绵阳高2015届高三一诊文科数学试题

保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年10月31日15:00—17:00】

绵阳市高中2012级第一次诊断性考试

数 学（文史类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。第I卷1至2页，第II卷3至4页，共4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项： 必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第I卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1． 已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B= (A) (B) {-1} (C) {0} (D) {2} 2．命题“)0(，x，12x”的否定是 (A) )0(0，x，02x≤1 (B) )0(0，x，02x≤1 (C) )0(，x，2x≤1 (D) )0(，x，2x < 1 3．设各项均不为0的数列{an}满足nnaa21(n≥1)，Sn是其前n项和，若5422aaa，则a3= (A) 2 (B) 2 (C)22 (D) 4 4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则DBAD= (A) 3 (B) 3 (C) 3 (D) -3

5．已知53)4cos(x，那么sin2x= (A) 2518 (B) 2524 (C)257 (D) 257

A B

C D E F

6．已知x，y满足，，，0330101yxyxyx则2x-y的最大值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 7．在(0，2)内，使|sinx|≥cosx成立的x的取值范围为

(A) ]474[， (B) ]454[，

(C) ]450[， (D) ]40[，∪]247[， 8．已知)(xf是定义在(0，+∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有0)()(212112xx

xfxxfx，记5log)5(log2.0)2.0(2)2(22222.02.0fcfbfa，，，则

(A) cba (B) cab (C) bac (D) abc

9．记函数212131)(23xxxf在)0(，的值域为M，g(x)=(x＋1)2＋a在)(，的值域为N，若MN，则实数a的取值范围是 (A) a≥21 (B) a≤21

(C) a≥31 (D) a≤31

10．已知函数0)10(log01)2sin()(xaaxxxxfa，，且，，的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是 (A) )550(， (B) )155(，

(C) )133(， (D) )330(， 第II卷（非选择题 共100分）

注意事项： 必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第II卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若31tan，则cossin2cos2sin3_______． 12．已知向量a=(1，2)，b=(2，0)，若向量λa+b与向量c= (1，-2)共线，则实数λ= ______． 13．已知)(xf是函数f (x)的导函数，)0(2sin)(fxxxf，则)2(f=________．

14．已知函数f (x)=1223xx， 则f (111)＋f (112)＋f (113)＋„＋f (1110)=________． 15．定义：如果函数)(xfy在定义域内给定区间][ba，上存在)(00bxax，满足

abafbfxf)()()(0，则称函数)(xfy是][ba，上的“平均值函数”，0x是它的一

个均值点．例如xy是]22[，上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数1)(2mxxxf是]11[，上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是_________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知向量m=(sinωx，cosωx)，n=(cosωx，cosωx)，其中ω>0，函数)(xf2m·n-1的最小正周期为π．

(Ⅰ) 求ω的值； (Ⅱ) 求函数)(xf在[6，4]上的最大值． 17．（本小题满分12分） 已知函数f (t)=log2(2-t)+1t的定义域为D． (Ⅰ) 求D； (Ⅱ) 若函数g (x)=x2+2mx-m2在D上存在最小值2，求实数m的值． 18．（本小题满分12分） 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，

51cos5ABCAB，．

(Ⅰ) 若4BC，求△ABC的面积S△ABC； (Ⅱ) 若D是边AC中点，且27BD，求边BC的长． 19．（本小题满分12分）

记公差不为0的等差数列}{na的前n项和为nS，S3=9，853aaa，，成等比数列． (Ⅰ) 求数列}{na的通项公式na及nS；

B C D A

(Ⅱ) 若nnanc2， n=1，2，3，„，问是否存在实数，使得数列}{nc为单调递增数列？若存在，请求出的取值范围；不存在，请说明理由． 20．（本小题满分13分） 已知函数1)(axexfx(e为自然对数的底数)，a>0． (Ⅰ) 若函数)(xf恰有一个零点，证明：1aaea； (Ⅱ) 若)(xf≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合． 21．（本小题满分14分）

已知函数baxbxxaxf，(ln2)(2∈R)． (Ⅰ) 若1ba，求)(xf点()1(1f，)处的切线方程； (Ⅱ) 设a≤0，求)(xf的单调区间； (Ⅲ) 设a<0，且对任意的0x，)(xf≤)2(f，试比较)ln(a与b2的大小．

绵阳市高2012级第一次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． BBDDC BACCA 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．53 12．-1 13．-2 14．15 15．(0，2) 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．解：(Ⅰ))(xf2m·n-11cos2cossin22xxx

=)42sin(22cos2sinxxx． „„„„„„„„„„„6分

由题意知：T，即22，解得1．„„„„„„„„„„„„„7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(xxf， ∵ 6≤x≤4，得127≤42x≤43， 又函数y=sinx在[127，43]上是减函数， ∴ )34sin(2127sin2)(maxxf„„„„„„„„„„„„„„10分

3sin4cos23cos4sin2 =213．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 17．解：(Ⅰ) 由题知，，0102tt解得21t，即)21[，D．„„„„„„„„3分 (Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2=222)(mmx，此二次函数对称轴为mx．„„4分 ① 若m≥2，即m≤-2时， g (x)在)21[，上单调递减，不存在最小值； ②若21m，即12m时， g (x)在)1[m，上单调递减，]2(，m上递增，此时22)()(2minmmgxg，此时m值不存在； ③m≤1即m≥-1时， g (x)在)21[，上单调递增， 此时221)1()(2minmmgxg，解得m=1． „„„„„„„„„„11分 综上：1m． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

18．解：(Ⅰ) 51cos5ABCAB，，4BC，

又(0,)ABC，所以562cos1sin2ABCABC，

∴645624521sin21ABCBCBASABC． „„„„„„6分 (Ⅱ) 以BCBA，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，

则51coscosABCBCE，BE=2BD=7，CE=AB=5， 在△BCE中，由余弦定理：BCECECBCECBBEcos2222．

即)51(5225492CBCB， 解得：4CB． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 19．解：(Ⅰ) 由832539aaaS，，

得：，，)7()2()4(9223311211dadadada解得：121da，．

∴ 1nan，nnnnSn2322)12(2． „„„„„„„„„„„„„5分 (Ⅱ) 由题知nc)1(2nn． „„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 若使}{nc为单调递增数列， 则nncc1)2()1(2nn)]1([2nn =012n对一切n∈N*恒成立， 即： 12n对一切n∈N*恒成立， „„„„„„„„„„„„„ 10分 又12)(nn是单调递减的, ∴ 当1n时，max)(n=-3， ∴ 3． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 20．(Ⅰ)证明： 由1)(axexfx，得aexfx)(．„„„„„„„„„„1分 由)(xf>0，即aex>0，解得x>lna，同理由)(xf<0解得x∴ )(xf在(-∞，lna)上是减函数，在(lna，+∞)上是增函数， 于是)(xf在axln取得最小值． 又∵ 函数)(xf恰有一个零点，则0)(ln)(minafxf， „„„„„„„ 4分 即01lnlnaaea．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 5分 化简得：1ln1ln01lnaaaaaaaaa于是，即，， ∴ 1aaea． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(xf在axln取得最小值)(lnaf， 由题意得)(lnaf≥0，即1lnaaa≥0，„„„„„„„„„„„„„„8分 令1ln)(aaaah，则aahln)(， 由0)(ah可得01． ∴ )(ah在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(maxhah，