函数求值域的方法
求值域的方法
求值域的方法求值域的方法有：直接法：从自变量的范围出发，推出值域；配方法，求出最大值还有最小值；观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域，等。
1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。
2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。
3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。
例题：y=x^2+2x+3x∈（-1，2）先配方，得y=x+1^2+1∴ymin=-1+1^2+2=2ymax=2+1^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。
5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。
或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。
6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。
8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x设√（1-2x=tt≥0∴x=1-t^2/2∴y=1-t^2/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2t+1^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。
10：反函数法。
求反函数的定义域，就是原函数的值域。
例题：y=3x-1/3x-2先求反函数y=2x-1/3x-3明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1感谢您的阅读，祝您生活愉快。
求函数值域的方法
函数值域求法基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。
3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R} 4、指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R函数值域求法观察法对于一些比较简单的函数，其值域可结合不等式的性质、图象通过观察得到。
如利用|x|≥0，2x ≥0，x ≥0等，直接得出它的值域．例1、 求下列函数的值域⑴ y ＝1x ． ⑵ y ＝25x +． 解：⑴ 由x ∈R ，且x ≠0，易知y ∈R 且x ≠0．所以函数的值域为{ y|y ∈R 且y ≠0}．⑵ ∵ x2≥0，∴25x +≥5．∴ 函数的值域为{ y| y ≥5}．例2、求函数x3y -=的值域。
解：∵x≥0 ∴- x ≤0 3—x ≤3。
故函数的值域是：（ —∞，3 ]例3、求函数[]2,1,211∈-=x xy 的值域。
解：由21≤≤x 得1213-≤-≤-x ，312111-≤-≤-x ，故函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,1.例4、求函数111y x =++的值域。
分析：首先由1x +≥0，得1x ++1≥1，然后在求其倒数即得答案。
解：1x +≥0∴1x ++1≥1，∴０＜111x ++≤１，∴函数的值域为（０，１]．例5、求242-+-=x y 的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 例6、求函数y =211x +的值域 解：Θ 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域 例1、求下列函数的值域：⑴ y ＝－2x －4x ＋1，x ∈[－3，3]；⑵y ＝4x ＋41x －1．解：⑴配方，得y ＝－(x ＋2)2＋5，又x ∈[－3，3]，结合图象，知 函数的值域是{ y │－20≤y ＜5}⑵ ∵y ＝4x ＋41x －1＝2221x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1≥1， 当且仅当221x x -＝0，即x ＝±1时取等号，∴ 函数y ＝x4＋41x －1的值域为[1，＋∞)．例2、求函数y=2x —2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
求函数值域的常用方法
求函数值域的常用方法函数的值域（range）是指函数所有可能的输出值组成的集合。
求函数值域是函数分析中的一个重要问题，下面介绍一些常用的方法和技巧。
1.查表法：对于一些简单的函数，可以通过列出所有可能的输入值，计算出对应的输出值，然后将这些输出值整理成一个集合，即可得到函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，可以列出输入值x的所有可能取值，并计算出对应的输出值f(x)，将这些输出值整理成一个集合，即得到函数的值域。
2.分析法：对于一些简单的函数，可以通过对函数的性质进行分析，得到值域的一些性质。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方不会产生负数，所以函数的值域是大于等于0的实数集合。
3.奇偶性的分析：对于奇函数和偶函数，可以利用它们的奇偶性来求值域。
奇函数的值域关于原点对称，而偶函数的值域关于y轴对称。
例如，对于奇函数f(x)=x^3，可以通过观察函数的奇性得到函数的值域是所有实数。
再例如，对于偶函数f(x)=x^2，可以通过观察函数的偶性得到函数的值域是大于等于0的实数集合。
4.极值点的分析：对于一些有极值点的函数，可以通过极值点的性质来求值域。
例如，对于函数 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的最大值和最小值分别是1和-1，所以函数的值域是闭区间[-1, 1]。
5.利用导函数的性质：对于一些可导函数，可以通过导函数的性质来求值域。
例如，对于函数f(x)=e^x，导函数是f'(x)=e^x，由于指数函数的导数始终大于0，所以函数是递增的，值域是大于0的实数集合。
6.利用连续性的性质：对于一些连续函数，可以利用连续性的性质来求值域。
例如，对于函数f(x)=1/(x-1)，由于分母为0时函数没有定义，所以值域是除去1的实数集合。
7.递归法：对于一些递归定义的函数，可以通过递归法来求值域。
例如，对于斐波那契数列定义函数f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(0)=0，f(1)=1、通过逐步计算斐波那契数列的值，可以得到函数的值域是非负整数集合。
函数求值域的经典方法总结(附小练习)
函数求值域的经典方法总结（附小练习）【解题必备】求函数值域的基本方法1．利用常见函数的值域： 一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R .2．分离常数法： 将形如cx d y ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为：()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b -+的取值范围，从而确定函数的值域.3．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()(0)f x ax b cx d ac =+++≠，可以令(0)t cx d t =+≥，得到2t d x c -=，函数()f x ax =(0)b cx d ac +++≠可以化为2()a t d y t b c -=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制．4．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．5．基本不等式法： 利用基本不等式2a b ab +≥(a >0，b >0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a ＋b ＝s ，则ab ≤22()24a b s +=，ab 有最大值24s ，当a ＝b 时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab ＝t ，则a b +≥22ab t =，a ＋b 有最小值2t ，当a ＝b 时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．7．导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.1．函数211y x =+的值域是 A ．(),1-∞- B ．()0,+∞ C ．[)1,+∞D ．(]0,1 2．若函数()(0,1)x f x a a a a =->≠的定义域和值域都是[]0,1，则711log log 1114a a += A ．2-B ．1-C ．0D ．11．【答案】D【解析】由题意：函数211y x =+，211x +≥，21011x ∴<≤+，即函数211y x =+的值域为(]0,1．故选：D ．2．【答案】B【解析】由指数函数的单调性可得，()(0,1)x f x a a a a =->≠是单调递增函数或者是单调递减函数， 因为()10f =，所以()f x 为[]0,1上的递减函数， 所以()011f a =-=，解得2a =， 2log ∴ 27log 11+ 22117111log log 11411142⎛⎫=⨯==- ⎪⎝⎭，故选B ．【名师点睛】本题考查了函数的定义域、值域，函数的单调性以及对数的运算法则，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属中档题．。
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
求函数值域常用的方法
求函数值域常用的方法函数的值域是指函数在定义域内可以取到的所有可能的值。
确定函数的值域可以帮助我们了解函数的变化规律以及其他数学问题的解。
以下是一些常见的方法来确定函数的值域。
1.函数的图像法通过绘制函数的图像，我们可以直观地看到函数的取值范围。
根据图像的形状和位置，我们可以确定函数的最大值、最小值以及其他可能的取值。
2.求导数法对于单调函数，可以通过求函数的导数来确定函数的值域。
当函数的导数大于零时，函数是递增的；当函数的导数小于零时，函数是递减的。
根据导数的符号变化，可以确定函数的最大值和最小值。
3.求解不等式法对于一些局部有界的函数，可以通过求解不等式来确定函数的值域。
首先，我们根据函数的定义确定限制条件，然后通过不等式的求解来确定可能的取值范围。
4.集合表示法对于一些特殊的函数，可以使用集合表示法来确定函数的值域。
例如，对于一个定义在实数集上的三角函数，可以使用集合表示法来表示函数的值域。
5.极限法对于一些特殊的函数，可以使用极限法来确定函数的值域。
通过求解极限，可以确定函数在无穷远处的取值，从而确定整个函数的值域。
6.函数的性质法对于一些具有特殊性质的函数，可以利用这些性质来确定函数的值域。
例如，对于一个奇函数，其值域可以根据函数的对称性质来确定。
7.利用关系式法对于一些复合函数，可以利用函数之间的关系式来确定函数的值域。
通过将函数进行分解、合并或者替换，可以得到其他已知函数的值域，从而确定整个函数的值域。
8.数学工具法对于一些复杂的函数，可以利用数学工具来确定函数的值域。
例如，使用微积分、线性代数、概率论等工具，可以确定函数的值域。
总结：确定函数的值域是数学中的一个重要问题。
通过函数的图像法、求导数法、求解不等式法、集合表示法、极限法、函数的性质法、利用关系式法和数学工具法等方法，可以确定函数的值域。
不同的函数适合不同的方法，选择适合的方法可以更方便地确定函数的值域。
精品数学讲义—求函数值域的几种方法
函数值域的几种求法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R ；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++= 当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]； 3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xk y 的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 2k x ,tan ππ+≠=x y , cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ；二、求值域的方法1. 分析观察法求值域 有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。
例1：求函数221x y +=的值域。
解2. 反函数法求值域 对于形如)0(≠++=a bax d cx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例2 ：求函数2313--=x x y 的值域。
解}1,|{≠∈y R y y 且。
3. 换元法求值域 对形如)0,0(≠≠+++=c a d cx b ax y 的函数常设d cx t +=来求值域；对形如)0,0(2≠≠-++=c a cx c b ax y 的函数常用“三角换元”，如令αcos =x来求值域。
例3： 求函数的值域13432-+-=x x y 。
解例4： 求函数21x x y --=的值域。
解4. 配方法求值域 二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。
例5： 求函数524212+--=+x x y 的值域。
求值域的十种方法
求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 1 ．求函数的值域。
【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
【练习】1 ．求下列函数的值域：① ；② ；③ ；，。
【参考答案】① ；② ；③ ；。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如的函数的值域问题，均可使用配方法。
例 2 ．求函数（）的值域。
【解析】。
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。
∴函数（）的值域为。
例 3 ．求函数的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。
说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。
例 4 ．若，试求的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。
利用两点，确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时，取最大值。
【练习】2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：① ；② ；③ ；④ ；，；。
【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例 5 ．求函数的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而便于求出反函数。
反解得，故函数的值域为。
【练习】1 ．求函数的值域。
2 ．求函数，的值域。
【参考答案】 1 ．；。
四．分离变量法：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例 6 ：求函数的值域。
解：∵ ，∵ ，∴ ，∴函数的值域为。
适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为( 常数 ) 的形式。
例 7 ：求函数的值域。
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函数求值域的方法
要求一个函数的值域，就是要确定函数所有可能的输出值组成的集合。
求解函数的值域可以使用多种方法，下面给出几种常见的方法。
1.图像法：
利用函数的图像来确定值域。
对于函数$f(x)$，可以绘制出其图像，
并观察图像的整体形状以及趋势，确定函数的值域。
2.定义域与连续性：
对于连续函数，可以利用定义域的性质来求解其值域。
先求解定义域，然后观察函数在定义域上的变化情况，判断其是否存在极值点、单调递增
递减区间等性质，进而确定函数的值域。
3.导数法：
对于可导函数，可以求解其导数，并观察导数的性质，判断函数在极
值点、拐点等位置的变化情况，从而推断函数的值域。
4.分段函数法：
对于分段函数，将函数分成多个部分，分别求解各个部分的值域，然
后将这些值域合并起来，得到整个函数的值域。
5.利用函数的性质：
利用函数的特定性质，比如奇偶性、周期性等，来推导函数的值域。
通过观察函数的性质，可以得到一些约束条件，从而确定函数的值域。
6.极值法：
对于有界闭区间上的连续函数，可以通过求解其极值点，以及观察极值点的性质来确定函数的值域。
7.广义值域：
对于复合函数、反函数等情况，可以利用相关的函数性质和变换进行求解。
通过对函数的复合、反函数的求解，可以确定广义值域，即函数的所有可能输出值的集合。
在实际应用中，常常需要结合多种方法来确定函数的值域。
可以综合运用图像法、导数法、分段函数法等多种方法，特别是观察函数的性质和变化规律，从而更准确地确定函数的值域。
同时，函数的值域可能是一个区间、一个集合、一个集合的并集等形式，要充分考虑不同情况下的求解方法。
最后，对于特殊情况和特殊函数，还需要进一步研究和推导，才能确定其值域。