上海市南洋模范中学2019届高三数学下学期3月月考试题(含解析)
2019届上海市上海中学高三下学期开学摸底数学试题(解析版)
2019届上海市上海中学高三下学期开学摸底数学试题一、单选题1．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：22222()()1212()()111a i a i a i a ai a a i a i a i a i a a a +++-+-===+--++++，∵a ia i+-为纯虚数，∴22101a a -=+且2201a a ≠+，∴1a =±，∴“1a =”是“a i a i +-为纯虚数”的充分不必要条件． 【考点】充分必要条件、复数的运算、纯虚数的概念． 2．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．3t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】 由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=， 可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.3．对任意实数,a b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩，设()21()(4)f x x x =⊗+-，若函数()y f x k =+ 恰有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(2,1)- B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-【答案】D【解析】由题意可得24,(,2][3,)()1,(2,3)x x f x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩，画图f(0)=-1,f(-2)=2,由图可知，12,21k k -<-≤-≤<，选D.【点睛】对于函数零点问题，对于能分离参数的题型，我们一般分离参数，如本题-k=f(x),所以只需画出函数y=f(x)与y=-k 的图像，两图像有几个交点，就有几个零点。
2023-2024学年上海市建平中学高三下学期3月考试数学试卷含答案
2024届建平中学高三（下）3月月考数学试卷一,填空题（第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分）1.已知集合{}12A x x =-≤≤,{}0B x x =>,则AB =_____________. 2.若2sin 3x =-,则cos2x =____________ 3.设i 为虚数单位,若复数()()1i 1i a ++是纯虚数,则实数a =_____________.4.设随机变量()~,B n p ξ,且[] 1.6E ξ=,[] 1.28D ξ=,则p =____________.5.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为3π,底面圆的半径为1,则圆锥的侧面积为____________. 6.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_____________（结果用最简分数表示）7.在ABC △中,内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且1a =,4cos 5A =,5cos 13B =,则b =____________. 8.甲乙两人射击,每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8,乙命中的概率是0.7,两人每次射击是否命中互不影响.已知甲,乙两人至少命中一,则甲命中的概率为____________.9.已知1F ,2F 为椭圆C ：221164x y +=的两个焦点,P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点,且12PQ F F =,则四边形12PF QF 的面积为___________.10.设12a =,121n n a a +=+,21n n n a b a +=-,*n ∈N ,则数列{}n b 的通项公式n b =__________. 11.已知A ,B 是平面内两个定点,且2AB =,点集{}6,5P AP AB AP Ω=⋅=≤.若,M N ∈Ω,则向量AM ,AN 夹角的余弦值的取值范围是__________.12.若函数()y f x =的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称函数()y f x =具有T 性质,若函数()2sin cos cos 2c g x ax b x x c x =-++具有T 性质,其中a ,b ,c 为实数,且满足221b c +=,则实数a b c ++的取值范围是___________.二,单选题（本大题共4题,满分20分）13.已知a ∈R ,则“1a >”是“12a a +>”的（,,,,） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.从某中学甲,乙两班各随机抽取10名同学,测量他们的身高（单位：cm ）,所得数据用茎叶图表示如图,由此可估计甲,乙两班同学的身高情况,则下列结论正确的是（,,,,）A.甲乙两班同学身高的极差相等B.甲乙两班同学身高的平均值相等C.甲乙两班同学身高的中位数相等D.乙班同学身高在175cm 以上的人数较多15.如图,设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点,由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ,如果集合M 中有且只有2个元素,那么符合条件的点P 有（,,,,）.A.4个B.6个C.10个D.14个16.已知函数()f x ,()g x 定义域为R ,且()()()()()f x g y f y g x f x y -=-,()()()()()g x g y f x f y g x y -=-,()00g ≠,则下列结论正确的是（,,,,）①若()()111f g +=,则()()202420241f g -=,②若()()111f g -=,则()()202420241f g +=三,解答题（本大题共有5题,满分76分）17.如图,在三棱锥P ABC -中,AB BC ==4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC .（2）若点M 在棱BC 上,且2MC MB =,求点C 到平面POM 的距离.18.设函数()sin sin 62f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω.（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）,再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y x g =的图象,求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 19.地区期末进行了统一考试,为做好本次考试的评价工作,将本次成绩转化为百分制,现从中随机抽取了50名学生的成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于40至100之间,将数据按照[)40,50,[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中m 的值.（2）在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[)70,80,[)80,90,[]90,100的三组中抽取了11人,再从这11人中随机抽取3人,记ξ为3人中成绩在[)80,90的人数,求ξ的分布列和数学期望.（3）转化为百分制后,规定成绩在[]90,100的为A 等级,成绩在[)70,90的为B 等级,其它为C 等级.以样本估计总体,用频率代替概率。
上海市南洋模范中学2019届高三上第一次月考数学试题(含答案)
上海市南洋模范中学2019届高三上第一次月考数学试题一、选择题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)1.已知函数()()，11arcsin ≤≤-=x x x f 则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-61πf __________. 2.若二项式921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ax 的展开式的各项系数和为1,则实数a 的值为_______. 3.在等差数列{}n a 中,若，，，913108==-=m a a a 则正整数=m _______.4.若二次函数()132222+--+=m x m x y 是定义域为R 的偶函数,则函数 ()()1132222≤+--+=x m x m x y 的反函数()=-x f 1_________.5.若实数r 满足不等式211 011＞r ,则()[]=--∞→n n r 12lim ________. 6.在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、,且，A bc c b a sin 2222-+=则∠A=___.7.已知抛物线x y 162=的焦点与双曲线()012222＞a b y a x =-的一个焦点重合,则双曲线的渐近线方程是___________.8.已知AB 是球O 的一条直径,点1O 是AB 上一点,若41=OO ,平面α过点1O 且垂直AB ，截得当圆1O 的面积为9π时,则球O 的表面积是________.9.已知21z z 、为实系数一元二次方程的两虚根,()()，R a z z i a ∈+=213ω,且，2=ω则a 的取值范围是_____________. 10.如果二次函数()x f y =对一切R x ∈恒有()5424222+-≤≤--x x x f x x 成立,且()=5f27,则()=11f __________.11.在△ABC 中,BD 是中线,已知，2=∠ABD=30°,定义()()f λλλ-+=22求λ的最小值是____________.12.设数列{}()*N n a n ∈是首项为0的递增数列,函数()()[]11sin +∈-=n n n n a a x a x nx f ，，满足:对于任意的实数[]()m x f m n =∈，，10总有两个不同的根,则{}n a 的通项公式是=n a ____.二、选择题(本大题共有4题,每题5分，满分20分)13.“a x ＞”是“1-＞x ”成立的充分不必要条件A.a 的值可以是-8B.a 的值可以是-3C.a 的值可以是-1D.a 的值可以是21-14.下列四个命题中真命题是A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个 15.已知函数()，＞，，⎩⎨⎧-≤+-=15212x ax x ax x x f 若存在R x x ∈21，且，21x x ≠使得()()21x f x f =成立,则实数a 的取值范围是A.4＜aB.2＜aC.42＜a ≤D.2＞a16.已知数列{}n a 共有5项,满足，＞＞＞＞054321≥a a a a a 且对任意()51≤≤≤j i j i 、有j i a a -仍是该数列的某一项,现给出下列4个命题:①05=a ；②144a a =；③数列{}n a 是等差数列；④集合{}51|≤≤≤+==j i a a x x A j i ，中共有9个元素，则其中真命题的序号是A.①④B.①②③④C.②③D.①③④三、解答题(本大题共有5题,满分74分)17.(本题满分14分，共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分)在长方体1111D C B A ABCD -中,AB=BC=2,31=AA ,过B C A 、、1三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体.111D C A ABCD -(1)若11C A 的中点为1O ,求异面直线1BO 与11D A 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)求点D 到平面11BC A 的距离d .18.(本题满分14分,共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分）在△ABC 中,c b a 、、分别是角A 、B 、C 的对边,向量()()，，，C B c a b cos cos 2=-=且.n m ∥ (1)求角B 的大小；(2)设()()0sin 2cos ＞ωωωx B x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=且()x f 的最小正周期为π,求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值和最小值,并指出相应的x 的值。
上海西南模范中学(汇成校区)2019年高三数学文联考试卷含解析
上海西南模范中学(汇成校区)2019年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设数列满足 ,且对任意,函数满足若则数列的前项和为( )（原创）A. B.C. D.参考答案：C略2.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a＋b＋c的值为( )A．1 B．2C．3 D．4参考答案：答案：A3. 抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为A. B. 1 C. D. 2参考答案：4. 已知且关于的函数在上有极值,则与的夹角范围是（）A、 B、C、D、参考答案：B略5. 已知0为原点，双曲线=1(a>0)上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为A． B． c． D．参考答案：C【知识点】双曲线及其几何性质H6渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与OA方程：x-ay=0交点是A（，），|OA|=| | ，P点到OA的距离是：d=∵|OA|?d=1，∴||? .=1，∵-n2=1，∴a=2，∴c=，∴e=．【思路点拨】求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．6. 已知实数x，y满足，若的最大值是3，则实数a的取值范围是（）A. (－∞,3]B. [1,3]C. (－∞,2]D. [2,+∞)参考答案：A【分析】画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，数形结合判断出z最大时，a的取值范围．【详解】令当时，不等式组的可行域如图阴影所示：将目标函数变形得y＝2x+z，由题知z无最大值，舍去当时，不等式组的可行域如图阴影所示：将目标函数变形得y＝2x+z，由题知z最大时，直线的纵截距最大，在（0,3）取得最大3，符合题意；当时，不等式组的可行域如图阴影所示将目标函数变形得y＝2x+z，由题知z最大时，直线的纵截距最大，在（0,3）取得最大3，符合题意；综上：故选：A．【点睛】本题考查线性规划，考查分类讨论思想和数形结合思想，准确作图计算是关键是中档题7. 已知数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（）A．B．C．或D．或参考答案：D略8. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为（）A、2B、 C 、 4 D 、 2参考答案：略9. 学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）A. 抽样表明，该校有一半学生为阅读霸B. 该校只有50名学生不喜欢阅读C. 该校只有50名学生喜欢阅读D. 抽样表明，该校有50名学生为阅读霸参考答案：A【分析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.【详解】根据频率分布直方图可列下表：抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.故选A.【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.10. 设数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=（）A．16 B．32 C．64 D．128参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意得S n+2+S n+1=2S n，得a n+2=﹣2a n+1，从而得到{a n}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，∴由题意得S n+2+S n+1=2S n，得a n+2+a n+1+a n+1=0，即a n+2=﹣2a n+1，∴{a n}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，∴．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||= _________ ．参考答案：12. （6分）（2015?浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为，单调增区间为，= ．参考答案：2π,[2kπ﹣，2kπ+],.【考点】：正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论．解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+），则函数的周期T==2π，由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，f（）=sin（+）=sin==，故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．13. 已知数列满足（q为常数），若∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则．参考答案：﹣2或或12614. 已知圆，过点作的切线，切点分别为，则直线的方程为；参考答案：2x+3y-4=0以O（0，0）,A（2，3）为直径端点的圆的方程为：X（x-2）+y（y-3）-0即，与圆相减得：2x+3y-4=0，所以直线的方程为2x+3y-4=015. 若实数满足，其中是虚数单位，则___________.参考答案：2略16. 已知：sin230°+sin290°+sin2150°=sin25°+sin265°+sin2125°=sin218°+s in278°+sin2138°=…通过观察上述等式的规律，写出一般性的命题：．参考答案：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】分析已知条件中：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=，sin218°+sin278°+sin2138°=，…我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．【解答】解：由已知中：sin230°+sin290°+sin2150°=sin25°+sin265°+sin2125°=sin218°+sin278°+sin2138°=…归纳推理的一般性的命题为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．故答案为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．17. 两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为.参考答案：或三、解答题：本大题共5小题，共72分。
上海市南洋模范中学2018-2019学年高一下学期期中数学试卷及解析
上海市南洋模范中学2018-2019学年高一下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题”是“sin sin A B >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） A.212R B.21sin1cos12R S C.()211sin1cos12R - D.()21sin1cos1R -3.已知知 △ABC 内接于单位圆.则长为sin A 、sin B 、sin C 的三条线段（ ） . A. 能构成一个三角形， 其面积大于△ABC 面积的12B. 能构成一个三角形， 其面积等于△ABC 面积的12C. 能构成一个三角形， 其面积小于△ABC 面积的12D. 不一定能构成三角形 4.已知函数f(x)=cos(sinx)，g(x)=sin(cosx)，则下列说法正确的是（ ）A.f(x)与g(x)的定义域都是[−1,1]B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C.f(x)的值域为[cos1,1]，g(x)的值域为[−sin1,sin1]D.f(x)与g(x)都不是周期函数第II 卷（非选择题）二、解答题5.已知8tan cot 23απαα<<-=-, (1)求tan α的值；(2)求sin 22πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 6.在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C所对的边，且满足()2cos cos b A C =．(1)求A 的大小；(2)在(1)的条件下，现在给出三个条件:2,,4a B c π===，试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择，并以此为依据求ABC ∆的面积(请至少选出两种可行的方案)．7.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若1BC =，ABC θ∠=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的面积为2.S(1)用θ表示1S 和2S ；(2)当θ变化时，求12S S 的最小值及此时角θ的大小.8.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωφ=+>来实现的，我们把解析式()()sin f x A x ωφ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加.(1)已如“1类波”中的两个波，()1sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭加后是一个“A 类波”，求A 的值；(2)已知三个不同的“A 类波”，从()()()()1122sin sin f x A x f x A x φφ=+=+，，()()33sin f x A x φ=+(其中123φφφ、、互不相同)，三个波叠加后是“平波”0y =，即()()()1230f x f x f x ++=，求()()()122331cos cos cos φφφφφφ---的值.9.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωφωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：(1)请写出上表的122x x y ,,及函数()f x 的解析式； (2)将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求()g x 的解析式及()12log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦的单调递增区间；(3)在(2)的条件下，若()()()213F x g x a g x =+⋅-在()02019x π∈，上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值. 三、填空题10.已知角的终边在射线()0y x x =-≤上，则cos α=________. 11.已知()tan 3πθ-=，则3sin 2cos 2sin cos θθθθ-=+_______.12.已知3sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 13.已知()tan 7,04πααπ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭,，则cos α=________. 14.函数sin2xy =的最小正周期为________.15.函数2cos 2sin 2y x x =+-的值域为_______.16.下图为函数()()sin 0,0,02f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图像，,M N 是它与x 轴的两个交点，,D C 分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且OME ∆为等腰直角三角形，则()f x 的解析式为()f x =_____________.17.已知方程sin 1x x m =+在[]0x π∈，上有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是_________.18.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120︒的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径OA 的长约为________(精确到1米).19.设12,R αα∈，且()121201820192sin 2sin 2αα+=++，则()12tan αα+=_______.20.已知函数()()2sin 22cos10,f x x x x R ωωω=-+>∈，若函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点，则ω的取值范围为_________.参考答案1.C【解析】1.在三角形中，若A B >，则a b >，由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin A B >，若sin sin A B >，则正弦定理sin sin a b A B=，得a b >，则A B >，A B ∴>是sin sin A B >的充要条件，故选C. 2.D【解析】2.算出扇形的面积和三角形的面积后可得弓形的面积． 如图，AB 的长为2R ，故2AOB ∠=（弧度）， 所以211sin 2sin 222OAB S R R R ∆=⨯⨯⨯=， 而扇形的面积为2122S R R R =⨯⨯=， 故弓形的面积为()2221sin 21sin1cos12R R R -=-． 故选：D.3.C【解析】3.由正弦定理得asinA =bsinB =csinC =2，故以sin A 、sin B 、sin C 组成的三角形与△ABC 相似， 其面积为△ABC 面积的14, 选C. 4.C【解析】4.根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．A ．f(x)与g(x)的定义域都是R ，故A 错误，B ．f(−x)=cos(sin(−x))=cos(−sinx)=cos(sinx)=f(x)，则f(x)是偶函数，故B 错误，C ．∵−1⩽sinx ⩽1，−1⩽cosx ⩽1，∴f(x)的值域为[cos1，1]，g(x)的值域[−sin1，sin1]，故C 正确，D ．f(x +2π)=cos(sin(x +2π))=cos(sinx)=f(x)则f(x)是周期函数，故D 错误，故选：C ． 5.（1）3-（2）45【解析】5.（1）利用倒数关系可得关于tan α的方程，从而可得tan α的值． （2）利用万能公式可求cos2α，再利用诱导公式可得sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （1）由8tan cot 3αα-=-可得18tan tan 3αα-=-，整理得到：23tan 8tan 30αα+-=，故tan 3α=-或1tan 3α=，因2παπ<<，故tan 0α<，所以tan 3α=-．（2）221tan 194sin 2cos 221tan 195παααα--⎛⎫-=-=-=-= ⎪++⎝⎭．6.（1）6π；（2）2,,14ABC a B S π∆===或2,,ABC a c S ∆==【解析】6.（1）利用正弦定理及两角和的正弦可得cos 2A =，从而得到A 的大小．（2）可以选择2,4a B π==或2,a c ==，两者都可以确定ABC ∆．前者可以用正弦定理算出另外两条边，从而求出面积，后者可利用余弦定理算出另外两条边，从而求出面积．（1）因为()2cos cos b A C =，所以()2sin cos cos B C A A C =，从而2sin cos cos cos B A C A A C =+即()2sin cos B A C A B =+，因sin 0B >，所以cos 2A =，因()0,A π∈，故6A π=．（2）选择2,4a B π==或2,a c ==，两者都可以确定ABC ∆．若2,4a B π==，则512C π=，由正弦定理有： sin sin sin a b cA B C==，故25sin sin sin 6412bcπππ==， 所以4sin4b π==，514sin4sin 4126422c πππ+⎛⎫==+=⨯= ⎪⎝⎭故111sin 1222ABC S bc A ∆==⨯⨯=．若2,a c ==，则由余弦定理有22222222cos 43c b bc A b b b =+-=-=，所以2b =，故c =，所以111sin 2222ABC S bc A ∆==⨯⨯= 所以2,4a B π==时1ABC S ∆=+或2,a c ==时ABC S ∆=．7.（1）2121sin cos sin cos 41sin cos S S θθθθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，；（2）最小值944πθ=，【解析】7.（1）在Rt ABC ∆中，可用,R θ表示,AB AC ，从而可求其面积，利用三角形相似可得PS 的长度，从而可得2S .（2）令sin 2t θ=，从而可得(]21144,0,14t t S t S ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，利用(]4,0,1s t t t=+∈的单调性可求12S S 的最小值.（1）在Rt ABC ∆中，cos ,sin AB AC θθ==，所以11sin cos 2S θθ=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. 而BC 边上的高为sin cos sin cos 1θθθθ=， 设APS ∆斜边上的为1h ，ABC ∆斜边上的高为2h ， 因APSABC ∆∆，所以12sin cos sin cos h PS PSBC h θθθθ-==， 故sin cos 1sin cos PS θθθθ=+，故222sin cos 1sin cos S PS θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）()()212221sin cos 2sin 224sin 2sin cos 1si 1sin cos 2sin cos n cos S S θθθθθθθθθθθθ++===⎛⎫ ⎪+⎝⎭，令(]sin 2,0,1t t θ=∈，则()212214444t t S t t S+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭. 令(]4,0,1s t t t=+∈，设任意的1201t t <<≤， 则()()1212121240t t t t s s t t ---=>，故(]4,0,1s t t t=+∈为减函数， 所以min 5s =，故m 12in94S S ⎛⎫=⎪⎝⎭，此时1t =即4πθ=. 8.（12）18-【解析】8.(1)利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简()()12f x f x +可得所求的A . (2)利用两角和的正弦公式化简恒等式()()()1230f x f x f x ++=后可得312cos cos s 0co φφφ++=，123sin sin sin 0φφφ++=.平方消元后可得()121os 2c φφ=--，其余类似.(1) ()()12sin sin 63x f x f x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭= sin coscos sinsin coscos sin6633x x x x ππππ+++=)sin cos n 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，故2A =. (2)由题设有()()()1230f x f x f x ++=，即()()()123sin sin sin 0x x x φφφ+++++=恒成立，所以112233cos sin cos sin cos sin sin cos s 0in cos sin cos x x x x x x φφφφφφ+++++=， 即()()123123cos sin sin cos co sin sin 0s cos x x φφφφφφ+++++=恒成立， 所以312cos cos s 0co φφφ++=，123sin sin sin 0φφφ++=. 所以()()122212cos cos sin sin 1φφφφ+++=， 故1122cos cos 2sin si 1n 2φφφφ=-+即()121os 2c φφ=--， 同理()()2331cos co 12s φφφφ==---，所以()()()1223311cos cos cos 8φφφφφφ---=-. 9.（1）122171,,()13323x x y f x x πππ⎛⎫====+ ⎪⎝⎭； （2）()5()2,226g x x k k k Z ππππ⎡⎫=++∈⎪⎢⎣⎭,；（3）2,3029a n ==.【解析】9.（1）根据表中数据可得关于,ωφ的方程组，解出,ωφ的值后可得122x x y ,,的值，再由表中数据可得A =.（2）先求出()g x 的解析式，再求出()12log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间.（3）令sin t x =，设方程2310t at +-=的根为()1212,t t t t t t ==<，分①1111t t -<<<；②()[]121,1,1,1t t ∈-∉-；③[]()121,1,1,1t t ∉-∈-三种情况讨论()F x 在(]0,2π及()0,π上零点个数，再根据周期性得到()0,2019π的零点个数，结合题设条件可得a 的值及相应的零点个数.（1）根据表中的数据可得20332πωφππωφ⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩ ，解得123ωπφ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2312313232x x ππππ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，所以234373x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又A =()21y =-=.所以()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，所得图像的解析式为： ()2332x x f x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像， 故()g x x =. 此时()1122log log y g x x ⎡==⎢⎣⎦⎭，0x >，则1sin 2x >，故52,2,66x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭. 当2,262x k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭时，t x =为增函数， 故()12log 2y g x ⎡=-⎢⎣⎦为减函数；当52,226x k k ππππ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭时，2t x -=为减函数； 故()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦为增函数.所以()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦的增区间为52,2,26k k k Z ππππ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦. (3)()23sin sin 1F x x a x =+⋅-，()F x 的周期为2T π=，当(]0,2x π∈时，令sin t x =，考虑方程2310t at +-=的根情况，因2120a ∆=+>，故2310t at +-=在R 必有两个不同的实数根1212,,t t t t t t ==<， 因为()F x 在()0,2019π有奇数个零点，故[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-.若1111t t -<<<，则方程1sin t x =、2sin t x =在(]0,2π共有4个不同的实数根， 在()0,π有0个实数根或2个实数根， 故()0F x =在()0,2019π有20191440362-⨯=个根或201914240382-⨯+=个根， 与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去.若()[]121,1,1,1t t ∈-∉-，则1sin t x =在(]0,2π共有2个不同的实数根，在()0,π有0个实数根或2个实数根， 故()0F x =在()0,2019π有20191220182-⨯=个根或20191222018220202-⨯+=+=， 与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去. 同理[]()121,1,1,1t t ∉-∈-也不成立，所以11t =-或21t =，若11t =-，则2a =，11,13t t ==-，方程1sin 3x =、1sin x -=在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x =有两个不同的根，1sin x -=无解， 所以()0F x =在()0,2019π有201913230292-⨯+=个根，符合要求； 若11t =，则2a =-，11,13t t =-=，方程1sin 3x -=、1sin x =在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x -=无解，1sin x =有一个根， 所以故()0F x =在()0,2019π有201913130282-⨯+=个根，与题设矛盾，舍去. 综上，2a =，()F x 在()0,2019π共有3029个不同的零点.10.2-【解析】10.利用角的余弦的定义可以计算其余弦值. 在α的终边选一点()1,1P -，则PO =cos 2α==-.故答案为：2-. 11.115【解析】11.先利用诱导公式求出tan θ，再利用商数关系将三角函数式化为与正切有关的代数式，从而得到所求的三角函数式的值.因为()tan 3πθ-=，所以tan 3θ=-，故cos 0θ≠，所以()()sin 323323sin 2cos 3tan 211cos sin 2sin cos 2tan 1231521cos θθθθθθθθθθ-⨯----====++⨯-++. 故答案为：115.【解析】12.先利用同角的三角函数的基本关系式可求cos α，再根据两角和的正弦可求sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 因为3sin ,,52πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5=-α，而1sin sin cos cos sin sin 3332πππααααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 代入sin ,cos αα的值后可得134sin 3255πα⎛⎫⎛⎫+=⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，13.45【解析】13.先利用两角差的正切求出tan α，再根据同角的三角函数的基本关系式可求cos α的值． 因为713tan tan 441714ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥+⨯⎝⎭⎣⎦，又()0,απ∈， 由tan 0α>可得0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以14cos 554α=====．故答案为：45． 14.2π【解析】14.利用正弦函数的最小正周期求出sin y x =的最小正周期，从而可求sin 2xy =的最小正周期.因为sin y x =的最小正周期为2T π=，而sin y x =的图像是将sin y x =在x 轴上方的图像保持不动，x 轴下方的图像翻折到x 轴上方，故sin y x =的最小正周期为π，故sin 2x y =的最小正周期为212ππ=，故答案为：2π. 15.[]4,0-【解析】15.先利用平方关系把原函数化为关于sin x 的函数，换元后利用二次函数的性质可求原函数的值域.()222cos 2sin 2sin 2sin 1sin 1y x x x x x =+-=-+-=--，令sin t x =，则[]1,1t ∈-，故()[]210,4t -∈，故函数的值域为[]4,0-，故答案为：[]4,0-.16.2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】16.先根据()0,1E 得到2D y =，从而得到A 的值，再根据OME ∆为等腰直角三角形得到18T=，解得周期后可得ω的值，最后利用最高点D 算出φ后可得()f x 的解析式. 因为()0,1E 是线段MD 的中点，故D 的纵坐标为2，所以2A =.因为OME ∆为等腰直角三角形，故1OM =，过D 作x 轴的垂线，垂足为F ， 则1OF =，故24T=即8T =，故28πω=即4πω=. 因()1,2D ，故22sin 14πφ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，故12,42k k Z ππφπ⨯+=+∈，所以2,4k k Z πφπ=+∈，而02πφ<<，故4πφ=.所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭.17.)1,1【解析】17.令()[]sin ,0,f x x x x π=∈，则直线1y m =+与()f x 的图像有两个不同的交点，考虑()f x 的单调性后可得实数m 的取值范围.令()[]sin ,0,f x x x x π=∈，则()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当06x π≤≤时，332x πππ≤+≤，令3t x π=+，因sin y t =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，3t x π=+在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数.当6x ππ<≤时，4233x πππ<+≤，令3t x π=+， 因sin y t =在4,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦为减函数，3t x π=+在,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦为增函数，故()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,6ππ⎛⎤⎥⎝⎦为减函数.因26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f =()f π=由直线1y m =+与()f x 12m ≤+<11m ≤<，故答案为：)1,1. 18.445m【解析】18.在DCO ∆中利用余弦定理求出OC 的长，从而可估计OA 的长． 由题设可知1050500OC =⨯=，650300AD =⨯=，在OCD ∆中，300OD OA =-，OC OA =，18012060CDO ∠=︒-︒=︒， 由余弦定理可以得到：2222cos60OC CD OD CD OD =+-⨯⨯⨯︒，即()()222500300500300OA OA OA =+--⨯-， 故490044511OA =≈（m ）． 故答案为：445m 19.1【解析】19.利用三角函数的有界性可求12sin ,sin 2αα的值，再得到12,αα的值后可得()12tan αα+的值.因为112si 2n α≤+≤，故1122s 11in α≤+≤， 同理()22018100920182sin 2α≤≤+，故()121201820192sin 2sin 2αα+≤++，当且仅当12sin 11α+=及()2201820182sin 2α=+时等号成立， 此时122k παπ=-，222,,2l k l Z παπ=-∈，故2,4l l Z παπ=-∈，故()12tan tan tan 321244k l πππππαα-+-⎛⎫+==- ⎪⎭=⎝. 故答案为：1.20.1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】20.先把()f x 化为()24f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出其零点的一般形式后利用函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点构建关于,k ω的不等式组，通过讨论k 的范围可得ω的取值范围. 因为()()2sin 22cos 10,f x x x x R ωωω=-+>∈，故()sin 2cos 224f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()0f x =，则2,4x k k Z πωπ-=∈，故函数的零点为,28k x k Z ππωω=+∈.因为函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，故存在整数k ，使得()282128k k πππωωπππωω⎧+≤⎪⎪⎨+⎪+≥⎪⎩，故()141128k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨+⎪≤+⎪⎩，因ω为正实数，故()111284k k ++≥+，故34k ≤， 又()11028k ++>，故1k ≥-，故1k =-或0k =.当1k =-时，108ω<≤，当0k =时，1548ω≤≤. 故1150,,848ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故答案为：1150,,848⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.。
精品解析：上海市南洋模范中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题(解析版)
南模中学高三期中数学卷一.填空题1.已知集合==,则=_______.M {}2,0,xy y x N =(){}2|lg 2x y x x =-M N ⋂【答案】(1,2)【解析】====,M {}2,0xy y x ={}1,y y N {}2|lg(2x y x x =-{|02}x x <<所以=.M N ⋂{|12}x x <<2.三阶行列式中元素的代数余子式的值为________.351236724---5-【答案】34【解析】【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算．【详解】由题意，可知：（﹣1）1+2•[2×4﹣（﹣6）×（﹣7）]＝34．2674-=--故答案为：34．【点睛】本题主要考查行列式的代数余子式的概念及根据行列式的代数余子式的定义进行计算．本题属基础题．3.已知幂函数的图像过点，则的值为________.()y f x =1(24log (2)f 【答案】14【解析】【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x 用2代替求出函数值．【详解】由设f （x ）＝x a ，图象过点（），12∴（）a，解得a ，12=12=∴log 4f （2）＝log 4．12124=故答案为：14【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．4.已知向量，且在上的投影为3，则与角为______.(a =()3,b m =b a a b【答案】【答案】.π6【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义求得的值，然后再求出两向量的夹角．m 【详解】设，的夹角为，a bθ则，||236a b a b cos θ==⨯=A 又，(()3,3a b m ==+A A∴，36=解得．m =∴，||a b cos a b θ===A A 又，0θπ≤≤∴．6πθ=故答案为：．6π【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，用几何意义计算向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题．5.满足不等式的的取值范围为________arccos2arccos(1)x x <-x 【答案】11(,]32【解析】反余弦函数的定义域为，且函数在定义域内单调递减，则不等式等价于：[]1,1-，求解不等式有：，12111121x x x x-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩11220213x x x ⎧-≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪>⎩综上可得，不等式的解集为.11,32⎛⎤⎥⎝⎦6.函数的图像恒过定点A ，若A 在直线，其中log (3)1(01)a y x a a =+->≠且10mx ny ++=，则的最小值_________,0m n 均大于12m n +【答案】8【解析】试题分析：由已知可得定点，代入直线方程可得，从而()2,1A --21m n +=1212()(2)m n m nmn +=++.4448n m m n =++≥=考点：1、函数的定点；2、重要不等式.【易错点晴】本题主要考查的重要不等式，属于容易题.但是本题比较容易犯错，使用该公式是一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.7.设无穷等比数列的公比为，若的各项和等于，则首项的取值范围是____.{}n a q {}n a q 1a【答案】1(2,0)(0,]4-U 【解析】【分析】由题意易得q ，可得a 1＝﹣（q ）2，由二次函数和等比数列的性质可得．11a q =-12-14+【详解】∵无穷等比数列{a n }的各项和等于公比q ，∴|q |＜1，且q ，11a q =-∴a 1＝q （1﹣q ）＝﹣q 2+q ＝﹣（q ）2，12-14+由二次函数可知a 1＝﹣（q ）2，12-1144+≤又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a 1的取值范围为：﹣2＜a 1且a 1≠014≤故答案为：1(2,0)(0,4-U 【点睛】本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．8.已知函数，的反函数为，则的值域是____.2()f x x =[1,2]x ∈1()f x -121[()](2)f x f x --+【答案】[1【解析】【分析】依题意，f ﹣1（x ），（x ∈[1，4]），得函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝xy ＝x[1，2]上=的增函数，可得y 的值域．【详解】依题意，f ﹣1（x ），（x ∈[1，4]），=所以函数y ＝[f ﹣1（x ）]2+f ﹣1（2x ）＝x x 满足，即1≤x ≤2，14124x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩又y＝x[1，2]上的增函数，所以函数y＝[f﹣1（x）]2+f﹣1（2x）的值域是[1，4]，故答案为：[1【点睛】本题考查了简单函数的反函数的求法，函数的定义域，值域，属于基础题．解题时注意定义域优先的原则．9.在平面直角坐标系中，记曲线为点的轨迹，直线与曲线交于、C(2cos1,2sin1)Pθθ-+20x ty-+=C A 两点，则的最小值为________.B||AB【答案】【解析】【分析】由消去θ得（x+1）2+（y﹣1）2＝4，得曲线C的轨迹是以C（﹣1，1）为圆心，2为半径2121x cosy sinθθ=-⎧⎨=+⎩的圆，再根据勾股定理以及圆的性质可得弦长的最小值．【详解】由消去θ得（x+1）2+（y﹣1）2＝4，2121x cosy sinθθ=-⎧⎨=+⎩∴曲线C的轨迹是以C（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，又直线恒过点D，且此点在圆内部20x ty-+=()2,0-故当时|AB|最短，CD AB⊥∴|AB|＝，=故答案为：【点睛】本题考查了简单曲线的参数方程，考查圆的弦长公式，准确计算是关键，属中档题．10.设等差数列满足：，公差，若当且{}na22222233363645sin cos cos cos sin sin1sin()a a a a a aa a-+-=+(1,0)d∈-仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是________.9n={}n a n n S1a【答案】43(,)32ππ【解析】【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a 1取值范围．【详解】由1，()22222233363645sin a cos a cos a cos a sin a sin a sin a a -+-=+得：1，()()()336363636452cos a cosa cosa sina sina cosa cosa sina sina sin a a -+-+=+即，()()()336364521cos a cos a a cos a a sin a a -++-=+由积化和差公式得：，()3634511222221cos a cos a cos a sin a a +-=+整理得：1，()()()()()()63636345451122222cos a cos a sin a a sin a a sin a a sin a a --+-==++∴sin （3d ）＝﹣1．∵d ∈（﹣1，0），∴3d ∈（﹣3，0），则3d，d．2π=-6π=-由．()()2111116221212n n n n n S na d na n a n πππ⎛⎫-⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭=+=+=-++ ⎪⎝⎭对称轴方程为n，1612a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由题意当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，∴，解得：．1176192122a ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜＜14332a ππ＜＜∴首项a 1的取值范围是．4332ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：．4332ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了三角恒等变换的应用，化简原式得公差的值是关键，考查了学生的运算能力，是中档题．11.是定义在上的奇函数，当时，，则函数在()f x R 0x >()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩()()1g x xf x =-上的所有零点之和为__________．[)6,-+∞【答案】8【解析】由题意，，与都是奇函数，()1f x x =()y f x =y x =第一象限图象如图，当时，两图象无交点，8x >所以与对称，零点之和为0，上，零点为8，[)6,0-(]0,6(]6,8所以，上的零点之和为8.[)6,-+∞12.在数列中，，，是数列的前项和，当不{}n a 11a =1221332•32(2)n n n n n a a n ----=-+≥n S 1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 等式恒成立时，的所有可能取值为.*1(31)()1()3()m n mn S m m N S m ++-<∈-mn 【答案】1或2或4【解析】试题分析：由1221332•32(2)n n n n n a a n ----=-+≥得，即，1212213(1)3(1)332•32(2)n n n n n n n a a n ------+=++--+≥1213(1)3(1)2(2)n n n n a a n ---+=++≥所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，由{}13(1)n n a -+1113(1)2a -+=213(1)2n n a n -+=，，所以1123n n a n -+=12(1)133(1)1313n n nS ⨯-==--即111(31)[3(1)](31)()(3)33(3)33(3)323331113()(3)33(3)333[3(1)]3m mm n m n n m n n m m n m m n mmn m S m m m m S m m m m ++++++--+---+----⋅-===+<-------，当时，该不等式不成立，当时有恒成立，(3)32330(3)33n mm n m m m +--⋅-<--3m =3m ≠23333033m nn m m ⋅+--<--当时，，，这时，当时，，，这时或1m =19322n <<1n =1mn =2m =1321n <<1,2n =2mn =，当时，不成立，所以的所有可能取值为或或.4mn =4m ≥23333033m nn m m ⋅+--<--mn 124考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题.【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列是解题的关键，然后根据不等式恒成立分{}13(1)n n a -+类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力.二.选择题13.已知，则“”是“”的（ ）R a ∈1a >11a <A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】“a ＞1”⇒“”，“”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果．11a ＜11a ＜【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“”，11a ＜“”⇒“a ＞1或a ＜0”，11a ＜∴“a ＞1”是“”的充分非必要条件．11a ＜故选：A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则p q q p p q 是的充分条件．p q 2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件p q q p q p p q p q q p 或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．A B A B B A A B A B 14.已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，()2sin(26f x x π=+关于函数，下列说法正确的是( )A. 在上是增函数[,]42ππB .其图象关于直线对称4x π=-C. 函数是奇函数D. 当时，函数的值域是[0,]3x π∈[1,2]-【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，，A ：时，()2sin[2(2sin(2)2cos 2662g x x x xπππ=++=+=[,]42x ππ∈，是减函数，故A 错误；B ：，故B 错误；C ：是偶函数，故2[,]2x ππ∈(2cos()042g ππ-=-=()g x C 错误；D ：时，，值域为，故D 正确，故选D ．[0,3x π∈22[0,3x π∈[1,2]-考点：1．三角函数的图象变换；2．的图象和性质．sin()y A x ωϕ=+15.已知， ，则函数的大致图象是（ ）n N ∈x ∈R 22()lim2n n n xf x x +→∞-=-A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】讨论当|x |＞1，|x |＜1，当x ＝1时和当x ＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f （x ）的解析式，画出图象得到正确选项.【详解】当|x |＞1时，；2222121lim 2nn n n n n x x lim x x x x +→∞→∞--==---当|x |＜1时，1；222lim 22n n n n x lim x +→∞→∞--==--当x ＝1时，-1；22lim 2n n n x x +→∞-=-当x ＝﹣1时，不存在．22lim 2n n n x x +→∞--∴f （x ）()()()21111111.x x x x x ⎧--⎪⎪==-⎨⎪--≤⎪⎩＞或＜无意义＜∴只有A 选项符合f （x ）大致图像，故选A.【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．16.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，M N 2y x =O OM ON 12-则（ ）A. B. 到直线的距离不大于2||||OM ON +≥O MN C. 直线过抛物线的焦点 D. 为直径的圆的面积大于MN 2y x =MN 4π【答案】B【解析】【分析】根据题意，，可看作直线与抛物线的交点,对直线进行分类讨论，当直线的斜率不存M N MN MN MN 在时，设出，的坐标，可以求得，的坐标及直线的解析式；当直线的斜率存在时，利用M N M N MN 斜截式设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，推出直线过定点，结合选项MN MN ()2,0得出答案.【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设，由斜率之积为，可得，即，∴的直线方程为；12-20112y -=-202y =MN 2x =当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，可得．y kx m =+2y kx m y x =+⎧⎨=⎩20ky y m -+=设，则，()1122(),,M x y N x y ，∴，121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=即．∴直线方程为．2m k =-()22y kx k k x =-=-则直线过定点．MN ()2,0则到直线的距离不大于2．故选B ．O MN 【点睛】圆锥曲线与方程是高考考查的核心之一，解题时不仅要掌握圆锥曲线的几何性质，还要重点掌握直线与圆锥曲线的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，本题主要利用了设而不求的方法，在设直线方程时要注意斜率是否存在以进行分类讨论.三.解答题17.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，且．2a =（1）若C=60°且b=1，求a 边的值；（2）当A 的大小．c 2b =【答案】（1）3；（2）A=π3【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角形的面积公式，化简可得，又由且，即可求解；sin a C =60C =︒1b =（2）由余弦定理及，化简可得，即可求解的大小，得到答案．2a =sin(16A π+=A【详解】（1）由题意知，可得，2a=21sinC 2b a a =⋅∴，又因为且，∴；sin a C =60C =︒1b=3a ==（2）当时，，2c b =+2b c ==∵，2222cos b cA a bc ==+-∴，即，221sin 2cos 2bcA b c bc A ⋅=+-)222cos bc A A b c +=+∴，得，22πb c b c 4sin A 46bc c b +⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭sin(16A π+=∵，∴，所以，得．(0,)A π∈7(,666A πππ+∈62A ππ+=3A π=【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.函数的定义域为，函数.23()log (28)f x x x =+-A 2()(1)g x x m x m =+++（1）若时，的解集为，求；4m =-()0g x ≤B A B （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.1[0,]2x ∈()1g x ≤-m 【答案】（1）；（2）.(2,4]A B ⋂=1m ≤-【解析】【分析】（1）求出集合A ，B ，由交集运算的定义，可得A ∩B ；（2）若存在使得不等式g （x ）≤﹣1成立，即存在使得不等式﹣m 成立，102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，211x x x ++≥+得﹣m ≥（）min ，解得实数m 的取值范围．211x x x +++【详解】（1）由x 2+2x ﹣8＞0，解得：x ∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故则函数f （x ）＝log 3（x 2+2x ﹣8）的定义域A ＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），若m ＝﹣4，g （x ）＝x 2﹣3x ﹣4，由x 2﹣3x ﹣4≤0，解得：x ∈[﹣1，4]，则B ＝[﹣1，4]所以A ∩B ＝（2，4]；（2）存在使得不等式x 2+（m +1）x +m ≤﹣1成立，102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即存在使得不等式﹣m 成立，所以﹣m ≥（）min 102x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，211x x x ++≥+211x x x +++因为x +11≥1，211x x x ++=+11x +-+当且仅当x +1＝1，即x ＝0时取得等号所以﹣m ≥1，解得：m ≤﹣1．【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式，集合的交集，函数存在性问题，函数的最值，基本不等式的应用，难度中档．19.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，AB E 其中，是圆的切线，且，曲线是抛物线的(0,)E t (025)t<≤GF GF AD ⊥BC 250y ax =-+(0)a >一部分，，且恰好等于圆的半径.CD AD ⊥CD E （1）若米，米，求与的值；30CD =AD =t a （2）若体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.DF a 【答案】（1），；（2）.20t =149a =1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而解得；通过圆的方程求得()0,50B 50CD t =-t E 点坐标，从而得到点坐标，代入抛物线方程求得；（2）求解出点坐标后，可知A C a C ，可整理为，利用基本不等式可求得的最大值，从5075DF t =-+≤162550a t t ≥++162550t t ++而可得的范围.a 【详解】（1）由抛物线方程得： ()0,50B 50BE t∴=-又，均为圆的半径 ，则BE CD 50CD t ∴=-503020t =-=圆的方程为：∴E ()2222030xy +-=()A ∴，则OD AD AO ∴=-=-=()C 代入抛物线方程得：，解得：(23050a =-+149a =（2）由题意知，圆的半径为：，即E 50t -50CD t=-则点纵坐标为，代入抛物线方程可得：C 50t -t x a =t OD a =，整理可得：5075DF t ∴=-+≤()216252550t a t t t ≥=+++ （当且仅当时取等号）(]0,25t ∈62550t t ∴+≥=25t = 1162510050t t ∴≤++1100a ∴≥即的取值范围为：a 1,100⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.20.已知椭圆过点，且右焦点为．2222:1x y C a b +=()0,2M ()2,0F（1）求椭圆的方程；C （2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：F l C ,A B y P ,PA mAF PB nBF ==为定值；m n +（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形P C Q P O 面积的最小值．QAB 【答案】（1）（2）见解析（3）22184x y +=163【解析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以，椭圆C 的方程为。
2019年上海市杨浦高级中学高三三月月考数学试卷(有答案)(加精)
杨浦高级中学高三三月月考数学试卷一. 填空题1. 抛物线2y x =的焦点坐标为2. 已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合2{|,,}1A x x x Z n Z n ==∈∈-，则U C A = 3. 如果131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则a 的取值范围是4. 关于x 的方程：4|42|3xx⋅-=的解为5. 不等式1001lg 20111xx x-≥-的解集为6. 向量a 、b 、c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+（,R λμ∈），则λμ= 7. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=（*n N ∈），则2n a =8. 在10(2)x y z ++的展开式中，325x y z 的系数为9.（理）在极坐标中，将圆2ρ=沿着极轴正方形平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转4π 弧度，则所得的曲线的极坐标方程为（文）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92，则其高h =10. 5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车，小火车的车厢共有4节，设每一位乘客 进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2 人）的概率是11. 已知定义在R 上的函数()y f x =对于任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -≤<时，3()f x x =，若函数2()()log ||g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是12.（理）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b （,0a b ≠），不得分的概率为2a b+，若他投篮一次得分ξ的数学期望74E ξ>，则a 的取值范围是（文）设全集{(,)|,}U x y x y R =∈，34120(,)|280,,260x y P x y x y x y R x y ⎧+->⎫⎧⎪⎪⎪=--<∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+>⎩⎩⎭，222{(,)|,}Q x y x y r r R +=+≤∈，若U Q C P ⊆恒成立，则实数r 的最大值是13.（理）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的， 我们在复数集C 上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数111z a b i =+，222z a b i =+（1212,,,a a b b R ∈），12z z ，当且仅当“12a a >”或者“12a a =，12b b >”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：① 10i；② 若12z z ，23z z ，则13z z ；③ 若12z z ，则对任意z C ∈，都有 12z z z z ++；④ 对于复数0z ，若12z z ，则12z zz z ⋅⋅；其中，真命题的序号为（文）已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），若1231nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数当为奇数，若61a =，则m 所有可能的取值构成的集合为14.（理）符号1n ii a =∑表示数列{}na 的前n 项和（即121...nin i aa a a ==+++∑），已知数列{}n a满足10a =，11n n n a a a +≤≤+（*n N ∈），记11(1)kna k n k S a -==-∑（01a <<），若20160S =， 则当20161ka k a=∑取最小值时，2016a =（文）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的， 我们在复数集C 上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数111z a b i =+，222z a b i =+（1212,,,a a b b R ∈），12z z ，当且仅当“12a a >”或者“12a a =，12b b >”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：① 10i；② 若12z z ，23z z ，则13z z ；③ 若12z z ，则对任意z C ∈，都有 12z zz z ++；④ 对于复数0z ，若12z z ，则12z zz z ⋅⋅；其中，真命题的序号为二. 选择题15. 在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第 一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分 别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中 间一组（即第五组）的频数为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 4816. 已知F 为双曲线22:3C x my m -=（0m >）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A.B. 3C.D. 3m17. 将函数sin y x x =+（x R ∈）的图像向左平移m （0m >）个单位长度后所得 到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ） A.12π B. 6π C. 3πD. 56π 18. 在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点 从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ） A. 76R π B. 2R π C. 73R π D. 83R π三. 解答题19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面是边长为6的正方形ABCD ，8PA =，PA ⊥面ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点，连接AM 、AN 、MN ； （理）（1）求证：AB MN ⊥；（2）求二面角N AM B --的大小； （文）（1）求证：AB MN ⊥；（2）求异面直线AM 与PB 所成角的大小；20. 已知向量11(,sin )22a x x =+和向量(1,())b f x =，且a ∥b ； （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）（理）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若(2)16f A π-=，BC =，求△ABC 面积的最大值；（文）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若有(2)16f A π-=，BC =sin 7B =，求AC 的长度；21. 某地拟模仿如图建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t ，曲线BC 是抛物线230y ax =-+（0a >）的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径；（1）若要求20CD =米，30)AD =米，求t 与a 的值；（2）当010t <≤时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过45米，求a 的取值范围；22. 已知111212122212.....................m m m m mm a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，每一行都是首项为1的等差数列，第m 行的公差为m d ，且每一列也是等差数列，设第m 行的第k 项为mk a （,1,2,3,..,m k n =，3n ≥，*n N ∈）； （1）证明：1d 、2d 、3d 成等差数列，并用m 、1d 、2d 表示m d （3m n ≤≤）；（2）当11d =，23d =时，将数列{}m d 分组如下：（1d ），（2d ，3d ，4d ），（5d ，6d ，7d ，8d ，9d ），…（每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()m c （0m c >），求数列{2}m cm d 的前n 项和n S ；（3）在（2）的条件下，设20N ≤且*N N ∈，当n N >时，求使得不等式1(6)50n n S d -> 恒成立的所有N 的值；23. 如图，圆O与直线20x ++=相切于点P ，与x 正半轴交于点A，与直线y = 在第一象限的交点为B ，点C 为圆O 上任一点，且满足OC xOA yOB =+，以x 、y 为坐 标的动点(,)D x y 的轨迹记为曲线Γ； （1）求圆O 的方程及曲线Γ的方程；（2）若两条直线1:l y kx=和21:l y xk=-分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值；（3）（理）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆；（2）（文）已知曲线Γ的轨迹为椭圆，研究曲线Γ的对称性，并求椭圆Γ的焦点坐标；参考答案一. 填空题1. 1(,0)42. {0}3. (4,2)-4. 4log 3x =5. 2(0,](1,)3+∞6. 47. 2n8. 201609.（理）4cos()4πρθ=- （文）410.3125611. 1(0,](5,)5+∞ 12.（理）52(,)123a ∈ （文）12513.（理）① ② ③ （文）{4,5,32} 14.（理）1007 （文）① ② ③二. 选择题15. C 16. A 17. B 18. C三. 解答题19.（1）证明略；（2）（理）（文）；20.（1）函数()f x 的最小正周期为2π，最大值为2；（2）；（文）2AC =； 21.（1）10t =，190a =；（2）2125a ≥； 22.（1）证明略，12(2)(1)m d m d m d =-+-；（2）1(23)26n n S n +=-⋅+；（3）5,6,7,8,...,20N =；23.（1）22:1O x y +=，22:1x y xy Γ++=（,[x y ∈）；（2）当1k =±时，四边形EMFN ； （3）（理）曲线Γ关于直线y x =，y x =-和原点对称，证明略；（文）曲线Γ关于直线y x =±和原点对称，焦点坐标为1(F ，2F ；。
上海市奉贤中学2023届高三三模数学试题(含解析)
上海市奉贤中学2023届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________12．设()()21f x x x =≥，()()()223g x x b x =-+≥，A 、D 为曲线()y f x =上两点，B ，C 为曲线()y g x =上两点，且四边形ABCD 为矩形，则实数b 的取值范围为________．二、单选题A ．2143e e e e <<<C ．2134e e e e <<<15．已知两组数据12,a a Z i ∈时，b a =，b =(1)若12PM=，求PN的长；(2)设AOP x∠=，PM，18．已知三棱锥-P ABC线段PB，PC上．(1)若PB与平面ABC所成角大小为(2)若PC⊥平面AMN，求证：19．某数学学习小组的二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分学生1学生参考答案：8．233/233【详解】函数3y x =在区间因为23y x '=，则3y x =在2故答案为：423-.11．9 54 +因为//GF AB ，所以CGF 同理AGD ACH ∽，所以①+②得1GF GDAB CH+=，即4当1b <-时,若能成为矩形必有2//,()(1)AD BC f x x x =≥上的A 处的在斜率比2()(2)(3)g x x b x =-+≥上的B 点增长率大，所以必有AD BC <,这与AD BC =矛盾.所以b 的取值范围为(1,0)-.故答案为：(1,0)-.【点睛】关键点睛：本题的关键是寻找特殊位置，找到临界值的情况，对b 进行合理地分类讨论，从而得到其范围.13．A【分析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为"1""1"x x >⇒≥，但“1x ≥”不能推出“1x >”，故“1x >”是“1x ≥”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，意在考查对基本概念的掌握情况，属于简单题.14．C【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断.【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在()0,1之间，则34,e e 都大于12,e e ，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故21e e <，根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故43e e >，综上2134e e e e <<<，故选：C.15．B【分析】根据相关性与线性回归方程的关系即可得到答案.【详解】设点坐标为(),i i a b ，110i ≤≤且Z i ∈，由题意得前9个点位于直线y x =上，面1010a =，则要使相关性更强，10b 应更接近10，四个选项中11更接近10，故选：B.因为1,2x y ==时，24ax y a +=过点A 作直线l 平行于直线y =-当符合条件的点P 在直线l 及左侧时，因为圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，则OA c =，45AOF ∠=︒，则22,22A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入双曲线方程22221x y a b-=因为直线l ：y =kx +m 与圆O 则圆心到直线l 距离为2m k 化简得221m k =+，①又π2AOB ∠=，设()11,,A x y B。
2024届天域全国名校协作体高三年级下学期3月联考数学学科试题(含答案解析)
绝密★考试结束前2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是全集U 的非空子集，且U A B ⊆ð，则（）A ．B A⊆B ．U B A⊆ðC ．U U A B⊆ððD ．A B⊆2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数22()1xf x x =-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3.已知复数(,)z a bi a b R =+∈且2(42)40x i x ai -+++=有实数根b ，则2||z =（）A. B.12C. D.204．已知等边△ABC 的边长为2，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，若2DE EF =，则EF AF⋅=（）A ．1B ．45C ．65D ．545．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的最小值为（）AB ．C ．2D6．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A ．26B ．63C ．57D ．257.已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)2f x +-为奇函数，(31)f x +为偶函数，(1)0f =，则20241()k f k ==∑（）A ．4036B ．4040C ．4044D ．40488.已知直线)0(0:22≠+=++B A C By Ax l 与曲线3:W y x x =-有三个交点D 、E 、F ，且2DE EF ==，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（）.A.()10， B.()11-， C.)(11， D.()01，二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知由样本数据()i i x y ，（12310i = ，，，，）组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ3y x =-+，且4x =．剔除一个偏离直线较大的异常点(51)--，后，得到新的回归直线经过点(64)-，．则下列说法正确的是A ．相关变量x y ，具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C ．剔除该异常点后的回归直线方程经过点(51)-，D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小10．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点(,)M a b ，()0OM m m =≠，定义()b a f m θ+=，()b ag mθ-=，则（）A ．ππ166f g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()()2f f θθ+≥C ．若()()f g θθ=2，则3sin 25θ=D ．()()f g θθ是周期函数11．如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成，其中PS =1，则下列关于该几何体叙述正确的是A.该几何体的体积为24B.该几何体为七面体C.二面角A-PB-C 的余弦值为13-D.该几何体为三棱柱非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位:mm)，现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为_________．13.已知偶函数()()ϕω+=x x f sin ()0>ω的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π中心对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上单调，则ω=.14．若实数y x ,满足2522=+y x ，则y x y x 68506850-++++的最大值为_________16.（15分）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务。
2019届上海市南洋模范中学高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019届上海市南洋模范中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件（ ） A ．a 的值可以是8-B ．a 的值可以是3- C ．a 的值可以是1- D ．a 的值可以是12- 【答案】D【解析】“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件:即x a >推出1x >-,1x >-不能推出x a >,从而得出a 的范围为:1a >-,即可得出答案. 【详解】“x a >”是“1x >-”成立的充分不必要条件∴ x a >推出1x >-,1x >-不能推出x a >故得1a >-对照选项可得,只有D 符合题意. 故选:D. 【点睛】本题考查利用充分条件求参数的取值范围,利用“小范围能推出大范围”即可得出参数的范围.2．下列四个命题中真命题是 A ．同垂直于一直线的两条直线互相平行B ．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C ．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D ．过球面上任意两点的大圆有且只有一个 【答案】C【解析】通过“垂直于同一直线的两条直线的位置关系不确定”可判断A 是否正确；通过“底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判断B 是否正确；通过“两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条”可判断C 是否正确；通过“经过球面上任意两点的大圆有无数个”可判断D 是否正确。
【详解】A 项：垂直于同一直线的两条直线不一定互相平行，故A 错；B 项：底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故B 错；C 项：两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，故C 正确；D 项：过球面上任意两点的大圆有无数个，故D 错，故选C 项。
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上海市南洋模范中学2019届高三数学下学期3月月考试题（含解析）一、填空题。
1.已知全集，若集合，则_________.【答案】【解析】【分析】求出集合A，即可求解∁U A【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0}则＝故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题．2.双曲线的焦距为__________.【答案】6【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值．【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为1，可得a，b，c3，即焦距为2c＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．3.已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_____.【答案】【解析】【分析】由二项式定理的通项公式可得：，解出即可得出．【详解】T5x﹣2，∴，a＞0．解得a．故答案为：．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题．4.已知函数的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.【答案】-3【解析】【分析】先求反函数：y，利用函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【详解】由y（a），解得x（y≠3），把x与y互换可得：y，∵函数f（x）（a）图象与它的反函数图象重合，∴﹣a＝3，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.设，满足约束条件，则目标函数的最大值为_____.【答案】14【解析】【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.6.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____.【答案】【解析】【分析】将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率P，故答案为．【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题．7.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长为___.【答案】24【解析】【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长．【详解】双曲线x21的a＝1，c5，两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0），即|F1F2|＝10，由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|x，由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6．∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．8.已知四面体中，，，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则____.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，，或，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，∴EO∥CD，且EO，FO∥AB，且FO1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴，或，当∠EOF时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当时，EF．故答案为：1或．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题9.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.【答案】【解析】【分析】由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）＝x2﹣6，由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，∴不等式f（x）＜x可化为，解得x＞2∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．10.关于的方程在上的解的个数是____.【答案】7【解析】【分析】化简y=从而作函数的图像，从而可解【详解】化简y=,作函数在上的图像如下：结合图像可知，两个图像共有7 个交点故答案为7【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题11.任意实数，，定义，设函数，数列是公比大于0的等比数列，且，，则____.【答案】4【解析】【分析】f（x）＝，及其数列{a n}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨论，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】由题，∵数列{a n}是公比大于0的等比数列，且，①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+＝，∴q4q q2．∴2．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1时，1，∴，分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴log2q2．∴2．∴4，∴a1＝4．③q＝1时，＝…＝＝…＝＝1，不满足舍去．综上可得：＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.【答案】或-2【解析】【分析】设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理当椭圆方程为可得答案【详解】由题意可设椭圆方程为，又设A（，），B（，），因为M点在该椭圆上，∴，则又因为A、B点在也该椭圆上，∴，∴，即直线OA、OB的斜率乘积为，同理当椭圆方程为时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．故答案为：或﹣2．【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于难题．二、选择题。
13.“”是“不等式成立”的（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式|x﹣1|＜1，再由充分必要条件即可判断出结论．【详解】不等式|x﹣1|＜1成立，化为﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2，∴“”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的充分条件．故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件，绝对值不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.给出下列命题，其中正确的命题为（）A. 若直线和共面，直线和共面，则和共面；B. 直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直；C. 直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行；D. 异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直.【答案】D【解析】试题分析：A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：根据线面垂直的判定可知B错误；C：若直线，满足直线与平面不平行，故C错误；D：假设存在过的平面与垂直，则可知，∴假设不成立，故D正确，故选D．考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定．15.已知数列的通项公式为，其前项和，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据数列的通项公式为,其前项和，那么可知，可知n=9,那么根据可知a=,b= 3,故可知双曲线的渐近线方程为，选C.考点：数列的求和，双曲线的性质点评：主要是考查了数列的通项公式和双曲线的性质的运用，属于基础题。
16.已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围．【详解】函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4，（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2．∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）．∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27=，∵x∈[﹣4，﹣2]，∴λ≤11．∴当λ或时有一解，当λ≤-1时有两解；（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2．∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）．∴x2﹣9+4＝x2﹣5，∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解；（3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．（3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x），∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，∵2＜x≤4，∴λ≤11．∴当λ或时有一解，当λ<-1时有两解；综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是λ＜﹣1．故选：C．【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．三、解答题。
17.如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为弧AB的中点，.（1）证明：平面；（2）若点为母线的中点，求与平面所成的角.（结果用反三角函数表示）【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由圆的性质得出AB⊥OC，由SO⊥平面ABC得出SO⊥AB，故而AB⊥平面SOC；（2）连结OD，由AB⊥平面SOC可知∠ADO为所求角，设圆锥底面半径为a，求出OD，得出tan∠ADO,得解【详解】（1）证明：在圆锥中，∵点为弧AB的中点，∴∴由平面（2）联结，∵平面∴为与平面所成的角设，则，∴∴在中，∴【点睛】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，熟记判断定理，准确找到所成角是关键，属于中档题．18.已知函数.（1）求的最小正周期及判断函数的奇偶性；（2）在中，，，，若任意实数恒有，求面积的最大值.【答案】（1），函数是非奇非偶函数;（2）【解析】【分析】（1）由化简得则周期可求，计算；，可判奇偶性；（2）由题得将平方，得t的二次不等式，利用，得，进而得由求得最大值【详解】（1）所以的最小正周期为；，所以，函数是非奇非偶函数.（2）由得因为是的内角，所以0<A<，由，得两边平方，整理得，对任意实数恒成立所以得则有且所以（当且仅当等号成立）所以，当时，面积的最大值为【点睛】本题考查三角恒等变换，向量数量积，三角形面积，熟记三角公式，灵活运用二次不等式转化是关键，是中档题19.数列满足：，，且，，成等差数列，其中. （1）求实数的值及数列的通项公式；（2）若不等式成立的自然数恰有4个，求正整数的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意和等差中项的性质列出方程求出λ，再利用累加法求出数列{a n}的通项公式；（2）结合条件对n进行分类讨论，当n≥3时利用分离常数法化简得p，设，通过作差得到数列的单调性，进而得，根据条件即可求出正整数p的值．【详解】（1）由题意：，∵，，成等差数列，∴，解得：∵，，∴，检验n=1 成立故（2）解：∵，∴∵，∴显然成立当时，，设∴当时，；当时，；又，，，，若还需有2解，则，即，解得，所以正整数【点睛】本题考查了等差中项的性质，累加法求数列的通项公式，以及数列单调性的判断与应用，考查方程思想与分类讨论思想的应用，是难题20.教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为。