九年级二次函数知识点归纳
九年级数学二次函数知识点
九年级数学二次函数知识点二次函数是数学中的一个重要知识点，它在实际生活中有着广泛的应用。
了解和掌握二次函数的相关知识对于理解高中数学和解决实际问题都具有重要意义。
本文将从定义、性质、图像和应用等方面介绍九年级数学中的二次函数知识点。
一、定义和表示方式二次函数是指由形如y=ax²+bx+c的函数所表示的函数关系。
其中，a、b、c是已知实数，且a ≠ 0。
其中，a称为二次项系数，b 称为一次项系数，c称为常数项。
二次函数的一般形式可以表示为y=f(x)=ax²+bx+c。
二、性质1. 对称性：二次函数的图像关于过抛物线的对称轴对称，对称轴方程为x=-b/2a。
2. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 最值点：二次函数的最值点即为抛物线的顶点，对应的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
4. 零点：二次函数的零点即为方程f(x)=0的解，可以通过解一元二次方程求得。
5. 判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；Δ=0时，方程有两个相等的实根；Δ<0时，方程无实根。
三、图像二次函数的图像是一个抛物线，根据开口方向和顶点的位置可以确定其形状。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点位于抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点位于抛物线的最高点。
通过对二次函数的系数a、b、c进行调整，可以改变抛物线的形状、位置和大小。
四、应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 物体自由落体运动：物体自由落体运动的高度随时间的变化可以用二次函数进行建模，通过解一元二次方程可以求得物体的落地时间和最大高度等信息。
2. 弹射问题：弹射物体的轨迹可以用二次函数进行描述。
3. 平抛问题：平抛运动物体的轨迹也可以用二次函数进行建模，通过解一元二次方程可以求得物体的着地点和最大飞行距离等信息。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点(第一讲)一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级二次函数知识点
九年级二次函数知识点一、二次函数的定义和表示方式二次函数是指具有以下形式的函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。
一般常用的表示方式有标准形式、顶点形式和描点法。
标准形式：y = ax^2 + bx + c，常用于确定二次函数的参数和特征。
顶点形式：y = a(x - h)^2 + k，其中(h,k)为函数的顶点坐标。
描点法：通过确定函数的一些特定点求得二次函数的表达式。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向：- 当a>0时，二次函数开口向上；- 当a<0时，二次函数开口向下。
2. 对称轴：对称轴是二次函数图像的镜像轴，其方程为x = -b/(2a)。
3. 零点：零点是指使二次函数取值为0的x的值，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
4. 最值：- 当a>0时，二次函数有最小值，最小值为函数的顶点值；- 当a<0时，二次函数有最大值，最大值为函数的顶点值。
三、二次函数的性质1. 函数增减性：- 当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；- 当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。
2. 函数的最值：- 当a>0时，函数的最小值为顶点值；- 当a<0时，函数的最大值为顶点值。
3. 零点与因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解或求根公式求得，形式为(x - x1)(x - x2) = 0。
4. 判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac可用于判断二次函数的零点个数和开口方向。
- 当Δ > 0时，有两个不相等的实根，函数图像与x轴相交于两点；- 当Δ = 0时，有两个相等的实根，函数图像与x轴相切于一个点；- 当Δ < 0时，无实根，函数图像与x轴无交点。
四、二次函数的应用1. 抛物线运动：二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹，如抛体自由落体运动的轨迹等。
2. 最值问题：对于一些实际问题，二次函数可以用来求解最值问题，例如求解最大面积、最小花费等。
九年级数学二次函数知识点总结
值0．
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时，
a0
向下
h何 0 X=h
y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大
值0．
4. y ax h2 k 的性质：
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
a0
向上
h何 k X=h
性质 x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式： y ax2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
a0
向上
0何 0 y 轴
性质 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小
值0．
x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时，
1. 一般式： y ax2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y a(x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 3. 两根式： y a(x x1)(x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
．
五、二次函数 y ax2 bx c 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c 化为顶点式 y a(x h)2 k ，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
y 轴的交点 0何 c 、以及 0何 c 关于对称轴对称的点 2h ，c、与 x 轴的交点 x1 何 0， x2 何 0（若与
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二次函数知识点一、基本概念：1.二次函数的概念：一般地，形如y =ax2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数y =ax2+bx +c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.y =ax2+c 的性质：（上加下减）3.y=a(x-h)2 的性质：（左加右减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0 向上(h ，0) X=hx >h 时，y 随x 的增大而增大；x <h 时，y随x 的增大而减小；x =h 时，y 有最小值0 ．a < 0 向下(h ，0) X=hx >h 时，y 随x 的增大而减小；x <h 时，y随x 的增大而增大；x =h 时，y 有最大值0 ．4.y =a (x-h)2 +k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0 向上(h ，k ) X=h x >h 时，y 随x 的增大而增大；x <h 时，y 随x 的增大而减小；x =h 时，y 有最小值k ．a < 0 向下(h ，k ) X=h x >h 时，y 随x 的增大而减小；x <h 时，y 随x 的增大而增大；x =h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x-h)2 +k ，确定其顶点坐标(h，k )；⑵ 保持抛物线y =ax2的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．2a 方法 2：⑴ y = ax 2 + bx + c 沿 y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = ax 2 + bx + c + m （或 y = ax 2 + bx + c - m ）⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2前者，即 y = a x + ⎪ + ⎝ ⎭4a ，其中h = - ， k = ．2a 4a五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点(0， c ) 、以及(0， c ) 关于对称轴对称的点(2h ，c ) 、与x 轴的交点( x 1 ， 0) ， ( x 2 ， 0) （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质b⎛ b 4ac - b 2 ⎫ 1. 当a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪ ．当 x < - b2a时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a ⎝ ⎭时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有4ac - b 2 最小值 ．4ab⎛ b4ac - b 2 ⎫ b2. 当a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a ， 4a ⎪．当 x < - 2a 时， y ⎝ ⎭b b 4ac - b 2随 x 的增大而增大；当 x > - 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a 时， y 有最大值 ．4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b2- 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y =ax2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠ 0 ．⑴ 当a > 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a < 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a > 0 的前提下，当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a < 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；>0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a >0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；< 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x =-b2a是“左同右异”总结：3.常数项c在y 轴左边则ab > 0 ，在y 轴的右侧则ab < 0 ，概括的说就⑴ 当c > 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．2 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ；y = a ( x - h )2+ k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a ( x - h )2- k ；2. 关于 y 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ；y = a ( x - h )2+ k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a ( x + h )2+ k ；3. 关于原点对称y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；y = a ( x - h )2+ k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a ( x + h )2- k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）y = ax 2+ bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx + c -b； 2ay = a ( x - h )2+ k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a ( x - h )2+ k ．5. 关于点(m ， n ) 对称y = a ( x - h )2 + k 关于点(m ， n ) 对称后，得到的解析式是 y = -a ( x + h - 2m )2+ 2n - k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．a十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况.图象与 x 轴的交点个数：① 当∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A ( x ，0)，B ( x ，0) (x ≠ x ) ，其中的 x ，x 是一元二121212次方程ax 2+ bx + c = 0(a ≠ 0) 的两根．这两点间的距离AB = x 2 - x 1 = .② 当∆ = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当∆ < 0 时，图象与 x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y < 0 ．2. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c ) ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数 y = ax 2 + bx + c 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以a > 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：y1x Ayo-1 x B y1 0 C x y0 -1 xD 二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m 2 - m - 2 的图像经过原点， 则m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx - 1的图像大致是（ ）3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x = 5，求这条抛物线的解析式。
【数学知识点】初三二次函数知识点总结归纳
【数学知识点】初三二次函数知识点总结归纳二次函数是初中数学中一个很重要的知识点，下面整理了一些二次函数的相关知识点，供大家参考。
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大），则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b²)/4ax₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
那么解决这类问题的一般步骤是：第一步：设自变量;第二步：建立函数解析式;第三步：确定自变量取值范围;第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c。
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²+bx+c=0。
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。
当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。
九下二次函数知识点
九下二次函数知识点
二次函数是九年级数学的重要知识点，以下是详细的知识点总结：
- 定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的函数叫做二次函数。
- 解析式的形式：
- 一般式：$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）。
- 顶点式：$y=a(x-h)^2+k$。
- 图像性质：顶点的横坐标即图像的对称轴，纵坐标即函数的极值。
- $a$、$b$、$c$的作用：
- $a$决定图像的开口方向，$a＞0$时，开口向上，$a＜0$时，开口向下。
- $|a|$决定图像的开口大小，$|a|$越大，开口越小。
- $a$、$b$共同决定对称轴，当$a$、$b$同号时，对称轴在$y$轴的左侧。
学习二次函数需要理解并掌握这些知识点，并通过练习巩固知识。
如果你还有任何疑问，请随时向我提问。
数学九年级下册知识点归纳
数学九年级下册知识点归纳一、二次函数。
1. 二次函数的概念。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
2. 二次函数的图象和性质。
- 二次函数y = ax^2(a≠0)的图象和性质。
- 当a>0时，图象开口向上，对称轴为y轴（x = 0），顶点坐标为(0,0)。
在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大，函数有最小值y = 0。
- 当a<0时，图象开口向下，对称轴为y轴（x = 0），顶点坐标为(0,0)。
在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小，函数有最大值y = 0。
- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象和性质。
- 对称轴公式x =-(b)/(2a)。
- 顶点坐标(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 当a>0时，图象开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大，函数有最小值y=frac{4ac - b^2}{4a}；当a<0时，图象开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，函数有最大值y=frac{4ac - b^2}{4a}。
3. 二次函数图象的平移。
- 二次函数y = a(x - h)^2+k(a≠0)的图象可以由y = ax^2(a≠0)的图象平移得到。
- 向左（右）平移m个单位长度，y = a(x± m)^2+k；向上（下）平移n个单位长度，y = a(x - h)^2± n + k。
4. 二次函数与一元二次方程。
- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，当y = 0时，ax^2+bx + c = 0(a≠0)就是一元二次方程。
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九年级二次函数知识点归纳在九年级数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。
它是高中数学的基础，也是后续学习的重要基础。
本文将对九年级二次函数的一些关键知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
1. 二次函数的定义
二次函数是指函数表达式中含有二次项（x²）的函数。
一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
在二次函数中，二次项起主导作用，决定函数的开口方向和形状。
2. 二次函数的图像和性质
二次函数的图像通常是一个抛物线，开口方向取决于一次项的系数a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像呈现出对称性，对称轴为x轴的负半轴和正半轴的中垂线。
二次函数的顶点即为对称轴上的一个点。
3. 二次函数的顶点坐标和轴对称性
通过顶点坐标和对称轴，可以方便地确定二次函数的图像特征。
顶点坐标为x = -b/2a处的点，其中x为顶点的横坐标，y为顶点的纵坐标。
对称轴的方程为x = -b/2a。
通过顶点和对称轴，可以画
出二次函数的大致图像。
4. 二次函数的零点
二次函数的零点即为函数图像与x轴相交的点，也是函数的根。
要求函数值f(x)等于0，可以通过解一元二次方程来求得二次函数
的零点。
一元二次方程一般形式为ax² + bx + c = 0，可以使用因式
分解、配方法、求根公式等方法来解方程，从而得到二次函数的
零点。
5. 二次函数的极值
二次函数的函数值在顶点处取得最值，当a>0时，函数的最小
值在顶点处；当a<0时，函数的最大值在顶点处。
通过求出顶点
坐标，可以确定二次函数的极值点。
6. 二次函数的图像平移
二次函数的图像在坐标平面中可以向左、向右、向上或向下进
行平移。
平移的规律是在函数表达式中的x值部分添加一个常数h，表示横向平移的距离，并在函数表达式中的f(x)值部分添加一个常数k，表示纵向平移的距离。
7. 二次函数的两点式和一般式
二次函数可以通过两点式和一般式来表示。
两点式是通过已知
二次函数过两个点的坐标来确定函数的表达式。
一般式为f(x) =
ax² + bx + c，这是二次函数的标准表达形式。
8. 二次函数的确定系数方法
已知二次函数的图像过顶点和另一点，可以使用确定系数方法
来确定函数的表达式。
通过顶点的坐标和另一个点的坐标，可以
得到两个方程，从而求得a、b、c的值，确定二次函数的表达式。
九年级二次函数知识点归纳至此结束。
通过对二次函数的定义、图像、性质、顶点坐标和轴对称性、零点、极值、图像平移、两
点式和一般式以及确定系数等方面的学习，同学们可以更好地理
解和掌握二次函数的知识。
同时，通过练习相关的题目，培养解
决实际问题、应用数学知识的能力。
二次函数作为数学中的一个
重要概念，不仅仅在学习中有着重要的作用，更在现实生活中有
着广泛的应用，如物理学、经济学等领域中的模型建立与分析。
希望同学们能够善于将所学的知识与实际应用相结合，不断提升
数学解题的能力。