋c ＝2a ，3sinA ＝5sinB ，则角C ＝________．答案：2π3解析：根据正弦定理，3sinA ＝5sinB 可化为3a ＝5b ，又b ＋c ＝2a ，解得b ＝3a 5，c ＝7a5.令a ＝5t(t>0)，则b ＝3t ，c ＝7t ，在△ABC 中，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋9t 2－49t 22×5t ×3t ＝－12，所以C ＝2π3.2. (2013·贵州)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________．答案：3＋1解析：∵ b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，∴ 由正弦定理得b sin π6＝csin π4，解得c ＝2 2.又A＝π－(B ＋C)＝7π12，S △ABC ＝12bcsinA ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.3. (2013·盐城期末)在△ABC 中，若9cos2A －4cos2B ＝5，则BCAC ＝________．答案：23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.4. 已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________．答案：4＋42解析：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos45°，即16＝c 2＋a 2－2ac·cos45°，则有2ac －2ac·cos45°≤16，即ac ≤81－cos45°＝16（2＋2）2＝8(2＋2)．S max ＝12acsin45°＝24×8(2＋2)＝4＋4 2.1. (2014·南通一模)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且c ＝－3bcosA ，tanC ＝34.(1) 求tanB 的值；(2) 若c ＝2，求△ABC 的面积．解：(1) 由正弦定理，得sinC ＝－3sinBcosA ，即sin(A ＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB ＋cosAsinB ＝－3sinBcosA.从而sinAcosB ＝－4sinBcosA.因为cosAcosB ≠0，所以tanAtanB＝－4. 又tanC ＝－tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB tanAtanB －1，由(1)知，3tanB 4tan 2B ＋1＝34，解得tanB ＝12. (2) 由(1)，得sinA ＝25，sinB ＝15，sinC ＝35.由正弦定理，得a ＝csinAsinC ＝2×2535＝453.所以△ABC 的面积为12acsinB ＝12×453×2×15＝43.2. (2014·苏州期末)在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c＝b.(1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝15，b ＝4，求边c 的大小．解：(1) 用正弦定理，由acosC ＋12c ＝b ，得sinAcosC ＋12sinC ＝sinB.∵ sinB ＝sin (A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ， ∴ 12sinC ＝cosAsinC. ∵ sinC ≠0，∴ cosA ＝12.∵ 0<A<π，∴ A ＝π3.(2) 用余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA. ∵ a ＝15，b ＝4， ∴ 15＝16＋c 2－2×4×c ×12.即c 2－4c ＋1＝0.则c ＝2±3.3. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c. (1) 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a 、b 的值；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：(1) ∵ c ＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又△ABC的面积为3，∴ 12absinC ＝3，即ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2) 由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A ，得sin(A ＋B)＋sin(B －A)＝2sinAcosA ，即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·(sinA －sinB)＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0.当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形．4. 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，b ＝2，cosC ＝14.求：(1) △ABC 的周长；(2) cos(A －C)的值．解：(1) 因为c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝1＋4－4×14＝4.所以c ＝2.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2) 因为cosC ＝14，所以sinC ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154.所以sinA ＝asinC c ＝1542＝158. 因为a ＜c ，所以A ＜C ，故A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78.所以cos(A －C)＝cosAcosC ＋sinAsinC ＝78×14＋158×154＝1116.1. (1) 已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2) 已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．2. (1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键． (2) 熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．3. 在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．请使用课时训练（B ）第7课时（见活页）.[备课札记]。

第7讲正弦定理余弦定理应用举例

第7讲正弦定理、余弦定理应用举例【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．【复习指导】1．本讲联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．2．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力．基础梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))．(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．双基自测1．(人教B版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A2．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( )． A ．α＞β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180° 解析根据仰角与俯角的定义易知α＝β. 答案 B3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )．A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析如图．答案 B4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A ．5海里B ．53海里C ．10海里 D ．103海里解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)．答案 C5．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin (180°－60°－75°).解得BC ＝56(海里)．答案 5 6考向一测量距离问题【例1】►如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长． [审题视点] 在△BCD 中，求出BC ，在△ABC 中，求出AB .解在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45°在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a .在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a .(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．【训练1】如图，A ，B ，C ，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离．解在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620km.考向二测量高度问题【例2】►如图，山脚下有一小塔AB ，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD .[审题视点] 过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系．解如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CDBD ，∴BD ＝CD tan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ，解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m.(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .解在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin (α＋β).考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例3】►如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°，∠ADB ＝45°，求BD 的长． [审题视点] 由于AB ＝5，∠ADB ＝45°，因此要求BD ，可在△ABD 中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD 的正弦值．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠ACB＝30°，因此可用正弦定理求出sin ∠ABC ，再依据∠ABC 与∠BAD 互补确定sin ∠BAD 即可．解在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ，于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910.同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．【训练3】如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解在△ADC 中，AD ＝10， AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.规范解答9——如何运用解三角形知识解决实际问题【问题研究】(1)解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题——建模(准确地画出图形)——求解——检验作答．(2)三角形应用题常见的类型：①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之；②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解；③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理．【解决方案】航海、测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据，这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形，根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离，因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中．【示例】►(本题满分12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？(1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中．(3)利用正、余弦定理求解．[解答示范] 如图，连接A1B2由已知A2B2＝102，A1A2＝302×2060＝102，∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，∴△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2＝A1A2＝10 2.由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，(8分)在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．【试一试】如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，求cos θ.[尝试解答] 如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝207.由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30° ＝277×32－217×12＝2114.。

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第7讲正弦定理与余弦定理 [学生用书P82] 1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理

内容 asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C

变形形式 a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； sin A＝a2R，sin B＝b2R， sin C＝c2R； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A

cos A＝b2＋c2－a22bc； cos B＝c2＋a2－b22ca； cos C＝a2＋b2－c22ab

2.三角形中常用的面积公式 (1)S＝12ah(h表示边a上的高)； (2)S＝12bcsin A＝12acsin_B＝12absin C； (3)S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝12(a＋b＋c)．

1．辨明两个易误点 (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论． (2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 2．余弦定理的推导过程如图，设CB→＝a，CA→＝b， AB→＝c. 则c＝a－b，所以|c|2＝(a－b)2 ＝a2－2a·b＋b2 ＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C. 即c2＝a2＋b2－2abcos C. 同理可证a2＝b2＋c2－2bccos A. b2＝c2＋a2－2cacos B. 3．三角形解的判断 A为锐角 A为钝角或直角

图形关系式 a＝bsin A bsin Aa>b 解的个数一解两解一解一解

1.教材习题改编在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于( ) A．32 B．62 C．26 D．36 B [解析] 由正弦定理得asin A＝csin C，

所以a＝6sin 45°sin 30°＝6×2212＝62. 2.教材习题改编在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( ) A．90° B．120° C．135° D．150° B [解析] cos B＝a2＋c2－b22ac＝25＋64－492×5×8＝12. 所以B＝60°，所以A＋C＝120°. 3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形( ) A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 B [解析] 因为asin A＝bsin B，所以sin B＝ba·sin A＝2418×sin 45° ＝223. 又因为a4．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cos B＝45，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________． [解析] 依题意可得sin B＝35，又S△ABC＝12acsin B＝42，则c＝14. [答案] 14 5．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝________． [解析] 在△ABC中，∠A＝2π3，所以a2＝b2＋c2－2bccos2π3，即a2＝b2＋c2＋bc. 因为a＝3c，所以3c2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋bc－2c2＝0，所以(b＋2c)(b－c)＝0，所以b－c＝0，所以b＝c，所以bc＝1. [答案] 1

利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书P83] 利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下两个命题角度： (1)由已知求边和角； (2)解三角形与三角函数结合． [典例引领] (1)(2016·高考全国卷丙)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cos A＝( ) A.31010 B.1010 C．－1010 D．－31010 (2)(2016·高考全国卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝________．【解析】 (1)设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得13a＝csin π4＝22c，则a＝322c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac＝92c2＋c2－3c2＝52c2，则

b＝102c.由余弦定理，可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝52c2＋c2－92c22×102c×c＝－1010，故选C. (2)因为 A，C为△ABC的内角，且cos A＝45，cos C＝513，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝35×513＋45×1213＝6365. 又a＝1，所以由正弦定理得b＝asin Bsin A＝sin Bsin A＝6365×53＝2113. 【答案】 (1)C (2)2113

利用正、余弦定理解三角形的应用 (1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． [题点通关] 角度一由已知求边和角 1．(2017·兰州市实战考试)在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝23，则b＝( ) A．14 B．6 C.14 D.6 D [解析] bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋

1－2×3×1×23＝6，b＝6，故选D. 角度二解三角形与三角函数结合 2．(2017·河北省五校联盟质量检测)已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2＋b2＝6abcos C，且sin2C＝2sin Asin B. (1)求角C的值；

(2)设函数f(x)＝sinωx－π6－cos ωx(ω＞0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π，求f(A)的取值范围． [解] (1)因为a2＋b2＝6abcos C，由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2abcos C，所以cos C＝c24ab，又sin2C＝2sin Asin B，则由正弦定理得c2＝2ab，所以cos C＝c24ab＝2ab4ab＝12，又因为C∈(0，π)，所以C＝π3. (2)f(x)＝sinωx－π6－cos ωx＝32sin ωx－32cos ωx＝3sinωx－π3，由已知可得2πω＝π，所以ω＝2，则f(A)＝3sin2A－π3，

因为C＝π3，所以B＝2π3－A，因为0＜A＜π2，0＜B＜π2，所以π6＜A＜π2，所以0＜2A－π3＜2π3，所以f(A)的取值范围是(0，3]．利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[学生用书P83] [典例引领] (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 (2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asin B＋bsin A＝2c，则△ABC是( ) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【解析】 (1)由正弦定理得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三

角形内角和，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，即sin A＝1，所以∠A＝π2.即△ABC为直角三角形． (2)因为asin B＋bsin A＝2c，所以由正弦定理可得sin Asin B＋sin Bsin A＝2sin C，而sin Asin B＋sin Bsin A≥2sin Asin B·sin Bsin A＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号，所以2sin C≥2，即sin C≥1. 又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°.又因为sin A＝sin B，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C. 【答案】 (1)A (2)C

若将本例(1)条件改为“2sin Acos B＝sin C”，试判断△ABC的形状． [解] 法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得

2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，故△ABC为等腰三角形．

判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． [通关练习] 1．在△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，则△ABC的形状是( ) A．两直角边不等的直角三角形