第23届全国中学生物理竞赛决赛试题与详细解答
第36届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题与解答
第36届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题与解答2019年9月26日一、新型号汽车在出厂前都要通过破坏性试验. 在某次汽车测试中，一个汽车轮子的三根辐条被撞掉了其中一根，轮子的横截面如图所示．该轮子可视为内、外半径分别为1045R R =、R 0的轮盘和两根辐条组成（假设轮盘可视为匀质环形圆盘，辐条可视为匀质细杆，每根辐条的质量为m ．轮盘的质量为8M m =，轮子从图a所示位置由静止开始释放，释放时轮子上两辐条所张角的平分线恰好水平，此后该轮子在水平地面上做纯滚动．求 1）刚释放时轮子的角加速度；2）释放后辐条OB 首次转到竖直位置时，轮子的角加速度、地面对轮子的摩擦力和支持力．参考解答：轮盘对过O 点且与轮面垂直的轴的转动惯量为()()0124422O10101112πd π22R R J r r r R R M R R σσ=⋅⋅=-=+⎰ 式中σ是轮环面单位面积上的质量. 两根辐条对该O 轴的转动惯量为 2O21123J mR =⨯ 轮子对O 轴的总转动惯量为()222O O1O210011524346275J J J M m R MR mR =+=++= (1) 以轮子中心O 为坐标原点，建立如解题图a 所示的坐标系. 令 210M M m m '=+= 轮子质心C 的x -坐标为()()()101C0/2225M m m R R mR x M M '+⋅+-⋅-===''(2) 由平行轴定理，求得轮子对过质心C 且与轮面垂直的轴的转动惯量为22C O C 02614375J J M x mR '=-=(3) 在辐条OB 从初始位置转到竖直位置的过程中，任一位置对轮子在地面做纯滚动的瞬时轴P 的转动惯量为2P C CP22C 0C 0C 22C 0C 0C π [2cos()]2(2sin )J J M r J M R x R x J M R x R x θθ'=+'=++--'=++- (4)其中θ为质心C 从起始位置到当前位置所转过的角度，如解题图b 所示.由机械能守恒定律有解题图b图a2P C 1sin 2J M g x ωθ'= (5) 由此得2C P2sin M g x J θω'=将 (4)式代入(5)式后，方程两边对t 求导，可求得转动角加速度α 20C P C 1(2cos )cos 2M R x J M gx ωθωωαθω''-⋅+=⋅ 结果为2C 0Pcos ()M x g R J θωα'+=(6) 1）轮子从图a 所示位置由静止开始释放时，0θ=，由(4)式得，轮子对瞬时轴P 的转动惯量为()()222222,00000261412741037575P C C C J J M R x mR m R x mR θ='=++=++= 此时0ω=，由(6)式得C 0,0015637P M g x gJ R θθα=='==(7) [或者直接用对任意瞬时轴P 的转动定律求解 d ()d PP PC p M t'=+⨯-L M r α 但此时轮子刚开始转动，角速度为零，相对于地面接触点的加速度p α（20R ω）为零，故 ,0P CJ M g x θα='=⋅则此时的转动角加速度C 0,0015637P M g x gJ R θθα=='==(7) ]2）当辐条OB 转到竖直位置时，30θ=︒，由(4)式得()222,3000012442sin3075P C C C J J M R x R x mR θ=︒'=++-︒=由(5)式得230,3002sin3015622C P M g x gJ R θθω=︒=︒'︒==(8) 由(6)式得()230030,300cos30C P M x g R J θθθωα=︒=︒=︒'︒+=据题意，轮子中心O 相对于地面的加速度O a 和质心C 相对于轮子中心O 的切向加速度CO ta 与法向加速度CO n a 分别为O 0a R α=，CO C t a x α=，2CO C n a x ω= (10)质心C 相对地面参考系的加速度（见解题图c ）sin cos sin cos t nCx O CO CO n tCy CO CO a a a a a a a θθθθ=--=- (11)根据质心运动定理可求此时的摩擦力f F 和支持力N FP解题图cfCx f Cy N M a F M a F M g '=''=- (12)联立以上各式可解得7735679=773768f N F F mg =(13)上述结果可以用0cos (sin )C N C f C J F x F R x αθθ=--来验证.二、一个长为l 、内外半径分别为a 和b 的半圆柱体由两种不同的耗损电介质构成，它们的相对介电常数和电导率分别为：εr 1和σ1（00ϕθ≤< 区域），εr 2和σ2（0πθϕ<≤ 区域），其横截面如图a 所示；在半圆柱两侧底部镀有金属膜，两金属膜间加有直流电压V 0，并达到稳定. 已知真空介电常量为ε0，两种介质的相对介电常数大、电导率小. 忽略边缘效应. 1）求介质内电场强度和电势的分布； 2）求ϕ = θ0 界面处的总电荷；3）分别计算00ϕθ≤< 和0πθϕ<≤两介质区域的电阻和电容；4）在t = 0时刻断开电源，求随后的两金属膜间电压随时间的变化（该过程可视为似稳过程），并画出相应的等效电路图.参考解答：1）考虑某一半径为r 的半圆周，如解题图a 所示. 设00ϕθ≤< 区域、0πθϕ<≤区域的电场强度与电位移矢量大小分别为E 1和D 1、E 2和D 2，方向均沿角向. 由电流的连续性和欧姆定律有121122, J J E E σσ== (1) 两介质上的电压之和为10200()E r E r V θπθ+-= (2) 由(1)(2)式得11002[()]V E rσθπθσ=+- (3) 022001[()]V E r σθπθσ=+- (4)假设负极板电势为零，由电势和电场强度之间的关系得 ： 对于00ϕθ≤<区域， 1002010********2()()[1]()()V V E r V V ϕσθϕπθϕσϕσσθπθθπθσσ-+-=-=-=+-+- (5)对于0πθϕ<≤区域，01020000122000000211() [1]=()()()V V E r E r V V ϕθϕθθϕθπϕσσσθπθθπθθπθσσσ=-----=--+-+-+- (6)2）在ϕ = θ0的界面上的总电荷密度为100002021002110000001221()[()][()]()e V V E E V r r r σεεσσεεσσσθπθθπθθπθσσσ-=-=-=+-+-+- (7)在ϕ = θ0的界面上的总电荷为图a解题图a10201002(1)ln()b e a b l a Q ldr V σεσσσθπθσ-==+-⎰ (8) 3）计算介质区域00~ϕθ=的电容C 1. 设半圆柱体的右极板上r 处的自由电荷密度为σe01,，有1000111011002[()]r e r V D E rεεσεεσθπθσ===+- (9)右极板上总的自由电荷100100010111000022ln [()]()b b r r e a a V l V l bQ ldr dr ar εεεεσσσθπθθπθσσ===+-+-⎰⎰ (10)0ϕ=与0ϕθ=之间电势差0010101002()V V E r θθσθπθσ==+- (11)介质区域00~ϕθ=的电容C 1为01101100ln r Q l bC V aεεθ== (12)计算介质区域0~πϕθ=的电容C 2. 设半圆柱体左极板上r 处的自由电荷密度为σe02，有2000222022001[(π)]r e r V D E r εεσεεσθθσ===+- (13)左极板上的自由电荷为200200020222000011ln [(π)](π)b b r r e a a V l V l bQ ldr dr a r εεεεσσσθθθθσσ===+-+-⎰⎰ (14)0ϕθ=与πϕ=之间电势差为002020201(π)(π)(π)V V E r θθσθθσ-=-=+- (15)介质区域0~πϕθ=区域的电容C 2为02202200ln πr Q l bC V aεεθ==- (16)计算介质区域00~ϕθ=的电阻R 1：考虑r 处厚度为d r 的半圆柱壳（见解题图a ）. 该半圆柱壳在介质区域00~ϕθ=中的部分的电导为110ldrdG rσθ=介质区域00~ϕθ=的电导为11100ln b a ldr l bG r aσσθθ==⎰ 相应的电阻为0111==ln R bG l aθσ (17)计算介质区域0~πϕθ=的电阻R 2. 所考虑的半圆柱壳在介质区域0~πϕθ=中的部分的电导为220()ldrdG rσπθ=-介质区域0~πϕθ=的电导为22200ln ()b a ldr l bG r aσσπθπθ==--⎰相应的电阻为2221==ln R bG l aπθσ- (18)4）当断开电源后，形成两个相互独立的RC 回路，其等效电路如解题图b 所示，其电势差从V 10和V 20分别衰减到零. 0i i iq iR C +=式中下标1,2i =分别对应于第一、二个RC 回路，而i q 是断开电源后t 时刻电容i C 正极板上所到的电量. 上式即1i i i idq q R C =-解为10i it R C i q q e -=式中0q 是断开电源时电容i C 正极板上所到的电量，或1100i i i i tt R C R C i i i i iq q V e V e C C --=== (19)式中0101011101111011=ln =, lnr r l b R C b a R C l aθεεεεσθσεεσ⨯= (20) 0202022202222021=ln =, lnr r r l b R C b a R C l aπθεεεεσπθσεεσ-⨯=- (21) 于是1100011002() (π)t V V t e σεεθσθθσ-=+- (22)220002201(π)()πr t V V t eσεεθσθθσ--=+- (23)两金属膜之间的电压为1210200000121200021(π)()()()(π)πr t t V V V t V t V t e e σσεεεεθθσσθθθθσσ---=+=++-+- (24)解题图b1V三、 用超导重力仪对地球表面重力加速度的微小变化及其分布进行长期高精度观测，可获得地幔运动、质量分布、固体潮汐、地下水和矿产分布等地球内部结构信息，以及海洋潮汐、气候变化等外部数据. 超导重力仪灵敏度高（可达地表重力加速度的910-）、稳定性强，是目前地球科学领域广泛采用的重力观测装置. 随着分布于全球的超导重力仪数目的增加、观测网络的建立和数据共享，为地球科学的发展、万有引力规律的精确检验等等提供了新的机遇. 试就有关地下水分布引起的重力变化、超导重力仪原理等问题给出回答. 1）假设地球可视为一个半径为6370 km 的均匀球体，其表面重力加速度g 0=9.80 2m s -⋅ （不考虑地球自转）. 现某处地下有一个直径为20 km 充满水的球形地下湖，其球心离地面15 km. 求地下湖正上方地表处重力加速度的微小变化∆g . 已知万有引力常量116.6710G -=⨯ 22N m kg -⋅⋅，水的密度ρ水 = 1.0⨯103 3kg m -⋅.2）超导重力仪的核心部件是悬浮在磁场中、由金属铌（Nb ）制成的超导球壳，为计算方便起见，这里简化为超导细环（见图a ）. 悬浮磁场由准亥姆霍兹（Helmholtz ）线圈提供，它由匝数分别为αN 和N 的上、下两个同轴细超导线圈（ α < 1）串联而成，两线圈的半径及其中心之间的距离均为R . 超导重力仪调试前，亥姆霍兹线圈和超导细环中的电流均为零，超导细环处在下线圈平面内（z = 0），且与线圈同轴. 调试开始后，外电源对准亥姆霍兹线圈缓慢加上电流i 0，在此过程中超导细环内会产生感应电流. 调节i 0的大小，使超导细环正好悬浮在上线圈平面内（z =R ），如图a 所示. 由于超导线圈和超导细环的电阻均为零（其所在处的温度为4.2 K ），超导环被稳定悬浮后，移去提供超导线圈电流的电源，超导线圈中的电流i 0以及由此产生的磁场均能长期保持稳定. 已知超导细环的质量为m 、直径为D (D << 2R )、自感系数为L ；在上线圈平面附近，由准亥姆霍兹线圈产生的磁感应强度B 的z 方向分量和径向分量可分别近似表示为：00[1()]12z r B B z R B B r ββ=--⎧⎪⎨=⎪⎩ 其中B 0为上线圈中心处的磁感应强度，β为径向系数，r 是到轴线的距离. 利用上述线圈和超导细环的已知参数、以及线圈中的外加电流i 0，求 i ）B 0和β 的表达式； ii ）超导细环在平衡处（z = R ）感应电流I 0的表达式； iii ）超导重力仪放置地的重力加速度g 0的表达式.3）为了精确测量重力加速度的微小变化，在超导重力仪中采用了交流电桥平衡法.为了理解其原理并便于计算，将超导细环视为面积为A 的薄“平板”，并在超导细环的上下对称位置，即/2R d +和/2R d -处，分别固定两个形状相同、面积也为A 的金属平板，构成上极板与超导“平板”、下极板与超导“平板”两个电容器C 1和C 2，如图b 所示. 再将C 1和C 2与两组完全相同的电感L 0和电容C 0连接成电桥，并接在交流电源（频率远高于重力加速度的变化的快慢）上，如图c 所示. 假设某时刻超导重力仪所在地的重力加速度为g ，超导细环（超导“平板”）处在其平衡位置z = R 处，交流电桥处于平衡，这时C 1和C 2上加有相同的直流电压V C ；当重力加速度改变g ∆，导致电桥失衡，将C 1上的直流电压增加V ∆，同时在C 2上减少V ∆，电桥又重新达到平衡. 试给出g ∆与V ∆的关系式（不计电容器的边缘效应）.图cac图b 上极板 超导环 R +d/R R -d/图αN , i 0N , i 0参考解答：1）如解题图a ，地下湖在地面下深度d 处. 设地球的平均 密度为ρ0，水的密度为W ρ，地球质量E M 和地下湖中水的 质量W M 分别为3E E 04π3M R ρ=， 3W W W 4π3M r ρ=设地下湖中没有水时，地面重力加速度大小为0g ，由引力定律有E 02E Mmg mG R = (1)由3E E 04π3M R ρ=和(1)式得33003 5.5110kg/m 4E g R Gρπ==⨯ (2)设地下湖中充满水时，重力加速度大小的改变为g ∆，同样有 W E E 0222E()M Mm m g g mG R d d ⎛⎫-∆=-+ ⎪⎝⎭ (3)由3E E 04π3M R ρ=、3W W W 4π3M r ρ=和 (1)(2)(3)式得30W 324024[]3 5.6010m s 5.7110r g G g dπρρ----∆==⨯⋅=⨯ (4) 由此可见地下湖水的存在对当地重力加速度的影响很小. 2）i ）通有电流i 的单匝线圈（见解题图b ）在过线圈中心的轴上产生的磁场的磁感应强度大小为20223/22()z iR B R z μ=+ (5) 4分方向沿z 轴正向（按电流i 的流向）.在上线圈平面中心附近磁场的磁感应强度z 分量为上、下两线圈（见题图a ）产生磁场的叠加 {}12220000223/2223/220012 2[()]2() (z)(z)2z z zB B B Ni R Ni R R z R R z Ni R f f μαμμ=+=++-+=+ (6)上式中z – R 是一个小量，仅保留在一阶项有1223/23()[()]f z R z R Rαα=≈+- (7)2223/223/231113()1() [][2()2]222f z z R R z z R R R R R ⎡⎤=≈≈--⎢⎥+-+⎣⎦ (8) 于是20033001313{[1()]}=[()()]22222224213[()][1()][1()]122242()22z NiR Ni B z R z R R R R R RNi z R B z R R R μμααμαβα=+--+--=+--=--+ (9) 式中解题图b解题图a00(1)2NiBRμα=++ (10)βii）由于超导细环的电阻为零，超导细环向上悬浮过程中，直至平衡在上线圈平面内，其磁通量总是保持不变.设超导细环在平衡位置时的感应电流为I0，有tΦε∆=-=∆(12)因而()2π()const.2z z RDB LIΦ==+= (13)由初始条件0, 0, 0, 0t z IΦ====和(9)式可知200()2DLI Bπ=- (14)由(17)式得2200001[48Ni DI D BL RLμππα=-=- (15)负号表示超导细环中电流与超导线圈电流方向相反.iii）当超导细环在上线圈平面（z R=）内静止时，径向磁场对其施加的向上的安培力正好与其重力平衡，即0rmg I B Dπ= (16)由题给条件和(19)(20)式得2242002222422211πππ422=16DD B B D D BLgm Lmββα⋅⋅⋅===由此可见，只要已知准Helmhotz超导线圈和悬浮的超导环参数，通过测量i就可测得该地的重力加速度g0.3）当地面重力加速度大小为g时，磁悬浮力与超导细环重力mg平衡，超导细环处在上线圈平面内 (z0 = R). 上极板对超导“平板”、下极板对超导“平板”的吸引力相互抵消，此时加在两个电容上的电压均为V C. 假设上极板与下极板之间的距离为d，超导“平板”与下极板之间距离为x，超导“平板”受到上下两极板的吸引力之差为2022111[]2()CF AVd x xε=--当2dx=时，有/2x dF== (18) 当重力加速度变化g∆时，超导“平板”会受到一个多余的向下的重力m g∆，为了使超导“平板”在交流电桥平衡位置（2dx=）重新达到力学平衡，在两个电容器1C和2C上反向施加电压V∆，使超导“平板”受到上极板的吸引力大于下极板吸引力，其差值为22022()()1[]2()C C V V V V F A d x x ε+∆-∆=-- (19)在2dx =，超导“平板”重新达到力学平衡时有0022814=2()2C C AA F V V V V m g d d εε=∆∆=∆ (20)于是028C Ag V V mdε∆=∆ (21)通过测量V C 和∆V 即可获得重力加速度的微小变化∆g .四、汽车以发动机气缸中的空气与汽油发生燃烧产生动力，发动机的输出功率与进入气缸中的空气质量成正比．为了提高动力，很多汽车加装了涡轮增压器，在空气进入发动机气缸之前对它进行压缩，以增加空气密度；为了进一步提高空气密度，还通过一个中间冷却器，使空气温度降低后再进入气缸．在一个典型的装置中，进入涡轮增压器的初始空气压强为一个大气压p 0 = 1.01⨯105 Pa ，温度T 0 = 15︒C ；通过涡轮增压器后，空气绝热压缩至p 1 = 1.45⨯105 Pa ；然后又通过中间冷却器，让空气等压地降至初始温度T 0并充满气缸. 假设空气为理想气体，已知气缸容积V 0 = 400 cm 3，空气摩尔质量M = 29.0 g ⋅mol -1，摩尔热容比γ = 7/5；普适气体常量R = 8.31 J ⋅K -1⋅mol -1．1）求此时气缸内空气的质量；与未经增压和冷却的情形相比，发动机的输出功率增加到多 少倍？2）如果没有中间冷却器，仅经过涡轮增压器把空气压缩后输入到气缸中，相应的空气质量 为多少？与未经增压的情形相比，发动机输出功率增加到多少倍？3）在经过涡轮增压器和中间冷却器的热力学过程中，求外界对进入气缸的气体所做的功、 及气缸中的气体在上述两个过程中各自的熵变．参考解答：1）按题设，假设空气可视为理想气体，由理想气体状态方程有PV RT ν= (1)其中，(,,)p V T 为气体的一组状态参量，分别表示气体的压强、体积和温度；m 和M 分别为气体的质量和摩尔质量，mMν=是气体的摩尔数. 此状态下气体的密度为 m pMV RTρ==(2) 由(2)式可算得空气处于初始状态000(,,)p V T '的密度533000 1.011029.010= 1.22 kg/m 8.31288.15p M RT ρ-⨯⨯⨯==⨯ (3)初始状态000(,,)p V T '的空气经过涡轮增压器后，状态变为111(,,)p V T ，密度变为1ρ；经中间冷却器等压降温后，状态变为212020(,,)p p V V T T ===. 气缸中空气的质量为111111100010056351.45101.2240010 kg 0.70310 kg 1.0110p M p M pm V V V V RT RT p ρρ--====⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯ (4)推导中应用了等压过程方程0110VV T T =和(3)式. 若不经过涡轮增压器和中间冷却器两个步骤，直接把外界空气压入气缸中，63000 1.2240010 kg 0.49010 kg m V ρ--==⨯⨯=⨯ (5) 气缸的输出功率增加到的倍数为1301130000.70310 1.430.49010m V m R m m V --⨯====⨯ (6) 2）不经过中间冷却器，直接使用经涡轮增压器压缩后的空气. 此时，空气的温度已经升高至T 1，相应的体积为变为V 1，利用绝热过程方程，const.PV γ= (7)和(1)式，可求出气体在此状态111(,,)p V T 下的温度和体积(1)/1100p T T p γγ-⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)(1)/1110110 nRT nR p V T p p p γγ-⎛⎫== ⎪⎝⎭(9)再利用(2)式，该状态下的空气密度1ρ为(1)/1/01111100010000=T p p p p T p p p p γγγρρρρ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(10) 相应地，输入到气缸中的空气质量为 5/756311051.4510=1.2240010 kg 0.63210 kg 1.0110m V ρ--⎛⎫⨯'=⨯⨯⨯=⨯ ⎪⨯⎝⎭(11)气缸的输出功率增加到的倍数为 5/75112500 1.4510 = 1.295 =1.301.0110m R m ρρ'⎛⎫⨯=== ⎪⨯⎝⎭(12)3）分别考虑气体经过涡轮增压器和中间冷却器两个过程中外界对气体所做的功. 涡轮增压为绝热压缩过程，从(4)式得,进入涡轮增压器的空气摩尔数为， 10.7030.02424mol 29.0m M ν=== (13) 据题设，75γ=，故 75p V VV C C R C C γ+=== ， 52V C R = (14) 式中V C 和p C 分别表示气体的定容摩尔热容量和定压摩尔热容量. 由(14)式可知，空气为双原子分子混合物. 对于绝热过程，由热力学第一定律有0Q U A ∆=∆+=， (15)此绝热压缩过程中外界做功W 1为1V 10()W A U C T T ν=-=∆=- (16) 由(8)(16)式和相关数据得0.40/1.4051551.45100.024248.31288.001 J 15.78 J 2 1.0110W ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪=⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭(17)[另一种解法：直接由功的定义式 d P V ⎰和绝热过程方程const.pV γ=，得111011111111111111110101=d d d 1-1p p p p p p p V W p V V p p pp V p nRT p p p p γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ-------==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰将(8)式的T 1代入上式得 1111001110001111RT RT p W p p p p γγγγγγγγννγγ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭(16) 代入相关数据得0.40/1.405150.024248.31288.0 1.45101 J 15.78 J 0.4 1.0110W ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪=-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭(17) ]气体经过中间冷却器的过程是等压降温过程，外界对气体的做功为 2101W p V V =--（） (18) 其中，1V 由(9)式确定 13431105100.024248.31288.0=1.1088 m 4.43610 m 1.4510Rp V T p p γγν--⎛⎫⨯⨯=⨯=⨯ ⎪⨯⎝⎭(19) 将(19)式代入(18)式，并利用相关数据得5442 1.4510(4.00010 4.43610) J 6.32 J W --=-⨯⨯⨯-⨯= (20)从而，经过涡轮增压器（绝热压缩过程）和中间冷却器（等压降温过程）两个过程，外界对气体做的总功为，1215.78 J 6.32 J 22.1 J W W W =+=+= (21) 气体经过涡轮增压器（绝热压缩过程）的熵变为1d 0QS T∆==⎰绝热 (22) 气体经过中间冷却器（等压降温过程）的熵变为 01p 0112p 100d d 71=l J n ln ln 0.07284 2/K T T C T T Q R p pS C R T T T p p ννγννγ-∆===-=-=-⎰⎰冷却 (23) [另一种算法：00012+00d d d ln ln 0.07J/K 284 V V V Q p V R V p S R R T T V V p ννν''∆====-=-=-⎰⎰⎰绝热冷却等温 推导中应用了等温过程方程002210p V p V pV '== . ]五、2018年诺贝尔物理学奖的一部分授予美国科学家阿瑟·阿什金对光捕获（光镊）所做的开创性工作. 光镊是用聚焦的激光束实现对微小颗粒的捕获，图a 所示为一种光镊实验装置示意图. He-Ne 激光器输出波长632.8 nm λ=的激光，光束直径1 1.5 mm D =，输出功率30 mW P =. 为了使得捕获效果更好，可在输出的激光束后加一个扩束镜. 激光束经反射镜反射后入射到一个焦距 4.0 mm f =的聚焦物镜，聚焦物镜将光束汇聚于样品池内蒸馏水液体中，样品池内液体中有一定数量的聚苯乙烯小球，聚苯乙烯小球经过激光聚焦光斑时有可能被光捕获. 已知小球的直径b 2.0 μm D =，密度为33b 1.010 kg m ρ-=⨯⋅，样品池光学玻璃材料折射率g 1.46n =，池内蒸馏水折射率w 1.33n =，样品池底部玻璃厚度1.0 mm d =，池底部外表面到聚焦物镜中心的距离2.0 mm a =实验时温度300 K T =，空气折射率a 1.0n =，重力加速度29.80 m s g -=⋅，玻尔兹曼常量231B 1.3810 J K k --=⨯⋅.1）求不加扩束镜时激光束在空气中经聚焦物镜聚焦后聚焦光斑的直径；2）为了提高捕获效果，对输出激光束进行扩束，采用的扩束镜由一个焦距1 6.3 mm f =-的凹透镜和焦距225.2 mm f =的凸透镜组成，求两个透镜之间的距离和扩束后的平行激光束的直径2D ；3）将扩束后的激光束经图a 所示聚焦物镜聚焦于样品池内蒸馏水中，求在傍轴近似下聚焦光斑中心到样品池底部内表面距离和聚焦光斑的直径； 4）图b 为浸没在蒸馏水中的小球在梯度光强（简化成强度不同的两束光）中受力的几何光学模型，入射光线L 1和L 2沿x 轴方向，其光功率分别为1 1.0 mW p =和2 2.0 mW p =，光线经小球折射后其方向与x 轴的夹角如图b 所示，不考虑光线在传播过程中的吸收和反射损耗，求小球在x 方向和y 方向所受到的力，并分别求其与小球重力之比； 5）求室温（300 K ）下蒸馏水中小球的方均根速率；6）光镊也可以通过光势阱模型理解，平行激光束经透镜聚焦后在径向ˆr的光势阱分布为 图a图b. 小球在梯度光强中的受力分析简化模型2021, ()0 r U r bU r b r b ⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩当，当上式中，00.078 eV U =，b 是常量，r 是到对称轴的距离. 试问速率不超过多大的小球才能被光势阱捕获？7）已知聚苯乙烯小球的速率分布函数可表示为：2B 3222B ()4π2πm k Tm f e k T -⎛⎫= ⎪⎝⎭v v v 式中，m 和v 分别是小球的质量和速率，T 是绝对温度；试分析比较质量分别为m 和2m 的聚苯乙烯小球被光势阱捕获的概率大小.参考答案：1）He-Ne 激光器输出激光的波长632.8 nm λ=；聚焦物镜焦距 4.00 mm f =. 当输出激光束截面直径1 1.50 mm D = 时，聚焦光斑大小受到圆孔衍射限制，其光斑大小为o112 1.222 1.220.6328μm4.00mm 4.12μm 1.50mmD f R λ⨯⨯⨯==⨯= (1) 2）扩束镜由一个焦距1 6.3 mm f =-的凹透镜和焦距225.2 mm f =的凸透镜组成，两个透镜距离为：12 6.3 mm 25.2 mm 18.9 mm l f f =+=-+= (2) 扩束后，激光束得直径为：221125.2 1.5 mm 6.0 mm 6.3f R R f ==⨯=- (3) 3）在傍轴近似下，样品池中聚焦点位置可以通过二次折射成像公式求得. 利用折射成像公式，扩束后的激光束经聚焦物镜进入样品池底部玻璃表面时，首先在样品池底部外表面一次成像，其成像位置1i 满足g g a a 111n n n n o i r -+= (4) 式中，1o 为物距，由于底部外表面距离聚焦物镜 2 mm x =，聚焦物镜焦距 4.0 mm f =，所以1 2 mm o =-， 1r =∞，由此得g 11a1.46 2 mm2.92 mm ni o n =-=⨯= (5)激光束在样品池底部内表面二次折射成像的位置2i 满足g w gw 222n n n n o i r -+= (6)式中，2o 为物距，在这里相对于底部内表面，21 2.921 1.92 mm o o h =-=-=，由于此时物是虚的，所以2o 取负值，也就是2 1.92 mm o =-，2r =∞，由此得w 12g 1.331.92 mm 1.75 mm 1.46n i o n =-=⨯= (7) 样品池中聚焦点位置到样品池底部内表面的距离为1.75 mm .扩束后激光束直径2 6.0 mm D =，经聚焦透镜聚焦于样品池内蒸馏水中时，由几何关 系可知，在样品池底部外表面光束直径等于2/2D ，在样品内表面光束直径可以表示为 g 2W g211.97 mm 22n D D n -== (8)液体中激光焦点处光斑的直径为 22W W 2 1.222 1.220.6328μm 1.75 mm 1.03 μm 1.33 1.97 mmo D i n D λ⨯⨯⨯==⨯=⨯ (9)[或2a 22 1.222 1.220.6328μm4.0mm 1.03 μm 1.0 6.0 mmo D f n D λ⨯⨯⨯==⨯=⨯ (9)实际上， 222a 21W W W a 22W 12 1.222 1.222 1.22()o i i D f n i o D n n n D D f n o λλλ⨯⨯⨯===-⎛⎫ ⎪-⎝⎭]分别考虑光线在样品池底部内外表面折射对光斑大小影响，光在样品池内外表面的放大倍数分别为111 2.9211.462a g n i V n o =-==⨯ (9) 2221.46 1.7511.33 1.92g w n i V n o ⨯=-==⨯ (10) 所以样品池底部内外表面折射对聚焦光斑大小的影响实际上可忽略.4）在蒸馏水中，功率为P 的光束在t ∆时间内携带的动量可以表示为： W W Wn h pn thp t p Nh cλνλ∆∆===(11)式中N 是在t ∆时间内通过光束横截面的光子数. 光束L 1的初始动量为：1W 1i p n tc ∆=p i(12)这里i 是x 轴方向的单位矢量. 光束L 2的初始动量为：2W 2i p n tc ∆=p i(13)经小球两次折射后，光束L 1的动量为：1W 1W 1cos15sin15f p n t p n tc c ∆∆=︒+︒p i j(14)经小球两次折射后，光束L 2的动量为：2W 2W 2cos15sin15f p n t p n tc c ∆∆=︒-︒p i j (15)经小球折射后，光束动量的改变为121212W 12W ()()()(cos151)()sin15 l f f i i p p n t p p n tc c∆=+-++︒-∆-︒∆=+p p p p p i j(16) 小球动量的改变为12W 21W b ()(1cos15)()sin15l p p n t p p n tc c +-︒∆-︒∆∆=-∆=+p p i j(17)小球受到的光力（光强梯度力）作用：b 12W 21Wb ()(1cos15)()sin15p p n p p n tc c ∆+-︒-︒==+∆p F i j(18) 12b (0.45 1.15)10N -=+⨯F i j (19)在光强梯度力作用下，小球分别受到一个沿x 正方向和y 正方向的力.小球重力大小为318314b b 44π 3.14 1.010109.8 4.1110 N 323D mg ρ--⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭ (20)小球在x 方向和y 方向所受到的光力与其重力之比分别为：12140.451010.94.1110x η--⨯==⨯ (21)12141.151028.04.1110y η--⨯==⨯ (22)5）在水中，常温（300 K ）下，小球的平均动能为232131.5 1.3810300 6.2110J 2k E kT --==⨯⨯⨯=⨯ (23) 小球的方均根速率为31.7210m/s p -=⨯v (24) 6）设速率不超过m v 的小球才能被光势阱捕获，由能量守恒有2min 102mm U +=v (25) 式中2min00014y y U U U =⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ (27)由(25)(26)式得，最大捕获速度为32.4410m/s m -==⨯v(28)7）聚苯乙烯小球能够被捕获的概率可表示为2B 3222B 0()d 4πd 2πmmm k T m P f e k T -⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰v v v v v v v (29)设pv 有22p2p pdmP e-⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎭⎝⎭⎰vvvv vv v(31)令px=vv聚苯乙烯小球被被光势阱捕获的概率可表示为22dxP e x-= (32)由(31)式可知，概率P与0U和温度T有关，而与m无关.因此，质量为m的聚苯乙烯小球和质量为2m的聚苯乙烯小球被光势阱捕获的概率m P和2mP相等，即2m mP P= (33)六、仰望星空可以激发人们无限的想象. 随着科学与技术的进步，人们对宇宙的认识不断加深，随着中微子丢失之谜的破解，引力波的直接探测，以及近期黑洞照片的拍摄，引起了大众对探索宇宙的广泛兴趣. 人类是如何利用有限设备观察研究浩瀚的宇宙以及宇宙重要组成部分——恒星的呢？具有高中物理基础的公众是否有可能定量理解恒星的内外性质，如大小、质量、年龄、寿命、组成部分、产能机制等等？本题以我们赖以生存的恒星——太阳为例，按照历史脉络，试从简单到复杂构建起太阳模型. 由于不能直接观察太阳内部，所建的模型需要多角度的检验，如年龄、半径、表面温度、能量输出、中微子通量等等，都需要在同一个模型下相互自洽.已知地球半径为6370 km ，万有引力常量G = 6.67⨯10-11 N ⋅m 2⋅kg -2，斯忒藩-玻尔兹曼常量σ = 5.67⨯10-8W ⋅m -2⋅K -4，玻尔兹曼常量 k B = 1.38⨯10-23 J ⋅K -1，电子电量e = 1.602⨯10-19 C ，电子质量m e = 0.51 MeV/c 2， 质子质量m p = 938.3 MeV /c 2，氘核质量m D = 1875.6 MeV /c 2， 3He 核质量m 3He = 2808.4 MeV /c 2，4He 核质量m 4He = 3727.5 MeV /c ，光在真空中的速度813.0010 m s c -=⨯⋅2．1）成书于两千多年前的《周髀算经》（原名《周髀》）介绍了测量太阳直径D 与日地距离S 日地（也称1个天文单位）比值的方法：取一根长竹竿，凿去竹节使其内部贯通，竹竿的内直径为d . 用这根竹竿对准太阳，改变竹竿长度L ，使太阳盘面刚好充满竹竿内管. i ）给出太阳视角（/D S Φ=日地）与d 和L 的关系；ii ）为了减少误差需要L 足够长，此外还有哪些方法可以减少误差？ iii ）测得1d =寸，8L =尺 (10寸为一尺)，试估算Φ的值.2）在某些特殊时间（如2012年6月6日），地球、金星和太阳几乎在一条直线上，这时从地球上观测，金星就像一个小黑点镶嵌在太阳盘面上，并缓慢移动，这称为金星凌日，如图a 所示. 英国天文学家哈雷曾在1716年建议在世界各地联合观察金星凌日以测量太阳视角和日地距离. 已知地球和金星同向绕日公转周期分别为365.256天和224.701天，各自的轨道平面之间的倾角很小. 不考虑地球自转.i ）地球和金星的公转轨道均可视为圆，求日金距离S 日金与日地距离S 日地之比VE r ； ii ）2012年6月6日，某地观察到金星凌日现象如图a ，试计算金星凌日扫过太阳盘面弦长P D 与日地距离S 日地的比值；若此弦与盘面圆心之间的距离是P =5/16h D , 则太阳视角Φ为多少？图a. 2012年6月6日金星凌日过程示意图iii ）为了测量日地距离需要在地球表面不同地点分别观察金星凌日现象，如图b 所示. 假设在地面同一经度上直线距离（在垂直于观测方向上的投影）为H 的两位观察者P 和P'同时观察金星凌日现象，对于P 而言，金星在太阳盘面上的运动轨迹为AB ，观察到的金星凌日时间（金星中心扫过太阳盘面的时间间隔）为P t ；而对于P'而言，金星在太阳盘面上的运动轨迹为A'B'，观察到的金星凌日时间为P t '.试求日地距离S 日地的表达式（用VE p p Φr T T t t '地金、、、、、和H 等表示）.iv ）已知北京和香港的纬度分别为39.5︒和22.5︒， 2012年6月6日北京和香港的金星凌日时间分别为P 6:21:57t =和 P 6:19:31t '=，试以此数据，利用iii ）小题的结论，计算日地距离S 日地3）1882年的金星凌日观测结果得出平均日地距离81.510km S =⨯日地，太阳直径D =1.4⨯106 km. 地球在垂直于太阳辐射方向上接收到的太阳辐射照度I = 1.37 kW ⋅m -2. 求 i ）单位时间内，地球从太阳接收到的总能量；ii ）全球70亿人口消耗掉的能源与地球接收到的太阳能量之比（按人均年消耗能源3吨标准煤，1kg 标准煤可以发电4度电计算）； iii ）太阳单位时间辐射的总能量； iv ）估算太阳表面温度 .4）i ） 计算太阳的总质量与平均密度；ii ）若太阳能源来自化学反应，设单位质量放出的能量与煤相当，则以太阳现在单位时 间辐射的能量计算，可以持续多久？太阳作为恒星存在约50亿年以上，那么其产能效率应该是化学反应效率的多少倍？5）通过光谱分析可知太阳的主要成分是氢，涉及氢的基本核聚变反应式如下 P + P → D + e + + νe （a ） D + P → 3He + γ （b ） 3He + 3He → 4He + P + P （c ）上述核聚变反应过程中产生的正电子将会湮灭，中微子将逃逸；原子核均带正电，相互排斥，只有温度很高时，其动能有可能克服库仑排斥力，从而实现聚变反应. 当温度足够高时，所有原子均电离成了原子核和电子，处于等离子体状态.（在此不考虑中微子带走的能量，也不考虑由于太阳风带走的未聚变的氢. ）i ）要维持太阳的辐射，单位时间需要消耗多少个质子（氢核）？ii ）现在太阳质量的71%是氢，按照此消耗速率，最多还可以维持多少年？并计算单位时间质子-质子的反应概率（单位时间反应的粒子数与总粒子数之比）PP P ；iii ）逃逸出的中微子的数目在传播过程中不会减少，单位时间在垂直于太阳辐射方向图b. 金星凌日示意图地球' B。
第23届全国中学生物理竞赛预赛第六题之简明解答
第23届全国中学生物理竞赛预赛第六题之简明解答作者：李卫平来源：《中学物理·高中》2013年第08期在物理奥赛辅导课上师生的讨论中，我们得到了第23届全国中学生物理竞赛预赛第六题的一较为简明的解答.为了方便读者，且便于对比，先转录第23届全国中学生物理竞赛预赛第六题、该题的阅卷参考解答、以及从杂志上检索到的该题的另一解答，然后再介绍我们的所谓简明解答，最后对这些解答做些比较.1 原题及两种已有解答题目如图1所示，两个金属轮A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和O2转动，O1和O2相互平行，水平放置.每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长为a1、电阻为R1，A2轮的辐条长为a2、电阻为R2，连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略.半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起.一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P.当P下落时，通过细绳带动D和A1绕O1轴转动.转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻[TP7GW110.TIF，BP#]值为R的电阻相连.除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外，所有金属的电阻都不计.整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行.现将P释放，试求P匀速下落时的速度.解答1 （阅卷参考解答） P被释放后，细绳的张力对D产生机械力矩，带动D和A1作逆时针的加速转动，通过两个轮子之间无相对运动的接触，A1带动A2作顺时针的加速转动.由于两个轮子的辐条切割磁场线，所以在A1产生由周边沿辐条指向轴的电动势，在A2产生由轴沿辐条指向周边的电动势，经电阻R构成闭合电路.A1、A2中各辐条上流有沿电动势方向的电流，在磁场中辐条受到安培力.不难看出，安培力产生的电磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速转动的势头减缓.A1、A2从起始的静止状态逐渐加速转动，电流随之逐渐增大，电磁阻力矩亦逐渐增大，直至电磁阻力矩与机械力矩相等，D、A1和A2停止作加速转动，均作匀角速转动，此时P匀速下落，设其速度为v，则A1的角速度轴与轮边之间的电动势就是A1中四条辐条电动势的并联，其数值见（3）式.同理，A2中，轴与轮边之间的电动势就是A2中四条辐条电动势的并联，其数值为A1中，每根辐条的电阻为R1，轴与轮边之间的电阻是A1中四条辐条电阻的并联，其数值为RA1=[SX（]R1[]4[SX）][JY]（5）A2中，每根辐条的电阻为R2，轴与轮边之间的电阻是A2中四条辐条电阻的并联，其数值为RA2=[SX（]R2[]4[SX）][JY]（6）A1轮、A2轮和电阻R构成串联回路，其中的电流为当P匀速下降时，对整个系统来说，重力的功率等于所有电阻的焦耳热功率之和，即v=[SX（]mg（4R+R1+R2）a20[]B2a21（a1+a2）2[SX）][JY]（10）解答2 步骤（1）至（8）跟解答1相同，但步骤（9）运用的是力矩平衡关系.对A1轮进行分析可知，它受到3种力矩的作用：一是P对它施加的机械动力矩，二是A2轮通过轮缘的静摩擦对它施加的阻力矩，三是磁场对它的电磁阻力矩，当这三个力矩平衡时， A1轮就能保持匀速转动.P对A1的机械动力矩为M1=mga0[JY]（11）设A1轮与A2轮轮缘之间的静摩擦力为f ，则A1轮受到的摩擦阻力矩为[KG*2] M2=fa1[JY]（12）A1的每根辐条所受的电磁力矩为2 简明解答设重物P以速度v匀速下落时通过R的电流为I，两轮接触处的相互摩擦力大小为f.对匀速转动的A1、A2两轮，分别由力矩平衡条件有3 解答的比较和解答1、2相比，简明解答的简明之处在于：求电流I时既不需要利用动生电动势公式计算两轮辐条中的电动势，也不需要考虑A1轮转动的角速度与重物P下落速度的关系以及两轮之间的线速度、角速度的关系，还不需要计算并联电阻的阻值.解答2虽然也利用了力矩平衡条件，然而，是在已得到电流I的表达式的基础上考虑的问题，所以不会将平衡条件的利用和能量转化与守恒联系起来寻求解答.解答1、2的思路或许是人们解答此类题目的习惯思维程序（先电磁学分析：电动势→电流→安培力，再进入或静力学分析或动力学分析或能量分析）使然.而我们涉题未深的中学生还没有形成这样的习惯，不受此束缚也.。
第30届-32届全国中学生物理竞赛预赛试卷及答案
第30届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分.一、选择题.本题共5小题，每小题6分.在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意.全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分.1.下列说法正确的是：A.一束单色光从真空射入玻璃时，在玻璃表面处发生折射现象，这与光在玻璃中的传播速度不同于在真空中的传播速度有关B.白纸上有两个非常靠近的小黑斑，实际上是分开的，没有重叠部分.但通过某一显微镜所成的象却是两个连在一起的没有分开的光斑，这与光的衍射现象有关C.雨后虹的形成与光的全反射现象有关D.老年人眼睛常变为远视眼，这时近处物体通过眼睛所成的像在视网膜的前方（瞳孔与视网膜之间），故看不清2.图中A、B是两块金属板，分别与高压直流电源的正负极相连.一个电荷量为q、质量为m的带正电的点电荷自贴近A板处静止释放（不计重力作用）.已知当A、B两板平行、两板的面积很大且两板间的距离较小时，它刚到达B板时的速度为u0，在下列情况下以u表示点电荷刚到达B板时的速度A.若A、B两板不平行，则u<u0B.若A板面积很小，B板面积很大，则u<u0C.若A、B两板间的距离很大，则u<u0D.不论A、B两板是否平行、两板面积大小及两板间距离多少，u都等于u03.α粒子和β粒子都沿垂直于磁场的方向射入同一均匀磁场中，发现这两种粒子沿相同半径的圆轨道运动.若α粒子的质量是m1，β粒子的质量是m2，则α粒子与β粒子的动能之比是A.m2m1B.m1m2C.m14m2D.4m2m14.由玻尔理论可知，当氢原子中的核外电子由一个轨道跃迁到另一轨道时，有可能A.发射出光子，电子的动能减少，原子的势能减少B.发射出光子，电子的动能增加，原子的势能减少C.吸收光子，电子的动能减少，原子的势能增加D.吸收光子，电子的动能增加，原子的势能减少5.图示两条虚线之间为一光学元件所在处，AB为其主光轴.P是一点光源，其傍轴光线通过此光学元件成像于Q点.该光学元件可能是A.薄凸透镜B.薄凹透镜C.凸球面镜D.凹球面镜二、填空题和作图题.把答案填在题中横线上，或把图画在题中指定的地方。
第23届全国中学生物理竞赛预赛第六题之简明解答
第23届全国中学生物理竞赛预赛第六题之简明解答
李卫平
【期刊名称】《中学物理（高中版）》
【年(卷),期】2013(031)008
【总页数】2页(P55-56)
【作者】李卫平
【作者单位】西华师范大学物理与电子信息学院四川南充637009
【正文语种】中文
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全国高中物理竞赛历年(2009-2013年)试题与详解答案汇编
法拉第电磁感应定律。
楞次定律。
自感系数。
互感和变压器。
6、交流电
交流发电机原理。交流电的最大值和有效值。
纯电阻、纯电感、纯电容电路。
整流和滤波。
三相交流电及其连接法。感应电动机原理。
7、电磁振荡和电磁波
电磁振荡。振荡电路及振荡频率。
电磁场和电磁波。电磁波的波速，赫兹实验。
电磁波的发射和调制。电磁波的接收、调谐，检波。
全国高中物理竞赛历年试题与详解答案汇编
———广东省鹤山市纪元中学
2014年5月
全国中学生物理竞赛提要
编者按：按照中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会第九次全体会议的建议，由中国物理学会全国中学生物理竞赛委员会常务委员会根据《全国中学生物理竞赛章程》中关于命题原则的规定，结合我国目前中学生的实际情况，制定了《全国中学生物理竞赛内容提要》，作为今后物理竞赛预赛和决赛命题的依据，它包括理论基础、实验基础、其他方面等部分。其中理论基础的绝大部分内容和国家教委制订的（全日制中学物理教学大纲》中的附录，即 1983年教育部发布的《高中物理教学纲要（草案）》的内容相同。主要差别有两点：一是少数地方做了几点增补，二是去掉了教学纲要中的说明部分。此外，在编排的次序上做了一些变动，内容表述上做了一些简化。1991年2月20日经全国中学生物理竞赛委员会常务委员会扩大会议讨论通过并开始试行。1991年9月11日在南宁由全国中学生物理竞赛委员会第10次全体会议正式通过，开始实施。
功能原理。机械能守恒定律。
碰撞。
6、流体静力学
静止流体中的压强。
浮力。
7、振动
简揩振动。振幅。频率和周期。位相。
振动的图象。
参考圆。振动的速度和加速度。
第31届全国中学生物理竞赛决赛试题和答案
第 31 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题一、（12 分）一转速测量和控制装置的原理如图所示. 在 O 点有电量为 Q 的正电荷，内壁光滑的轻质绝缘细管可绕通过 O 点的竖直轴在水平面内转动，在管内距离 O 为 L 处有一光电触发控制开关 A ，在 O 端固定有一自由长度为 L/4 的轻质绝缘弹簧，弹簧另一端与一质量为m 、带有正电荷q 的小球相连接.开始时，系统处于静态平衡.细管在外力矩作用下，作定轴转动，小球可在细管内运动. 当细管转速ω逐渐变大时，小球到达细管的 A 处刚好相对于细管径向平衡，并触发控制开关，外力矩瞬时变为零，从而限制转速过大；同时 O 点的电荷变为等量负电荷－Q.通过测量此后小球相对于细管径向平衡点的位置 B ，可测定转速.若测得 OB 的距离为 L/2，求 （1）弹簧系数0k 及小球在 B 处时细管的转速；（2）试问小球在平衡点 B 附近是否存在相对于细管的径向微振动？如果存在，求出该微振动的周期.二、（14 分）多弹头攻击系统是破解导弹防御体系的有效手段.如图所示，假设沿某海岸有两个军事目标 W 和 N ，两者相距 L ，一艘潜艇沿平行于该海岸线的航线游弋，并监视这两个目标，其航线离海岸线的距离为d .潜艇接到攻击命令后浮出海面发射一颗可分裂成多弹头的母弹，发射速度为0v （其大小远大于潜艇在海里游弋速度的大小），假设母弹到达最高点时分裂成三个分弹头，每个分弹头的质量相等，分裂时相对原母弹的速度大小均为v ，且分布在同一水平面内，分弹头 1、2 为实弹，分弹头 3 迷惑对方雷达探测的假弹头.如果两个实弹能够分别击中军事目标 W 和 N ，试求潜艇发射母弹时的位置与发射方向，并给出相应的实现条件.三、（14 分）如图所示，某绝热熔器被两块装有阀门 K 1和 K 2的固定绝热隔板分割成相等体积0V 的三室 A 、B 、C ，0A B C V V V V ===.容器左端用绝热活塞 H 封闭，左侧 A 室装有11ν=摩尔单原子分子气体，处在压强为 P 0、温度为 T 0的平衡态；中段 B 室为真空；右侧 C 室装有ν2=2 摩尔双原子分子气体，测得其平衡态温度为Tc=0.50T 0.初始时刻 K 1和 K 2都处在关闭状态.然后系统依次经历如下与外界无热量交换的热力学过程：（1）打开 K 1，让V A 中的气体自由膨胀到中段真空V B 中；等待气体达到平衡态时，缓慢推动活塞 H 压缩气体，使得 A 室体积减小了 30%（AV '=0.70V 0）.求压缩过程前后，该部分气体的平衡态温度及压强；（2）保持 K 1开放，打开 K 2，让容器中的两种气体自由混合后共同达到平衡态.求此时混合气体的温度和压强；AV ''=V 0. 求此时混合气体的温度和压强. 提示：上述所有过程中，气体均可视为理想气体，计算结果可含数值的指数式或分式；根据热力学第二定律，当一种理想气体构成的热力学系统从初态（p i ，T i ，V i ）经过一个绝热可逆过程（准静态绝热过程）到达终态（p f ，T f ，V f ）时，其状态参数满足方程：111()ln()ln()0f f if V iiT T S C R T T νν∆=+= (Ⅰ)其中，ν1为该气体的摩尔数，C V1为它的定容摩尔热容量，R 为普适气体常量.当热力学系统由两种理想气体组成，则方程（I ）需修改为12()()0if if S S ∆+∆= (Ⅱ)四、（20 分）光纤光栅是一种介质折射率周期性变化的光学器件.设一光纤光栅的纤芯基体材料折射率为n 1=1.51；在光纤中周期性地改变纤芯材料的折射率，其改变了的部分的材料折射率为n 2=1.55；折射率分别为n 2和n 1、厚度分别为d 2和d 1的介质层相间排布，总层数为 N ，其纵向剖面图如图(a)所示.在该器件设计过程中，一般只考虑每层界面的单次反射，忽略光在介质传播过程中的吸收损耗.假设入射光在真空中的波长为λ=1.06μm ，当反射光相干叠加加强时，则每层的厚度d 1和d 2最小应分别为多少？若要求器件反射率达到 8%，则总层数 N 至少为多少？提示：如图(b)所示，当光从折射率n 1介质垂直入射到n 2介质时，界面上产生反射和透射，有：1212n n n n -=+反射光电场强度入射光电场强度,1122n n n =+透射光电场强度入射光电场强度,2=反射光电场强度反射率入射光电场强度,五、（20 分）中性粒子分析器（Neutral-Particle Analyser ）是核聚变研究中测量快离子温度及其能量分布的重要设备.其基本原理如图所示，通过对高能量（200eV~30KeV ）中性原子（它们容易穿透探测区中的电磁区域）的能量和动量的测量，可诊断曾与这些中性原子充分碰撞过的粒子的性质.为了测量中性原子的能量分布，首先让中性原子电离然后让离子束以θ角入射到间距为d 、电压为V 的平行板电极组成的区域，经电场偏转后离开电场区域，在保证所测量离子不碰到上极板的前提下，通过测量入射孔 A 和出射孔 B 间平行于极板方向的距离l 来决定离子的能量.设 A 与下极板的距离为h 1，B 与下极板的距离为h 2，已知离子所带电荷为q .（1）推导离子能量E 与l 的关系，并给出离子在极板内垂直于极板方向的最大飞行距离. （2）被测离子束一般具有发散角Δα（Δα<<θ）.为了提高测量的精度，要求具有相同能量E ， 但入射方向在Δα范围内变化的离子在同一小孔 B 处射出，求h 2的表达式；并给出此时能量E 与l 的关系.（3）为了提高离子能量的分辨率，要求具有量程上限能量的离子刚好落在设备允许的l 的最大值l max 处，同时为了减小设备的体积，在满足测量要求的基础上，要求极板间距d 尽可能小，利用上述第（2）问的结果，求d 的表达式；若θ=30°，结果如何？（4）为了区分这些离子的质量，请设计后续装置，给出相应的原理图和离子质量表达式.六、（20 分）超导体的一个重要应用是绕制强磁场磁体，其使用的超导线材属于第二类超导体.如果将这类超导体置于磁感应强度为a B 的外磁场中，其磁力线将以磁通量子（或称为磁通漩涡线）的形式穿透超导体，从而在超导体中形成正三角形的磁通格子，如图 1 所示. 所谓的磁通量子，如图 2 所示，其中心是半径为ξ的正常态（电阻不为零）区域，而其周围处于超导态（电阻为零），存在超导电流，所携带的磁通量为150 2.07102hWb eφ-==⨯（磁通量的最小单位）（1）若2510T a B -=⨯，求此时磁通涡旋线之间距离a .（2）随着a B 的增大，磁通漩涡线密度不断增加，当a B 达到某一临界值B c2时，整块超导体都变为正常态, 假设磁通漩涡线芯的半径为ξ=5×10-9m ，求所对应的临界磁场B c2；（3）对于理想的第二类超导体，当有电流I 通过超导带材时，在安培力的驱动下，磁通漩涡线将会粘滞流动，在超导带内产生电阻（也称为磁通流阻），从而产生焦耳损耗，不利于超导磁体的运行.磁通漩涡线稳定粘滞流动的速度v 与单位体积磁通漩涡线所受到的驱动力f A 和a B 的关系为0aA B f v ηφ=, 其中η为比例系数.外加磁场、电流方向，以及超导带材的尺寸如图 3 所示, 请指出磁通漩涡线流动的方向，并求出磁通漩涡线流动所产生的电阻率（用a B ，Φ0，η，超导体尺寸b ，c ，d ）表示；（4）要使超导材料真正实用化，消除这种磁通流阻成了技术的关键，请给出你的解决方案.七、（20 分）如图，两个质量均为m 的小球 A 和 B （均可视为质点）固定在中心位于C 、长为 2l 的刚性轻质细杆的两端，构成一质点系.在竖直面内建立Oxy 坐标，Ox 方向沿水平向右，Oy 方向竖直向上.初始时质点系中心 C 位于原点 O ，并以初速度v 0竖直上抛，上抛过程中， A 、C 、B 三点连线始终水平.风速大小恒定为u 、方向沿x 轴正向，小球在运动中所受空气阻力f 的大小与相对于空气运动速度v 的大小成正比，方向相反，即f kv =-, k 为正的常量.当C 点升至最高点时，恰好有一沿y 轴正向运动、质量为m 1、速度大小为u 1的小石块（视为质点）与小球 A 发生竖直方向的碰撞，设碰撞是完全弹性的，时间极短.此后 C 点回落到上抛开始时的同一水平高度，此时它在Ox 方向上的位置记为s ，将从上抛到落回的整个过程所用时间记为T ，质点系旋转的圈数记为n .求质点系（1）转动的初始角速度ω0，以及回落到s 点时角速度ωs 与n 的关系；（2）从开始上抛到落回到s 点为止的过程中，空气阻力做的功W f 与n 、s 、T 的关系.八、（20 分）太阳是我们赖以生存的恒星.它的主要成分是氢元素，在自身引力的作用下收缩而导致升温，当温度高到一定程度时，中性原子将电离成质子和电子组成的等离子体，并在其核心区域达到约 1.05×107K 的高温和 1.6×105kg/m 3以上的高密度，产生热核聚变而放出巨大能量，从而抗衡自身的引力收缩达到平衡，而成为恒星.太阳内部主要核反应过程为1H+1H→D+e++νe（I）D+1H→3He+x （II）3He+3He→4He+1H+1H （III）其中第一个反应的概率由弱相互作用主导，概率很低这恰好可以使得能量缓慢释放.反应产物正电子e+会与电子e－湮灭为γ射线，即e++e－→γ+γ（IV）已知：质子（1H）、氘（D）、氦-3（3He）和电子的质量分别为938.27、1875.61、2808.38、3727.36 和0.51（MeV/c2)（误差为0.01MeV/c2），c为真空中的光速，中微子νe的质量小于3eV/c2.普朗克常量h=6.626×10-34J·s，c=3.0×108m/s，玻尔兹曼常量k=1.381×10-23J/K.电子电量e=1.602×10-19C.（1）试用理想气体模型估算处于热平衡状态的各种粒子的平均动能及太阳核心区的压强（请分别用eV和atm为单位）；（2）反应式（II）中的x 是什么粒子（α、β、γ、p和n之一）？请计算该粒子的动能和动量的大小，是否可以找到一个参照系，使得x 粒子的动能为零？（3）给出反应式（I）中各反应产物的动能的范围；第31 届全国中学生物理竞赛决赛参考答案第一题第二题第七题第八题。
21---30届全国物理竞赛力学部分复赛试题
(第20届全国中学生物理竞赛复赛题)有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A和B，分别将质量为M的物体和质量为m的待发射卫星同时自由释放，只要M比m足够大，碰撞后，质量为m的物体，即待发射的卫星就会从通道口B冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口B时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M＝20m，地球半径0R ＝6400 km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．(第20届全国中学生物理竞赛复赛题)有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B 放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径r的值各应满足什么条件？(第20届全国中学生物理竞赛复赛题)如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为h 处沿水平方向以初速v 抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为e （＜1）．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为μ（≠0）：每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离．(第21届全国中学生物理竞赛复赛题)二、(20分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动，它们通过轨道上同一点的时间相差半个周期．已知轨道近地点离地心的距离是地球半径R 的2倍，卫星通过近地点时的速度RGM 43=v ，式中M 为地球质量，G 为引力常量．卫星上装有同样的角度测量仪，可测出卫星与任意两点的两条连线之间的夹角．试设计一种测量方案，利用这两个测量仪测定太空中某星体与地心在某时刻的距离．（最后结果要求用测得量和地球半径R 表示）(第21届全国中学生物理竞赛复赛题)如图所示，三个质量都是m 的刚性小球A 、B 、C 位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A 、B 之间，B 、C 之间分别用刚性轻杆相连，杆与A 、B 、C 的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB 与BC 的夹角为 ，< /2．DE 为固定在桌面上一块挡板，它与AB 连线方向垂直．现令A 、B 、C 一起以共同的速度v 沿平行于AB 连线方向向DE 运动，已知在C 与挡板碰撞过程中C 与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C 沿垂直于DE 方向的速度由v 变为0这一极短时间内挡板对C 的冲量的大小．(第22届全国中学生物理竞赛复赛题)图中的AOB 是游乐场中的滑道模型，它位于竖直平面内,由两个半径都是R 的1/4圆周连接而成，它们的圆心1O 、2O 与两圆弧的连接点O 在同一竖直线上．B O 2沿水池的水面．一小滑块可由弧AO 的任意点从静止开始下滑． 1．若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中，在两个圆弧上滑过的弧长相等，则小滑块开始下滑时应在圆弧AO 上的何处？（用该处到1O 的连线与竖直线的夹角表示）．2．凡能在O 点脱离滑道的小滑块，其落水点到2O 的距离如何？O 1O 2O ABABCπ-αDE(第22届全国中学生物理竞赛复赛题) 如图所示，在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A 和质量为 2m 的小球B ．A 用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l ．现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox ，原点O 与此时A 球的位置重合如图．试求任意时刻两球的坐标．(第23届全国中学生物理竞赛复赛题)有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞．以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。
年第二十三届全国初中应用物理
2013年第二十三届全国初中应用物理竞赛初赛试卷一、填空题（本题共8小题.除第7题2分外，其余各题每空1分。
共18分）1. 如图1所示，NBA球员林书豪带球突破上篮时，他相对于是运动的；林书豪起跳时，脚用力蹬地，他就能高高跳起，这说明物体间力的作用是的。
2. 从冰箱中拿出的冰棒上常粘着一些白花花的“粉”，剥开包装纸看到冰棒直冒“白气”，其中“粉”和“白气”的形成分别是和现象（填物态变化名称）；吃冰棒感到凉快，主要是由于的原因。
3. 图2中的建筑物在河中的“倒影”是由光的所形成的虚像，这些“倒影”看起来比建筑物本身“暗” 一些，主要是因为有一部分光发生进入了水中。
4. “可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力。
同等条件下，“可燃冰”完全燃烧放出的热量可达煤气的数十倍，这说明“可燃冰”的很大。
1kg “可燃冰”完全燃烧大约放出4.2 X 108 J的热量，可使kg的水从20C加热至60C。
[水的比热容为4.2X 103kg/m3]5. 环境监测时，科学家用1吊空气中含有PM2.5颗粒的微克值表示其浓度，此浓度值小于10（即Im3空气中颗粒含量为10微克）的为安全值。
据统计，每人每天平均约吸人10000升空气，若PN2.5浓度值上升到50,则每人每天约吸人克PM2.5;请你提出一条减少PM2.5的合理化建议：6. 研究物体运动时常利用“频闪摄影”的方法，即在暗室中采用闪光灯每隔相等的时间闪亮一次，底片就记录下此时物体运动的位置。
图3是两个质量相同的小球甲、乙竖直下落时的频闪照片，据此记录，两球均从位置口下落到b处时，球用时较短，球的速度基本保持不变。
若两球均只受到重力和阻力作用，则球所受阻力较大。
（选填“甲”或“乙”）7. 某电子体重秤的工作原理如图4甲所示，R2为阻值已知的定值电阻，R1的阻值随其所受压力F的变化而变化，二者的关系图像如图乙所示，体重秤可根据电流表的示数换算出人体重的大小。
若电源两端电压u保持不变，F0、R0均为已知，电流表能测量的最大电流为10 ,设踏板的质量忽略不计，贝V该体重秤能称量的重力最大值为Fm=（用甲乙图3F0、R0 I0、R2和u来表示）1 XXXjxxx；XXXjxxx图5圈92 / 108. 如图5所示，当金属框沿光滑绝缘斜面的顶端由静止开始滑到底端时，具有的动能为E1。
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第23届全国中学生物理竞赛决赛试题2006年11月深圳 ★理论试题 一、 建造一条能通向太空的天梯，是人们长期的梦想．当今在美国宇航局（NASA）支持下，洛斯阿拉莫斯国家实验室的科学家已在进行这方面的研究．一种简单的设计是把天梯看作一条长度达千万层楼高的质量均匀分布的缆绳，它由一种高强度、很轻的纳米碳管制成，由传统的太空飞船运到太空上，然后慢慢垂到地球表面．最后达到这样的状态和位置：天梯本身呈直线状；其上端指向太空，下端刚与地面接触但与地面之间无相互作用；整个天梯相对于地球静止不动．如果只考虑地球对天梯的万有引力，试求此天梯的长度．已知地球半径R0=6.37×106m，地球表面处的重力加速度g=9.80m·s－2． 二、 如图所示，一内半径为R的圆筒（图中2R为其内直径）位于水平地面上．筒内放一矩形物．矩形物中的A、B是两根长度相等、质量皆为m的细圆棍，它们平行地固连在一质量可以不计的，长为l=R的矩形薄片的两端．初始时矩形物位于水平位置且处于静止状态，A、B皆与圆筒内表面接触．已知A、B与圆筒内表面间的静摩擦因数μ都等于1． 现令圆筒绕其中心轴线非常缓慢地转动，使A逐渐升高． 1．矩形物转过多大角度后，它开始与圆筒之间不再能保持相对静止？ 答：___________________________（只要求写出数值，不要求写出推导过程）
l A 2R 2．如果矩形物与圆筒之间刚不能保持相对静止时，立即令圆筒停止转动．令θ表示A的中点和B的中点的连线与竖直线之间的夹角，求此后θ等于多少度时，B相对于圆筒开始滑动．（要求在卷面上写出必要的推导过程．最后用计算器对方程式进行数值求解，最终结果要求写出三位数字．） 三、 由于地球的自转及不同高度处的大气对太阳辐射吸收的差异，静止的大气中不同高度处气体的温度、密度都是不同的．对于干燥的静止空气，在离地面的高度小于20km的大气层内，大气温度Te随高度的增大而降低，已知其变化率 =－6.0×10－3K·m－1 z为竖直向上的坐标．
现考查大气层中的一质量一定的微小空气团（在确定它在空间的位置时可当作质点处理），取其初始位置为坐标原点（z=0），这时气团的温度T、密度ρ、压强p都分别与周围大气的温度Te、密度ρe、压强pe相等．由于某种原因，该微气团发
生向上的小位移．因为大气的压强随高度的增加而减小，微气团在向上移动的过程中，其体积要膨胀，温度要变化（温度随高度变化可视为线性的）．由于过程进行得不是非常快，微气团内气体的压强已来得及随时调整到与周围大气的压强相等，但尚来不及与周围大气发生热交换，因而可以把过程视为绝热过程．现假定大气可视为理想气体，理想气体在绝热过程中，其压强p与体积V满足绝热过程方程pVγ=C．式中C和γ都是常量，但γ与气体种类有关，对空气，γ=1.40．已知空
气的摩尔质量μ=0.029kg?mol－1，普适气体恒量R=8.31J?(K?mol)－1．试在上述条件下定量讨论微气团以后的运动． 设重力加速度g=9.8m·s－2，z=0处大气的温度Te0=300K． 四、 图1中K为带电粒子发射源，从中可持续不断地射出质量、电荷都相同的带正电的粒子流，它们的速度方向都沿图中虚线O′O，速度的大小具有一切可能值但都是有限的．当粒子打在垂直于O′O的屏NN′上时，会在屏上留下永久性的痕迹．屏内有一与虚线垂直的坐标轴Y，其原点位于屏与虚线的交点O处，Y的正方向由O指向N．虚线上的A、B两处，各有一电子阀门a和b．阀门可以根据指令开启或关闭．开始时两阀门都处于关闭状态，挡住粒子流．M、M′是两块较大的平行金属平板，到虚线O′O的距离都是d，板M接地．在两板间加上如图2所示的周期为2T的交变电压u，u的正向最大值为2U，负向最大值为U．已知当带电粒子处在两平板间的空间时，若两平板间的电压为U，则粒子在电场作用下的加速度a、电压u的半周期T和平板到虚线的距离d满足以下关系 aT2=d
已知AB间的距离、B到金属板左端的距离、金属板的长度以及金属板右端到屏的距离都是l．不计重力的作用．不计带电粒子间的相互作用．打开阀门上的粒子被阀门吸收，不会影响以后带电粒子的运动．只考虑MM′之间的电场并把它视为匀强电场． 1．假定阀门从开启到关闭经历的时间δ比T小得多，可忽略不计．现在某时刻突然开启阀门a又立即关闭；经过时间T，再次开启阀门a又立即关闭；再经过时间T，第3次开启阀门a同时开启阀门b，立即同时关闭a、b．若以开启阀门b的时刻作为图2中t=0的时刻，则屏上可能出现的粒子痕迹的Y坐标（只要写出结果，不必写出计算过程）为
t/T 0 24681012 u 2U
－U 图2
K OM
N
N Y O M B A
a b
l l l l 图1 __________________________________________________________________________． 2．假定阀门从开启到关闭经历的时间δ=，现在某时刻突然开启阀门a，经过时间δ立即关闭a；从刚开启a的时刻起，经过时间T，突然开启阀门b，经过时间δ关闭b．若以刚开启阀门b的时刻作为图2中t=0的时刻，则从B处射出的具有最大速率的粒子射到屏上所产生的痕迹的Y坐标（只要写出结果，不必写出计算过程）为_____________________________________________________________________________．具有最小速率的粒子射到屏上所产生的痕迹的Y坐标（只要写出结果，不必写出计算过程）为_____________________________________________________________________________． 五、 如图所示，坐标系Oxyz的x轴和z轴都位于纸面内，y轴垂直纸面向里．两无限大金属极板P和Q分别位于x=－d和x=d处．磁感应强度大小为B的匀强磁场的方向平行于Oxz坐标平面，与z轴的夹角为α．在坐标原点O处，有一电荷为q（＞0）、质量为m的带电粒子，以沿y轴正方向的初速度v0开始运动．不计重力作用． 1．若两极板间未加电场，欲使该粒子在空间上恰好能到达极板（但与板不接触），则初速度v0应为多大？所需最短时间t0是多少？ 2．若在两极板间沿x轴正方向加上一场强为E的匀强电场，使该粒子能在第1问中所求得的时间t0到达极板，则该粒子的初速度v0应为多大？若α=，求粒子到达极板时粒子的坐标．
2d P z B Q
O x
α 六、 在高能物理中，实验证明，在实验室参考系中，一个运动的质子与一个静止的质子相碰时，碰后可能再产生一个质子和一个反质子，即总共存在三个质子和一个反质子．试求发生这一情况时，碰前那个运动质子的能量（对实验室参考系）的最小值（即阈值）是多少． 已知质子和反质子的静止质量都是m0=1.67×10－27kg．不考虑粒子间的静电作用． 第23届全国中学生物理竞赛决赛参考解答 一、 要使天梯相对于地球静止不动，由地面伸向太空，与地面之间无相互作用力，这样的天梯的下端只能位于赤道上某处，且天梯与该处地球表面垂直，并与地球同步转动．如图1所示．
从坐标原点与地球中心固连、坐标轴指向恒星的惯性参考系来看，天梯和地球一起匀速转动．天梯所受的外力只有地球的万有引力．把天梯看作是由线密度为ρ的许多非常小的小段组成，则每小段到地球中心的距离不同，因而所受地球引力的大小也不同，其中与地心的距离为ri－1到ri间的长度为△ri的小段所受地球引力为 fi=G)（1） 整个天梯所受的地球引力F就等于每小段所受地球引力之和， 即 F=1niif=21niiiMrGr（2）
L R1 R
0 O
图1 符号1ni表示对所有小段求和．因△ri=ri－ri－1是个小量，注意到riri－1=ri(ri－△ri)≈r，因此 用R0表示地球半径，也就是天梯下端到地心的距离，Rl表示天梯上端到地心的距离，则r0=R0，rn=Rl，代入（2）式得 F=GMρ(－)（3）
整个天梯的质量 m=ρ(Rl－R0)（4）
天梯的质心位于天梯的中点，它到地心的距离 rC=R0+（5）
根据质心运动定理，有 F=mrC()2（6）
式中T为地球自转的周期． 由（3）、（4）、（5）、（6）式可得 (Rl－R0)(R+R0Rl－)=0 Rl－R0=0，表示天梯无长度，不符合题意，符合题意的天梯长度满足的方程为
R+R0Rl－=0（7）
因为GM=Rg，所以得 R+R0Rl－=0（8）
【从跟随地球一起转动的参考系看，也可得到（8）式．这时，天梯在地球引力和惯性离心力的作用下，处于平衡静止状态，地球引力仍为（3）式，天梯所受的惯性离心力可由下面的方法求得：仍把天梯看作由很多长度为△ri的小段组成，则第i小段受的惯性离心力为 fi′=ρ△ri()2ri（4′）