分式方程的解法
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。
分式方程的解题方法【范本模板】
【知识精读】1. 解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程.2。
解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母,化成整式方程;（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验.3。
列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】例1。
解方程：x x x --+=1211 分析:首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11,得x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2。
解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1,而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。
解：原方程变形为:x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验:原方程的根是x =-92。
例3。
解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
分式方程的解法与技巧_知识精讲
分式方程的解法与技巧【典型例题】1. 局部通分法：例1.分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。
解：方程两边分别通分并化简，得：解之得：x＝6经检验：x＝6是原分式方程的根。
点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。
但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。
2. 换元法：例2.分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x的二次三项式，且前两项完全相同，解：解此方程此方程无解。
点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。
3. 拆项裂项法：例3.分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。
解：原方程拆项，变形为：裂项为：经检验：x＝1是原分式方程的解。
4. 凑合法：例4.分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。
解：部分移项得：∴x＝2经检验：x＝2是原分式方程的根。
5. 构造法：例5.分析：来求解，而不用常规解法。
解：原方程可化为：6. 比例法：例6.分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等运算。
解：应用上述性质，可将方程变形为：【模拟试题】（答题时间：20分钟）解下列分式方程：1.2.3.4.5.【试题答案】1. 解：原方程变形为：即方程两边分别通分为：去分母得：化简得：解法2：原方程变变形得：两边分别通分得：去分母得：化简得：2. 由比例的性质可得：或解之得：经检验：是原分式方程的解。
3. 解：原方程可化为：化简得：∴原分式方程无解4. 原方程可变形为：设，则有∴原方程可化为：即解之得：当时，即，解得当时，即，解得经检验：，均是原方程的解。
分式方程及其解法课件
高阶分式方程的解法实例
总结词
通过降阶、变量代换等方法，将高阶分式方 程转化为低阶或可直接求解的分式方程。
详细描述
高阶分式方程可以通过降阶、变量代换等方 法，将其转化为低阶或可直接求解的分式方
程。例如，对于形如 "a1x1+a2x2+...+anxn/b1x1+b2x2+...+b nxn=c" 的高阶分式方程，可以先将高阶项 进行降阶或变量代换，将其转化为可直接求
分式方程及其解法课件
目
CONTENCT
录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的解法 • 分式方程的解法技巧 • 分式方程的解法实例 • 分式方程的解法总结与反思
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
总结词
分式方程是数学中一类带有分式的等式，用于描述某些特定情况 下的数量关系。
详细描述
分式方程是数学中一类带有分式的等式，通常用来描述两个或多 个量之间的关系。分式方程中的分母不能为零，因为分母代表一 个量所占的比例或份额。
适用范围
分式方程的解法适用于解决涉及分数 、比例、百分数等实际问题的数学问 题，同时也可以用于解决一些代数和 几何问题。
不适用范围
对于一些过于复杂或抽象的分式方程 ，分式方程的解法可能无法解决，或 者解决起来非常困难。
解法的改进与展望
改进
在解分式方程时，可以尝试引入更多的数学工具和方法，例Байду номын сангаас使用分数运算规则、因式 分解、变量替换等技巧，以提高解题效率和准确性。
通过约分、通分、消去分母等方法，将 分式方程转化为整式方程进行求解。
VS
详细描述
一元分式方程通常可以通过约分、通分和 消去分母的方法，将方程转化为整式方程 ，然后利用整式方程的解法求解。例如， 对于形如 "ax+b/cx+d=e" 的分式方程， 可以先通分，然后移项、合并同类项，最 后求解整式方程。
数学八年级上册【分式方程】知识点梳理
数学八年级上册【分式方程】知识点梳理知识点汇总一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
三、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.今日练习1.校运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为：A．B．C． D .2.以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是：A．B．C． D .【参考答案】1.B若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解解：设甲种雪糕的价格为x元，则甲种雪糕的根数：；乙种雪糕的根数：．可得方程：故选B考点：由实际问题抽象出分式方程2.B。
分式方程
分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注： 解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。
步骤：（1）去分母（两边同时乘以最简公分母）（2）去括号（3）移项（一般般含未知数的项移到左边，常数项移到右边） （4）合并同类项（5）系数化一（两边同时除以未知数的系数） （6）检验（将所求的未知数的值代入最简公分母） （7）做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．例题讲解：1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围为___________3. 若分式 的值为零，则 的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天．5. 若方程322x mx x-=--无解，则m =______. 解下列分式方程：14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知：关于x 的方程xx x a --=-+3431无解，求a 的值。
初二分式方程的解法
初二分式方程的解法
分式方程是指含有分式的方程，解决分式方程的一般步骤如下：步骤一：合并同类项，消去分母。
将方程中的每一项进行合并，然后通过乘以分母，消去方程中的分母。
这样可以将分式方程转化为整式方程。
步骤二：将方程转化为一元一次方程。
将分式方程中的未知数所在的项移到方程的一边，整理后得到一元一次方程。
步骤三：解一元一次方程，求出未知数的值。
通过移项、合并同类项等方法，解一元一次方程，求出未知数的值。
步骤四：检验解的合理性。
将求得的未知数的值代入原方程中，验证方程左右两边是否相等，以确定解的合理性。
需要特别注意：
在整个解题过程中，要注意方程中的绝对值、分式的定义域等特殊情况。
当分母为零时，方程无解；当方程中含有绝对值时，要考虑正负两种情况。
希望以上解题步骤对你有帮助！。
分式方程解法
解分式方程的步骤： 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个 含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原 分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解 分式方程时必须进行检验．
3．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？ 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式 子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方 程，它的解v＝6.当v＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说， 去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式 方程的解与①的解相同． 方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解x＝5. 当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边 乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现 分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．
(1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中 能否得到一点启发？
(2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式 方程呢？
[可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下： 方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得 90(30－ v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得 v＝6. 所以江水的流度为 6 千米/时． [概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘
4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根 是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起 见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值 是否为零．如果为零，即为增根． 如例1中的x＝5，代入x2－25＝0，可知x＝5是原分式方 程的增根．
三、举例分析 例 2(教材例 1) 解方程x－2 3＝3x. 解：方程两边乘 x(x－3)，得 2x＝3x－9. 解得 x＝9. 检验：当 x＝9 时，x(x－3)≠0.
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分式方程的解法
分式方程是带有分式的方程，其中包含未知数。
解决分式方程需要采用一些特定的方法和步骤。
本文将介绍两种常见的解分式方程的方法：通分法和消去法。
一、通分法
通分法是解决一元分式方程的常见方法，其步骤如下：
步骤1：将分式方程中的所有分母找出来，并求出这些分母的最小公倍数。
步骤2：将分式方程两边的分母都乘以最小公倍数，这样分母就可以相互抵消。
步骤3：将方程进行简化，整理后得到一个方程。
步骤4：通过解这个简化后的方程得到未知数的值。
举例说明：
假设我们要解方程：(2/x) - (3/(x+1)) = 1/3
步骤1：找出分母为x和x+1的最小公倍数为3x(x+1)
步骤2：将方程两边的分母都乘以3x(x+1)，得到6(x+1) - 3x =
x(x+1)
步骤3：化简方程，得到6x + 6 - 3x = x^2 + x
步骤4：整理方程，得到x^2 - 2x - 6 = 0
这是一个二次方程，可以通过求根公式或配方法解得x的值。
二、消去法
消去法是解决一元分式方程的另一种常见方法，其步骤如下：
步骤1：观察分式方程中的分母，找出能够相互消去的项。
步骤2：根据消去后的方程得到未知数的值。
举例说明：
假设我们要解方程：(4/x) + (1/(x+3)) = 1/2
步骤1：观察分式方程，发现可以通过消去项x和x+3来简化方程。
步骤2：将方程中的分母相乘，得到4(x+3) + x = x(x+3)/2
步骤3：化简方程，得到4x + 12 + x = (x^2 + 3x)/2
步骤4：整理方程，得到9x + 24 = (x^2 + 3x)/2
进一步整理，得到18x + 48 = x^2 + 3x
将式子移项并整理，得到x^2 - 15x - 48 = 0
这是一个二次方程，可以通过求根公式或配方法解得x的值。
通过通分法和消去法，我们可以有效地解决一元分式方程。
这两种
方法在实际问题中经常应用，能够帮助我们找到方程的解。
当然，对
于更复杂的分式方程，可能需要应用其他的方法来解决，但是通分法
和消去法是解决方程的基本思路。
在学习和应用这两种方法时，需要灵活运用数学知识和技巧，化繁为简，找到方程的解答。
综上所述，分式方程的解法可以通过通分法和消去法来完成。
这两种方法都需要仔细观察方程的结构和特点，并采取相应的步骤进行计算。
在解决实际问题中，我们还可以结合其他数学知识和方法，灵活应用，找到方程的解。
分式方程是数学学习中的重要内容，掌握这些解法对于提高数学解题能力和思维能力都有很大帮助。