2019年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(广东卷)
试卷类型：A2019年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第一部分 选择题(共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．( 1 ) 若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N = （ ）A ．{3}B ．{0}C ．{0，2}D ．{0，3}【答案】B解: ∵由2||≤x ，得22≤≤-x ，由032=-x x ，得30==x x 或， ∴M ∩N }0{=，故选B ．( 2 ) 若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += （ ）A ．0B ．2C ．25 D ．5【答案】D解: ∵ i b i i a -=-)2(，∴i b ai -=-2，⎩⎨⎧==21b a 即 ，522=+b a ，故选D ．( 3 ) 93lim 23-+-→x x x =（ ）A ．61-B ．0C ．61 D ．31 【答案】A 解: 6131)3)(3(3933323lim lim lim-=-=-++=-+-→-→-→x x x x x x x x x ，故选A ．( 4 ) 已知高为３的直棱锥C B A ABC '''-的底面是边长为１的正三角形 （如图１所示），则三棱锥ABC B -'的体积为 （ ） A ．41B ．21C ．63D ．43【答案】D解:∵ ,ABC B B 平面⊥'A'C'AC图1∴43343313131=⋅⋅='⋅=⋅=∆∆-'B B S h S ABC ABC ABC B V ． 故选D.( 5 ) 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32【答案】B解: ∵轴上焦点在x ，∴2=a ，∵ 21==a c e ，∴22=c ， ∴23222=-==c a b m ，故选B ．( 6 )函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（ ）A ．),2(∞+B ．)2,(∞-C ．)0,(-∞D ．（0，2）【答案】D解: ∵,63)(2x x x f -='20,063,0)(2<<<-<'x x x x f 解得即令，故选D ．( 7 ) 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β，的四个命题： ①若A l m =⊂αα ,，点m A ∉，则l 与m 不共面；②若m 、l 是异面直线, αα//,//m l , 且m n l n ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βα//,//m l , βα//，则m l //；④若=⊂⊂m l m l ,,αα点A ，ββ//,//m l ，则βα//． 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】C解：③是假命题，如右图所示满足βα//,//m l , βα//，但 m l \// ，故选C ．( 8 ) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 （ ）A ．61 B ．365 C ．121 D ．21 【答案】C解：满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以121363==P ，故选C ．( 9 ) 在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图像lαβm关于直线x y =对称．现将)(x g y =图像沿x 轴向左平移２个单位， 再沿y 轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线 （如图２所示），则函数)(x f 的表达式为A ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x xx x x fB ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x xx x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x xx x x fD ．⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=42,3221,62)(x xx x x f【答案】A解：将图象沿y 轴向下平移１个单位，再沿x 轴向右平移２个单位得下图A ，从而可以得到)(x g 的图象，故⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ，∵函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f ，故选A ．(也可以用特殊点检验获得答案)（10）已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ．若2lim =∞→n x x ，则=1xA ．23B ．3C ．4D ．5【答案】B解法一：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ，故选B ．解法二：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ，21211-=-----n n n nx x x x 即， ∴{}n n x x -+1是以（12x x -）为首项，以21-为公比6的等比数列，令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→x x xx n x n x ，∴31=x ，故选B . 解法三：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴0221=----n n n x x x ，∴其特征方程为0122=--a a ，解得 211-=a ，12=a ，nn n a c a c x 2211+=，∵11x x =，212x x =，∴3211x c -=，3212x c =，∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=，以下同解法二．第二部分 非选择题(共100分)二．填空题：本大题共4小题目，每小题5分，共20分．(11)函数xex f -=11)(的定义域是 ．【答案】)0,(-∞解：使)(x f 有意义，则01>-x e ， ∴ 1<x e ，∴0<x ，∴)(x f 的定义域是)0,(-∞．(12)已知向量)3,2(=，)6,(x =，且b a //，则=x ．【答案】4解：∵b a //，∴1221y x y x =，∴x 362=⋅，∴4=x .(13)已知5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数与4)45(+x 的展开式中3x 的系数相等，则=θcos． 【答案】22±解：4)45(+x 的通项为r r rx C )45(44⋅⋅-，1,34==-∴r r ， ∴4)45(+x 的展开式中3x 的系数是54514=⋅C , 5)1cos (+θx 的通项为R R x C -⋅55)cos (θ，3,25==-∴R R ，∴5)1cos (+θx 的展开式中2x 的系数是,5cos 235=⋅θC∴ 21cos 2=θ，22cos ±=θ.(14)设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）【答案】5，)2)(1(21-+n n解：由图B 可得5)4(=f ，由2)3(=f ，5)4(=f ，9)5(=f ，14)6(=f ，可推得∵n 每增加1，则交点增加)1(-n 个， ∴)1(432)(-++++=n n f2)2)(12(--+=n n)2)(1(21-+=n n ．三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ( 15 )（本小题满分12分）化简),,)(23sin(32)2316cos()2316cos()(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=πππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期.【答案】解: )23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f ++--+++=πππππ)23sin(32)23cos()23cos(x x x +++++=πππ)23sin(32)23cos(2x x +++=ππ]3sin )23sin(3cos)23[cos(4ππππx x +++= x 2cos 4=∴ ]4,4[)(-∈x f ，ππ==22T ， ∴)(x f 的值域是]4,4[-，最小正周期是π．( 16 ) （本小题共14分）如图3所示，在四面体ABC P -中，已知6==BC PA ，342,8,10====PB AC AB PC ．F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且PB EF ⊥． （Ⅰ）证明：ＣＥF PB 平面⊥；（Ⅱ）求二面角F CE B --的大小．图BABPF E(Ⅰ)证明：在ABC ∆中， ∵,6,10,8===BC AB AC ∴,222AB BC AC =+∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形， 同理可证，△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形，△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形． 在PCB Rt ∆中，∵,341715,342,6,10====CF PB BC PC ∴,CF PB BC PC ⋅=⋅ ∴,CF PB ⊥ 又∵,,F CF EF PB EF =⊥ ∴.CEF PB 平面⊥（II ）解法一：由（I ）知PB ⊥CE ，PA ⊥平面ABC∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB ⊥CE ∴CE ⊥平面PAB ，而EF ⊂平面PAB ， ∴EF ⊥EC ，故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角， ∵EFB PAB ∆∆~∴35610cot tan ===∠=∠AP AB PBA FEB ， ∴二面角B —CE —F 的大小为35arctan ．解法二：如图，以C 点的原点，CB 、CA 为x 、y 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，则)0,0,0(C ，)0,8,0(A ，)0,0,6(B ，)6,8,0(P ，∵)6,0,0(=PA 为平面ABC 的法向量，)6,8,6(--=PB 为平面ABC 的法向量， ∴34343342636,cos -=⋅-=<PB PA ， ∴二面角B —CE —F 的大小为34343arccos ．(17 ) （本小题共14分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2x y =上异于坐标原点O 的两不同动点Ａ、Ｂ满足BO AO ⊥（如图４所示）（Ⅰ）求AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由．y C解法一：（Ⅰ）∵直线AB 的斜率显然存在，∴设直线AB 的方程为b kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，依题意得0,,22=--⎩⎨⎧=+=b kx x y xy b kx y 得消去由，① ∴k x x =+21，② b x x -=21 ③∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即 0222121=+x x x x ，④ 由③④得，02=+-b b ，∴)(01舍去或==b b ∴设直线AB 的方程为1+=kx y∴①可化为 012=--kx x ，∴121-=x x ⑤， 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则33021k x x x =++= ⑥ ， 3232)(3022121+=++=++=k x x k y y y ⑦， 由⑥⑦得 32)3(2+=x y ，即3232+=x y ，这就是AOB ∆得重心G 的轨迹方程．（Ⅱ）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=把②⑤代入上式，得 41||22+⋅+=k k AB ，设点O 到直线AB 的距离为d ，则112+=k d ，∴ 24||212+=⋅⋅=∆k d AB S AOB ，∴ 当0=k ，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 ．解法二：（Ⅰ）∵ AO ⊥BO, 直线OA ，OB 的斜率显然存在， ∴设AO 、BO 的直线方程分别为kx y =，x ky 1-=， 设),(11y x A ，),(22y x B ，依题意可得由⎩⎨⎧==2xy kxy 得 ),(2k k A ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=21xy x ky 得 )1,1(2kk B -， 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则31321k k x x x -=++=① ， 31302221k k y y y +=++= ②，由①②可得，3232+=x y ，即为所求的轨迹方程. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，42||k k OA +=，4211||k k OB +=， ∴42421121||||21k k k k OB OA S AOB +⋅+⋅=⋅⋅=∆212122++=k k 12221=+≥， 当且仅当221kk =，即1±=k 时，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 .解法三:（I ）设△AOB 的重心为G(x , y ) ，A(x 1, y 1)，B(x 2 , y 2 )，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x …（1） 不过∵OA ⊥OB ，∴1-=⋅OB OA k k ，即12121-=+y y x x ， …（2） 又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==， 代入（2）化简得121-=x x ，∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y ， ∴所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y ，（II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆， 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB ，当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立，所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1 ．( 18 ) （本小题共12分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为t s :．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次．以ξ表示取球结束时已取到白球的次数． （Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望．【答案】解：（Ⅰ）取出黄球的概率是t s s A P +=)(，取出白球的概率是ts tA P +=)(，则 ts sP +==)0(ξ， 2)()1(t s st P +==ξ， 32)()2(t s st P +==ξ， ……， n n t s st n P )()1(1+=-=-ξ， nn t s st n P )()(1+==-ξ，∴ξ的分布列是（Ⅱ）++⨯++⨯++⨯=322)(2)(10t s st t s st t s s E ξ…n nn n t s t n t s st n )()()1(1+⨯++⨯-+- ①++++=+4332)(2)(t s st t s st E t s t ξ (11)11)()()1()()2(+++-+++-++-+n n n n n n t s nt t s st n t s st n ②①—②得++++++=+43322)()()(t s st t s st t s st E t s s ξ (11)11)()()1()()(+++-+-+--++++n n n n n n n n t s nt t s st n t s nt t s st∴ 11)()1()()()1(-++-++-+--=n nn n n n t s t n t s s nt t s t n s t E ξ∴ξ的数学期望是11)()1()()()1(-++-++-+--=n nn n n n t s t n t s s nt t s t n s t E ξ．( 19 ) （本小题共14分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上，只有0)3()1(==f f ． （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论．【答案】 解：（Ⅰ）∵)2()2(x f x f +=-， ∴)52()32(+=-f f即 )5()1(f f =-，∵在［0，7］上，只有0)3()1(==f f ， ∴0)5(≠f ，∴)1()1(f f ≠-，∴)(x f 是非奇非偶函数．（Ⅱ）由)2()2(x f x f +=-，令2-=x x ，得 )4()(x f x f -=，由)7()7(x f x f +=-，令3+=x x ，得 )10()4(x f x f +=-,∴)10()(x f x f +=，∴)(x f 是以10为周期的周期函数，由)7()7(x f x f +=-得，)(x f 的图象关于7=x 对称， ∴在［0，11］上，只有0)3()1(==f f ， ∴10是)(x f 的最小正周期，∵在［0，10］上，只有0)3()1(==f f ， ∴在每一个最小正周期内0)(=x f 只有两个根，∴在闭区间]2005,2005[-上的根的个数是802．( 20 ) （本小题共14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为２，宽为１，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上． （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值．。
2019届东莞市高三文科数学模拟试题(三)
东莞市2019届高三文科数学模拟试题(三)东华高级中学康逢永老师提供一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 复数22(1i)i+等于（ ） A.2 B.2- C.i 2- D.i 2 2.已知直线l 、m 和平面α、β，下列四个命题中，真命题的个数是（①若l ∥α，m ∥α，则l ∥m ；②若α∥l ，β∥l ，则α∥β； ③若l α⊥，l β⊥，则α∥β；④若l α⊥，m α⊥，则l ∥m . A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知}{n a 为等差数列，且1247-=-a a , 03=a ，则公差=d （ ）A.2-B.－12C.12D.24.在右面的程序框图中，若5=x ，则输出的i 的值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 5.如图，一个体积为 则这个三棱柱的左视图的面积为（ ） A.36 B ．8 C ．38 D ．126.“1=m ”是“直线01)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂 直”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．.必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件7.已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆224460x y x y +-++=上任意一点，则点C 到直线AB 距离的最小值是（ ） A.22 B.C ．2D ．8．设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小者，若函数}log ,3m in{)(2x x x f -=，则满足0)(<x f 的x的取值范围是（ ）A. ),3()1,0(+∞B. )3,1(C. ),3()1,(+∞-∞D. ),25()1,0(+∞9．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率等于（ ）A. 3B. 2C.3D.410.已知函数()f t 是奇函数且是R 上的增函数，若y x ,满足不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--，则22x y + 的最大值是（ ）AB．．8 D ．12 二、填空题（每小题5分，共20分）11.已知向量)2,4(=→a ，向量)3,(xb =→，且→→b a //，则=x .12.若实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-00101y y x y x ，则函数2z x y =+的最大值为 .13. 已知集合{}(,)1,,A x y y x x y ==-∈R ，{}(,)2,,B x y y ax x y ==+∈R ，若集合A B 有且只有一个元素，则实数a 的取值范围是 . ▲选做题（考生只能从中选做一题） 14.在极坐标系中，点)47,2(πA 到直线22)4sin(=+πθρ的 距离为 .15.已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于B A ,两点，割线PCD 经过圆心，若3=PA ，4=AB ，5=PO ，则⊙O 的半径为___________. 三、解答题（本大题共6小题，满分80分） 16．（本小题满分12分）已知函数)2sin(sin 3sin )(2πωωω+⋅+=x x x x f （0>ω）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围． （Ⅲ）函数)(x f 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变化得到？PACBDO某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （Ⅰ）求全班人数；（Ⅱ）求分数在)90,80[之间的人数；并计算频率分布直方图中)90,80[间的矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在]100,80[之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在]100,90[之间的概率.18. （本小题满分14分）在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，,O D 分别是,AB PB 的中点．（Ⅰ）求证：OD ∥平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （Ⅲ）求三棱锥P ABC -的体积．19．（本小题满分14分）已知函数321()(,3f x x x ax b a b =-+++∈R ). (Ⅰ) 若3=a ，试确定函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 若函数()f x 在其图象上任意一点00(,())x f x 处切线的斜率都小于22a ，求实数a 的取值范围.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>线0x y -=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(4,0)P ，M ，N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 21．（本小题满分14分）位于函数4133+=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标；(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*N 第n 条抛物线n C的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k .求证:10111113221<+++-n n k k k k k k .东莞市2019届高三文科数学模拟试题(三)参考答案及评分标准一、选择题（共10题，每小题均只有一个正确答案，每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共20分）11. 6 ； 12. 2 ； 13. (,1][1,)-∞-+∞ ； 14. 2； 15. 2 三、（本大题共6小题，满分80分） 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(⋅+-=212cos 212sin 23+-=x x ωω 21)62sin(+-=πωx ………………………………3分 )(x f 的最小正周期为π，且0>ωπωπ=∴22 1=∴ω …………4分（Ⅱ）解：21)62sin()(+-=πx x f ]32,0[π∈x ， ]34,0[2π∈∴x ， ]67,6[62πππ-∈-∴x ………………5分]1,21[)62sin(-∈-∴πx ]23,0[)(∈∴x f ……………………7分即)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围是]23,0[. ……………………8分PACBDO（Ⅲ）解：把x y sin =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的21倍（纵坐标不变）， 再把所得函数的图象向右平移12π个单位， 再把所得函数的图象向上平移21个单位，可得到)(x f 的图象. …………12分17. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图知：分数在)60,50[之间的频数为2.由频率分布直方图知：分数在)60,50[之间的频率为08.010008.0=⨯. 所以，全班人数为2250.08=人. ………………………4分 （Ⅱ）解：分数在)90,80[之间的人数为42107225=----人 ………………6分 故分数在)90,80[之间的频率为16.0254= 所以频率分布直方图中)90,80[间的矩形的高为016.01016.0=. …………………8分 （Ⅲ）将)90,80[之间的4个分数编号为4,3,2,1；]100,90[之间的2个分数编号为6,5. 则在]100,80[之间的试卷中任取两份的基本事件为：)2,1(，)3,1(，)4,1(，)5,1(，)6,1(，)3,2(，)4,2(，)5,2(，)6,2(，)4,3(，)5,3(，)6,3(， )5,4(，)6,4(，)6,5(共15个. ……………………………………10分其中，至少有一个在]100,90[之间的基本事件有9个， 故至少有一份分数在]100,90[之间的概率是53159=.………………………12分18. （本小题满分14分） （Ⅰ）,O D 分别为,AB PB 的中点，∴OD ∥PA又PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PACOD ∴∥平面PAC . (5)分（Ⅱ）连结OC ，OPAC CB ==O 为AB 中点，2AB =,OC ∴⊥AB ，1OC =.同理, PO ⊥AB ，1PO =.又PC =2222PC OC PO ∴=+=,90POC ∴∠=，PO ∴⊥OC .PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ⋂=,PO ∴⊥平面ABC .又 PO ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABC . ……………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知OP 垂直平面ABC∴OP 为三棱锥P ABC -的高，且1OP =3112213131=⨯⨯⨯=⋅=∴∆-OP S V ABC ABC P . …………………………14分19. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：当3=a 时，321()33f x x x x b =-+++， 所以32)(2/++-=x x x f ， …………………………2分 由0)(/>x f ，解得31<<-x ，由0)(/<x f ，解得1-<x 或3>x ， ……………………4分所以函数()f x 的单调增区间为)3,1(-，减区间为)1,(--∞和),3(+∞. ………………6分 （Ⅱ）解：因为2()2f x x x a '=-++，由题意得：22()22f x x x a a '=-++<对任意R x ∈恒成立，…………………………8分 即2222x x a a -+<-对任意R x ∈恒成立， 设2()2g x x x =-+，所以22()2(1)1g x x x x =-+=--+，所以当1x =时，()g x 有最大值为1， …………………………10分 因为对任意R x ∈，2222x x a a -+<-恒成立，所以221a a ->，解得1a >或21-<a ， …………………………13分 所以，实数a 的取值范围为{|1a a >或}21-<a . …………………………14分解：（Ⅰ）由题意知2c e a ==， 所以22222234c a b e a a -===，即224a b =， b a 2=∴又因为1b ==，2=∴a 故椭圆C 的方程为22:14x C y +=．…………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(41)326440k x k x k +-+-=． ① …………6分由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=--+->， 得21210k -<，6363<<-∴k ………………………………8分 又0k =不合题意，所以直线PN 的斜率的取值范围是： )0,63(-)63,0(．……………9分 （Ⅲ）设点11(,)N x y ，22(,)E x y ，则11(,)M x y -．直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．…………………………………………11分将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21223241k x x k +=+，212264441k x x k -=+代入② 整理，得1x =．………………………………………………………………13分 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．……………………………………14分解: (Ⅰ)由于n P 的横坐标构成以25-为首项,1-为公差的等差数列{}n x , 故153(1)(1)22n x x n d n n =+-=---=--. …………………3分又),(n n n y x P 位于函数4133+=x y 的图象上,所以y 453413)23(34133--=+--=+=n n x n n . ………………5分所求点),(n n n y x P 的坐标为()453,23----n n . ………………6分(Ⅱ)证明:由题意可设抛物线n C 的方程为2()n n n y a x x y =-+,即235()324n y a x n n =++--. 由抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,于是有22351()324n n a n n +=+--. 由此可得2351,()324n a y x n n ==++--. ………………9分 故32)23(20+=++='===n n x y k x x n .所以)2)(321121(21)32)(12(111≥+-+=++=-n n n n n k k nn , …………11分于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++-+-=+++-)321121()9171()7151(2111113221n n k k k k k k n n )32151(21+-=n 101<. 即10111113221<+++-n n k k k k k k . …………………14分。
东莞市2019届高三第二学期第一次统考(省一模)模拟考试文数试题
东莞市2019届高三第二学期第一次统考（省一模）模拟考试文科数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第U卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：2019.31. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1 •已知集合A = { 1,2,5}，B 二{x | x < 2}，则A B =A • { 1}B • {5}C • {1,2}D • {2,5}2.已知i是虚数单位，z 44-3i，则I z| =（1+i）A • 10 B.、、10 C • 5 D • - 53•现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为1111A •-B •-C •D •—236124 •双曲线2x-y2 = 1的焦点到渐近线的距离为4A. 1B. 2 C • 2 D • 33 1 n5•由y =2sin(4 x n)的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长4 2到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为11A • y = 2sin(8 x - n )B • y = 2sin(2 x ： — ：)446.函数y 二log a x 42 a >0且a = 1的图象恒过点 A ,且点A 在角二的终边上,则 sin2 二二7•如图所示， △ ABC 中，BD =2DC ，点E 是线段AD 的中点，则&已知｛a n ｝是等差数列，｛b n ｝是正项等比数列，且b = 1, d = a * 2 , b 4 = a 3 a 5,b 5 = a^ 2a 6,则 a 2018d 二A • 2274B • 2074C • 2226D • 20269.设m 、n 是两条不同的直线，-：：、-是两个不同的平面，下列命题中正确的是A- - m , m _ n 二 n _ ：B • ： _ ：二 n , m 二：J m 〃 L = m//n C. m _ n , m 二卅，n 二-二： D. m // 二，n 二：；-,=m // n10•三棱锥P - ABC 中，PA —平面ABC, ABC =30 , △ APC 的面积为2,则三棱锥P - ABC 的外接球体积的最小值为’ 4兀A . 4 二B .3C • y =2sin(2 x 一 1 n8 D • y =2sin(2 x 一 1 n45A.-- 13 5B.1313C.-1213 D.12C .AC = 31AD BE 4 2AC = AC = 3AD BE 4 5AD BE432■ D.-C . 64■:11 .在△ ABC中，AB = 2 , C ，则AC \ 3 BC的最大值为63东莞市2019届高三省一模模拟考试文科数学试题c. 2 7D. 、712•已设函数f(x)=」2 ，x"，1 —log2x , x = 1 ，则满足f (x) < 2的x的取值范围是A • [-1,2] B•[0,2] C•[1, ：] D•[0,：]填空题：本大题共4小题，每小题5分13 •曲线y = e x - 1在点1 f 1处的切线的斜率为x14 •若x, y满足约束条件x - y -1 _0I*2x-y +1 K0 ,x 30则z = - y的最小值为_______________2 215•设双曲线IT器1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线l交双曲线左支于A、B两点，贝［J |AF2 I+BF2 I的最小值等于________________16 •圆锥底面半径为1,高为2 2，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是________________三、解答题：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须做答•第22、23题为选考题，考生根据要求做答•(一)必考题：共60分17 •(本小题满分12分)已知等差数列｛• ｝的首项印=1，且a21 > a31 > a42构成等比数列(1)求数列｛-｝的通项公式2(2)设b n，求数列｛ ' ｝的前n项和丘,.18. （本小题满分12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式:方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：J 第' -丿周［来源学科网］第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1）,并据此判断哪种培训方式效率更高?（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD中，PA _菱形ABCD所在的平面，• ABC =60 , E是BC 中点，M 是PD的中点.（2）若F是PC的中点，当AB二AP二2，求三棱锥（1）求证：平面AEM —平面PAD东莞市2019届高三省一模模拟考试文科数学试题20. (本小题满分12分)已知椭圆E 的一个顶点为 A(0,1),焦点在x 轴上，若椭圆的右焦点到直线x - y • 2「2 =0的距离是3.(1)求椭圆E 的方程； 21. (本小题满分12分)已知函数 f x =xe x a Inx ，x . (1 )若a - - e ，求f (x)的单调区间；(2 )当a ：：：0时，记f (x)的最小值为 m ，求证：.(二)选考题：共10分。
2019年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)
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注：资料封面，下载即可删除2019年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|12}A x x=-，{1B=，2，3}，则(A B =)A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}2．（5分）设221i zi-=+，则||(z=)A．2B．2C．5D．33．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α终边过点(2,1)P-，则sin(2)πα-的值为()A．45-B．35-C．35D．454．（5分）设x，y满足约束条件030426xyx y⎧⎪⎨⎪+⎩，则3z x y=+的最大值为() A．7B．9C．13D．155．（5分）己知()f x是定义在R上的偶函数，在区间(-∞，0]为增函数，且f（3）0=，则不等式f(12)0x->的解集为()A．(,0)l-B．(1,2)-C．(0,2)D．(2,)+∞6．（5分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为()A．64B．68C．80D．1097．（55，底面半径为2，则该圆锥的外接球表面积为()A ．254π B ．16π C ．25π D ．32π8．（5分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：()l 取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取112BC AB ==，连接AC ； （2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE 的概率约为、（参考数据：5 2.236)(≈ )A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.6189．（5分）己知直线6x π=是函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<与的图象的一条对称轴，为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平行移动6π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度C ．向左平行移动12π个单位长度D ．向右平行移动12π个单位长度10．（5分）在长方体ABCD 一1111A B C D 中，2AB =，2BC =，122CC =，M 为1AA 的中点，则异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为( )A 6B ．23 C ．34D ．22311．（5分）己知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，1PQ PF ⊥，且11||2||QF PF =，则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为( )A ．23-B 21C 2lD ．23+12．（5分）己知函数,0()1,0xlnx x f x x x >⎧=⎨+⎩，若12x x ≠，且12()()f x f x =，则12||x x -的最大值为( ) A ．1BC ．2D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）曲线1x y e x=-在点(1，f （1）)处的切线的斜率为 ． 14．（5分）已知平面向量a ，b 满足||2a =，||4b =，|2|43a b +=，则a 与b 的夹角为 ． 15．（5分）己知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A ，B ，C ，D 四个点，若这四个点与1F ，2F 两点恰好是一个正六边形的顶点，则该双曲线的离心率为 ．16．（5分）在ABC ∆中，150ABC ∠=︒，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=︒，若ABC ∆的BD 取到最大值时，AC = ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列1{}nS 前n 项和为n T ． 18．（12分）工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见表．（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标Y 都在[9.8，10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次．工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次．将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用．假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？19．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，PD DC =，AD PC ⊥． （1）求证：AC AP =；（2）若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=︒；，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离．20．（12分）设抛物线2:4C y x =，直线:20l x my --=与C 交于A ，B 两点． （1）若||6AB =l 的方程；（2）点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ．求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．21．（12分）已知函数()(2)2x f x ax e x =+--，其中2a >-． （1）当0a =时，求函数()f x 在[1-，0]上的最大值和最小值； （2）若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ． （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若点P 为直线l 与x 轴的交点，求2211||||PA PB +的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|1||2|f x x x =++-，2()1g x x mx =-++． （1）当4m =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）若不等式()()f x g x <在[2-，1]2-上恒成立，求实数m 的取值范围．2019年广东省深圳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【解答】解：{|12}A x x =-，{1B =，2，3}；{1AB ∴=，2}．故选：C ． 【解答】解：221iz i-=+，22|22|||||21|1|i i z i i --∴====++． 故选：B ．【解答】解：角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点(2,1)P -， 2x ∴=，1y =-，||r OP==sin y r α∴==cos xr α==，则4sin 22sin cos 2()555ααα==-=-，4sin(2)sin 25παα∴-==-，故选：A ．【解答】解：由x ，y 满足约束条件030426x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，作出可行域如图，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过(3,4)B 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z 有最大值为33413⨯+=． 故选：C ．【解答】解：根据题意，()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间（一∞，0]为增函数， 则函数()f x 在[0，)+∞上为减函数，又由f （3）0=，则不等式f (12)0x f ->⇒(12)x f ->（3）|12|3x ⇒-<， 解可得：12x -<<， 即不等式的解集为(1,2)-； 故选：B ．【解答】解：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，如图所示， 底面正方形的边长为4，高为5棱锥的高为3，∴该几何体的体积为：1445443643⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：A ．【解答】解：如图，5CB =，2BE =， 可得1CE =， 取CB 中点D ，作DO CB ⊥交CE 延长线于O ，则O 为ABC ∆的外心，也即圆锥外接球的球心，设OE x =，则1OC x =+，24OB x =+，22(1)4x x ∴+=+， 得32x =， ∴外接球半径52R =， ∴254254S ππ=⨯=球． 故选：C ．【解答】解：由勾股定理可得：22215AC =+=，1CD =，则51 1.236AD =-≈， 则 1.236AE =，20.764BE AE =-=， 所以0.764 1.236AF ， 由几何概型中的线段型可知： 使得BE AF AE 的概率约为1.2360.7640.2362-=，故选：A ．【解答】解：令22x k πϕπ+=+，由6x π=是此方程的一个解，则6k πϕπ=+，又||2πϕ<， 所以6πϕ=，即()sin(2)sin 2()612y f x x x ππ==+=+，所以为了得到函数()y f x =的图象，可把函数sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，故选：C ．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2A ，0，0)，(0C ，2，0)， 1(2B ，2，22)，(2M ，0，2)，∴(2AC =-，2，0)，1(0B M =，2-，2)-，设异面直线AC 与1B M 所成角为θ， 则11||2cos 3||||66AC B M AC B M θ===． ∴异面直线AC 与1B M 所成角的余弦值为23． 故选：B ．【解答】解：可设1||PF t =，11||2||2QF PF t ==， 由椭圆的定义可得2||2PF a t =-，2||22QF a t =-， ||43PQ a t =-，由22211||||||PQ PF QF +=，即222(43)4a t t t -+=， 即有433a t t -，解得33t =+，则△12PF F 与△12QF F 的面积之比为1212142231||||2333321182321||||sin 302223333a aPF PF QF QF a a +++=-︒++ 132331+==+-，故选：D ．【解答】解：不妨设：12x x >，由12()()f x f x =，要使12||xx -最大，转化为：求解12()max x x -，问题转化为：（如图所示），1(A x ，1)y 到1(0)y x x =+<距离的最大值问题，此时需过A 点的切线与1y x =+平行，当0x >时，()1f x lnx '=+，令()1f x '=则11x =， (1,0)A ．21x =-所以12||x x -最大值为：2，故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 【解答】解：曲线1x y e x =-，可得21x y e x'=+，所以曲线1x y e x=-在点(1，f （1）)处的切线的斜率为：1|1x y e ='=+． 故答案为：1e +．【解答】解：由向量的模的运算有：222(2)4448a b a b a b +=++=， 又||2a =，||4b =， 所以4a b =， 设a 与b 的夹角为θ， 则41cos 242||||a b a b θ===⨯， 又[0θ∈︒，180]︒， 所以60θ=︒， 故答案为：60︒．【解答】解：1F ，2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的两条渐近线交于A ，B ，C ，D 四个点，若这四个点与1F ，2F 两点恰好是一个正六边形的顶点，可得第一象限内的点1(2c )，代入双曲线方程可得：22223144c c a b -=，可得：222131444e e e -=-，1e >，解得1e =+．1．【解答】解：由题意可得：11sin15024ABC S ac ac ∆=︒==，∴解得：ac =设BD x =，则：14BCD ABD S S ax ∆∆+=+=x =，当且仅当a =时x 取得最大值，a ∴=2c =，∴由余弦定理可得：222222cos 222(28AC AB BC AB BC ABC =+-∠=+-⨯⨯=，∴解得：27AC =．故答案为：27．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【解答】解：（1）4a 是2a 与8a 的等比中项，∴2428a a a =，即2111(3)()(7)a d a d a d +=++，2(43)(4)(47)d d d ∴+=++，解得4d =或0d =． 0d >，4d ∴=．∴数列{}n a 的通项公式为1(1)4n a a n d n =+-=；（2）21()222n n n a a S n n +==+， ∴211111()2221n S n n n n ==-++， 则1211111111111[(1)()()](1)2223121n n T S S S n n n =++⋯+=-+-+⋯+-=-++． 【解答】解：（1）指标Y 的平均值为：1329.61010.410.07666⨯+⨯+⨯≈．（2）由分层抽样法知，先抽取的件产品中，指标Y 在[9.8，10.2]内的有3件，记为1A ，2A ，3A ， 指标Y 在(10.2，10.6]内的有2件，记为1B ，2B ， 指标Y 在[9.4，9.8)内的有1件，记为C ，从6件产品中，随机抽取2件产品，共有基本事件15个，分别为： 1(A ，2)A ，1(A ，3)A ，1(A ，1)B ，1(A ，1)B ，1(A ，2)B ， 1(A ，)C ，2(A ，3)A ，2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，2(A ，)C ，3(A ，1)B ，3(A ，2)B ，3(A ，)C ，1(B ，2)B ，1(B ，)C ，2(B ，)C ，其中，指标Y 都在[9.8，10.2]内的概率为31155P ==． （3）不妨设每件产品的售价为x 元，假设这48件样品每件都不购买该服务， 则购买支出为48x 元，其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件， 有8件产品一年内的维护费用为600元/件， 此时平均每件产品的消费费用为1(48163008600)20048x x η=+⨯+⨯=+元． 【解答】（1）证明：取PC 中点M ，连接AM ，DM ． PD DC =，且M 为PC 中点，DM PC ∴⊥． AD PC ⊥．ADDM D =．PC ∴⊥平面ADM ．AM ⊂平面ADM ．PC AM ∴⊥． M 为PC 中点，AC AP ∴=；（2）过P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ，平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD ⊥平面ABCD AD =．PH⊂平面APD ，PH AD ⊥，PH ∴⊥平面ABCD ．CH ⊂平面ABCD ，PH CH ∴⊥．PD CD =，AD AD =，AC AP =，ADP ADC ∴∆≅∆， 120ADC ADP ∴∠=∠=︒．∴4,43PD CD AD AC AP =====．23PH CH ==26PC =设点B 到平面PAC 的距离为d ，由于P ABC B ACP V V --=，可得1133ABC ACP S PH S d ∆∆=．1442ABCS =⨯⨯=12ACP S ∆=⨯=∴d =． ∴点B 到平面PAC ． 【解答】解：（1）由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理可得2480y my --=，显然△216320m =+>， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 124y y m ∴+=，128y y =-，22221212||()414246AB y y y y m m ∴+-=++=，21m ∴=，即1m ==±，∴直线方程为20x y --=或20x y +-=，（2）证明：设AB 的中点M 的坐标为(M x ，)M y ， 则121()22M y y y m =+=，2222M M x my m ∴=+=+， 2(22M m ∴+，2)m ， 由题意可得(0,2)N m ，设MN 为直径的圆经过点0(P x ，0)y ，∴20(22PM m x =+-，02)m y -，0(PN x =-，02)m y -，由题意可得0PM PN =，即22200000(42)420x m y m x y x --++-=， 由题意可得00220004204020x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，解得02x =，00y =，∴定点(2,0)即为所求【解答】解：（1）当0a =时，()22x f x e x =--，()21x f x e '=-， 由()0f x '>，解得：2x ln >-，由()0f x '<，解得：2x ln <-， 故函数()f x 在[1-，2]ln -递减，在[2ln -，0]递增， 故()(2)21min f x f ln ln =-=-， 2(1)10f e-=-<，(0)0f =， ()(0)0max f x f ∴==；（2）令()()(2)1x g x f x ax a e ='=++-， 则()(22)x g x ax a e '=++，()i 当0a =时，由（1）知，与题意不符， ()ii 当0a >时，由()0g x '>，解得：2(2)x a >-+，由()0g x '<，解得：2(2)x a<-+，故222()(2)10a ming x g ae a--=--=--<，(0)10g a =+>，故此时函数()f x '存在异号零点，与题意不符， ()iii 当20a -<<时，由()0g x '>，解得：2(2)x a <-+，由()0g x '<，解得：2(2)x a>-+，故()g x 在2(,2)a -∞--递增，在2(2a--，)+∞递减故222()(2)1amaxg x g ae a--=--=--，由题意得：2210aae ----恒成立，令22t a --=，则上述不等式等价于12t t e +，其中1t >-， 易证，当0t >时，112t te t >+>+， 又由（1）的结论知，当(1t ∈-，0]时，12t te +成立， 由2120a-<--，解得：21a -<-，综上，当21a -<-时，函数()f x 为R 的单调函数且递减．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（1）曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 转换为直角坐标方程为：2220x y x +-=．（2）把直线l 的参数方程为2cos (sin x t t y t αα=-+⎧⎨=⎩为参数），代入2220x y x +-=，得到：26cos 80t t α-+=． 由已知得：△236cos 320α=->， 故：28cos 9α>， 由于2cos 1α， 所以：28cos (,1]9α∈．设方程的两实数根为1t 和2t ，则由参数的几何意义可得：12||||||6|cos |PA PB t t α+=+=， 12||||||8PA PB t t ==．所以222222(|)2119cos 4||||16||PA PB PA PB PA PB PA PB α+--+==， 由于28cos (,1]9α∈，故：29cos 415(,]16416α-∈，即：222119cos 415(,]||||16416PA PB α-+=∈．[选修4-5：不等式选讲]【解答】解：（1）()|1||2|f x x x =++-， 21,1()3,1221,2x x f x x x x -+-⎧⎪∴=-<<⎨⎪-⎩，当4m =-时，2()41g x x x =--+，①当1x -时，原不等式等价于220x x +<， 解得：20x -<<，故21x -<-；②当12x -<<时，原不等式等价于2420x x ++<，解得：22x -<-故12x -<<-③2x 时，()g x g （2）11=-，而()f x f （2）3=， 故不等式()()f x g x <的解集是空集；综上，不等式()()f x g x <的解集是(2,2--+；（2）①当21x --时，()()f x g x <恒成立等价于22mx x x >-， 又0x <，故2m x <-，故4m <-； ②当112x -<-时，()f x ，()g x 恒成立等价于()3g x >恒成立，即()3min g x >， 只需(1)31()32g g -⎧⎪⎨->⎪⎩即可，即392m m -⎧⎪⎨<-⎪⎩，综上，9(,)2m ∈-∞-．。
2019-2020学年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)(有答案)
广东省广州市高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A={x|﹣1≤x ≤1}，B={x|x 2﹣2x ≤0}，则A∩B=（ ） A ．{x|﹣1≤x ≤2} B ．{x|﹣1≤x ≤0}C ．{x|1≤x ≤2}D ．{x|0≤x ≤1}2．已知复数z 满足z=（i 为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数则f （f （﹣2））的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且=2，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．246．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．127．在平面区域{（x ，y ）|0≤x ≤1，1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标（x ，y ）满足y ≤2x 的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知f （x ）=sin （x+），若sinα=（＜α＜π），则f （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．9．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1+x 2+…+x n =10，则|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F|=（ ） A ．n+10 B ．n+20 C ．2n+10D ．2n+2010．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．20π B ．C ．5πD ．11．已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f （x ）=2x ﹣2﹣x ，则∀x ∈R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； p 3：若，则∃x 0∈（0，+∞），f （x 0）=1；p 4：在△ABC 中，若A ＞B ，则sinA ＞sinB ． 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）A ．8+8+4B ．8+8+2C ．2+2+D ． ++二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．函数f （x ）=x 3﹣3x 的极小值为 ．14．设实数x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+3y 的取值范围是 ．15．已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F ，点B （0，b ），且，则双曲线C 的离心率为 ． 16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 ．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }是等比数列，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =2log 2a n ﹣1，求数列{a n b n }的前n 项和T n ．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1． （Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．广东省广州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤0} C．{x|1≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}，故选：D2．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z所对应的点所在象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：z===，对应的坐标为（2，﹣1），位于第四象限，故选：D．3．已知函数则f（f（﹣2））的值为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣（﹣2）=6，f（f（﹣2））=f（6）==﹣．故选：C．4．设P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是（）A．B．C．D．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由=2可知P为AC上靠近A点的三等分点．【解答】解：∵=2，∴P为边AC靠近A点的三等分点，∴△PAB与△PBC的面积比为1：2．故选：B．5．如果函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值．【解答】解：函数（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，∴T=2×=，又=，解得ω=6．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．【解答】解：模拟执行程序，可得x=3，k=0x=9，k=2不满足条件x＞100，x=21，k=4不满足条件x＞100，x=45，k=6不满足条件x＞100，x=93，k=8不满足条件x＞100，x=189，k=10满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．故选：C．7．在平面区域{（x，y）|0≤x≤1，1≤y≤2}内随机投入一点P，则点P的坐标（x，y）满足y≤2x的概率为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；几何概型．【分析】作出不等式组对应的区域，利用几何概型的概率公式，即可得到结论．【解答】解：不等式组表示的平面区域为D的面积为1，不等式y≤2x对应的区域为三角形ABC，则三角形ABC的面积S==，则在区域D内任取一点P（x，y），则点P满足y≤2x的概率为，故选：A．8．已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A．B．﹣C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的关系，以及两角和的正弦公式，即可求出．【解答】解：∵＜α＜π，sinα=，∴cosα=﹣∵f（x）=sin（x+），∴f （α+）=sin （α++）=sin （α+）=sinαcos +cos αsin =﹣（﹣）=，故选：C ．9．如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1+x 2+…+x n =10，则|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F|=（ ） A ．n+10 B ．n+20 C ．2n+10 D ．2n+20【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由抛物线性质得|P n F|==x n +1，由此能求出结果． 【解答】解：∵P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2=4x 上的点， 它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点， x 1+x 2+…+x n =10， ∴|P 1F|+|P 2F|+…+|P n F| =（x 1+1）+（x 2+1）+…+（x n +1） =x 1+x 2+…+x n +n =n+10． 故选：A ．10．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ．20π B ．C ．5πD ．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O 1，O 2，球心为O ，一个顶点为A ，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA ，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，设球心为O ，正六棱柱的上下底面中心分别为O 1，O 2，则球心O 是O 1，O 2的中点． ∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1， ∴Rt △AO 1O 中，AO 1=1，O 1O=，可得AO==，因此，该球的体积为V=π•（）3=．故选：D ．11．已知下列四个命题：p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；p 3：若，则∃x∈（0，+∞），f（x）=1；p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；p2：根据奇函数的定义判定即可；p3：对表达式变形可得=x+1+﹣1，利用均值定理判定即可；p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；p 3：若=x+1+﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x∈（0，+∞），f（x）=1，故错误；p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．故选：B．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D． ++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S△ABC ==4，S△BCD==4．∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD==8，由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．∴S△ABD==4．∴几何体的表面积为8+8+4．故选A．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数f（x）=x3﹣3x的极小值为﹣2 ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣3，解3x2﹣3=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值．【解答】解析：令f′（x）=3x2﹣3=0，得x=±1，可求得f（x）的极小值为f（1）=﹣2．故答案：﹣2．14．设实数x，y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的取值范围是[﹣6，15] ．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=﹣2x+3y为y=x+，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=﹣2x+3y为y=x+，故结合图象可知，在点B（3，0）处有最小值，在点C（﹣3，3）处有最大值，故﹣2×3+3×0≤z≤﹣2×（﹣3）+3×3，即z∈[﹣6，15]，故答案为：[﹣6，15]．15．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且，则双曲线C的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出A ，F 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a ，bc 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A （﹣a ，0），F （c ，0），B （0，b ）， 可得=（﹣a ，﹣b ），=（c ，﹣b ），由，可得﹣ac+b 2=0，即有b 2=c 2﹣a 2=ac ， 由e=，可得e 2﹣e ﹣1=0， 解得e=（负的舍去）．故答案为：．16．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，，CD=5，BD=2AD ，则AD 的长为 5 ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据题意画出图象，延长BC 、过A 做AE ⊥BC 、垂足为E ，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE 、CE 、BC 、BD ，由条件求出AD 的长．【解答】解：如图所示：延长BC ，过A 做AE ⊥BC ，垂足为E ， ∵CD ⊥BC ，∴CD ∥AE ， ∵CD=5，BD=2AD ，∴，解得AE=，在RT △ACE ，CE===，由得BC=2CE=5，在RT △BCD 中，BD===10，则AD=5， 故答案为：5．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }是等比数列，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =2log 2a n ﹣1，求数列{a n b n }的前n 项和T n ． 【考点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）等比数列{a n }中，a 2=4，a 3+2是a 2和a 4的等差中项，有等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得首项和公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果； （Ⅱ）把（1）中求得的结果代入b n =2log 2a n ﹣1，求出b n ，利用错位相减法求出T n ． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2=4，所以a 3=4q ，．）因为a 3+2是a 2和a 4的等差中项，所以2（a 3+2）=a 2+a 4． 即2（4q+2）=4+4q 2，化简得q 2﹣2q=0． 因为公比q ≠0，所以q=2． 所以（n ∈N *）．（Ⅱ）因为，所以b n =2log 2a n ﹣1=2n ﹣1．所以．则，①， ，②，①﹣②得，．=，所以．18．从某企业生产的某中产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1． （Ⅰ）求这些产品质量指标落在区间[75，85]内的概率；（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[45，75）内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.35×=0.05，（Ⅱ）由频率分布直方图得：这些产品质量指标值落在区间[55，65）内的频率为0.35×=0.2，这些产品质量指标值落在区间[65，75）内的频率为0.35×=0.1，这些产品质量指标值落在区间[45，55）内的频率为0.03×10=0.30，所以这些产品质量指标值落在区间[45，65）内的频率为0.3+0.2=0.5，∵=∴从[45，65）的产品数中抽取6×=5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取6×=1件，记为a，从中任取两件，所有可能的取法有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，a），（B，C），（B，D），（B，E），（B，a），（C，D），（D（C，E），（C，a），（D，E），（D，a），（E，a），共15种，这2件产品都在区间[45，65）内的取法有10种，∴从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45，65）内的概率=．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．（Ⅰ）证明：BD⊥平面A1CO；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求点C到平面OBB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）证明A 1O ⊥BD ．CO ⊥BD ．即可证明BD ⊥平面A 1CO ．（Ⅱ）解法一：说明点B 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离A 1O ．设点C 到平面OBB 1的距离为d ， 通过，求解点C 到平面OBB 1的距离．解法二：连接A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，连接CO 1，OO 1，推出OA 1O 1C 为平行四边形．证明CH ⊥平面BB 1D 1D ，然后求解点C 到平面OBB 1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：因为A 1O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以A 1O ⊥BD ．…因为ABCD 是菱形，所以CO ⊥BD ．… 因为A 1O∩CO=O，A 1O ，CO ⊂平面A 1CO ， 所以BD ⊥平面A 1CO ．…（Ⅱ）解法一：因为底面ABCD 是菱形，AC∩BD=O，AB=AA 1=2，∠BAD=60°， 所以OB=OD=1，．…所以△OBC 的面积为．…因为A 1O ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， 所以A 1O ⊥AO ，．…因为A 1B 1∥平面ABCD ，所以点B 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离A 1O ．… 由（Ⅰ）得，BD ⊥平面A 1AC ． 因为A 1A ⊂平面A 1AC ，所以BD ⊥A 1A ． 因为A 1A ∥B 1B ，所以BD ⊥B 1B ．… 所以△OBB 1的面积为．…设点C 到平面OBB 1的距离为d ， 因为，所以．…所以．所以点C 到平面OBB 1的距离为．…解法二：由（Ⅰ）知BD ⊥平面A 1CO ， 因为BD ⊂平面BB 1D 1D ， 所以平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ．… 连接A 1C 1与B 1D 1交于点O 1， 连接CO 1，OO 1，因为AA 1=CC 1，AA 1∥CC 1，所以CAA 1C 1为平行四边形． 又O ，O 1分别是AC ，A 1C 1的中点，所以OA 1O 1C 为平行四边形． 所以O 1C=OA 1=1．…因为平面OA 1O 1C 与平面BB 1D 1D 交线为OO 1， 过点C 作CH ⊥OO 1于H ，则CH ⊥平面BB 1D 1D ．… 因为O 1C ∥A 1O ，A 1O ⊥平面ABCD ，所以O 1C ⊥平面ABCD ．因为OC ⊂平面ABCD ，所以O •1C ⊥OC ，即△OCO 1为直角三角形．… 所以．所以点C 到平面OBB 1的距离为．…20．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1（﹣2，0），点B （2，）在椭圆C 上，直线y=kx （k ≠0）与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有∠MPN 为直角？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可设椭圆标准方程为+=1（a ＞b ＞0），结合已知及隐含条件列关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设F（x0，y），E（﹣x，﹣y），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0），即可判断存在点P．【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得：a2=8，b2=4．可得椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设F（x0，y），E（﹣x，﹣y），则+=1，A（﹣2，0），AF所在直线方程y=（x+2），取x=0，得y=，∴N（0，），AE所在直线方程为y=（x+2），取x=0，得y=．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r=，圆的方程为x2+（y﹣）2==，即x2+（y+）2=．取y=0，得x=±2．可得以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．可得在x轴上存在点P（±2，0），使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角．21．已知函数f（x）=me x﹣lnx﹣1．（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当m≥1时，证明：f（x）＞1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得m=1时，f（x）的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）证法一：运用分析法证明，当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），设h（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x ﹣lnx﹣1≥0．设p（x）=x﹣lnx﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明e x﹣lnx＞2．：因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB＞2，即可得证；证法二：因为f（x）=me x﹣lnx﹣1，要证明f（x）＞1，只需证明me x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=me x﹣lnx﹣2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．设F（x）=e x﹣x﹣1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明me x﹣lnx﹣2＞0，运用不等式的性质，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣1，所以．…所以f（1）=e﹣1，f'（1）=e﹣1．…所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e﹣1）=（e﹣1）（x﹣1）．即y=（e﹣1）x．…（Ⅱ）证法一：当m≥1时，f（x）=me x﹣lnx﹣1≥e x﹣lnx﹣1．要证明f（x）＞1，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0．…以下给出三种思路证明e x﹣lnx﹣2＞0．思路1：设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则．设，则，所以函数h （x ）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=e ﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．…因为g'（x 0）=0时，所以，即lnx 0=﹣x 0．…当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0． 所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．… 故．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．… 思路2：先证明e x ≥x+1（x ∈R ）．… 设h （x ）=e x ﹣x ﹣1，则h'（x ）=e x ﹣1．因为当x ＜0时，h'（x ）＜0，当x ＞0时，h'（x ）＞0，所以当x ＜0时，函数h （x ）单调递减，当x ＞0时，函数h （x ）单调递增． 所以h （x ）≥h （0）=0．所以e x ≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．… 所以要证明e x ﹣lnx ﹣2＞0， 只需证明（x+1）﹣lnx ﹣2＞0．… 下面证明x ﹣lnx ﹣1≥0． 设p （x ）=x ﹣lnx ﹣1，则．当0＜x ＜1时，p'（x ）＜0，当x ＞1时，p'（x ）＞0，所以当0＜x ＜1时，函数p （x ）单调递减，当x ＞1时，函数p （x ）单调递增． 所以p （x ）≥p （1）=0．所以x ﹣lnx ﹣1≥0（当且仅当x=1时取等号）．… 由于取等号的条件不同， 所以e x ﹣lnx ﹣2＞0．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．…（若考生先放缩lnx ，或e x 、lnx 同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e x ﹣lnx ＞2．因为曲线y=e x 与曲线y=lnx 的图象关于直线y=x 对称，设直线x=t （t ＞0）与曲线y=e x ，y=lnx 分别交于点A ，B ， 点A ，B 到直线y=x 的距离分别为d 1，d 2， 则．其中，（t ＞0）．①设h （t ）=e t ﹣t （t ＞0），则h'（t ）=e t ﹣1． 因为t ＞0，所以h'（t ）=e t ﹣1＞0．所以h （t ）在（0，+∞）上单调递增，则h （t ）＞h （0）=1． 所以．②设g （t ）=t ﹣lnt （t ＞0），则．因为当0＜t ＜1时，g'（t ）＜0；当t ＞1时，g'（t ）＞0，所以当0＜t ＜1时，g （t ）=t ﹣lnt 单调递减；当t ＞1时，g （t ）=t ﹣lnt 单调递增． 所以g （t ）≥g （1）=1． 所以．所以．综上可知，当m ≥1时，f （x ）＞1．… 证法二：因为f （x ）=me x ﹣lnx ﹣1，要证明f （x ）＞1，只需证明me x ﹣lnx ﹣2＞0．… 以下给出两种思路证明me x ﹣lnx ﹣2＞0． 思路1：设g （x ）=me x ﹣lnx ﹣2，则．设，则．所以函数h （x ）=在（0，+∞）上单调递增．…因为，g'（1）=me ﹣1＞0，所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x 0，且．…因为g'（x 0）=0，所以，即lnx 0=﹣x 0﹣lnm ．…当x ∈（0，x 0）时，g'（x ）＜0；当x ∈（x 0，+∞）时，g'（x ）＞0． 所以当x=x 0时，g （x ）取得最小值g （x 0）．…故．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…思路2：先证明e x≥x+1（x∈R），且lnx≤x+1（x＞0）．…设F（x）=e x﹣x﹣1，则F'（x）=e x﹣1．因为当x＜0时，F'（x）＜0；当x＞0时，F'（x）＞0，所以F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．所以当x=0时，F（x）取得最小值F（0）=0．所以F（x）≥F（0）=0，即e x≥x+1（当且仅当x=0时取等号）．…由e x≥x+1（x∈R），得e x﹣1≥x（当且仅当x=1时取等号）．…所以lnx≤x﹣1（x＞0）（当且仅当x=1时取等号）．…再证明me x﹣lnx﹣2＞0．因为x＞0，m≥1，且e x≥x+1与lnx≤x﹣1不同时取等号，所以me x﹣lnx﹣2＞m（x+1）﹣（x﹣1）﹣2=（m﹣1）（x+1）≥0．综上可知，当m≥1时，f（x）＞1．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．（I）求证：DE2=AE•BE；（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，∴，∴DE2=AE•BE．解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，∴EF2=EA•EB，∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，∴，∴AC==．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把圆C的极坐标方程化为普通方程．（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．直线l：，（t为参数，t∈R）化为普通方程：﹣y﹣1=0，可得圆心C到直线l的距离d==1=0，∴直线l与圆C相切，其切点即为所求．联立，解得D．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|．（I）当a=1时，求不等式f（x）≥的解集；（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）当a=1时，利用绝对值的意义求得不等式的解集．（Ⅱ）由题意可得b大于f（x）的最大值．再根据绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，可得实数b的范围．【解答】解：（I）当a=1时，不等式f（x）≥，即|x+1|﹣|x|≥，即数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离大于，而﹣0.25对应点到﹣1对应点的距离减去它到原点的距离正好等于，故|x+1|﹣|x|≥的解集为{x|x≥﹣0.25}．（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，则b大于f（x）的最大值．而由绝对值的意义可得f（x）的最大值为1，故实数b＞1．。
2019年广东省东莞市高考文科数学最后一卷及答案解析
2019年广东省东莞市高考数学最后一卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）
A．（0，1）B．（0，3）C．（1，2）D．（2，3）
2．已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）
A．﹣2B ．C ．D．2
3．如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知非零向量，满足||＝4||，且⊥（2+），则，的夹角为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知椭圆C ：，直线l：y＝x﹣2过C的一个焦点，则C的离心率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知f（x）是定义在R上的偶函数，在区间（﹣∞，0]为增函数，且f（3）＝0，则不等式f（1﹣2x）＞0的解集为（）
A．（﹣1，0）B．（﹣1，2）C．（0，2）D．（2，+∞）7．若曲线y＝e x在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（）A．﹣1B．1C．2D．e
8．执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S
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2019年广东省清远市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B为（）A．[1，3]B．[1，3）C．[﹣3，∞）D．（﹣3，3]2．在区间[﹣1，3]内任取一个实数x满足log2（x﹣1）＞0的概率是（）A．B．C．D．3．已知复数，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知函数f（x）的定义域为R，M为常数．若p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；q：M是函数f（x）的最小值，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知直角坐标系中点A（0，1），向量，则点C的坐标为（）A．（11，8）B．（3，2）C．（﹣11，﹣6）D．（﹣3，0）6．已知，则等于（）A．B．C．D．7．已知则（）A．C＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中a的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.59．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间（）A．B．C．D．10．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥011．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（）A．20 B．21 C．22 D．2312．设函数g（x）是R上的偶函数，当x＜0时，g（x）=ln（1﹣x），函数满足f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，异面直线A'D与AB'所成角的大小是．14．若x，y满足不等式则z=x﹣y的取值范围是．15．设数列{a n}是首项为1公比为2的等比数列前n项和S n，若log4（S k +1）=4，则k= ． 16．已知函数，则= ．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且．（1）求cosA 的值； （2）若a=4，求c 的值．18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为． （1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a +b +c +d ）19．在四棱锥中P ﹣ABCD ，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=AD 、E 、F ，分别为PC 、BD 的中点．（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若AB=2，求三棱锥E ﹣DFC 的体积．20．已知椭圆C ：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C 的标准方程：（2）若F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求△F 1AB 的面积的最大值． 21．已知函数．（1）设G （x ）=2f （x ）+g （x ），求G （x ）的单调递增区间； （2）证明：当x ＞0时，f （x +1）＞g （x ）；（3）证明：k ＜1时，存在x 0＞1，当x ∈（1，x 0）时，恒有．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B为（）A．[1，3]B．[1，3）C．[﹣3，∞）D．（﹣3，3]【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合={x|﹣3≤x＜3}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x＜3}=[1，3）．故选：B．2．在区间[﹣1，3]内任取一个实数x满足log2（x﹣1）＞0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出不等式的解集，根据（2，3]和[﹣1，3]的长度之比求出满足条件的概率即可．【解答】解：由log2（x﹣1）＞0，解得：x＞2，故满足条件的概率是p=，故选：C．3．已知复数，则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数=+i=，则z在复平面内对应的点在第一象限．故选：A．4．已知函数f（x）的定义域为R，M为常数．若p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；q：M是函数f（x）的最小值，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由p：对∀x∈R，都有f（x）≥M，推不出M是最小值，比如x2≥﹣1，故充分性不成立；由q：M是函数f（x）的最小值，推出p：对∀x∈R，都有f（x）≥M；必要性成立，故选：B．5．已知直角坐标系中点A（0，1），向量，则点C的坐标为（）A．（11，8）B．（3，2）C．（﹣11，﹣6）D．（﹣3，0）【考点】向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．【分析】设C（x，y），利用平面向量坐标运算法则能求出点C的坐标．【解答】解：设C（x，y），∵直角坐标系中点A（0，1），向量，∴=（﹣11，﹣7），∴，解得x=﹣11，y=﹣6．故C（﹣11，﹣6）．故选：C．6．已知，则等于（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+）的值，再利用两角和差的三角公式求得cosα=cos[（α+）﹣]以及sinα=sin[（α+）﹣]的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵，∴sin（α+）==，而cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，∴s inα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=，则=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=﹣，故选：A．7．已知则（）A．C＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，∴0＜a=（）＜（）0=1，b=＞=1，c=，∴b＞a＞c．故选：C．8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中a的值为（）A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】线性回归方程．【分析】由线性回归方程必过样本中心点（，），则=3.5，即=3.5，即可求得a的值．【解答】解：由题意可知：产量x的平均值为==4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，），则=0.7+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得：=3.5，由==3.5，解得：a=4.5，表中a的值为4.5，故选：D．9．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期公式可求函数的周期T==π，利用三角函数的图象变换规律可求函数f（x）解析式，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：∵函数的周期T==π，∴将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣），∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+k ∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．10．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥0【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．【分析】求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R，==﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在R上是单调递增，那么：a+b≥0，即a≥﹣b，∴f（a）≥f（﹣b），得f（a）≥﹣f（b），可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B．11．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（）A．20 B．21 C．22 D．23【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：C．12．设函数g（x）是R上的偶函数，当x＜0时，g（x）=ln（1﹣x），函数满足f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（1，2）D．（﹣2，1）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】判断函数的单调性，转化不等式为代数不等式，求解即可．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x3，是增函数，并且f（x）≤f（0）=0；当x＜0时，g（x）=ln（1﹣x）函数是减函数，函数g（x）是R上的偶函数，x＞0，g（x）是增函数，并且g（x）＞g（0）=0，故函数f（x）在R是增函数，f（2﹣x2）＞f（x），可得：2﹣x2＞x，解得﹣2＜x＜1．故选：D．一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，异面直线A'D与AB'所成角的大小是．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】根据题意，连接B′C，得出∠AB′C是异面直线A'D与AB'所成的角，利用等边三角形求出它的大小．【解答】解：正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，连接A′D、AB′、B′C，如图所示；则A′B′∥DC，且A′B′=DC，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D∥B′C，∴∠AB′C是异面直线A'D与AB'所成的角，连接AC，则△AB′C是边长为等边三角形，∴∠AB′C=，即异面直线A'D与AB'所成角是．故答案为：．14．若x，y满足不等式则z=x﹣y的取值范围是[﹣2，2] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2）．联立，解得B（2，4）．化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．当直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：[﹣2，2]．15．设数列{a n}是首项为1公比为2的等比数列前n项和S n，若log4k【考点】等比数列的前n项和．【分析】由log4（S k+1）=4，可得：S k+1=44，解得S k=28﹣1．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由log4（S k+1）=4，可得：S k+1=44，解得S k=28﹣1．又S k==2k﹣1，∴28﹣1=2k﹣1，解得k=8．故答案为：8．16．已知函数，则=2016．【考点】函数的值．【分析】由f（x）+f（1﹣x）==2，能求出的值．【解答】解：∵函数，∴f（x）+f（1﹣x）==2，∴=1013×2=2016．故答案为：2016．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求cosA的值；【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法． 【分析】（1）由已知及二倍角的余弦函数公式可求，结合C为锐角，A 也为锐角，可求cosA 的值．（2）由cosA ，cosC 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，sinC 的值，由正弦定理可得c 的值． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）由，得，…3分由知C 为锐角，故A 也为锐角，所以：cosA=，…6分 （2）由cosA=，可得：sinA=，由，可得sinC=，…9分 由正弦定理，可得：c==6，所以：c=6．…18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为． （1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a +b +c +d ）【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表； （2）利用公式求得K 2，与临界值比较，即可得到结论； （3）利用列举法，确定基本事件的个数，即可求出概率． 【解答】解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人…其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：… （2）因为…所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a ，b ，c ，另外2名学生记为1，2，任取2名学生，则所有可能情况为（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，1）、（a ，2）、（b ，c ）、（b ，1）、（b ，2）、（c ，1）、（c ，2）、（1，2），共10种…其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a ，1）、（a ，2）、（b ，1）、（c ，1）、（c ，2），共6种…所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为…19．在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD、E、F，分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若AB=2，求三棱锥E﹣DFC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，推导出EF∥PA，由此能证明EF∥平面PAD．（2）由V E﹣DFC=V F﹣EDC，能求出三棱锥E﹣DFC的体积．【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，…所以，在△PAC中，EF∥PA…又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD…所以EF∥平面PAD…解：（2）AB=2，则，因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，且底面是正方形，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥PA，由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA，所以PA⊥平面PDC…又因为EF∥PA，且，所以EF⊥平面EDC…由CD⊥平面PAD得CD⊥PD，所以…从而…20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C 交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：2b=2，b=，椭圆的离心率e==，则a=2c，代入a2=b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，则，令，则t≥1，由函数的单调性，即可求得△F1AB的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，…解得：，…故椭圆的标准方程为；…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），…由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韦达定理可知：，…又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R．则，…令，则t≥1，则，令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，因此有，所以，即当t=1，即m=0时，最大，最大值为3．…21．已知函数．（1）设G（x）=2f（x）+g（x），求G（x）的单调递增区间；（2）证明：当x＞0时，f（x+1）＞g（x）；（3）证明：k＜1时，存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出G（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令H（x）=f（x+1）﹣g（x），求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而证出结论即可；（3）令F（x）=f（x）+g（x）﹣﹣k（x﹣1），求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而证出不等式即可．【解答】解：（1）由题意知，…从而…令G'（x）＞0得0＜x＜2…所以函数G（x）的单调递增区间为（0，2）…（2）令…从而…因为x＞0，所以H'（x）＞0，故H（x）在（0，+∞）上单调递增…所以，当x＞0时，H（x）＞H（0）=0，即f（x+1）＞g（x）…（3）当k＜1时，令…则有…由F'（x）=0得﹣x2+（1﹣k）x+1=0，解之得，，…从而存在x0=x2＞1，当x∈（1，x0）时，F'（x）＞0，故F（x）在[1，x0）上单调递增，从而当x∈（1，x0）时，F（x）＞F（1）=0，即…请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用坐标的互化方法，求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P到直线l的距离d==，即可求出距离的最小值及点P的直角坐标．【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；（2）点P到直线l的距离d==，∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为，点P的直角坐标（1+，1﹣）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3，利用作差法，即可比较mn+4与2（m+n）的大小．【解答】解：（1）…得或或，解之得或x∈ϕ或x≥8，所以不等式的解集为…（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3…由于2（m+n）﹣（mn+4）=2m﹣mn+2n﹣4=（m﹣2）（2﹣n）…且m≥3，n≥3，所以m﹣2＞0，2﹣n＜0，即（m﹣2）（2﹣n）＜0，所以2（m+n）＜mn+4…。
东莞市达标名校2019年高考一月大联考数学试卷含解析
东莞市达标名校2019年高考一月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ） A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或92．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞D ．(3,1)--3．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．33B ．3C ．33D 735．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+6．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4B ．8C ．9D ．277．已知函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是( )A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 在2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到8．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ,,a b c C ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列9．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．11010．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 11．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥12．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2019年广东省东莞市高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，5}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，，则|z|=（）A. 10B.C. 5D.3.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为（）A. B. C. D.4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D. 35.由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.6.函数y=log a（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ=（）A. B. C. D.7.如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则（）A. B.C. D.8.已知{a n}是等差数列，{b n}是正项等比数列，且b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，则a2018+b9=（）A. 2274B. 2074C. 2226D. 20269.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，10.三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，∠ABC=30°，△APC的面积为2，则三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为（）A. B. C. D.11.在△ABC中，AB=2，，则的最大值为（）A. B. C. D.12.设函数f（x）=，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为______．14.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．15.设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值等于______．16.圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的首项a1=1，且a2+1、a3+1、a4+2构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n18.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组（）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PA菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD的中点．（1）求证：平面AEM平面PAD；（2）若F是PC上的中点，且AB=AP=2，求三棱锥P-AMF的体积．20.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆的右焦点到直线的距离是3.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与该椭圆交于另一点，当弦的长度最大时，求直线的方程.21.已知函数f（x）=xe x+a（ln x+x）．（1）若a=-e，求f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，记f（x）的最小值为m，求证：m≤1．22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：（t为参数，α∈[0，π）），曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinα．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若，求直线l的斜率．23.设函数f（x）=|x+1|+|x-2|．（1）求不等式f（x）≤3 的解集；（2）当x∈[2，3]时，f（x）≥-x2+2x+m恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={1，2，5}，B={x|x≤2}，则A∩B=（1，2}．故选：C．直接求解交集即可．本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：∵=，∴|z|=．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件总数n==6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m==2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p=．故选：B．先求出基本事件总数n==6，再求出乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m==2，由此能求出乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线中，焦点坐标为（，0），渐近线方程为：y=，∴双曲线的焦点到渐近线的距离：d==1．故选：A．分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．5.【答案】D【解析】解：由的图象向左平移个单位，可得y=2sin（4x+2π-）=2sin（4x-）的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，可得y=2sin（2x-）的图象，故选：D．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：对于函数y=log a（x+4）+2（a＞0且a≠1），令x+4=1，求得x=-3，y=2，可得函数的图象恒过点A（-3，2），且点A在角θ的终边上，∴tanθ==-，则sin2θ===-，故选：C．令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：如图所示，=+，=，=+，=，∴=+．故选：C．利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，正项等比数列{b n}的公比为q＞0，∵b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6，∴q2=q+2，q3=2a1+6d，q4=3a1+13d，解得q=2，a1=d=1．则a2018+b9=1+2017+28=2274．故选：A．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，得：在A中，αβ，α∩β=m，m n，则n与β相交、平行或nβ，故选A；在B中，αβ=n，mα，m∥β，则由线面平行的性质定理得m∥n，故B正确；在C中，m n，mα，nβ，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，m∥α，nα，则m与n平行或异面，故D错误．故选：B．在A中，n与β相交、平行或nβ；在B中，由线面平行的性质定理得m∥n；在C中，α与β相交或平行；在D中，m与n平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题．10.【答案】D【解析】解：设AC=x，由于PA平面ABC，AC平面ABC，∴PA AC，则△APC的面积为，则，由正弦定理知，△ABC的外接圆直径为，所以，三棱锥P-ABC的外接球直径为，当且仅当，即当时，等号成立，则R≥2．所以，该三棱锥P-ABC的外接球的体积为．因此，三棱锥P-ABC的外接球体积的最小值为．故选：D．先证明PA-AC，并设PA=x，利用△APC的面积得出，然后利用正弦定理得出△ABC的外接圆直径2r的表达式，并利用公式并结合基本不等式可得出外接球半径的最小值，最后利用球体体积公式可得出答案．本题考查球体体积的计算，考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于找出合适的模型求出球体的半径，考查计算能力，属于中等题．11.【答案】D【解析】解：△ABC中，AB=2，，则：2R=，则：，=，=，=2cosA+6，=，由于：，0所以：，所以最大值为4．故选：D．直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．12.【答案】D【解析】解：当x≤1时，21-x≤2的可变形为1-x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1-log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．13.【答案】e+1【解析】解：曲线，可得y′=，所以曲线在点（1，f（1））处的切线的斜率为：=e+1．故答案为：e+1．求出函数的导数，代入x=1，得到切线的斜率即可．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．14.【答案】-1【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=-x+y过点A时取得最小值，由，解得A（0，-），代入计算z=0+（-1）=-1，所以z=-x+y的最小值为-1．故答案为：-1．画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数z=-x+y的最小值．本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是基础题．15.【答案】16【解析】解：根据双曲线，得：a=3，b=，由双曲线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6…①，|BF2|-|BF1|=2a=6…②，①+②可得：|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，∵过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，∴|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．∴|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=|AF2|+|BF2|-|AB|=12．|BF2|+|AF2|=|AB|+12≥+12=+12=16．故答案为：16．根据双曲线的标准方程可得：a=3，b=，再由双曲线的定义可得：|AF2|-|AF1|=2a=6，|BF2|-|BF1|=2a=6，所以得到|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=12，再根据A、B两点的位置特征得到答案．本题考查两条线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要注意双曲线的简单性质的合理运用．16.【答案】3【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长为底面圆的周长，即2π∵圆锥的母线长为3．扇形的圆心角，∴一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是：=3．故答案为：3．利用圆锥的侧面展开图，确定扇形的圆心角，即可求得结论．本题考查旋转体表面上的最短距离，考查学生的计算能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）等差数列{a n}的首项a1=1，公差设为d，a2+1、a3+1、a4+2构成等比数列，可得（a3+1）2=（a2+1）（a4+2），即为（2+2d）2=（2+d）（3+3d），解得d=2或-1，当d=-1时，a2+1=0，不成立，舍去，则d=2，a1=1，可得a n=2n-1；（2）b n===-，前n项和S n=1-+-+…+-=1-=．【解析】（1）设公差为d，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；（2）求得b n===-，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t1、t2，则（小时）----------------------------------------（2分）（小时）----------------------------------------（4分）据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10＜10.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．---------------------------------------------（6分）（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：，--------------------------------------------------（7分）来自乙组的人数为：，----------------------------------------------------------------（8分）记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种，----------------------------------------------（10分）其中至少有1人来自甲组的有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共9种，故这2人中至少有1人来自甲组的概率．----------------------------------------------------------（12分）【解析】（1）分别求出甲乙两组员工受训的平均时间，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为2，来自乙组的人数为4，记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人中至少有1人来自甲组的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：（1）连结AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC中点，∴AE BC，又AD∥BC，∴AE AD，∵PA平面ABCD，AE平面ABCD，∴PA AE，∵PA∩AD=A，∴AE平面PAD，又AE平面AEM，∴平面AEM平面PAD．解：（2）∵F是PC上的中点，且AB=AP=2，∴AD=2，AE=，∴三棱锥P-AMF的体积：V P-AMF=V M-APF==△===．【解析】（1）连结AC，推导出AE BC，AE AD，PA AE，从而AE平面PAD，由此能证明平面AEM平面PAD．（2）三棱锥P-AMF的体积：V P-AMF=V M-APF=，由此能求出结果．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）由题意：b=1，右焦点（c，0）（c＞0）到直线x-y+2=0的距离为：d==3，∴c=，又∵a2-b2=c2，∴a=，又∵椭圆E的焦点在x轴上，∴椭圆E的方程为：+y2=1（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=2；②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+1，联立，得：（1+3k2）x2+6kx=0，∵x A=0，∴x B=-，∴|AB|=|x B-x A|=•，∴|AB|2=，设1+3k2=t≥1，则k2=记f（t）==4[-2（）2++1]，∴=，即t=4，k=±1时，|AB|=f（t）取得最大值＞2，此时直线l：y=x+1或y=-x+1．【解析】（1）根据点到直线的距离列式求得c，再求得a；（2）根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值．本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．21.【答案】（1）解：当a=-e时，f（x）=xe x-e（ln x+x），f（x）的定义域是（0，+∞）……（1分），…………………………………（2分）当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．……………………………（3分）所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．……………（4分）（2）证明：由（1）得f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=（xe x+a），令g（x）=xe x+a，则g′（x）=（x+1）e x＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，………………………（5分）因为a＜0，所以g（0）=a＜0，g（-a）=-ae-a+a＞-a+a=0，故存在x0∈（0，-a），使得g（x0）=x0+a=0．…………………………………………（6分）当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；故x=x0时，f（x）取得最小值，即，…………………………（8分）由x0+a=0，得，………………………………（9分）令x=-a＞0，h（x）=x-x lnx，则h'（x）=1-（1+ln x）=-ln x，当x∈（0，1）时，h'（x）=-ln x＞0，h（x）=x-x lnx单调递增，………………………………（10分）当x∈（1，+∞）时，h'（x）=-ln x＜0，h（x）=x-x lnx单调递减，………………………………（11分）故x=1，即a=-1时，h（x）=x-x lnx取最大值1，故m≤1．……………………（12分）【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，得到，令x=-a＞0，h（x）=x-xlnx，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinα．转换为直角坐标方程为：x2+y2=4y．∴曲线C的直角坐标方程为x2+（y-2）2=4．（2）把代入x2+y2=4y，整理得t2-2t sinα-3=0设其两根分别为t1和t2，则t1+t2=2sinα，t1t2=-3，∴得，或，∴直线l的斜率为．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）f（x）=|x+1|+|x-2|=，，＜＜，，由f（x）≤3，解得：1≤x≤2，故不等式的解集是{x|-1≤x≤2}；（2）当x∈[2，3]时，f（x）=2x-1，由f（x）≥-x2+2x+m，得2x-1≥-x2+2x+m，即m≤x2-1在x∈[2，3]恒成立，故m≤3，即m的范围是（-∞，3]．【解析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为m≤x2-1在x∈[2，3]恒成立，求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．。