烟台芝罘区数学新课标人教A版高中数学必修5知识点总结
高中数学 3.1不等关系和不等式课件(第二课时) 新人教A版必修5
思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
Þ
a1· a2„an＞b1· b2„bn
思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关 系确定吗？ a＞b，n为正奇数
Þ
a n＞b n
思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b ＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大 小关系确定吗？
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：有一个不争的事实：若甲的身材 比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然. 从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这 个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：又有一个不争的事实：若甲的 身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲 的身材比丙高，这里反映出的不等式性 质如何用数学符号语言表述？
作业：
P75习题3.1A组：2，3. B组：2.
a ＞b ，c ＜d
Þ a －c ＞b －d
1 1 思考6： 若a＞b，ab＞0，那么 a 与 b
的大小关系如何？
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知 0 a b
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
芝罘区数学新课标人教A版高中数学知识点总结专题1函数
对
数
的
换
底
公
式
及
它
的
变
形
：
log c b , log an b n log a b (a 0, a 1, c 0, c 1, b 0) 。 log c a
a
⑤对数恒等式： a log b b (a 0, a 1, b 0) 。 （2）指数函数和对数函数 指数函数
2a
开口向下。 （3）二次函数的性质
2 ① a 0 时，单调递减区间 (, b ] ；单调递增区间 [ b , ) ， ymin 4ac b 。
2a 2a
2a 2a
4a
2 ② a 0 时，单调递增区间 (, b ] ；单调递减区间 [ b , ) ， ymax 4ac b 。
g ( x) 是减函数；
③函数 y ax b (a 0, b 0) 的单调性：
x
单调增区间是： (, b ] 和 [ b , ) ；单调减区间是： [ b , 0) 和 (0, b ] 。
a a a a
④如果函数 y f ( x) 对于一切 xR ，都有 f a x f a x ，那么函数 y f ( x) 的 图象关于直线 x a 对称。 ⑤函数 y f ( x) 与函数 y f ( x) 的图象关于直线 x 0 对称； 函数 y f ( x) 与函数 y f ( x) 的图象关于直线 y 0 对称； 函数 y f ( x) 与函数 y f ( x) 的图象关于坐标原点对称。 三、初等函数 ●1. 二次函数 （1）二次函数的三种表示形式： ①标准式： y ax 2 bx c a 0 ；
人教版A版高中数学必修5：错位相减法_复习参考题(3)
例题展示：
等 差
公比 为2
（1）
（2）
等 比 求 和
所以
合并同 类项
我们一起来总结一下：
1.把数列{an bn}的各项乘以等比数列的公比 2.向后错一项与 {an bn}的同项对应相减 3.转化为等比数列的求和并化简
谢谢您！
高中数学（人教A版）
数列求和是高考热点
针对等比数列求和，错 位相减法是考察最多的。
通常一个公差为d的等差数列{an}与一个公比 为q的等比数列{bn}的对应项的乘积构成的新 数列 cn={an·bn}，则求新数列的前n项和Sn， 用错位相减法。
一般将{an·bn}的各项乘以其公比，并向后错一 项与{an·bn}的同项对应相减，相减时通常是用 系数大的项减去系数小的项，避免出现太多的负 号，相减后的式子，有n+1项相加，然后再把n-1 项构成的等比数列相加，再跟剩余两项能合并的
高中数学 第一章 解三角形章末知识整合 新人教A版必修5
【金版学案】2015-2016学年高中数学第一章解三角形章末知识整合新人教A版必修5一、本章的中心内容——如何解三角形正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．二、学数学的最终目的——应用数学能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解．一般地，解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．把a＝k sin A，b＝k sin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系．5．余弦定理是三角形边角之间的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．6．余弦定理的应用范围是：①已知三边，求三角；②已知两边及一个内角，求第三边．7．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．8．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A、B两点都在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是可到达一侧再找一点进行测量．(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量．9．利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．10．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算．11．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．12．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：①已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；②已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；③已知三边(先用余弦定理求角)；④已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．例1 在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a.解析：如图，设CD ＝DB ＝x ，在△ACD 中，cos C ＝72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ，在△ACB 中，cos C ＝72＋（2x ）2－422×7×2x， 所以72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ＝72＋（2x ）2－422×7×2x. 解得x ＝92. 所以a ＝2x ＝2×92＝9. 例2 如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：由余弦定理得BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝2 3.∵BC ＝CD ＝2，C ＝120°，∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×4×23sin 90°＋12×2×2×sin 120°＝5 3. 答案：5 3题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin (A －B)＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 例3 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．解析：方法一 由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ，将其代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C)＋sin C ， 展开整理，得32sin C ＋12cos C ＝1， ∴sin (C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°.∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 是正三角形．方法二 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. ∴(a －c)2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a .若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cosA)c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．例4 在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B得： ①当b sin A ＜a ＜b 时，有两解，此时23＜b ＜43；②当a≥b 时或B 为90°(b 为斜边)时，有一解，此时b≤23或b ＝43；③当a ＜b sin A 时无解，此时b ＞4 3.题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用例5 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解析：如下图，作DM∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝（BE －FC ）2＋BC 2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理得：cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.。
2015年秋人教A版高中数学必修5课件 第3章 章末归纳总结
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章 章末归纳总结
第三章
章末归纳总结
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专题三 x＋y≤4， x－y≤2， 3x－y≥0，
简单的线性规划问题 (2015· 湖北文， 12) 若变量 x ， y 满足约束条件 则 3x＋y 的最大值是________．
[答案] 10
[解析]
首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面
区域如下图所示，然后根据图象可得：目标函数 z＝3x＋y过点 B(3,1)时z取得最大值，即zmax＝3×3＋1＝10，故应填10.
第三章
章末归纳总结
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第三章
章末归纳总结
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[方法规律总结] 求目标函数的最值一般采用图解法： ①求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值， 将函数 z＝ax a z z ＋by 转化为直线的斜截式： y＝－bx＋b， 通过求直线的截距b的 z 最值间接求出 z 的最值．一般地，当 b>0 时，截距 b取最大值 z 时，z 取最大值；截距b取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时， z z 截距b取最大值时，z 取最小值；截距b取最小值时，z 取最大值. ②目标函数 z＝ax＋by＋c 的最值的求解，可先求 ax＋by 的最值，再求 z＝ax＋by＋c 的最值．
第三章 章末归纳总结
人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件
A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
新课标人教版 高中数学必修5 不等关系与不等式 课件
1 < ⑶ ______ 52
1 ; 6 5
> log 1 b. ⑷若0 a b ， log 1 a ____
2 2
14
品质来自专业 金太阳教育网 课外练习 : 信赖源于诚信 1.已知 x, y R ,比较 x2 y 2 3x 3 y 与 x y 6 的大小. 2.已知 a, b R ,比较 a 2 2ab 2b 2 与 2a 3 的大小.
(a 2a 15) (a 2a 8)
2 2
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品质来自专业 信赖源于诚信
变形
7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
确定大小
9
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
7
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
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答案
8
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 作差 解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
例 2 已知 x≠0，比较 ( x 1) 与 x x 1的大小．
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.1.2余弦定理
当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形. 所以 a=3.
(2)在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,解此三角形.
解:(2)因为 b2=a2+c2-2accos B,所以 2=3+c2-2 3 · 2 c,即 c2- 6 c+1=0, 2
当 c=
6
2 时,由余弦定理,得 cos A= b2 c2 a2 = 2
2
2
因为 B∈(0°,180°),所以 B=60°,
所以由余弦定理得 cos B= a2 c2 b2 = 1 ,
2ac
2
又因为 a+c=2b,所以 a2+c2-（ a c ）2=ac, 2
所以 4a2+4c2-(a2+c2+2ac)=4ac,所以 3a2+3c2-6ac=0,所以(a-c)2=0, 所以 a=c,所以△ABC 为等边三角形.
所以 BC= 52 =2 13 .故选 B.
2.在△ABC 中,a=7,b=4 3 ,c= 13 ,则△ABC 的最小角为(
(A) π 3
(B) π 6
(C) π 4
(D) π 12
解析:由 c= 13 最小知角 C 最小,
cos C= a2 b2 c2 = 49 48 13 = 3 ,
2ab
(5)以cos A= b2 c2 a2 为例:
2bc
若角A为锐角,则cos A>0,从而b2+c2-a2>0,则b2+c2>a2,反之亦成立; 若角A为钝角,则cos A<0,从而b2+c2-a2<0,则b2+c2<a2,反之亦成立; 若角A为直角,则cos A=0,从而b2+c2-a2=0,则b2+c2=a2,反之亦成立. 由此概括为:如果一个三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方, 那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的 角是钝角;如果大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角. 由此可判断三角形是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 注意:判断三角形是锐角三角形时,需要确定最大角是锐角或者三个角都 是锐角才行.
人教A版高中数学必修5课件 1.1余弦定理课件
＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析： 2B＝A＋C，A＋B＋C＝， B＝ .
3 在ABD中，AD＝ AB2 BD2 2AB BD cos B
答案： 3
＝ 1 4 21 2 1＝ 3. 2
余弦定理
【公式推导】
我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b， c具有c2=a2+b2－2abcosC 的关系．
从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清 楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有 c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三 角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知 的转化在数学中经常碰到．
余弦定理
【典型例题】 在ABC中，a＝2，b＝ 3－1，C＝30，则c等于( )
A. 3
B. 2
C. 5
D .2
解析：选 B .
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC
＝22＋( 3－1)2－2 2 ( 3－1)cos30 ＝2，
c＝ 2.
余弦定理
【变式训练】
已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC
余弦定理
【公式推导】 当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC
分成两个直角三角形：
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2； 在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC， DC=BC·cosC=acosC． 所以，AB2=AD2+BD2化为 c2=(b－acosC)2+(asinC)2， c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C， c2=a2+b2－2abcosC．
余弦定理
【公式推导】
人教版高中数学必修5(A版) 等比数列的前n项和 PPT课件
（西 萨）
在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当 时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任 何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格 放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一 格都是前一格的两倍，直至第64格．国王令宫廷数学 家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？
(1 q)S a a q a qa S 当q≠1时， 1 q
n 1 n
1 n
a1 q(Sn an )
n
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4、公式应用：
例1：求等比数列
1 1 1 , , , 2 4 8
的前8项的和。
1 1 1 1 解:由 a1 , q , n 8 ,得 2 4 2 2
n
a n 1
q(n 2)或
n 1
an
q(n N*)
（2）等比数列的通项公式
an a1q
n 1
( a 1 ≠0 且 ( n N *)
q ≠0)
（3）数列的前n项和与通项公式的关系
S1 an Sn Sn 1
(n 1) (n 2)
（4）合分比定理
n1
a1q ②
n
①—② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1q
(1 q)Sn a1 a1q
n
a1 - a1q 探讨1： 由 (1 - q)sn = a1 - a1q 得 sn比数列中的公比能不能为1？ q=1时是什么数列？此时sn=？