2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)

2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2(z +z) + 3(z -z) = 4 + 6i ，则z =( ）A.1 - 2iB.1 + 2iC.1 +iD.1 -i答案：C解析：设z =a +bi ，则 z =a -bi ，2(z +z) + 3(z -z) = 4a + 6bi = 4 + 6i ，所以 a = 1 ，b = 1，所以 z = 1 +i .2.已知集合S = {s | s = 2n +1, n ∈Z} ，T = {t | t = 4n +1,n ∈Z}，则S T =()A. ∅B. SC. TD. Z答案：C解析：s = 2n +1，n ∈Z ；当n = 2k ，k ∈Z 时，S = {s | s = 4k +1, k ∈Z} ；当n = 2k +1，k ∈Z 时，T =TS = {s | s = 4k + 3, k ∈Z}.所以T Ü S ，S.故选 C.3.已知命题p : ∃x ∈R ﹐sin x < 1 ；命题q : ∀x ∈R,e|x| ≥1 ，则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝( p ∨q)答案：A解析：根据正弦函数的值域sin x ∈[-1,1] ，故∃x ∈R ，sin x < 1 ，p 为真命题，而函数 y =y =e|x|为偶函数，且x ≥ 0 时，y =e|x| ≥1，故∀x ∈R ，y =e|x| ≥1恒成立.，则q 也为真命题，所以p ∧q 为真，选 A.4.设函数f ( x) =1-x，则下列函数中为奇函数的是（）1+xA.f ( x -1) -1B.f ( x -1) +1C.f ( x +1) -1D.f ( x +1) +1答案：B解析：1-x 2 2f (x) ==-1+1+x1+x ，f (x) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x) =为奇x函数.5.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，P为B1D1 的中点，则直线PB 与AD1所成的角为（）A. π2 B. π3 C. π4 D. π65 4答案：D解析：如图， ∠PBC 1 为直线 PB 与 AD 1 所成角的平面角.易知∆A 1BC 1 为正三角形，又 P 为 A 1C 1 中点，所以∠PBC=π.166. 将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60 种B. 120 种C. 240 种D. 480 种 答案：C解析：所求分配方案数为C2A 4 = 240 .7. 把函数 y = f ( x ) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把所得曲 2线向右平移 π 个单位长度，得到函数 y = sin( x - π) 的图像，则 f ( x ) = （）3 4 A. sin( x - 7π )2 12 B. sin( x + π )2 12C. sin(2x - 7π)12 D. sin(2x +π) 12答案：B解析：逆向：y= sin(x -π左移ππ) −−−3→y=sin(x +) −横−坐−标变−为原−来的−2倍−→y = sin(1x +π) .4 12 2 12故选 B.8.在区间(0,1) 与(1, 2) 中各随机取1 个数，则两数之和大于7的概率为（）4A.79B.2332 C.932 D.29答案：B解析：由题意记x ∈ (0,1)，y ∈ (1, 2) ，题目即求x +y >7的概率，绘图如下所示. 4S 1⨯1-1AM ⋅AN 1-1⨯3⨯3故P =阴= 2 = 2 4 4 =23.S正ABCD1⨯1 1 329.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点E, H ,G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”. GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.表高⨯表距+表高表目距的差B.表高⨯表距-表高表目距的差C.表高⨯表距+表距表目距的差D.表高⨯表距-表距表目距的差答案：A解析：连接 DF 交 AB 于M ，则 AB =AM +BM .记∠BDM =α，∠BFM =β，则MBtan βMBtanα=MF -MD =DF .而tan β=FG，tanα=ED.所以GC EHMB-MB=MB(1-1) =MB ⋅(GC-EH) =MB ⋅GC -EH. tan β tanα tan β tanα FG ED ED故MB = ED ⋅DF =表高⨯表距，所以高AB =表高⨯表距+表高.GC -EH 表目距的差表目距的差-10.设a≠0 ，若x =a 为函数f(x)=a(x -a)2 (x -b)的极大值点，则A.a <bB.a >bC.ab <a2D.ab >a2答案：D解析：若a > 0 ，其图像如图（1），此时，0 <a <b ；若a < 0 ，时图像如图（2），此时，b <a < 0 . 综上， ab <a2.x2 +y2=>>11.设B 是椭圆C ：a2 b2 1(a b 0) 的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，PB ≤ 2b ，则C 的离心率的取值范围是（）A.[2,1) 21[ ,1)2 B.2 1.04 C.(0, 2] 21 (0, ]2答案：C解析：x 2y2y 2由题意，点 B (0, b ) ，设 P (x , y ) ，则 0 + 0 = 1⇒ x 2 = a 2 (1- 0 ) ，故 0a 2b 22y 2b 2c 2 PB = x 2 + ( y - b )2 = a 2(1- 0) + y 2 - 2by + b 2 = - y 2 - 2by + a 2 + b 2 ，0 0y 0 ∈[-b ,b ] .b 2 0 0 b 3b 2 0c由题意，当 y = -b 时，PB 2最大，则- ≤ -b ，b 2 ≥ c 2 ，a 2 - c 2 ≥ c 2 ，c = ≤ ，c ∈(0, 0c 2a 22].212. 设a = 2 ln1.01，b = ln1.02 ，c = 1，则（）A. a < b < cB. b < c < aC. b < a < cD. c < a < b答案：B解析:设 f (x ) = ln(1+ x ) -+1，则b - c = f (0.02) ，易得f '(x ) =1 -1+ x当 x ≥ 0 时，1+ x =≥ ，故 f '(x ) ≤ 0 .所以 f (x ) 在[0, +∞) 上单调递减，所以 f (0.02) < f (0) = 0 ，故b < c .1+ 2x 2 1+ 2x = 1+ 2x - (1+ x ) (1+ x ) 1+ 2x(1+ x )2 1+ 2x D.1+ 4x 42 1+ 4x 1+ 4x - (1- x ) (1+ x ) 1+ 4x3y 再设 g (x ) = 2 l n(1+ x ) -+1，则a - c = g (0.01) ，易得g '(x ) =2 1+ x - = 2 ⋅.当0 ≤ x < 2 时， ≥ = 1+ x ，所以 g '(x ) 在[0.2) 上≥ 0 . 故 g (x ) 在[0.2) 上单调递增，所以 g (0.01) > g (0) = 0 ，故 a > c . 综上， a > c > b .二、填空题13. 已知双曲线 C ：x 2 - 2m= 1(m > 0) 的一条渐近线为 3x + my = 0 ， 则 C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为 y = ± bx ，由题意得 a 2 = m ， b 2 = 1 ，且一条渐近线方程为 ay =- mx ，则有m = 0 （舍去）， m = 3 ，故焦距为 2c = 4 .14. 已知向量a = (1,3) ， b = (3, 4) ，若(a - λb ) ⊥ b ，则λ =.答案：3 5解析：由题意得(a - λb ) ⋅ b = 0 ，即15 - 25λ = 0 ，解得λ = 3.515. 记 ∆ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c，面积为a 2 + c 2 = 3ac ，则b =.， B = 60︒ ，答案：2解析：1+ 4x 1+ 2x + x 2 3 23 2 5 S= 1 ac sin B = 3ac = ，所以 ac = 4 ，∆ABC2 4由余弦定理， b 2 = a 2 + c 2 - ac = 3ac - ac = 2ac = 8 ，所以b = 2 .16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，PA = PC =2 ，BA = BC =，AC = 2 ，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2）， PA ⊥ 平面 ABC ， PA = 1， AC = AB =5 ， BC = 2 ，俯视图为④.1三、解答题17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和 y ， 样本方差分别己为 s 2 和 S 2. 1 2（1）求x ， y ， s 2， s 2：12（ 2 ） 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 ( 如果y - x ≥ 2 ， 否则不认为有显著提高 ) 。

答案： 见解析解析：（1） 各项所求值如下所示.x = 1(9.8 +10.3 +10.0 +10.2 + 9.9 + 9.8 +10.0 +10.1+10.2 + 9.7) = 10.0， 10 y = 1(10.1+10.4 +10.1+10.0 +10.1+10.3 +10.6 +10.5 +10.4 +10.5) = 10.3， 10 s 2= 1 ⨯[(9.7 -10.0)2 + 2⨯(9.8 -10.0)2 + (9.9 -10.0)2 + 2⨯ (10.0 -10.0)2 + (10.1-10.0)210+2⨯ (10.2 -10.0)2 + (10.3 -10.0)2 ] = 0.036s 2 + s 2 1 2 10，2 s 2=1⨯[(10.0 -10.3)2 + 3⨯ (10.1-10.3)2 + (10.3 -10.3)2 + 2⨯ (10.4 -10.3)2 + 102⨯ (10.5 -10.3)2 + (10.6 -10.3)2 ] = 0.04（2） 由（1）中数据得 y - x = 0.3, 2 ≈ 0.34 .显然 y - x < 2 所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。