测试技术常用公式

附 注：常用公式
常用三角函数公式：
β
αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(,sin sin cos cos )cos()]
cos()[cos(2
1
cos cos )],sin()[sin(21cos sin ±±±++-=++-=＝ ＝ μ （1）傅里叶级数的三角函数展开：
（2）三角函数是正交函数
（3）欧拉公式
（4）傅里叶级数的复指数展开：
2
2n
n n b a A +=
)(
n
n
n b a arctg =φ0
.sin .cos 111
00
=⎰
+dt t m t n T t t ωω)()(0sin sin 1
00
1
211n m n m tdt m t n T t t T ≠=⎩⎨
⎧=⎰+ωω)
()(0
cos cos 1
00
1
211n m n m tdt m t n T t t T ≠=⎩⎨
⎧=⎰
+ωω)
(2
sin )(2
1cos sin cos 000000000t jn t
jn t jn t jn t jn e e j t n e e t n t n j t n e ωωωωωωωωω-=+=
±=--±)
sin()sin cos ()(0
0001
0n n n n n t n A A t n b t n a a t x φωωω++=++=∑∞
∞
=
（5）复指数与三角函数展开式之间的关系如下：
（6）δ函数的部分性质：
（7）正余弦信号的频谱
n j n n n n e C C j C C φ=+=Im Re 2
2)(Im )(Re n n n C C C +=n
n n C C arctg
Re Im =φ)()(001
0t
jn n
t
jn n n e
C e
C C t x ωω++=--∞
=∑t
jn n n e C 0ω-∞
-∞
=∑
=
)
()()(t x t t x =*δ)
()()(00t t x t t t x ±=±*δ)
()()(f X f f X =*δ)
()()(00f f X f f f X ±=±*δ0
20)(ft
j e t t πδ±⇔±)
(020f f e
t
f j ±⇔δπμ)]()([22sin 000f f f f j
t f --+⇔
δδπ)]
()([2)]()()()([22sin )(00000f f X f f X j
f f f X f f f X j t f t x --+=-*-+*⇔δδπ )(*)()()(f Y f X t y t x ⇔ )]
()([21
2cos 000f f f f t f -++⇔δδπ)]
()([21
)]()()()([212cos )(00000f f X f f X f f f X f f f X t f t x -++=-*++*⇔δδπ 1
1
（8）傅里叶变换对：
dt
e t x X t j ωω-∞
∞
-⎰
=)()(ω
ωπ
ωd e X t x t j )(21)(⎰
∞∞
-=
dt e t x f X ft j π2)()(-∞
∞
-⎰=df
e f X t x ft j π2)()(⎰
∞
∞
-=x (t )
X (ω)
FT IFT
或
（9）对周期信号有：
dt
t x T x dt
t x T x dt
t x T dt
t x T T rms x T rms
T x
T x )(1
)(:)(1)(1)(10
20
220
2
⎰
⎰
⎰
⎰
=
==
==
ψμμ　均方值有效值（均方根值）：绝对均值：均值：
（10）随机信号的均值μx 、方差2x σ、均方值2x ψ
➢ 均值（数学期望）――常值（稳定）分量
]
[)(1lim 0x E dt t x T T
T x =⎰=∞→μ
其中x (t )为样本函数，T 为观测的时间历程。

➢ 方差－－波动分量
[][]2022)()(1lim x T
x T x
t x E dt t x T μμσ-=⎰-=∞→
方差的正平方根称为标准差。

➢ 均方值――随机信号的强度
])([)(1lim 2022t x E dt t x T
T
T x
=⎰=∞→ψ 均方值的正平方根称为均方根值。

2
22x x x σμψ+= 当μx =0时，2
2x x σψ=
（10）自（互）相关函数、相关系数
⎰
-∞→+=T
T
T x dt t x t x R )()(lim
)(ττ
相关系数 [][]
2
2
)
()()])([()(y x y x y
x y
x y x y E x E y x E μμμμσσστρ----==
22
02
)()(1lim ])(][)([1lim )(x
x T T x
x T x T x dt t x t x T dt t x t x T σμτσμτμτρ-+=
-+-=⎰⎰∞→∞→
⎰+=∞→T
T x dt t x t x T R 0)()(1lim )(ττ
22
)()(x
x
x x R σ
μττρ-=
⎰+=T
x dt t x t x T R 0
)()(1)(ττ
⎰
∞∞
-+=dt t x t x R x )()()(ττ
自相关函数的性质：
自相关函数为实偶函数 )()(ττ-=x x R R
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
互相关函数
⎰
+=∞→T
T xy dt t y t x T R 0)()(1lim
)(ττ y
x y
x xy y x T
y x T y
x T
x x T xy R dt t y t x T dt
t y t x T σσμμτσσμμτσσμτμτρ-=-+=-+-=
⎰⎰∞→∞→)()()(1
lim
)])()()([(1lim )(00
自相关函数
周期信号：
非周期信号：
⎰
-∞→+==T
T
x
x T x dt t x T
R 2
22)(21lim
)0(μσ2
222)(x
x x x x R σμτσμ+≤≤-2)(x x R μτ→∞→0
)(→∞→τρx
随机信号的自功率谱密度函数（自谱）为：
其逆变换为
两随机信号的互功率谱密度函数（互谱）为：
其逆变换为
自功率谱密度函数 和幅值谱 )(f X 或 能谱之间的关系
自功率谱密度
与幅值谱 及系统频率响应函数H （f ）的关系
输入/输出自功率谱密度函数与系统频率响应函数关系
)(|)(|)(2f S f H f S x y = )(|)(|)(2f G f H f G x y =
单输入、单输出的理想线性系统
)()()(f S f H f S x xy =
⎰∞
∞
--=τ
ττ
πd e
R f S f j x x 2)()(⎰∞
∞
-=df
e
f S R f i x x τ
πτ2)()(⎰∞
∞
--=τ
ττ
πd e
R f S f j x x 2)()(⎰∞
∞
-=df
e
f S R f i x x τ
πτ2)()(()2
21
lim
f
X T
S T x ∞→±=)(f S x 2
|)(|f X )
(2)(f S f G x x =单边谱和双边谱
)(f S x |)(|f X )
()
()()()()()()()(f G f G f S f S f X f X f X f Y f H xx xy xx xy =
==**•)
()
()(f S f S f H x y =。