数学分析报告考研试题

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武汉大学近二十年数学分析考研真题

其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明：（1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
+
1 32
−
1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2
−
1 2n
+ " 是否收敛？为什么？
∑ 3．求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4．求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3．设 f (x, y) 为连续函数，且当 (x, y) ≠ (0,0) 时，f (x, y) > 0 ，及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ，
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ，使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+

2022年重庆理工大学考研真题601数学分析(A卷)

重庆理工大学2022年硕士研究生招生考试试题学院名称：理学院学科、专业名称：数学考试科目（代码）：数学分析601（A 卷）（试题共5页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。

2.试题与答卷一并随原信封交回。

一、选择题（每小题3分，共15分）1.若函数1cos 0()sin 0x f x a xb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)1ab =-2.若函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（）(A)若0()limx f x x→存在,则(0)0f =(B)若0()limx f x x→存在,则(0)f '存在(C)若0()()limx f x f x x →--存在,则(0)f '存在(D)若0()()limx f x f x x→+-存在,则(0)0f =3．对10,(1,2,)1n a n n <<=+ ，则下列级数中绝对收敛的是（）(A)1nn a∞=∑(B)1(1)nnn a ∞=-∑(C)121(1)n nn a ∞+=-∑(D)1n ∞=4.函数2242,(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在（0,0）处（）（A）连续，偏导不存在（B）不连续，偏导存在（C）偏导存在，可微（D）以上结果均不正确5.下列反常积分中，收敛的是（）（A）2x edx+∞-⎰（B）111dxx-⎰（C）111dx x +∞-⎰（D）1ln edx x x+∞⎰二、填空题（每小题3分，共30分）1.求极限n →∞⋅=。

2．计算1limn n →∞=⎰。

3．曲线231x ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩在1t =处切线的斜率为。

4．设函数21sin0()0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则(0)f '=。

考研真题解析历年考研数学题目分析

考研真题解析历年考研数学题目分析一、概述在考研备考过程中，数学是很多考生的重点和难点科目之一。

针对历年考研真题的解析和分析，有助于考生理解数学试题的出题思路、考察重点以及解题技巧，从而更好地应对数学考试。

本文将对历年考研数学题目进行解析和分析，希望对考生提供一些学习和备考的指导。

二、选择题分析历年考研数学选择题是考生们最常见的题型，掌握解题方法和技巧对提高分数至关重要。

以下是几个常见的选择题分析：1. 题目一解析题目描述：...解析：...2. 题目二解析题目描述：...解析：...三、填空题分析填空题是考察考生对知识点掌握的一种方式，需要考生灵活运用所学知识进行解答。

以下是几个填空题的分析：1. 题目一解析题目描述：...解析：...2. 题目二解析题目描述：...解析：...四、计算题分析计算题是考生们最常见的题型之一，要求考生灵活运用所学知识进行计算和推导。

以下是几个计算题的分析：1. 题目一解析题目描述：...解析：...2. 题目二解析题目描述：...解析：...五、解答题分析解答题是考察考生综合运用所学知识和解题思路的一种方式，对于考生来说，需注重对解答的清晰度和严谨性。

以下是几个解答题的分析：1. 题目一解析题目描述：...解析：...2. 题目二解析题目描述：...解析：...六、总结通过对历年考研数学真题的解析和分析，可以帮助考生了解数学试题的命题特点和解题思路，掌握所学知识的运用方法和技巧。

在备考过程中，考生应注重对真题的复习和练习，多做题、多总结，形成解题的思维模式和应对策略。

相信通过认真学习和努力备考，考生们一定能在考研数学中取得好成绩。

祝愿大家都能实现自己的考研梦想！。

数学分析各校考研试题与答案

数学分析各校考研试题与答案2003南开⼤学年数学分析⼀、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有⼆阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w⼆、设数列}{n a ⾮负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an ⾮负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a n n =∞→lim ；据两边夹定理有极限成⽴。

三、设?≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满⾜：（1）极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x)在x=0连续（3） f(x)在x=0可导解：（1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nα极限存在则2+α0≥知α2-≥(2)因为)(lim 0x f x -→=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f(x)在0可导则1->α四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径⽆关解；令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++?)(22=21du u f l )(?⼜f(x)在R 上连续故存在F （u ）使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径⽆关。

（此题应感⼩毒物提供思路）五、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+ba f 且Mx f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤?证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗⽇中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f ba)(()(+-'=??ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤++ξ六、设}{n a 单减⽽且收敛于0。

(完整版)数学分析_各校考研试题及答案

2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w解：令u=x+y ，v=x-y ，z=x 则z v u x f f f w ++=；)1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ,证明a a a a n n n n n n =+++∞→121][lim解：因为an 非负单增，故有n n n nnn n n n na a a a a 1121)(][≤+++≤由a a nn =∞→lim ；据两边夹定理有极限成立。

三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x ）分别满足：（1）极限)(lim 0x f x +→存在（2） f(x ）在x=0连续（3） f （x ）在x=0可导解：(1）因为)(lim 0x f x +→=)1ln(lim 20x x x ++→α=)]()1(2[lim 221420n nn x x o nxx x x +-++--→+α极限存在则2+α0≥知α2-≥（2）因为)(lim 0x f x -→=0=f(0）所以要使f(x)在0连续则2->α（3）0)0(='-f 所以要使f （x ）在0可导则1->α四、设f （x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++⎰)(22与积分路径无关解;令U=22y x+则ydy xdx y x f l ++⎰)(22=21du u f l )(⎰又f （x ）在R 上连续故存在F(u ）使dF （u ）=f(u ）du=ydy xdx y x f ++)(22所以积分与路径无关。

（此题应感谢小毒物提供思路）五、设f(x)在［a,b ］上可导，0)2(=+b a f 且M x f ≤')(，证明2)(4)(a b M dx x f b a-≤⎰证：因f(x)在[a ，b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在)2)(()2()(),(ba x fb a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即有dx ba x f dx x f bab a)2)(()(+-'=⎰⎰ξ222)(4])2()2([)2)((a b M dx b a x dx x b a M dx b a x f bb a ba a ba-=+-+-+≤+-'≤⎰⎰⎰++ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。

华南理工大学2020年数学分析考研试题参考解答

所以所求点为 (4, 2, 4) 或者 (−4, −2, −4)。 ** 十、（13 分）** 设 f (x) 在 [0, 2] 上二阶可微, 且 |f (x)| ≤ 1, |f ’’(x)| ≤ 1 . 证明:|f ’(x)| ≤ 2 . ** 证明：** 用在 x 点的泰勒公式
f (y)
=
f (x)
+∞
cos(yx)de−2x
0
20
=
− 1 e−2x 2
cos(yx)|+0 ∞
−
y 2
∫ +∞
0
e−2x
sin(yx)dx
=
1
+
y
∫
+∞
sin(yx)de−2x
2 40
=
1 2
+
y e−2x 4
sin(yx)|+0 ∞
−
y2 4
∫ +∞
0
e−2x
cos(yx)dx
因此
∫ +∞
0
e−2x
cos(yx)dx
0
ex(1
−
cos(2x)dx
=
40
eπ − 1
−
+
1
∫
π
ex cos(2x)dx
4
40
∫π
∫π
ex cos(2x)dx = cos(2x)dex
0
∫
0 π
= ex cos(2x)|π0 + 2 ex sin(2x)dx
∫
0 π
= eπ − 1 + 2 sin(2x)dex
0
∫π
= eπ − 1 + 2(ex sin(2x)|π0 − 2 ex cos(2x)dx)

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高数考研试题2 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设,0,0,0,1cos)(xxxxxf若若其导函数在x=0处连续，则的取值范围是2. 【分析】当x0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导. 【详解】当1时，有

,0,0,0,1sin1cos)(21xxxxxxxf若若

显然当2时，有)0(0)(lim0fxfx，即其导函数在x=0处连续. 【评注】原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形）.

（2）已知曲线bxaxy233与x轴相切，则2b可以通过a表示为2b64a . 【分析】曲线在切点的斜率为0，即0y，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b与a的关系. 【详解】由题设，在切点处有

03322axy，有 .220ax

又在此点y坐标为0，于是有 0300230bxax,

故 .44)3(6422202202aaaxaxb 【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.36第一大题第（3）小题.

（3）设a>0，，xaxgxf其他若,10,0,)()(而D表示全平面，则DdxdyxygxfI)()(

= 2a . 【分析】本题积分区域为全平面，但只有当10,10xyx时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】 DdxdyxygxfI)()(=dxdyaxyx10,102 =.])1[(21021012adxxxadydxaxx 【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可. 完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 .

（4）设n维向量0,),0,,0,(aaaT；E为n阶单位矩阵，矩阵

TEA

， TaEB1，

其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .

【分析】这里T为n阶矩阵，而22aT为数，直接通过EAB进行计算并注意利用乘法的结合律即可. 【详解】由题设，有 )1)((TTaEEAB

=TTTTaaE11 =TTTTaaE)(11 =TTTaaE21 =EaaET)121(, 于是有 0121aa，即 0122aa，解得 .1,21aa 由于A<0 ,故a=-1. 【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题 .

（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若4.0XZ，则Y与Z的相关系数为 0.9 . 【分析】利用相关系数的计算公式即可. 【详解】因为 )4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(XEYEXYEXYZY

=)(4.0)()()(4.0)(YEXEYEYEXYE =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y),

且.DXDZ

于是有 cov(Y,Z)=DZDYZY),cov(=.9.0),cov(XYDYDXYX 【评注】注意以下运算公式：DXaXD)(，).,cov(),cov(YXaYX 完全类似例题见《数学复习指南》P.475【例3.32】的【注】 .

（6）设总体X服从参数为2的指数分布，nXXX,,,21为来自总体X的简单随机样

本，则当n时，niinXnY121依概率收敛于 21 . 【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量

nXXX,,,21，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：

).(1111nEXnXn

niipn

【详解】这里22221,,,nXXX满足大数定律的条件，且22)(iiiEXDXEX

=21)21(412，因此根据大数定律有

niinXnY12

1依概率收敛于.211

12niiEX

【评注】大数定律见《数学复习指南》P.484 .

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f存在，则函数xxfxg)()( (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.

于是有 )0(0)0()(lim)(lim)(lim000fxfxfxxfxgxxx存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=,0,0,0,1xxxx可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).

【评注2】若f(x)在0xx处连续，则.)(,0)()(lim0000AxfxfAxxxfxx. 本题事实上相当于考查此结论，详情可参见《考研数学大串讲》P.18的重要结论与公式.

（2）设可微函数f(x,y)在点),(00yx取得极小值，则下列结论正确的是 (A) ),(0yxf在0yy处的导数等于零. （B）),(0yxf在0yy处的导数大于零. (C) ),(0yxf在0yy处的导数小于零. (D) ),(0yxf在0yy处的导数不存在.

[ A ] 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】可微函数f(x,y)在点),(00yx取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00yxfy，即),(0yxf在0yy处的导数等于零, 故应选(A).

【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0yxf在0yy处的导数即),(00yxfy；而),(0yxf在0xx处的导数即).,(00yxfx

【评注2】本题也可用排除法分析，取22),(yxyxf，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(yyf，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).

（3）设2nnnaap，2nnnaaq，,2,1n，则下列命题正确的是 (A) 若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq都收敛. (B) 若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq都收敛. (C) 若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定. (D) 若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定. [ B ] 【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】若1nna绝对收敛，即1nna收敛，当然也有级数1nna收敛，再根据2nnn

aap



，2nnnaaq及收敛级数的运算性质知，1nnp与1nnq都收敛，故应选(B). 【评注】完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P.23第二大题第（3）小题.

（4）设三阶矩阵abbbabbbaA，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0. (C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. [ C ] 【分析】 A的伴随矩阵的秩为1, 说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件. 【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有

0))(2(2babaabbbabbba

，即有02ba或a=b. 但当a=b时，显然秩(A)2, 故必有 ab且a+2b=0. 应选(C). 【评注】 n（n)2阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：

.1)(,1)(,)(,0,1,*)(nArnArnArnAr 完全类似例题见《数学复习指南》P.329【例3.31】. （5）设s,,,21均为n维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有02211sskkk，则s,,,21线性无关. (B) 若s,,,21线性相关，则对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有.02211sskkk

(C) s,,,21线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. (D) s,,,21线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.

【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数skkk,,,21,都有 02211sskkk，则s,,,21必线性无关，因为若s,,,21线性相关，

则存在一组不全为零的数skkk,,,21,使得 02211sskkk，矛盾. 可见（A）成立.

(B): 若s,,,21线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有.02211sskkk(B)不成立.