全国甲卷2023高考理科数学试卷
精品解析：2023年高考全国甲卷数学(理)真题(原卷版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1.设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（）A.{|3,}x x k k =∈Z B.{31,}xx k k Z =-∈∣C.{32,}xx k k Z =-∈∣ D.∅2.设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A.-1B.0·C.1D.23.执行下面的程序框图，输出的B =（）A.21B.34C.55D.894.已知向量,,a b c 满足1,a b c === ，且0a b c ++= ，则cos ,a c b c 〈--〉= （）A.45-B.25-C.25D.455.设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（）A.158B.658C.15D.406.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A.0.8B.0.6C.0.5D.0.47.设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A.55B.255C.355D.4559.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）A.120B.60C.30D.2010.函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.411.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC 的面积为（）A.B. C. D.12.设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A.135B.302C.145D.352二、填空题13.若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．14.若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．15.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．16.在ABC中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．三、解答题17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）证明：1A C AC =；（2）已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19.一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d -=++++0k 0.1000.0500.010()20P k k ≥ 2.7063.8416.63520.已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =．（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值．21.已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）当8a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．四、选做题22.已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．23.设0a >，函数()2f x x a a =--．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（ ）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（ ）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（ ）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题(原卷版)
2023甲卷理科数学（记忆版）一、选择题1. 设集合{31,},{32,}A xx k k Z B x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，U 为整数集，()A B =U ð（ ）A. {|3,}x x k k =∈Z B. {31,}xx k k Z =-∈∣C. {32,}xx k k Z =-∈∣ D. ∅2 若复数()()i 1i 2,R a a a +-=∈，则=a （ ）A. -1B. 0 ·C. 1D. 23. 执行下面的程序框遇，输出的B =（ ）A. 21B. 34C. 55D. 894.向量||||1,||a b c ==-= 0a b c ++= ，则cos ,a c b c 〈--〉= （ ）A. 15-B. 25-C.25D.455. 已知正项等比数列{}n a 中，11,n a S =为{}n a 前n 项和，5354S S =-，则4S =（ ）A. 7B. 9C. 15D. 306. 有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A. 0.8B. 0.4C. 0.2D. 0.17. “22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（ ）A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件.C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为，其中一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A.15B.C.D.9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A. 120B. 60C. 40D. 3010. 已知()f x 为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-的交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4,3,45AB PC PD PCA ===∠=︒，则PBC V 的面积为（ ）A.B.C.D. 12. 己知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（ ）A25B.C.35D.二、填空题13. 若2π(1)sin 2y x ax x ⎛⎫=-+++⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．14. 设x ，y 满足约束条件2333231x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+，则z 的最大值为____________．15. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为CD ，11A B 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．16. 在ABC V 中，2AB =，60,BAC BC ∠=︒=D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则AD =.三、解答题17. 已知数列{}n a 中，21a =，设n S 为{}n a 前n 项和，2n n S na =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18. 在三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AC ⊥底面ABC ，90ACB ∠=︒，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC AC =；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角正弦值．19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好）对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.426.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.214.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0（i ）求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．的k 0.100.050.010()20P k k ≥ 2.706 3.841 6.63520. 设抛物线2:2(0)C y px p =>，直线 2 10x y -+=与C 交于A ，B 两点，且||AB =．（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，0MF NF ⋅=，求MNF V 面积的最小值．21. 已知3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）若8a =，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．四、选做题22. 已知(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 参数），l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，||||4PA PB ⋅=．（1）求α的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 极坐标方程．23. 已知()2||, 0 f x x a a a =-->．（1）解不等式()f x x<（2）若()y f x =与坐标轴围成的面积为2，求a ．为的第5页/共5页。
2023全国高考甲卷理科数学试卷及解析
2023全国高考甲卷理科数学试卷及解析一、选择题1. ($\\frac{\\pi}{3}, \\frac{\\pi}{6}$)处的切线方程为：(A)$y=x\\sqrt{3}$(B)$y=-x\\sqrt{3}$(C)$y=\\frac{\\sqrt{3}}{2}x$(D)$y=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}x$【解析】导数为$f'(x)=\\sqrt{3}\\cos{\\frac{2x}{\\pi}}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，所以当$x=\\frac{\\pi}{3}$时，切线斜率为$f'(\\frac{\\pi}{3})=\\sqrt{3}\\cos{(\\frac{2}{3})}-\\frac{\\sqrt{3}}{2}=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，同时过点$(\\frac{\\pi}{3}, \\frac{\\sqrt{3}}{2})$，即可得到切线方程$y=-\\frac{\\sqrt{3}}{2}(x-\\frac{\\pi}{3})+\\frac{\\sqrt{3}}{2}x=\\frac{\\sqrt{3}}{2}(\\frac{\\pi}{3}-x)$，所以选(D)。
2. 设函数f(x)的反函数为f−1(x)，则$\\frac{\\text{d}}{\\text{d}x}f^{-1}(x)$等于：(A)$\\frac{1}{f'(x)}$(B)$\\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$(C)f′(f−1(x))(D)−f′(f−1(x))【解析】由反函数的定义知(f−1(x),x)在函数f(x)上，即f(f−1(x))=x，对x求导即可得到$f'(f^{-1}(x))\\cdot (f^{-1})'(x)=1$，故$(f^{-1})'(x)=\\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$，所以选(B)。
2023年高考全国甲卷数学(理)答案
2023年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年
年年年年参考答案
一、选择题
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】C
【11题答案】
【答案】C
【12题答案】
【答案】B
二、填空题
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】15
【15题答案】
第1页/共2页
第2页/共2页
【答案】12
【16题答案】
【答案】2
三、解答题
【17题答案】
【答案】（1）1n a n =-
（2）()1222n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）1313
【19题答案】
【答案】（1）分布列见解析，()1E X = （2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能
【20题答案】
【答案】（1）2p =
（2）1282-【21题答案】
【答案】（1）答案见解析.
（2）(,3]-∞
四、选做题
【22题答案】
【答案】（1）3π4
（2）cos sin 30ραρα+-=
【23题答案】
【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（226。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)
2023甲卷理科数学(记忆版)一、选择题1.设集合A ={x ∣x =3k +1,k ∈Z },B ={x ∣x =3k +2,k ∈Z }，U 为整数集，∁U (A ∪B )=()A.{x |x =3k ,k ∈Z }B.{x ∣x =3k -1,k ∈Z }C.{x ∣x =3k -2,k ∈Z }D.∅【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集Z =x |x =3k ,k ∈Z ∪x |x =3k +1,k ∈Z ∪x |x =3k +2,k ∈Z ，U =Z ，所以，∁U A ∪B =x |x =3k ,k ∈Z ．故选：A ．2.若复数a +i 1-ai =2,a ∈R ，则a =()A.-1B.0·C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为a +i 1-ai =a -a 2i +i +a =2a +1-a 2 i =2，所以2a =21-a 2=0，解得：a =1．故选：C .3.执行下面的程序框遇，输出的B =()A.21B.34C.55D.89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当n =1时，判断框条件满足，第一次执行循环体，A =1+2=3，B =3+2=5，n =1+1=2；当n =2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A =3+5=8，B =8+5=13，n =2+1=3；当n =3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A =8+13=21，B =21+13=34，n =3+1=4；当n =4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B =34．故选：B .4.向量|a |=|b |=-1,|c |=2，且a +b +c =0 ，则cos ‹a -c ,b -c ›=()A.-15B.-25C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为a +b +c =0 ,所以a +b =-c,即a 2+b 2+2a ⋅b =c 2,即1+1+2a ⋅b =2,所以a ⋅b =0.如图,设OA =a ,OB =b ,OC =c,由题知,OA =OB =1,OC =2,△OAB 是等腰直角三角形,AB 边上的高OD =22,AD =22,所以CD =CO +OD =2+22=322,tan ∠ACD =AD CD =13,cos ∠ACD =310,cos ‹a -c ,b -c›=cos ∠ACB =cos2∠ACD =2cos 2∠ACD -1=2×3102-1=45.故选:D .5.已知正项等比数列a n 中，a 1=1,S n 为a n 前n 项和，S 5=5S 3-4，则S 4=()A.7B.9C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出S 4.【详解】由题知1+q +q 2+q 3+q 4=51+q +q 2 -4,即q 3+q 4=4q +4q 2,即q 3+q 2-4q -4=0,即(q -2)(q +1)(q +2)=0.由题知q >0,所以q =2.所以S4=1+2+4+8=15.故选:C.6.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40，记“某人报足球俱乐部”事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B，则P(A)=5070=57,P(AB)=4070=47，所以P(B∣A)=P(AB)P(A)=4757=0.8.故选:A.7.“sin2α+sin2β=1”是“sinα+cosβ=0”的()A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当sin2α+sin2β=1时，例如α=π2,β=0但sinα+cosβ≠0，即sin2α+sin2β=1推不出sinα+cosβ=0；当sinα+cosβ=0时，sin2α+sin2β=(-cosβ)2+sin2β=1，即sinα+cosβ=0能推出sin2α+sin2β=1.综上可知，sin2α+sin2β=1是sinα+cosβ=0成立的必要不充分条件.故选：B8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A，B两点，则|AB|=()A.15B.55C.255D.455【答案】D【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e=5，则c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5，解得ba=2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d =|2×2-3|22+1=55，所以弦长|AB |=2r 2-d 2=21-15=455.故选：D9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120B.60C.40D.30【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为a ,b ,c ,d ,e ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A 24=12种方法，同理：b ,c ,d ,e 连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12=60种.故选：B .10.已知f x 为函数y =cos 2x +π6 向左平移π6个单位所得函数，则y =f x 与y =12x -12的交点个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得f x =-sin2x ，再作出f x 与y =12x -12的部分大致图像，考虑特殊点处f x 与y =12x -12的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为y =cos 2x +π6 向左平移π6个单位所得函数为y =cos 2x +π6 +π6=cos 2x +π2 =-sin2x ，所以f x =-sin2x ，而y =12x -12显然过0,-12与1,0 两点，作出f x 与y =12x -12的部分大致图像如下，考虑2x =-3π2,2x =3π2,2x =7π2，即x =-3π4,x =3π4,x =7π4处f x 与y =12x -12的大小关系，当x =-3π4时，f -3π4 =-sin -3π2 =-1，y =12×-3π4 -12=-3π+48<-1；当x=3π4时，f3π4=-sin3π2=1，y=12×3π4-12=3π-48<1；当x=7π4时，f7π4=-sin7π2=1，y=12×7π4-12=7π-48>1；所以由图可知，f x 与y=12x-12的交点个数为3.故选：C.11.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为()A.22B.32C.42D.52【答案】C【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得△PDO≅△PCO，△PDB≅△PCA，从而得到PA =PB，再在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，从而求得PB=17，由此在△PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=17，cos∠PCB=13，从而求得PA⋅PC=-3，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB,∠BPD的方程组，从而求得PB=17，由此在△PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD为正方形，AB=4，所以AC=BD=42，则DO=CO=22，又PC=PD=3，PO=OP，所以△PDO≅△PCO，则∠PDO=∠PCO，又PC=PD=3，AC=BD=42，所以△PDB≅△PCA，则PA=PB，在△PAC中，PC=3,AC=42,∠PCA=45°，则由余弦定理可得PA2=AC2+PC2-2AC⋅PC cos∠PCA=32+9-2×42×3×22=17，故PA=17，则PB=17，故在△PBC中，PC=3,PB=17,BC=4，所以cos∠PCB=PC2+BC2-PB22PC⋅BC=9+16-172×3×4=13，又0<∠PCB<π，所以sin∠PCB=1-cos2∠PCB=22 3，所以△PBC的面积为S=12PC⋅BC sin∠PCB=12×3×4×223=4 2.法二：连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，AB =4，所以AC =BD =42，在△PAC 中，PC =3,∠PCA =45°，则由余弦定理可得PA 2=AC 2+PC 2-2AC ⋅PC cos ∠PCA =32+9-2×42×3×22=17，故PA =17，所以cos ∠APC =PA 2+PC 2-AC 22PA ⋅PC =17+9-322×17×3=-1717，则PA ⋅PC =PA PC cos ∠APC =17×3×-1717=-3，不妨记PB =m ,∠BPD =θ，因为PO =12PA +PC =12PB+PD ，所以PA +PC 2=PB +PD 2，即PA 2+PC 2+2PA ⋅PC =PB 2+PD 2+2PB ⋅PD ，则17+9+2×-3 =m 2+9+2×3×m cos θ，整理得m 2+6m cos θ-11=0①，又在△PBD 中，BD 2=PB 2+PD 2-2PB ⋅PD cos ∠BPD ，即32=m 2+9-6m cos θ，则m 2-6m cos θ-23=0②，两式相加得2m 2-34=0，故PB =m =17，故在△PBC 中，PC =3,PB =17,BC =4，所以cos ∠PCB =PC 2+BC 2-PB 22PC ⋅BC=9+16-172×3×4=13，又0<∠PCB <π，所以sin ∠PCB =1-cos 2∠PCB =223，所以△PBC 的面积为S =12PC ⋅BC sin ∠PCB =12×3×4×223=4 2.故选：C .12.己知椭圆x 29+y 26=1，F 1,F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos ∠F 1PF 2=35，则|PO |=()A.25B.302C.35D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PF 1F 2面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF 1 PF 2 ,PF 1 2+PF 2 2，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出PF 1 2+PF 2 2，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设∠F 1PF 2=2θ,0<θ<π2，所以S △PF 1F 2=b 2tan ∠F 1PF 22=b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2=cos2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=35，解得：tan θ=12，由椭圆方程可知，a 2=9,b 2=6,c 2=a 2-b 2=3，所以，S △PF 1F 2=12×F 1F 2 ×y p =12×23×y p =6×12，解得：y 2p =3，即x 2p =9×1-36 =92，因此OP =x 2p +y 2p=3+92=302．故选：B ．方法二：因为PF 1 +PF 2 =2a =6①，PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 ∠F 1PF 2=F 1F 2 2，即PF 1 2+PF 2 2-65PF 1 PF 2 =12②，联立①②，解得：PF 1 PF 2 =152,PF 1 2+PF 2 2=21，而PO =12PF 1 +PF 2 ，所以OP =PO =12PF 1 +PF 2 ，即PO =12PF 1 +PF 2 =12PF 1 2+2PF 1 ⋅PF 2+PF 2 2=1221+2×35×152=302．故选：B ．方法三：因为PF 1 +PF 2 =2a =6①，PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 ∠F 1PF 2=F 1F 2 2，即PF 1 2+PF 2 2-65PF 1 PF 2 =12②，联立①②，解得：PF 1 2+PF 2 2=21，由中线定理可知，2OP 2+F 1F 2 2=2PF 1 2+PF 2 2=42，易知F 1F 2 =23，解得：OP =302．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13.若y =(x -1)2+ax +sin x +π2为偶函数，则a =．【答案】2【解析】【分析】利用偶函数的性质得到f -π2=f π2 ，从而求得a =2，再检验即可得解.【详解】因为y =f x =x -1 2+ax +sin x +π2=x -1 2+ax +cos x 为偶函数，定义域为R ，所以f -π2 =f π2 ，即-π2-1 2-π2a +cos -π2 =π2-1 2+π2a +cos π2，则πa =π2+1 2-π2-1 2=2π，故a =2，此时f x =x -1 2+2x +cos x =x 2+1+cos x ，所以f -x =-x 2+1+cos -x =x 2+1+cos x =f x ，又定义域为R ，故f x 为偶函数，所以a =2.故答案为：2.14.设x ，y 满足约束条件-2x +3y ≤33x -2y ≤3x +y ≥1，设z =3x +2y ，则z 的最大值为．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数y =-32x +z 2过点A 时，z 有最大值，由-2x +3y =33x -2y =3 可得x =3y =3 ，即A (3,3),所以z max =3×3+2×3=15.故答案为：1515.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CD ，A 1B 1的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．【答案】12【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取AB ，BB 1中点G ,M ，侧面BB 1C 1C 的中心为N ，连接FG ,EG ,OM ,ON ,MN ，如图，由题意可知，O为球心，在正方体中，EF=FG2+EG2=22+22=22，即R=2，则球心O到BB1的距离为OM=ON2+MN2=12+12=2，所以球O与棱BB1相切，球面与棱BB1只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216.在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°,BC=6，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B,C，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a，方法一：由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×cos60°=6，因为b>0，解得：b=1+3，由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得，1 2×2×b×sin60°=12×2×AD×sin30°+12×AD×b×sin30°，解得：AD=3b1+b2=231+33+3=2．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22+b2-2×2×b×cos60°=6，因为b>0，解得：b=1+3，由正弦定理可得，6sin60°=b sin B =2sin C ，解得：sin B =6+24，sin C =22，因为1+3>6>2，所以C =45°，B =180°-60°-45°=75°，又∠BAD =30°，所以∠ADB =75°，即AD =AB =2．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17.已知数列a n 中，a 2=1，设S n 为a n 前n 项和，2S n =na n ．(1)求a n 的通项公式；(2)求数列a n +12n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =n -1(2)T n =2-2+n 12n【解析】【分析】(1)根据a n =S 1,n =1S n -S n -1,n ≥2即可求出；(2)根据错位相减法即可解出．【小问1详解】因为2S n =na n ，当n =1时，2a 1=a 1，即a 1=0；当n =3时，21+a 3 =3a 3，即a 3=2，当n ≥2时，2S n -1=n -1 a n -1，所以2S n -S n -1 =na n -n -1 a n -1=2a n ，化简得：n -2 a n =n -1 a n -1，当n ≥3时，an n -1=a n -1n -2=⋯=a 32=1，即a n =n -1，当n =1,2,3时都满足上式，所以a n =n -1n ∈N * ．【小问2详解】因为a n +12n =n 2n ，所以T n =1×12 1+2×12 2+3×12 3+⋯+n ×12 n，12T n =1×12 2+2×12 3+⋯+(n -1)×12 n +n ×12 n +1，两式相减得，12T n =121+122+123+⋯+12n-n ×12n +1=12×1-12 n1-12-n ×12n +1，=1-1+n 2 12n，即T n =2-2+n 12n，n ∈N *．18.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=2，A 1C ⊥底面ABC ，∠ACB =90°，A 1到平面BCC 1B 1的距离为1．(1)求证：AC=A1C；(2)若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1313【解析】【分析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得A1O⊥平面BCC1B1，再由勾股定理求出O为中点，即可得证；(2)利用直角三角形求出AB1的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【小问1详解】如图，∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C,AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C,∴BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，过A1作A1O⊥CC1交CC1于O，又平面ACC1A1∩平面BCC1B1=CC1，A1O⊂平面ACC1A1，∴A1O⊥平面BCC1B1∵A1到平面BCC1B1的距离为1，∴A1O=1，在Rt△A1CC1中，A1C⊥A1C1,CC1=AA1=2，设CO=x，则C1O=2-x，∵△A1OC,△A1OC1,△A1CC1为直角三角形，且CC1=2，CO2+A1O2=A1C2，A1O2+OC21=C1A21，A1C2+A1C21=C1C2，∴1+x2+1+(2-x)2=4，解得x=1，∴AC=A1C=A1C1=2，∴AC=A1C【小问2详解】∵AC=A1C1,BC⊥A1C,BC⊥AC，∴Rt△ACB≌Rt△A1CB∴BA=BA1，过B作BD⊥AA1，交AA1于D，则D为AA1中点，由直线AA1与BB1距离为2，所以BD=2∵A1D=1，BD=2，∴A1B=AB=5，在Rt△ABC，∴BC=AB2-AC2=3，延长AC，使AC=CM，连接C1M，由CM∥A1C1,CM=A1C1知四边形A1CMC1为平行四边形，∴C1M∥A1C，∴C1M⊥平面ABC，又AM⊂平面ABC，∴C1M⊥AM则在Rt△AC1M中，AM=2AC,C1M=A1C，∴AC1=(2AC)2+A1C2，在Rt△AB1C1中，AC1=(2AC)2+A1C2，B1C1=BC=3，∴AB1=(22)2+(2)2+(3)2=13,又A到平面BCC1B1距离也为1，所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为113=1313.19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.4 6.6 6.8 6.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0(i)求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：<m≥m对照组实验组(ii)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k00.100.050.010P k2≥k02.7063.841 6.635【答案】(1)分布列见解析，E(X)=1(2)(i)m=23.4；列联表见解析，(ii)能【解析】【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；(2)(i)根所中位数的定义即可求得m=23.4，从而求得列联表；(ii)依用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则P (X =0)=C 020C 220C 240=1978，P (X =1)=C 120C 120C 240=2039，P (X =2)=C 220C 020C 240=1978，所以X 的分布列为：X012P 197820391978故E (X )=0×1978+1×2039+2×1978=1.【小问2详解】(i )依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,⋯，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以m =23.2+23.62=23.4，故列联表为：<m≥m 合计对照组61420实验组14620合计202040(ii )由(i )可得，K =40×(6×6-14×14)220×20×20×20=6.400>3.841，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20.设抛物线C :y 2=2px (p >0)，直线x -2y +1=0与C 交于A ，B 两点，且|AB |=415．(1)求p ；(2)设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，MF ⋅NF =0，求△MNF 面积的最小值．【答案】(1)p =2(2)12-82【解析】【分析】(1)利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；(2)设直线MN ：x =my +n ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,利用MF ⋅NF =0，找到m ,n 的关系，以及△MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设A x A ,y A ,B x B ,y B ，由x -2y +1=0y 2=2px可得，y 2-4py +2p =0，所以y A +y B =4p ,y A y B =2p ，所以AB =x A -x B 2+y A -y B 2=5y A -y B =5×y A +y B 2-4y A y B =415，即2p 2-p -6=0，因为p >0，解得：p =2．【小问2详解】因为F 1,0 ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x =my +n ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由y 2=4x x =my +n可得，y 2-4my -4n =0，所以，y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4n ，Δ=16m 2+16n >0⇒m 2+n >0，因为MF ⋅NF =0，所以x 1-1 x 2-1 +y 1y 2=0，即my 1+n -1 my 2+n -1 +y 1y 2=0，亦即m 2+1 y 1y 2+m n -1 y 1+y 2 +n -1 2=0，将y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4n 代入得，4m 2=n 2-6n +1，4m 2+n =n -1 2>0，所以n ≠1，且n 2-6n +1≥0，解得n ≥3+22或n ≤3-22．设点F 到直线MN 的距离为d ，所以d =n -1 1+m2，MN =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=1+m 2y 1-y 2 =1+m 216m 2+16n=21+m 24n 2-6n +1 +16n =21+m 2n -1 ，所以△MNF 的面积S =12×MN ×d =12×n -1 1+m2×21+m 2n -1 =n -1 2，而n ≥3+22或n ≤3-22，所以，当n =3-22时，△MNF 的面积S min =2-22 2=12-82．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到m ,n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.21.已知f (x )=ax -sin x cos 3x,x ∈0,π2 (1)若a =8，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )<sin2x 恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析.(2)(-∞,3]【解析】【分析】(1)求导,然后令t =cos 2x ,讨论导数的符号即可;(2)构造g (x )=f (x )-sin2x ,计算g (x )的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可.【小问1详解】f(x )=a -cos x cos 3x +3sin x cos 2x sin x cos 6x=a -cos 2x +3sin 2x cos 4x =a -3-2cos 2x cos 4x令cos 2x =t ,则t ∈(0,1)则f(x )=g (t )=a -3-2t t 2=at 2+2t -3t 2当a =8,f (x )=g (t )=8t 2+2t -3t 2=(2t -1)(4t +3)t 2当t ∈0,12 ,即x ∈π4,π2 ,f (x )<0.当t ∈12,1 ,即x ∈0,π4 ,f (x )>0.所以f (x )在0,π4 上单调递增,在π4,π2上单调递减【小问2详解】设g (x )=f (x )-sin2xg (x )=f (x )-2cos2x =g (t )-22cos 2x -1 =at 2+2t -3t 2-2(2t -1)=a +2-4t +2t -3t 2设φ(t )=a +2-4t +2t -3t2φ (t )=-4-2t2+6t 3=-4t 3-2t +6t 3=-2(t -1)(2t 2+2t +3)t 3>0所以φ(t )<φ(1)=a -3.1°若a ∈(-∞,3],g (x )=φ(t )<a -3≤0即g (x )在0,π2上单调递减,所以g (x )<g (0)=0.所以当a ∈(-∞,3],f (x )<sin2x ,符合题意.2°若a ∈(3,+∞)当t →0,2t -3t2=-31t -13 2+13→-∞,所以φ(t )→-∞.φ(1)=a -3>0.所以∃t 0∈(0,1),使得φt 0 =0,即∃x 0∈0,π2,使得g x 0 =0.当t ∈t 0,1 ,φ(t )>0,即当x ∈0,x 0 ,g (x )>0,g (x )单调递增.所以当x ∈0,x 0 ,g (x )>g (0)=0,不合题意.综上,a 的取值范围为(-∞,3].【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性t =cos x 在定义域内是减函数,若t 0=cos x 0,当t ∈t 0,1 ,φ(t )>0,对应当x ∈0,x 0 ,g (x )>0.四、选做题22.已知P (2,1)，直线l :x =2+t cos αy =1+t sin α(t 为参数)，l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，|PA |⋅|PB |=4．(1)求α的值；(2)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】(1)3π4(2)ρcos α+ρsin α-3=0【解析】【分析】(1)根据t 的几何意义即可解出；(2)求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ,B 两点，所以π2<α<π，令x =0，t 1=-2cos α，令y =0，t 2=-1sin α，所以PA PB =t 2t 1 =2sin αcos α =4sin2α=4，所以sin2α=±1，即2α=π2+k π，解得α=π4+12k π,k ∈Z ，因为π2<α<π，所以α=3π4．【小问2详解】由(1)可知，直线l的斜率为tanα=-1，且过点2,1，所以直线l的普通方程为：y-1=-x-2，即x+y-3=0，由x=ρcosα,y=ρsinα可得直线l的极坐标方程为ρcosα+ρsinα-3=0．23.已知f(x)=2|x-a|-a,a>0．(1)解不等式f(x)<x(2)若y=f(x)与坐标轴围成面积为2，求a．【答案】(1)a3,3a(2)263【解析】【分析】(1)分x≤a和x>a讨论即可;(2)写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x≤a,则f(x)=2a-2x-a<x,即3x>a,解得x>a3,即a3<x≤a,若x>a,则f(x)=2x-2a-a<x,解得x<3a,即a<x<3a,综上,不等式的解集为a3,3a .【小问2详解】f(x)=-2x+a,x≤a 2x-3a,x>a .画出f(x)的草图,则f(x)与坐标轴围成△ADO与△ABC△ABC的高为a,D(0,a),A a2,0,B3a2,0,所以|AB|=a所以S△OAD+S△ABC=12OA⋅a+12AB⋅a=34a2=2,解得a=263。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)
2023甲卷理科数学（记忆版）一、选择题1.设集合{31,},{32,}A xx k k Z B x x k k Z ∣∣，U 为整数集，()A BU ð（）A.{|3,}x x k k Z B.{31,}xx k k Z ∣C.{32,}xx k k Z ∣ D.【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集 |3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k Z Z Z Z ，U Z ，所以， |3,U A B x x k k Z ð．故选：A ．2.若复数 i 1i 2,R a a a ，则 a （）A.-1 B.0·C.1D.2【答案】C 【解析】【详解】因为22i 1i i i 21i 2a a a a a a a ，所以22210a a，解得：1a ．故选：C.3.执行下面的程序框遇，输出的B （）A.21B.34C.55D.89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1n 时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A ，325B ，112n ；当2n 时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A ，8513B ，213n ；当3n 时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A ，211334B ，314n ；当4n 时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B ．故选：B.4.向量||||1,||a b c0a b c，则cos ,a c b c（）A.15B.25C.25 D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c,所以a b c +=-rrr,即2222a b a b c,即1122a b rr ,所以0a b.如图,设,,OA a OB b OC c,由题知,1,OA OB OC OAB 是等腰直角三角形,AB 边上的高,22OD AD,所以23222CD CO OD,1tan ,cos3AD ACD ACD CD,2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD24215 .故选:D.5.已知正项等比数列 n a 中，11,n a S 为 n a 前n 项和，5354S S ，则4S （）A.7B.9C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S .【详解】由题知23421514q q q q q q,即34244q q q q ,即32440q q q ,即(2)(1)(2)0q q q .由题知0q ,所以2q =.所以4124815S .故选:C.6.有60人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1【答案】A 【解析】【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】报名两个俱乐部的人数为50607040 ，记“某人报足球俱乐部”为事件A ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B ，则505404(),()707707P A P AB ，所以4()7()0.85()7P AB P BA P A ∣.故选:A .7.“22sin sin 1 ”是“sin cos 0 ”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1 时，例如π,02但sin cos 0 ，即22sin sin 1 推不出sin cos 0 ；当sin cos 0 时，2222sin sin (cos )sin 1 ，即sin cos 0 能推出22sin sin 1 .综上可知，22sin sin 1 是sin cos 0 成立的必要不充分条件.故选：B8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b22(2)(3)1x y 交于A ，B 两点，则||AB （）A.15B.5C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e ，则222222215c a b b a a a，解得2ba，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x ，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d，所以弦长45||5AB.故选：D9.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.30【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有24A 12 种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有51260 种.故选：B.10.已知 f x 为函数πcos 26y x向左平移π6个单位所得函数，则 y f x 与1122y x 的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得 sin 2f x x ，再作出 f x 与1122y x 的部分大致图像，考虑特殊点处 f x 与1122y x的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x，所以 sin 2f x x ，而1122y x显然过10,2与 1,0两点，作出 f x 与1122y x的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x，即3π3π7π,,444x x x处 f x 与1122y x 的大小关系，当3π4x时，3π3πsin 142f，13π1π4284312y ；当3π4x时，3π3πsin 142f，13π13π412428y ；当7π4x时，7π7πsin 142f，17π17π412428y ；所以由图可知， f x 与1122y x 的交点个数为3.故选：C.11.在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，4,3,45AB PC PD PCA ，则PBC 的面积为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ，PDB PCA ，从而得到PA PB ，再在PAC △中利用余弦定理求得PA ，从而求得PB PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在PAC △中利用余弦定理求得PA ，1cos 3PCB，从而求得3PA PC ，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于,PB BPD 的方程组，从而求得PB 由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.【详解】法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB ，所以AC BD ，则DO CO ，又3PC PD ，PO OP ，所以PDO PCO ，则PDO PCO ，又3PC PD ，AC BD PDB PCA ，则PA PB ，在PAC △中，3,45PC AC PCA ，则由余弦定理可得2222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA ，故PA ，则PB故在PBC 中，43,P PB C C B ，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC ，又0πPCB，所以sin 3PCB，所以PBC的面积为11sin 34223S PC BC PCB .法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB，所以AC BD ，在PAC △中，3,45PC PCA ，则由余弦定理可得2222cos 32923172PA AC PC AC PC PCA，故PA ，所以222cos 217PA PC AC APC PA PC，则cos 3317PA PC PA PC APC，不妨记,PB m BPD ，因为1122PO PA PC PB PD ，所以22PA PCPB PD，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD，则 217923923cos m m ，整理得26cos 110m m ①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD ，即23296cos m m ，则26cos 230m m ②，两式相加得22340m ，故PB m ，故在PBC 中，43,P PB C C B ，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC ，又0πPCB ，所以sin 3PCB，所以PBC 的面积为11sin 34223S PC BC PCB .故选：C.12.己知椭圆22196x y ，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ，则||PO（）A.25B.302C.35D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP 的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PF PF PF PF ，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PF PF ，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设12π2,02F PF，所以122212tan tan 2PF F F PF S b b ，由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF，解得：1tan 2 ，由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ，所以，12121116222PF F p p S F F y y，解得：23p y ，即2399162p x，因此2OP ．故选：B ．方法二：因为1226PF PF a ①，222121212122PF PF PF PF F PF F F ，即2212126125PF PF PF PF②，联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF ，而1212PO PF PF ，所以1212OP PO PF PF ，即12122PO PF PF．故选：B ．方法三：因为1226PF PF a ①，222121212122PF PF PF PF F PF F F ，即2212126125PF PF PF PF②，联立①②，解得：221221PF PF ，由中线定理可知，222212122242OP F F PF PF ，易知12F F2OP．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13.若2π(1)sin 2y x ax x为偶函数，则 a ________．【答案】2【解析】【分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f，从而求得2a ，再检验即可得解.【详解】因为 22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ，即22ππππππ222222s a a，则22πππ2π1212a，故2a ，此时 2212cos 1cos f x x x x x x ，所以 221cos s 1co f x x x x x f x ，又定义域为R ，故 f x 为偶函数，所以2a .故答案为：2.14.设x ，y 满足约束条件2333231x y x y x y，设32z x y ，则z 的最大值为____________．【答案】15【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x 过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y可得33x y ，即(3,3)A ,所以max 332315z .故答案为：1515.在正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为CD ，11A B 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．【答案】12【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取AB ，1BB 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，EF ，即R，则球心O 到1BB 的距离为OM ，所以球O 与棱1BB 相切，球面与棱1BB 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1216.在ABC 中，2AB ，60,BAC BC，D 为BC 上一点，AD 为BAC 的平分线，则AD _________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b ，因为0b，解得：1b 由ABC ABD ACD S S S 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ，解得：1212AD b ．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b ，因为0b ，解得：1b由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C，解得：sin 4B ，sin 2C，因为145C ，180604575B ，又30BAD o ，所以75ADB ，即2AD AB ．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17.已知数列 n a 中，21a ，设n S 为 n a 前n 项和，2n n S na ．（1）求 n a 的通项公式；（2）求数列12n na的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n （2） 1222nn T n【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．【小问1详解】因为2n n S na ，当1n 时，112a a ，即10a ；当3n 时， 33213a a ，即32a ，当2n 时， 1121n n S n a ，所以 11221n n n n n S S a na n a ，化简得： 121n n n a n a ，当3n 时，131122n n a a an n ，即1n a n ，当1,2,3n 时都满足上式，所以 *1N a n n ．【小问2详解】因为122n n n a n ，所以12311111232222nn T n ，2311111112(1)22222nn n T n n，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T，11122n n，即 1222nn T n，*N n ．18.在三棱柱111ABC A B C -中，12AA ，1A C 底面ABC ，90ACB ，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）求证：1AC AC ；（2）若直线1AA 与1BB 距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得1A O 平面11BCC B ，再由勾股定理求出O 为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出1AB 的长及点A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.【小问1详解】如图，1AC ∵底面ABC ，BC 面ABC ，1AC BC ，又BC AC ，1,AC AC 平面11ACC A ，1AC AC C ,BC 平面ACC 1A 1，又BC 平面11BCC B ，平面11ACC A 平面11BCC B ，过1A 作11A O CC 交1CC 于O ，又平面11ACC A ∩平面111BCC B CC ，1AO 平面11ACC A ，1AO 平面11BCC B 1A ∵到平面11BCC B 的距离为1，11 AO ，在11Rt A CC △中，111112,AC AC CC AA ，设CO x ，则12C O x ，11111,,AOC AOC ACC ∵△△△为直角三角形，且12CC ，22211CO A O A C ，2221111A O OC C A ，2221111A C A C C C ，2211(2)4x x ，解得1x ，111AC AC AC 1AC A C【小问2详解】111,,AC AC BC AC BC AC ∵，1Rt Rt ACB ACB △≌△1BA BA ，过B 作1BD AA ，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点，由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD11A D ∵，2BD ，1A B AB ，在Rt ABC △，BC，延长AC ，使AC CM ，连接1C M ，由1111,CM AC CM AC ∥知四边形11ACMC 为平行四边形，11C M AC ∥，1C M 平面ABC ，又AM 平面ABC ，1C M AM则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M A C ，1AC在11Rt AB C △中，1AC，11B C BC1AB 又A 到平面11BCC B 距离也为1，所以1AB 与平面11BCC B 1313.19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g ）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.8 6.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i ）求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：（ii ）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k 0.100.050.01020P k k 2.7063.8416.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X （2）（i ）23.4m ；列联表见解析，（ii ）能【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；（2）（i ）根所中位数的定义即可求得23.4m ，从而求得列联表；（ii ）依用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ，120224010C C 20(1)C 39P X ，202020240C C 19(2)C 78P X ，所以X 的分布列为：X12P197820391978故192019()0121783978E X.【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6, ，故第20位为23.2，第21位数据为23.6，所以23.223.623.42m，故列联表为：mm合计对照组61420实验组14620合计202040（ii ）由（i ）可得，240(661414) 6.400 3.84120202020K ，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.20.设抛物线2:2(0)C y px p ，直线 2 10x y 与C 交于A ，B 两点，且||AB ．（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，M ，N 为C 上两点，0MF NF，求MNF 面积的最小值．【答案】（1）2p（2）12 【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；（2）设直线MN ：x my n ， 1122,,,,M x y N x y 利用0MF NF，找到,m n 的关系，以及MNF 的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设 ,,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px可得，2420y py p ，所以4,2A B A B y y p y y p ，所以A B AB y即2260p p ，因为0p ，解得：2p ．【小问2详解】因为 1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零，设直线MN ：x my n ， 1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n可得，2440y my n ，所以，12124,4y y m y y n ，22161600m n m n ，因为0MF NF，所以 1212110x x y y ，即 1212110my n my n y y ，亦即2212121110m y y m n y y n ，将12124,4y y m y y n 代入得，22461m n n ， 22410m n n ，所以1n ，且2610n n ，解得3n 3n ．设点F 到直线MN 的距离为d，所以d12MN y y1 ，所以MNF的面积2111122S MN d n，而3n 3n ，所以，当3nMNF的面积 2min 212S 【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.21.已知3sin π(),0,cos 2x f x ax x x（1）若8a ，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x 恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析.（2）(,3] 【解析】【分析】（1）求导,然后令2cos t x ,讨论导数的符号即可;（2）构造()()sin 2g x f x x ,计算()g x 的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可.【小问1详解】326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x22244cos 3sin 32cos cos cos x x x a a x x令2cos x t ,则(0,1)t 则2223223()()t at t f x g t a t t当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t 当10,2t,即ππ,,()042x f x.当1,12t ,即π0,,()04x f x.所以()f x 在π0,4 上单调递增,在ππ,42上单调递减【小问2详解】设()()sin 2g x f x x22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t 设223()24t a t t t 322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t t 所以()(1)3t a .1 若(,3]a ,()()0g x t a 即()g x 在0,2上单调递减,所以()(0)0g x g .所以当(,3],()sin 2a f x x ,符合题意.2 若(3,)a 当22231110,333t t t t ,所以()t .(1)30a .所以0(0,1)t ,使得 00t ,即00,2x,使得 00g x .当 0,1,()0t t t ,即当 00,,()0,()x x g x g x 单调递增.所以当 00,,()(0)0x x g x g ,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3] .【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性cos t x 在定义域内是减函数,若00cos t x ,当 0,1,()0t t t ,对应当 00,,()0x x g x.四、选做题22.已知(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t （t 为参数），l 与x 轴，y 轴正半轴交于A ，B 两点，||||4PA PB ．（1）求 的值；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2，令0x ，12cos t ，令0y ，21sin t ，所以21244sin cos sin 2PA PB t t，所以sin 21 ，即π2π2k ，解得π1π,42k k Z ，因为ππ2 ，所以3π4．【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1 ，且过点 2,1，所以直线l 的普通方程为： 12y x ，即30x y ，由cos ,sin x y 可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30 ．23.已知()2||, 0 f x x a a a ．（1）解不等式()f x x（2）若()y f x 与坐标轴围成的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a （2）263【解析】【分析】（1）分x a 和x a 讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ,则()22f x a x a x ,即3x a ,解得3a x ,即3a x a ,若x a ,则()22f x x a a x ,解得3x a ,即3a x a ,综上,不等式的解集为,33a a.【小问2详解】2,()23,x a x a f x x a x a.画出()f x 的草图,则()f x 与坐标轴围成ADO △与ABCABC 的高为3,(0,),,0,,022a a a D a A B,所以|| AB a 所以21132224OAD ABC S S OA a AB a a ,解得263a第25页/共25页。
2023年高考全国甲卷数学(理)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题1. 设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（ ） A. {|3,}x x k k =∈Z B. {31,}x x k k Z =−∈∣ C. {32,}x x k k Z =−∈∣ D. ∅【答案】A 【解析】【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z U U ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z U ð． 故选：A ．2. 设()()R,i 1i 2,a a a ∈+−=，则=a （ ） A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a+−=−++=+−=，所以22210a a =⎧⎨−=⎩，解得：1a =． 故选：C.3. 执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A. 21B. 34C. 55D. 89【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=； 当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=； 当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=； 当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =． 故选：B.4. 已知向量,,a b c r r r 满足1,2a b c ===r r r ，且0a b c ++=r r r r ，则cos ,a c b c 〈−−〉=r r r r （ ）A. 45−B. 25−C.25D.45【答案】D 【解析】【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为0a b c ++=rrrr,所以a b c +=-rrr,即2222a b a b c ++⋅=rrrr r,即1122a b ++⋅=r r ,所以0a b ⋅=rr .如图,设,,OA a OB b OC c ===u u u r u u u r u u u r r r r ,由题知,1,2,OA OB OC OAB ===V 是等腰直角三角形,AB 边上的高22,22OD AD ==, 所以232222CD CO OD =+==, 1tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠==∠=, 2cos ,cos cos 22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈−−〉=∠=∠=∠−r r r r2421510=⨯−=. 故选:D.5. 设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =−，则4S =（ ） A.158B.658C. 15D. 40【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S . 【详解】由题知()23421514q q q q q q++++=++−,即34244q q q q +=+,即32440q q q +−−=,即(2)(1)(2)0q q q −++=. 由题知0q >,所以2q =. 所以4124815S =+++=. 故选:C.6. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6C. 0.5D. 0.4【答案】A 【解析】【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为0.50.60.70.4+−=，记“该同学爱好滑雪”为事件A ,记“该同学爱好滑冰”为事件B ， 则()0.5,()0.4P A P AB ==，所以()0.4()0.8()0.5P AB P BA P A ===∣.故选:A .7. 设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠， 即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=−+=， 即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y −+−=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A.55B.55C.355D.55【答案】D 【解析】【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由5e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=， 所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离25521d ==+， 所以弦长22145||22155AB r d =−=−=. 故选：D9. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60C. 30D. 20【答案】B 【解析】【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.10. 函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =−的交点个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =−，再作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =−的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =−，而1122y x =−显然过10,2⎛⎫− ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =−的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =−==，即3π3π7π,,444x x x =−==处()f x 与1122y x =−的大小关系，当3π4x =−时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫−=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯−−=−<− ⎪⎝⎭； 当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，13π13π412428y −=⨯−=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，17π17π412428y −=⨯−=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =−的交点个数为3. 故选：C.11. 已知四棱锥P ABCD −的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC V 的面积为（ ）A. 22B. 32C. 2D. 2【答案】C 【解析】【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ≅V V ，PDB PCA ≅V V ，从而得到PA PB =，再在PAC △中利用余弦定理求得17PA =，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；法二：先在PAC △中利用余弦定理求得17PA =1cos 3PCB ∠=，从而求得3PA PC ⋅=−u u u r u u u r ，再利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于,PB BPD ∠的方程组，从而求得17PB 由此在PBC V 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】法一：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD ==22DO CO ==， 又3PC PD ==，PO OP =，所以PDO PCO ≅V V ，则PDO PCO ∠=∠， 又3PC PD ==，42AC BD ==PDB PCA ≅V V ，则PA PB =， 在PAC △中，3,42,45PC AC PCA ==∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=， 故17PA =，则17PB故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 法二：连结,AC BD 交于O ，连结PO ，则O 为,AC BD 的中点，如图，因为底面ABCD 为正方形，4AB =，所以42AC BD == 在PAC △中，3,45PC PCA =∠=︒，则由余弦定理可得22222cos 329223172PA AC PC AC PC PCA =+−⋅∠=+−⨯⨯=，故17PA =，所以22217cos 2172173PA PC AC APC PA PC +−∠===−⋅⨯⨯，则17cos 173317PA PC PA PC APC ⎛⋅=∠=⨯−=− ⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以()()22PA PC PB PD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则()217923923cos m m θ++⨯−=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+−=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+−⋅∠，即23296cos m m θ=+−，则26cos 230m m θ−−=②，两式相加得22340m −=，故17PB m ==故在PBC V 中，7,43,1P PB C C B ===，所以222916171cos 22343PC BC PB PCB PC BC +−+−∠===⋅⨯⨯，又0πPCB <∠<，所以222sin 1cos 3PCB PCB ∠=−∠=， 所以PBC V 的面积为1122sin 342223S PC BC PCB =⋅∠=⨯⨯⨯= 故选：C.12. 设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=两个焦点，点 P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（ ）A.135B.302C.145D.352【答案】B 【解析】【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可得到点P 的坐标，从而得出OP 的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出221212,PF PF PF PF +，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出2212PF PF +，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设12π2,02F PF θθ∠=<<，所以122212tantan 2PF F F PF S b b θ∠==V ， 由22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos +sin 1tan 5F PF θθθθθθθ−−∠====+，解得：1tan 2θ=， 由椭圆方程可知，222229,6,3a b c a b ===−=， 所以，1212111236222PF F p p S F F y y =⨯⨯=⨯=⨯V ，解得：23p y =， 即2399162p x ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭，因此22930322p p OP x y =+=+=． 的故选：B ．方法二：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=，即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②， 解得：22121215,212PF PF PF PF =+=， 而()1212PO PF PF =+u u u r u u u r u u u u r ，所以1212OP PO PF PF ==+u u u r u u u r u u u u r， 即22121122111315302212222522PO PF PF PF PF PF PF =+=+⋅+=+⨯⨯=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ． 故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，222121212122PF PF PF PF F PF F F +−∠=， 即2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②，解得：221221PF PF +=， 由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，易知1223F F =302OP =．故选：B ．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．二、填空题13. 若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=−+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________． 【答案】2 【解析】【分析】利用偶函数性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解. 【详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==−+++=−++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ， 所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−+ ⎪ −⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⎝+⎭，的则22πππ2π1212a −⎛⎫⎛⎫=+− ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =−++=++，所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x −=−++++−==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.14. 若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y −≤⎧⎪−+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．【答案】15 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可. 【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322zy x =−+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y −+=⎧⎨−=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=. 故答案为：1515. 在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 【答案】12 【解析】【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，由题意可知，O 为球心，在正方体中，22222222EF FG EG =+=+=即2R =，则球心O 到1CC 的距离为2222112OM ON MN =+=+=，所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱1CC 只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12. 故答案为：1216. 在ABC V 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________． 【答案】2 【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由ABC ABD ACD S S S =+V V V 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯o o o ， 解得：2313323312b AD b +===++． 故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +−⨯⨯⨯=o ，因为0b >，解得：13b =+ 由正弦定理可得，62sin 60sin sin b B C==o，解得：62sin 4B =，2sin 2C =， 因为1362+>>45C =o ，180604575B =−−=o o o o ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠=o ，即2AD AB ==． 故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．三、解答题17. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）1n a n =−（2）()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n −=⎧=⎨−≥⎩即可求出；（2）根据错位相减法即可解出． 【小问1详解】因为2n n S na =，当1n =时，112a a =，即10a =； 当3n =时，()33213a a +=，即32a =，当2n ≥时，()1121n n S n a −−=−，所以()()11221n n n n n S S a na n a −−−==−−， 化简得：()()121n n n a n a −−=−，当3n ≥时，131122n n a a an n −====−−L ，即1n a n =−， 当1,2,3n =时都满足上式，所以()*1N n a n n =−∈．【小问2详解】因为122n n n a n +=，所以12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，2311111112(1)22222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++−⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，两式相减得，123111111111222222111222211n n nn n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+−⎝=−⎭⨯−⨯L ， 11122n n ⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()1222nn T n ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，*N n ∈．18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．（1）证明：1AC AC =； （2）已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析 （2）1313【解析】【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得1AO ⊥平面11BCC B ，再由勾股定理求出O 为中点，即可得证；（2）利用直角三角形求出1AB 的长及点A 到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【小问1详解】 如图，1A C ⊥Q 底面ABC ，BC ⊂面ABC ，1AC BC ∴⊥，又BC AC ⊥，1,AC AC ⊂平面11ACC A ，1AC AC C ⋂=, BC ∴⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂平面11BCC B ，∴平面11ACC A ⊥平面11BCC B ，过1A 作11AO CC ⊥交1CC 于O ，又平面11ACC A I 平面111BCC B CC =，1A O ⊂平面11ACC A ， 1A O ∴⊥平面11BCC B1A Q 到平面11BCC B 的距离为1，11∴=AO ， 在11Rt ACC △中，111112,AC AC CC AA ⊥==，设CO x =，则12C O x =−，11111,,AOC AOC ACC Q △△△为直角三角形，且12CC =，22211CO AO AC +=，2221111AO OC C A +=，2221111AC AC C C +=，2211(2)4x x ∴+++−=，解得1x =，1112AC AC AC ∴=== 1A C AC ∴=小问2详解】111,,AC AC BC AC BC AC =⊥⊥Q ， 1Rt Rt ACB ACB ∴△≌△ 1BA BA ∴=，过B 作1BD AA ⊥，交1AA 于D ，则D 为1AA 中点， 由直线1AA 与1BB 距离为2，所以2BD =11A D =Q ，2BD =，15A B AB ∴==，在Rt ABC △，223BC AB AC ∴=−=，延长AC ，使AC CM =，连接1C M ，由1111,CM AC CM AC =∥知四边形11ACMC 为平行四边形， 11C M A C ∴∥，1C M ∴⊥平面ABC ，又AM ⊂平面ABC ，1C M AM ∴⊥则在1Rt AC M △中，112,AM AC C M AC ==，2211(2)AC AC AC ∴=+ 在11Rt AB C △中，2211(2)AC AC AC =+，113B C BC == 2221(22)(2)(3)13AB ∴=++=又A 到平面11BCC B 距离也为1， 所以1AB 与平面11BCC B 131313=. 19. 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.（1）设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；【（2）实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m <m ≥对照组 实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d −=++++ 0k0.100 0.050 0.010()20P k k ≥2.7063.841 6.635【答案】（1）分布列见解析，()1E X = （2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能 【解析】【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望； （2）（i ）根据中位数的定义即可求得23.4m =，从而求得列联表； （ii ）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【小问1详解】依题意，X 的可能取值为0,1,2，则022020240C C 19(0)C 78P X ===，120224010C C 20(1)C 39P X ===，202020240C C 19(2)C 78P X ===， 所以X 分布列为：X12P1978 20391978故192019()0121783978E X =⨯+⨯+⨯=. 【小问2详解】（i ）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2，第21位数据为23.6， 所以23.223.623.42m +==，故列联表为：m <m ≥合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计202040（ii ）由（i ）可得，2240(661414) 6.400 3.84120202020K ⨯⨯−⨯==>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 20. 已知直线210x y −+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||415AB =（1）求p ；（2）设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，求MFN △面积的最小值． 【答案】（1）2p = （2）1282−【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出p ；的（2）设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,,M x y N x y 利用0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，找到,m n 的关系，以及MFN △的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设()(),,,A A B B A x y B x y ，由22102x y y px−+=⎧⎨=⎩可得，2420y py p −+=，所以4,2A B A B y y p y y p +==， 所以()()()222554415A B A B A B A B A B AB x x y y y y y y y =−+−=−=+−=即2260p p −−=，因为0p >，解得：2p =．【小问2详解】因为()1,0F ，显然直线MN 的斜率不可能为零， 设直线MN ：x my n =+，()()1122,,,M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩可得，2440y my n −−=，所以，12124,4y y m y y n +==−， 22161600m n m n ∆=+>⇒+>，因为0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，所以()()1212110x x y y −−+=， 即()()1212110my n my n y y +−+−+=，亦即()()()()2212121110m y y m n y y n ++−++−=，将12124,4y y m y y n +==−代入得，22461m n n =−+，()()22410m n n +=−>，所以1n ≠，且2610n n −+≥，解得322n ≥+或322n ≤−． 设点F 到直线MN 的距离为d ，所以211n d m−=+()()22222121212111616MN x x y y m y y m m n =−+−=+−=++()2222146116211m n n n m =+−++=+−，所以MFN △的面积()2221112111221n S MN d m n m −=⨯⨯=+−=−+，而322n ≥+322n ≤−，所以，当322n =−MFN △的面积(2min 2221282S =−=−．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到,m n 的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 21. 已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭（1）当8a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析. （2）(,3]−∞ 【解析】【分析】（1）求导,然后令2cos t x =,讨论导数的符号即可;（2）构造()()sin 2g x f x x =−,计算()g x '的最大值,然后与0比较大小,得出a 的分界点,再对a 讨论即可. 【小问1详解】326cos cos 3sin cos sin ()cos x x x x xf x a x'+=− 22244cos 3sin 32cos cos cos x x xa a x x+−=−=−令2cos x t =,则(0,1)t ∈则2223223()()t at t f x g t a t t'−+−==−= 当222823(21)(43)8,()()t t t t a f x g t t t'+−−+==== 当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即ππ,,()042x f x '⎛⎫∈< ⎪⎝⎭. 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即π0,,()04x f x '⎛⎫∈> ⎪⎝⎭.所以()f x π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 【小问2详解】设()()sin 2g x f x x =−()22222323()()2cos 2()22cos 12(21)24at t g x f x x g t x t a t t t t ''+−=−=−−=−−=+−+−设223()24t a t t t ϕ=+−+− 322333264262(1)(22+3)()40t t t t t t t t t tϕ'−−+−+=−−+==−> 所以()(1)3t a ϕϕ<=−. 1︒若(,3]a ∈−∞,()()30g x t a ϕ'=<−≤即()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()(0)0g x g <=. 所以当(,3],()sin 2a f x x ∈−∞<,符合题意.2︒若(3,)a ∈+∞ 当22231110,333t t t t ⎛⎫→−=−−+→−∞ ⎪⎝⎭,所以()t ϕ→−∞. (1)30a ϕ=−>.所以0(0,1)t ∃∈,使得()00t ϕ=,即00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x '=. 当()0,1,()0t t t ϕ∈>,即当()00,,()0,()x x g x g x '∈>单调递增.所以当()00,,()(0)0x x g x g ∈>=,不合题意.综上,a 的取值范围为(,3]−∞.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性cos t x =在定义域内是减函数,若00cos t x =,当()0,1,()0t t t ϕ∈>,对应当()00,,()0x x g x '∈>. 四、选做题在22. 已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．（1）求α；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】（1）3π4（2）cos sin 30ρθρθ+−=【解析】【分析】（1）根据t 的几何意义即可解出；（2）求出直线l 的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．【小问1详解】因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<， 令0x =，12cos t α=−，令0y =，21sin t α=−， 所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±， 即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ， 因为ππ2α<<，所以3π4α=． 【小问2详解】由（1）可知，直线l 的斜率为tan 1α=−，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x −=−−，即30x y +−=，由cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+−=． 23. 设0a >，函数()2f x x a a =−−．（1）求不等式()f x x <的解集；（2）若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2【解析】【分析】（1）分x a ≤和x a >讨论即可;（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.【小问1详解】若x a ≤,则()22f x a x a x =−−<,即3x a >,解得3a x >,即3a x a <≤, 若x a >,则()22f x x a a x =−−<,解得3x a <,即3a x a <<,综上,不等式的解集为,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【小问2详解】 2,()23,x a x a f x x a x a −+≤⎧=⎨−>⎩. 画出()f x 的草图,则()f x 与x 轴围成ABC V ,ABC V 的高为3,,0,,022a a a A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以||=AB a , 所以211||222ABC S AB a a =⋅==V ,解得2a =.。
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全国甲卷2023高考理科数学试卷
全国甲卷2023高考理科数学试卷(含答案)
新高考数学各知识点所占比如下：
一、分数占比
1、集合5分
2、三大函数5分
3、立体几何初步12分+5分
4、平面几何初步5分+12分
5、算法初步5分
6、统计5分
7、概率5分+12分
8、三角函数恒等变换5分+5分+12分
9、平面向量5分
10、解三角形5分+12分
11、数列5分+12分
12、不等式5分+12分
13、常用逻辑用语5分
14、圆锥曲线与方程5分+12分
15、空间向量与立体几何5分+12分
16、导数及应用5分+12分
17、推理与证明12分
18、数系扩充与复数的引入5分
19、计数原理5分
20、坐标系与参数方程10分
二、题型
1、选择+填空（8题单选+4题多选+4题填空）16道，每道5分，共80分。
占总分的大半。
送分题、基础题较多，以书上性质、公式的运用为主。
2、集合、复数：默认送分题。
平面向量：能建系尽量建系做。
计数原理：以二次项定理与分配问题居多。
统计与概率：可能会在读题上挖坑。
其他：命题、各章基本概念、计算（不等式或者比大小）
3、中高档题会以几何或函数为主，可能会考新定义题。
几何：解三角形、立体几何、解析几何。
函数：函数（指对幂、正余切）的性质（单调奇偶对称周期）与图像（识别和变换）、简单求导、构造函数（常见于指对数比大小）。
4、新定义题：近年来高考的趋势，题干给出一个新的定义（高中课本里没学过的），然后让你利用其解题。
难度一般都不会太大，只要严格按照题干描述一步一步做就行。
高考数学为什么这么重要？
数学是最好得分的科目，同时数学又是高考成败的关键。
多少学子因为数学成绩而走向不同的大学。
从某种意义上讲，高一高二的基础很重要，高一高二有
没有“弄懂”将在很大程度上影响高三复习的进度，如果基础打得牢，高三可以向更高的层次冲一把，如果自认为基础有些薄弱，也不是完全没办法，一轮复习将在很大程度上弥补以前的弱势。
首先建议看看自己来年参加的考试的试卷题型分布，在复习方面，进入高三，哪些知识点只属于识记和基础理解层次，哪些知识点属于重难点。
非重难点可以不独立安排复习时间，因为跟着老师的进度就可以得分，如集合、命题及其关系、充分条件与必要条件、程序框图、复数等内容，但是一定要保证此类问题属于自己的必拿分题目。
其次，对其他的整个知识体系的版块有一个基本认识，可分为以下板块：函数的基本题型、函数与导数、三角函数相关内容、平面向量和空间向量、立体几何、数列、不等式、解析几何初步、圆锥曲线、统计与概率，选修内容不同省份安排不一样：极坐标、不等式、平面几何等。