物理中求极值的常用方法

物理解题中求极值的常用方法运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出 现。

因为极值问题范围广、习题多，会考、高考又经常考查，应该得到足够重视。

另外很多学生数、理结 合能力差，这里正是加强数理结合的“切人点”。

学生求极值，方法较少，教师应该在高考专题复习中提 供多种求极值的方法。

求解物理极值问题可以从物理过程的分析着手，也可以从数学方法角度思考，下面 重点对数学方法求解物理极值问题作些说明。

1、利用顶点坐标法求极值对于典型的一元二次函数 y=ax 2+bx+c, b 4ac 一 b 2若 a>0,则当 x=-时,y 有极小值，为 y min =；b 4ac 一 b 2若 a<0,则当 x=-时,y 有极大值，为 y max =；2、利用一元二次函数判别式求极值 对于二次函数 y=ax 2+bx+c ，用判别式法利用Δ＝b 2-4ac ≥0 。

(式中含 y) 若 y ≥A ，则 y min ＝A 。

若 y ≤A ，则 y max ＝A 。

3、利用配方法求极值对于二次函数 y=ax 2+bx+c ， 函数解析式经配方可变为 y=(x-A)2+常数： (1) 当 x ＝A 时， 常数为极小值； 或者函数解析式经配方可变为 y = －( x －A)2+常数 。

(2) 当 x ＝A 时，常数为极大值。

4、利用均值定理法求极值a +b 均值定理可表述为> ab ，式中 a 、b 可以是单个变量，也可以是多项式。

2当 a ＝b 时， (a+b)min ＝2 ab 。

当 a ＝b 时， (a+b) max ＝。

5、利用三角函数求极值如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。

若所求物理量表达式可化为 “y=Asin a cos a ”的形式，则 y= 1 Asin 2α，在a =45º时， y 有极值 A。

2 2对于复杂的三角函数， 例如y=asin θ+bcos θ，要求极值时先需要把不同名的三角函数 sin θ和 cos θ， 变成同名的三角函数，比如 sin ( θ+ф) 。

这个工作叫做“化一” 。

首先应作辅助角如所示。

2a 4a2a 4aφ ab 图 1考虑 asin θ+bcos θ ＝ (a sin9 + bcos9 )a 2 +b 2 a 2 + b 2＝ a 2 + b 2 (cosфsin θ+sinфc os θ) ＝ a 2 + b 2 sin( θ+ф) 其最大值为 a 2 + b 2 。

6、用图象法求极值通过分析物理过程遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象可求得极值。

7、用分析法求极值分析物理过程，根据物理规律确定临界条件求解极值。

下面针对上述 7 种方法做举例说明。

例 1：如图 2 所示的电路中。

电源的电动势ε＝ 12 伏，内阻 r ＝0.5 欧，外电阻 R 1＝2 欧， R 2＝3 欧 ， 滑动变阻器 R 3＝5 欧。

求滑动变阻器的滑动头 P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值 ?最大值 是多少?R 1aR 3R 2bV为 x ，外电路总电阻为 R. 则：图 2c 、r分析： 设 aP 间电阻pR = (R 1+ X )(R 2 + R 3 一 X ) R + R + R1 2 3(2 + X )(3 + 5 一 X )2 +3 + 5 (2 + X )(8 一 X ) 10 先求出外电阻的最大值 R max 再求出伏特计示数的最大值 U max 。

本题的关键是求 R max ，下面用四种方法求 解 R max 。

[方法一] 用顶点坐标法求解抛物线方程可表示为 y ＝ax 2+bx+c 。

考虑 R ＝=，设 y ＝ -x 2+6x+16， 当 x ＝一b2a＝ —62(一1)＝3 时， R max (3) ＝＝2.5 Ω。

[方法二] 用配方法求解 考虑 R ＝＝=。

即 x ＝3 Ω时， R ma x ＝2510= 2.5 Ω。

[方法三] 用判别式法求解 考虑 R ＝，则有 -x 2+6x+16-10R ＝0，Δ＝b 2-4ac ＝36-4(-1)(16-10R)＞0，即： 100-40R ≥0，R ≤2.5Ω，即 R max ＝2.5 Ω。

[方法四] 用均值定理法求解 考虑 R ＝，设 a ＝2+x ； b ＝8-x 。

10当 a ＝b 时，即 2+x ＝8-x ， 即 x ＝3 Ω时， R max (3) ＝＝2.5 Ω。

(2 + x)(8 一 x) ==也可以用上面公式(a+b)max ＝＝25，R ＝ ＝25＝2.5 Ω。

10 10以上用四种方法求出 R max ＝2.5 Ω，下边求伏特计的最大读数。

I min ＝＝＝4(A)。

U max ＝ε - I min r ＝12-4 0.5＝ 10(V) 。

即变阻器的滑动头 P 滑到 R 3的中点 2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为 10 伏。

例 2：如图 3 所示。

光滑轨道竖直放置， 半圆部分的半径为 R ，在水平轨道上停着一个质量为 M ＝0.99kg 的木块， 一颗质量为 m ＝0.01Kg 的子弹， 以 V 0=400m/s 的水平速度射入木块中， 然后一起运动到轨道最高 点水平抛出，试分析：当圆半径 R 多大时，平抛的水平位移是最大 ?且最大值为多少?图 3[解析]子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为 V 1 ，则： mV 0 ＝(m+M)V 1， 所以： V 1=m V 0 ＝0.01400m /s = 4m /s 设在轨道最高点平抛时物块的速度为 V 2 ，由于轨道光滑，故机械能守恒：1 1s =V 2t =V 210M Rmv 0Om + M 0.01+ 0.99(16 40R) 4R = g 4R max2 (M + m)V 12 = 2(m + M)gR + 2(m + M)V 22 所以： V 2= [(m+ M)V 124(M + m)gR]/(m+ M) = V 124Rg = 42 4R 10 = 16 40R则平抛后的位移可以表示为：＝4 一 R 2 + 0.4R 。

b 0.4因为 a=-1<0,所以水平位移 S 应该存在最大值。

当 R= 一 = 一 =0.2m 时，S max ＝0.8m例 3：在一平直较窄的公路上，一辆汽车正以 22m/s 的速度匀速行驶，正前方有一辆自行车以 4m/s 的 速度同向匀速行驶，汽车刹车的最大加速度为 6m ／s 2 ，试分析两车不相撞的条件。

[解析]要使二者不相撞，则二者在任一时间内的位移关系应满足1V 0t-at 2 Vt + S (式中 S 为汽车刹车时与自行车间距)2代入数据整理得： 3t 2-18t+S>0，显然，当满足 ＝b 2-4ac > 0，即 ＝182-4 3S > 0 得： S 27m ， S min =27m 。

当汽车刹车时与自行车间距为 27 米时是汽车不与自行 车相撞的条件。

例 4： 如图 4 所示。

一辆四分之一圆弧小车停在不光滑水平地面上，质量为 m 的小球从静止开始由车 顶无摩擦滑下， 且小车始终保持静止状态， 试分析： 当小球运动到什么位置时， 地面对小车的摩擦力最大? 最大值是多少?图 4[解析]：设圆弧半径为 R ，当小球运动到重力 mg 与半径夹角为θ时，速度为 V ，根据机械能守恒定律 和牛顿第二定律有：ONmg2a 2 (一1)mV 2 = mgRcos9 2N 一 mg cos9 = mR解得小球对小车的压力为： N=3mgcos θ，其水平分量为： N x =3mgsin θ cos θ= 3mg sin 29 2根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为： f= N x =3mg sin 29 23 可以看出：当 sin 2 θ=1, 即θ=45º时，地面对小车的静摩擦力最大，其值为： f max =mg 。

2例 5： 如图5 所示 。

质量为m 的物体由力 F 牵引而在地面上匀速直线运动。

物体与地面间的滑动摩擦 系数为μ ,求力 F 最小时的牵引角θ。

(F 的方向是随θ变化的。

)fNF9图 5G[解析]：因物体匀速直线运动，所以有：Fcos θ-f ＝0 ①f ＝ μN ＝ μ(mg-Fsin θ) ②②代人①得： Fcos θ- μmg+ μFsin θ＝0 即： F ＝。

分母为两项不同名的三角函数，需要转化成同名的三角函数，也就是需要“化一”。

由前面的“化一”结论得： a sin θ+b cos θ＝ a 2 + b 2 sin( θ+ф) 考虑本题分母：μ sin θ+cos θ与 a sin θ+b cos θ用比较法，得： a ＝μ； b ＝1。

b 1 1 1a1 2于是 tgф＝ =，则ф＝arc tg 。

所以，μ sin θ+cos θ ＝ 2 +1 sin( θ+arc tg )。

要使 F 最小，则分母μsin θ+cos θ需最大，因此，θ +arc tg＝ 。

V 21所以有：θ＝-arc tg ＝ -arc ctg μ=arc tg μ。

2 2即：θ=arc tg μ时， F 最小。

作为教师，运用“求导数”对本题验算非常简便。

F ＝。

考虑dFd9= 0 ，则有μ cos θ-sin θ＝0 则θ＝arc tg μ， 即当 F 最小时，牵引角θ＝ arc tg μ。

例 6：甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为 4 米／秒 2， 4 秒 后改为匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为 2 米／秒 2， 10 秒后改为匀速直线运动，求乙追上 甲之前它们之间的最大距离。

分析：运用物理规律和图形相结合求极值．是常用的一种比较直观的方法。

由题意可知， 4 秒后甲做 匀速直线运动的速度为： V 甲=a 甲 t 甲＝4 4＝ 16(m ／s)。

乙 10 秒后做匀速运动的速度为： V 乙 ＝a 乙 t 乙＝2 10＝20(m ／s)。

V(m/s)乙 A(8；16)甲105 4 8 12t/s图 6可画出 v —t 如上图 6 所示。

图线在 A(8，16)点相交，这表明在 t ＝8 秒时， 两物体的速度相等， 因此． 在 t ＝8 秒时，两者间的距离最大。

此时两图线所围观积之差，就是两者间的最大距离。

1 1即 S max ＝ 4 16 + 4 16 — 8 16＝32(m)。

2 2用分析法求极值在物理计算中较常见。

经过对物理状态或过程分析后求极值， 不一定要用繁难的数学， 关键是确定临界状态和过程的最值。

例 7：如图 7 所示。