高二数学知识点总结抛物线
抛物线的基本知识点高二
抛物线的基本知识点高二抛物线的基本知识点抛物线是高中数学中的一种重要曲线，它具有广泛的应用和深厚的理论基础。
本文将介绍抛物线的基本知识点，包括定义、性质和应用。
通过学习本文，你将对抛物线有更深入的了解。
抛物线的定义抛物线是指平面上所有到定点 F 的距离等于到直线 l 的距离的点的集合。
其中，定点 F 称为焦点，直线 l 称为准线。
抛物线的形状取决于焦点的位置和准线的方向。
抛物线的一般方程抛物线的一般方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
a 决定了抛物线的开口方向和形状，b 影响了抛物线的位置，c 决定了抛物线与 y 轴的截距。
抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，也是标志着抛物线的转折处。
对于一般方程 y = ax^2 + bx + c 的抛物线，它的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(-b/2a) 就是抛物线的最高点或最低点的纵坐标。
抛物线的对称轴抛物线是关于对称轴对称的，对称轴是通过顶点且垂直于 x 轴的一条直线。
对于一般方程 y = ax^2 + bx + c 的抛物线，它的对称轴方程是 x = -b/2a。
抛物线的焦距和准线焦距是指焦点到对称轴的距离，用字母 p 表示。
准线是指与抛物线对称轴垂直且与抛物线不相交的直线，准线的方程为 x = -p。
抛物线的性质1. 抛物线是连续的曲线，没有断裂点。
2. 抛物线关于对称轴是对称的，即对称轴左右两侧的点关于对称轴的纵坐标相等。
3. 抛物线开口方向取决于 a 的正负，当 a > 0 时开口向上，当 a < 0 时开口向下。
4. 抛物线的最高点或最低点就是其顶点，位于对称轴上。
5. 当 a > 0 时，抛物线的最低点为最小值点；当 a < 0 时，抛物线的最高点为最大值点。
抛物线的应用1. 物理学中，抛物线描述了自由落体运动的轨迹。
2. 工程学中，抛物线被广泛应用于抛物面反射器、抛物天线等领域。
高中数学抛物线知识点
高中数学抛物线知识点抛物线是高中数学的一个重要考点。
抛物线是指平面内到一个定点f和一条定直线l距离相等的点的轨迹。
1抛物线的概念1.抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同。
2.抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质(如下表)：其中为抛物线上任一点。
3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有解。
说明：（1）求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
（2）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
（3）解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何*质。
5.抛物线的焦点弦的性质：关于抛物线的几个重要结论：(1)弦长公式同椭圆.(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有p(x0，y0)在抛物线内部p(x0，y0)在抛物线外部(3)抛物线y2=2px上的点p(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+(4)抛物线y2=2px外一点p(x0，y0)的切点弦方程是(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点m(x0，y0)，则(6)自抛物线外一点p作两条切线，切点为a,b，若焦点为f,又若切线pa ⊥pb，则ab必过抛物线焦点f.2抛物线的解题技巧1.利用抛物线的几何性质解题的方法：根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关*.2.抛物线中定点问题的解决方法：在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何*质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解11---抛物线(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解11 抛物线一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 抛物线的方程知识点2 抛物线的定义（性质） 知识点3 抛物线的焦点弦 知识点4 坐标代换 知识点5 直线与抛物线 知识点6 抛物线中的面积问题 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 抛物线的方程例1．（2021·北京二十中高二期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上一点(2,)m -到焦点距离为4，那么抛物线的方程是（ ） A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =D ．24y x =- 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且点(2,)m -在抛物线上，所以设抛物线方程为22y px=-()0p >，因为点(2,)m -到焦点距离为4，所以()242p--=，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =-，故选：B 名师点评抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，在解题时要灵活转化两个距离. 例2．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）抛物线22y x =的准线方程为（ ） A ．14x =B ．14x =-C ．18y =D ．18y =-【答案】D 【详解】由抛物线22y x =，则其标准方程为212x y =所以其准线方程为18y =-故选：D名师点评：抛物线标准方程：22(0)x py p =±>，22(0)y px p =±>，请注意在标准方程中，平方项前的系数需化为1，才是标准方程，本例中，应先将22y x =化为：212x y =，再求准线. 例3．（2021·全国·高二课时练习）以x 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ） A ．28y x =B ．28y x =-C ．28y x =或28y x =-D ．28x y =或28x y【答案】C 【详解】依题意设抛物线方程为()220y px p =±>．因为焦点与原点之间的距离为2，所以22p=，所以28p =，所以抛物线方程为28y x =或28y x =-． 故选：C ．名师点评：抛物线的标准方程：22(0)x py p =±>，22(0)y px p =±>，有时候在解题时需分类讨论，为避免这个问题，可以在假设抛物线标准方程时，假设为统一方程： ①以x 轴为对称轴的标准方程：2(0)y mx m =≠； ②以y 轴为对称轴的标准方程：2(0)x my m =≠.知识点2 抛物线的定义（性质）例1．（2021·江西·九江一中高二阶段练习（理））已知点P 是抛物线24y x =-上的一个动点，则点P 到点(0,2)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A ．3BC ．92【答案】C 【详解】 如图所示：由抛物线的定义得：PN PF =， 所以PN PM PF PM +=+，由图象知：当,,P F M 三点共线时，PN PM +最小，()minPN PM FM +=故选：C练习1-1．（2021·宁夏·平罗中学高二期中（理））已知(3,2)A ，点F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（2，2）C ．(D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】如图所示：设点P 到准线的距离为d ，准线方程为12x =-，所以17322PA PF PA d AB +=+≥=+=，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，PA PF +取得最小值，此时点P 的坐标为()2,2． 故选：B ．练习1-2．（2021·全国·高二专题练习）已知点P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是()8,7，则PA PQ +的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C 【详解】易知抛物线的焦点为()0,1F ，准线方程为1y =-.连接PF ，延长PQ 交准线于点M ，如图所示.根据抛物线的定义，知1PF PM PQ ==+.所以1119PA PQ PA PF AF +=+-≥-==，当且仅当A ，P ，F 三点共线时，等号成立，所以PA PQ +的最小值为9. 故选：C.名师点评：抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，在解题时要灵活转化两个距离.知识点3 抛物线的焦点弦1．（2021·河北·廊坊市第一中学高一阶段练习）已知动点M 到点()0,2F 的距离与点M 到直线:2l y =-的距离相等．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 且斜率为1的直线与动点M 的轨迹交于A 、B 两点，求线段AB 的长度． 【答案】（1）28x y =；（2）16. （1）解：由题意点M 的轨迹是以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以22p=，则4p =， 所以动点M 的轨迹方程是28x y =. （2）解：由已知直线AB 的方程是2y x =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，由228y x x y=+⎧⎨=⎩得28160x x --=，28640∆=+>， 所以128x x +=，则1212412y y x x +=++=，故12416AB y y =++=．2．（2021·吉林·长春市实验中学高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的焦点与双曲线22191625x y -=的右焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l ：()1y k x =-与抛物线交于A ，B 两点，5AB =，求k 的值. 【答案】（1）24y x =（2）2k =±（1）解：双曲线方程即：2219162525x y -=，则291612525c =+=，∴1c =，右焦点坐标为()1,0， 则抛物线的焦点坐标为()1,0，其标准方程为24y x =.（2）解：联立直线方程与抛物线方程可得：()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k ++=，121=x x ，易知直线恒过定点()1,0，即直线恒过抛物线的焦点，由抛物线的弦长公式可得：12AB x x p =++，∴1225x x ++=， 即：222425,k k++=，∴24k =，∴2k =±. 3．（2021·湖南·雅礼中学高二期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点()2,0F ，直线l ：()2y k x =-与抛物线C 相交于不同的两点AB 、. （1）求抛物线C 的方程； （2）若9AB =，求k 的值.【答案】（1）28y x =；（2）k =±【详解】解：（1）因为抛物线C ：()220y px p =>的焦点()2,0F ，所以22p=，得4p =，所以抛物线方程为28y x =（2）设(2y k x =-）与28y x =相交于()()1122A x y B x y ，，，，由()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：()()2222222224840,484464640k x k x k k k k k ⎡⎤-++=∆=-+-⨯⨯=+>⎣⎦， 212248k x x k ++=，∵直线(2)y k x =-过焦点F∴2122248822489k AB AF FB x x k k+=+=+++=+=+= ∴28k =1∴k =±名师点评：抛物线22(0)y px p =>，若直线l 过22(0)y px p =>的焦点，与22(0)y px p =>交于,A B 两点，则12||AB x x p =++.注意此公式在解解答题时不能直接使用，需推导，特别是抛物线开口方向不同时，对应焦点弦公式也不一样，注意灵活应用.知识点4 坐标代换例1．（2021·江西吉安·高二阶段练习（文））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过点F作倾斜角为45的直线与抛物线C 交于,A B 两点，且16AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设,,P M N 为抛物线上不同的三点，且PM PN ⊥，若P 点的横坐标为8，证明：直线MN 过定点. 【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析. （1）解：由题意知，直线AB 的直线方程为2py x =+， 由222p y x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22304p y py -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则123y y p +=， ∴12416AB y y p p =++==，∴4p =， ∴抛物线的方程为28x y =. （2）解：由(1)可得点()8,8P ，设223434,,,88x x M x N x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则233388888PMx x kx -+==-，同理可得244488888PN x x k x -+==-， ∵PM PN ⊥， ∴1PM PN k k ⋅=-，即3488188x x ++⋅=-， 即34348()1280x x x x +++=①，(也可由0PM PN →→⋅=得到) 由题意得直线MN 的斜率一定存在，设直线MN 方程为y kx b =+，联立28y kx bx y=+⎧⎨=⎩，得2880x kx b --=，则26432k b ∆=+，得348x x k +=，348x x b =-，带入①式得8641280b k -++=，即816b k =+，符合0∆>， 所以直线MN 方程为(8)16y kx b k x =+=++， 所以直线MN 过定点(－8，16)．名师点评：抛物线22(0)x py p =>上的点通常设为2(,)2x x p，抛物线22(0)y px p =>上的点通常设为2(,)2y y p .在本例中得点()8,8P ，可设223434,,,88x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两点坐标求斜率的公式分别求出,PM PN k k ，这样设可以有效减少变量的个数，降低计算的难度.例2．（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））已知动点M 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1．（1）求动点M 的轨迹W 的方程；（2）若点()()001,0P y y >、M 、N 在抛物线上，且12PM PN k k =-⋅，求证：直线MN 过定点．【答案】（1）24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩；（2）证明见解析. （1）由题设，(,)M x y 到点()1,0的距离比它到y 轴的距离大1，||1x =+，当0x ≥时，222(1)(1)x y x -+=+，整理得24y x =； 当0x <时，222(1)(1)x y x -+=-，整理得0y =；∴动点M 的轨迹W 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）证明：()()001,0P y y >，由（1）知：()1,2P ， 设MN 的方程为x my n =+，2111,4M y y ⎛⎫⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， ∴124y y m +=，124y y n =-，由1211241214PM y k y y -==+-，同理242PN k y =+，又12PM PN k k =-⋅， ∴()()12161222y y =-++，∴()12122360y y y y +++=，则290n m -++=，即29n m =+（满足Δ0>）， 直线MN 的方程为()2929x my m m y =++=++， ∴直线MN 过定点()9,2-，得证．名师点评：由（1）得()1,2P ，设MN 为x my n =+，可设2111,4M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4N y y ⎛⎫⎪⎝⎭，联立抛物线方程应用韦达定理得124y y m +=，124y y n =-，根据题设条件有()12122360y y y y +++=，进而可得,n m 的数量关系，即可证明结论.注意抛物线上点的常用设法，可降低计算难度.知识点5 直线与抛物线例1．（2021·全国·高二单元测试）已知(0,1)A ，B 是抛物线2:2C y x =上的点． （1）若B 点在其准线上的投影为B '，求AB BB '+的最小值； （2）求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线的方程． 【答案】（1（2）0x =或1y =或112y x =+ （1）抛物线2:2C y x =，焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为12x =-，根据抛物线的定义可知||||BB BF '=，所以||||||||||AB BB AB BF AF '+=+≥， 当,,A B F 三点共线时等号成立.()0,1A ，AF =AB BB '+.（2）当过A 点的直线斜率不存在时，直线方程为0x =， 此时直线与抛物线只有一个公共点，符合题意. 当过A 点的直线斜率为0时，直线方程为1y =， 此时直线与抛物线只有一个公共点，符合题意.当过A 点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为()10y kx k =+≠，212y kx y x=+⎧⎨=⎩，消去y 并整理得()222210k x k x +-+=， ()222240k k ∆=--=，解得12k =，直线方程为112y x =+. 综上所述，所求直线方程为0x =或1y =或112y x =+. 名师点评：直线与抛物线位置关系的判定方法：步骤1:联立直线与抛物线方程：22y kx my px =+⎧⎨=⎩步骤2：消元，消去x （y ）.比如消去y 得：222(22)0k x km p x m +-+=；步骤3：①当0k =时，此时直线为水平线与抛物线相交； ②当0k ≠，方程是关于x 的二次方程，可通过∆判定：0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与抛物线相交； 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与抛物线相切； 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与抛物线相离.练习1-1．（2021·重庆·高三阶段练习）已知抛物线C ：22(>0)y px p =上有一点(4,)P h 到焦点F 的距离为5.（1）斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，若5AF BF +=，求直线l 的方程；（2）已知过点(10)-，的直线m 与抛物线C 交于D ，E 两点，且D 关于x 轴的对称点为M ，判断直线ME 是否过定点？并说明理由. 【答案】（1）22y x =-（2）直线ME 恒过定点()1,0（1）解：依题意设抛物线C ：22(>0)y px p =的准线为2px =-，因为(4,)P h 到焦点F 的距离为5，所以452p+=，解得2p =，所以抛物线方程为24y x =，设直线l 为2y x b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则224y x b y x =+⎧⎨=⎩，消去y 整理得()224440x b x b +-+=，所以124414b x x b -+==-，因为5AF BF +=，所以12125x x p b ++=-+=，解得2b =-，所以直线方程为22y x =-；（2）解：设直线为()1y k x =+，()33,D x y ，()44,E x y ，()33,M x y -，则()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩，即()2222240k x k x k +-+=，所以341x x =，设直线ME 为y tx n =+，则24y tx ny x =+⎧⎨=⎩，即()222240t x tn x n +-+=，所以23421n x x t==，所以22n t =，则n t =或n t =-，当n t =时y tx t =+直线恒过点()1,0-（舍去），当n t =-时y tx t =-直线恒过点()1,0，综上可得直线ME 恒过定点()1,0；知识点6 抛物线中的面积问题1．（2021·河南·温县第一高级中学高二阶段练习（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的准线方程为1x =-，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，坐标原点为O ，且直线OM . （1）求实数p 的值； （2）求OAB ∆的面积. 【答案】（1）2p =（2（1）解：由准线方程为1x =-知，12p=，故2p =. （2）解：由（1）知，抛物线方程为24y x =， 设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y联立抛物线方程214x my y x=+⎧⎨=⎩，化简得2440y my --=.则124y y m +=，124y y =- 由线段AB 的中点为M ，知122M x x x +=，122M y yy +=1212M OM M y y y k x x x +==+442m m m =⨯+m =， 故直线l0y -=.所以6AB ==，d ==因此OAB的面积11622OABS AB d ==⨯=名师点评：1.求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高);2.面积的拆分:不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和,对于三角形,如果底和高不便于计算,则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.2．（2021·重庆市长寿中学校高二阶段练习）已知点P 是抛物线()2:20C y px p =>上的一点，F 是焦点，O 是原点，若2PF =，3PFO π∠=.（1）求抛物线C 的方程；（2）过()2,0的两条直线1l ，2l 满足12l l ⊥，1l 交C 于A 、B ；2l 交C 于M 、N ，ABO ，MNO ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S ⋅的最小值及此时的1l 的方程. 【答案】（1）26y x =（2）12S S ⋅的最小值为84，1l 的方程为2x y =±+ （1）依题意2PF =，3PFO π∠=，所以2p P ⎛- ⎝在抛物线22y px =上， 3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴2323p p p =-⇒=或1-，∵0p >，∴3p =，故抛物线C 的方程为26y x =. （2）设()11,A x y ，()22,B x y∴112122S y y =⨯-=由题意可知直线1l 不与x 轴重合，设1:2l x my =+，∴226x my y x =+⎧⎨=⎩，∴26120y my --=，0∆>，126y y m +=，1212y y =-，1S ==用1m -换m 可以得2S =∴1212784S S ⋅==⨯=，当且仅当221212m m=时取等号， 即1m =±，∴1:2l x y =±+.名师点评：求两个三角形面积的和、差、积、商的最值问题时,一般要把两个三角形面积的运算作为一个整体转换为某个变量的函数之后再求最值,对于求面积之比的问题,经常可以转换为边长之比,再由相似关系转化为坐标之间的关系.二、题型归类练专练1．（2022·全国·高三专题练习（理））若点A ，B 在抛物线()220y px p =>上，O 是坐标原点，若等边三角形OAB 的面积为 ）A ．2y =B ．2y =C ．2y =D ．2y = 【答案】A 【详解】设等边三角形OAB 的边长为a ，2=4a =． 根据抛物线的对称性可知6AOx π∠=，且4OA a ==，设点A 在x 轴上方，则点A 的坐标为cos ,sin 66OA OA ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2，将()2代入抛物线方程得222p =⋅解得p =22y x x ==．故选：A2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（理））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F l '与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则||||=NQ QF （ ）A C ．3D ．2 【答案】D如图：相关交点如图所示，由抛物线2:2(0)C y px p =>，得 (,0)2pF ，则:)2pMF y x -，与抛物线22y px =联立得22122030x px p -+=， 即()()6230x p x p --=， 解得3,26M A p p x x == ,60MN l MFx ︒⊥∠=60NMF ︒=∴∠， 又MN MF =则NMF 为等边三角形 22M pMN NF MF x p ∴===+=， 60OFA NFO ︒=∠=∠，由抛物线的对称性可得6Q A p x x ==，24,,6233p p p p QF NQ NF QF ∴=+=∴=-= ||2||NQ QF ∴= 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知F 是抛物线C ：22y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM ＝MN ，则||FN ＝（ ） A ．58B ．12C ．38D ．1 【答案】A 【详解】因为F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，所以F 1(0)8，，抛物线C 的准线方程为y ＝－18，如图，过点M 作抛物线的准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以||||MA OF ＝||||MN FN .因为2FM ＝MN ， 所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58.故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的两点P ，Q 均在第一象限，且||2PQ =，||3PF =，||4QF =，则直线PQ 的斜率为（ ）A ．1B C【答案】C 【详解】如图：作QM 垂直准线于M ，PN 垂直准线于N ，作PE QM ⊥于E ， 因为||2PQ =，||3PF =，||4QF =，由抛物线的定义可知：||4MQ =，||3PN =，||1QE =，所以||EP =直线PQ 的斜率为：PE QE故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习）抛物线2y ax =()0a >上点1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，则a 的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4 【答案】A 【详解】抛物线2y ax =()0a >即21x y a =()0a >，可得准线方程14y a=-， 因为1,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭到其准线l 的距离为1，所以11124a +=，解得12a =， 故选：A .6．（2022·江苏·高三专题练习）已知抛物线C ：22x py =-（0p >）的焦点为F ，点M 是C 上的一点，M 到直线2y p =的距离是M 到C 的准线距离的2倍，且6MF =，则p =（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10 【答案】A 【详解】 设()00,M x y ，由题意得0026262p y p y -=⨯⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4p =， 故选：A7．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>与抛物线2 x =共焦点F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，若三角形OMF 的面积为2，则双曲线的离心率为（ ） A．16C．4或43【答案】C 【详解】抛物线2x =的交点坐标为(F ，又双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>与抛物线2x =共焦点，∴双曲线的半焦距c =三角形OMF 的面积为2，且OM a =，MF b =∴122ab =⋅，即4ab =， 有22217a b c +==，∴1a =或4a =，∴双曲线的离心率为e =故选：C.8．（2022·天津和平·高三期末）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(2,)m 到焦点的距离为3，准线为l ，若l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3BC 【答案】C 【详解】依题意，抛物线22(0)y px p =>准线:2p l x =-， 由抛物线定义知232p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得2p =，则准线:1l x =-，双曲线C 的两条渐近线为b y x a =±，于是得准线l 与两条渐近线的交点分别为1,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，原点为O ，则AOB 面积1||12AOBbSAB a=⋅⋅==双曲线C 的半焦距为c ，离心率为e ，则有2222213c b e a a==+=，解得e =故选：C 二、填空题9．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（理））已知()00,M x y 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，若点()1,0P -满足0MF MP →→⋅<，则0x 的取值范围是______．【答案】)2⎡⎣ 【详解】解：由题可知，抛物线24y x =的焦点坐标()1,0F ，且()1,0P -，由于()00,M x y 是抛物线24y x =上一点，则()200040y x x =≥，()()00001,,1,MF x y MP x y →→∴=--=---，()()2222000000011141MF MP x x y x y x x →→∴⋅=---+=+-=+-，0MF MP →→⋅<，200410x x ∴+-<且00x ≥，解得：002x ≤<，所以0x 的取值范围是)2⎡⎣.故答案为：)2⎡⎣.10．（2022·全国·高三专题练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB11．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，2BC BF =，且3AF =，则p =___________.【答案】32【详解】如图：分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于E 、D 两点， 设BF a =，则2BC a =，由双曲线的定义可得：BD BF a ==，所以30BCD ∠=， 在Rt ACE 中，2AC AE =，因为3AE AF ==，33AC AF BF BC a =++=+， 所以336a +=，可得1a =，设准线与x 轴相交于点G ，因为//BD FG ，所以BD BC FGCF=即123p =， 可得：32p =，故答案为：32. 12．（2022·全国·高三专题练习）焦点为F 的抛物线C ：23x y =的准线与y 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则MF MA的取值范围是___________.【答案】⎤⎥⎣⎦ 【详解】作MN 垂直准线于N ，sin MF MN MAN MAMA==∠，不妨在第一象限取点M ，当MA 与抛物线相切时，MAN ∠最小，设切点为()00,M x y ，由213y x =得23y x '=，可知023AM k x =，又30,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得0003243y x x +=，得2003243+=y x ，又2003=x y ，所以034y =，032x =，所以切线1AM k =，45MAN ∠=︒，所以[]45,90MAN ∠∈︒︒，所以sin MFMAN MA ⎤=∠∈⎥⎣⎦；故答案为：⎤⎥⎣⎦.三、解答题13．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，且点F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求C 的方程；（2）设点(1T ，)(22)t t -<<，过点T 且斜率存在的两条直线分别交曲线C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和． 【答案】 （1）24y x =； （2）0. （1）由题意可知(2pF ，0)，(4,0)M -，||14FM ∴-=，∴4142p+-=，2p ∴=， ∴抛物线C 的方程为24y x =．（2）由题意可知，直线AB 和直线PQ 的斜率存在且不为0，分别设为1k ，2k ， 则直线AB 的方程为1(1)y k x t =-+，直线PQ 的方程为2(1)y k x t =-+，联立方程12(1)4y k x ty x=-+⎧⎨=⎩，消去y 得：2222211111(242)20k x k t k x k t k t +--++-=，由题意知0∆>恒成立， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2111221242k k tx x k +-+=，221112212k t k t x x k +-=，22212112121214||||1|(1)|()1|(1)||t TA TB x x k x x x x k k -∴⋅=--=+-++=+，同理可得222224||||(1)||t TP TQ k k -⋅=+，由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅得，222212221244(1)||(1)||t t k k k k --+=+，2212k k ⇒= 12k k ≠，120k k ∴+=．14．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期末）已知抛物线C ：22y px =（p >0）的焦点为F ，过F 点且垂直x 轴的直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，2MN =. （1）求抛物线C 的方程；（2）圆Q ：22(2)1x y ++=，点P 在圆Q 上，PA ，PB 是抛物线C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的范围. 【答案】（1）22y x = （2）⎡⎣（1）由题意知(,1)2p M ， 代入22y px =，122pp =⋅解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为22y x = （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，设切线PA 方程为11()y y k x x -=-，由112()2y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩得，211102ky y y kx -+-=，所以11114()02k y kx ∆=-⨯⨯-=，注意到2112y x =，有2211210k y ky -+=，11k y =，PA 方程为1111()y y x x y -=-，2111yy y x x -=-，所以21111yy x y x x x =+-=+， 则切线PA 方程，11y y x x =+，同理切线PB 方程，22y y x x =+ 设00(,)P x y ，则有1001y y x x =+，2002y y x x =+，所以AB 方程为：00y y x x =+ 即000x y y x -+=点00(,)P x y 到直线AB的距离d ==联立20020y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩ 得200220y y y x -+=200480y x ∆=->，1201202,2y y y y y x +==，AB ==所以12PABSAB d =⋅=， 令t=20063x x ++ 又因为031x -≤≤-，所以62t -≤≤- ； PABS≤≤综上PAB △的面积的范围是⎡⎣．。
第15讲 抛物线(七大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的 4 倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时， 首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求 一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程 的形式，再求参数 p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一
解得 p 1 或 p 4 ， 2
故抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 = -8 y ，
故选：C
例 10．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)若抛物线 y2 2 px p 0 上一点 P 2, y0 到其准线的距离
为 3，则抛物线的标准方程为( )
A． y2 4x
B． y2 6x
x p 2
|
MF
|
p 2
x0
e=1
y p 2
|
MF
|
y0
p 2
y p 2
|
MF
|
p 2
y0
知识点诠释： (1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0 恰恰说明定义中的焦点 F 不在准线 l 上
这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于 p 的值，才
所以点 P 到抛物线焦点的距离为 y0 2 3.
故选：B
高二抛物线必背知识点讲解
高二抛物线必背知识点讲解抛物线是高中数学中的一个重要概念，也是高二阶段的必备知识点之一。
掌握抛物线的性质和相关的公式是解决与之相关问题的基础。
本文将为你详细介绍高二抛物线的必背知识点，包括抛物线的定义、性质以及常用公式等。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上一条特殊的曲线，其定义可由以下几个要素描述：- 定点（焦点）F，是抛物线上的一个确定点。
- 定直线（准线）L，是与抛物线相交于抛物线的两个分支的对称轴。
- 定义抛物线上的点P到焦点F的距离与点P到准线L的距离的比例保持不变。
2. 抛物线的性质抛物线具有以下几个重要性质：- 对称性：抛物线关于准线对称。
- 焦点性质：焦点是抛物线上所有点到准线距离与焦距的比例值保持不变的点。
- 直角性质：抛物线的准线与焦点连线之间的夹角是直角。
- 切线性质：过抛物线上一点的切线平行于准线，且焦点到切点的线段与准线垂直。
3. 抛物线的基本公式- 标准方程：y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0）。
标准方程可以用来描述抛物线的形状、位置和方向。
- 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)为抛物线的方程。
- 对称轴方程：x = -b/2a。
对称轴是与抛物线两支对称的直线。
- 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（-b/2a，c - (b^2 - 1)/4a）。
- 焦距：抛物线的焦距为|4a|，用来确定焦点到准线的距离。
4. 抛物线的常见变形除了标准的抛物线方程之外，抛物线还有一些常见的变形形式：- 平移：将抛物线相对于坐标系的原点平移至任意位置。
- 平拉伸：通过调整a的值，控制抛物线在x轴和y轴方向上的缩放。
- 旋转：通过调整b的值，使抛物线绕着顶点旋转。
5. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有许多应用，例如：- 炮弹的发射轨迹：抛物线方程可以用来描述炮弹在重力作用下的弹道轨迹。
- 卫星天线的调节：抛物线的反射性质可以用来调节卫星天线的接收角度。
第05讲 抛物线-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
第05讲抛物线【考点目录】【知识梳理】知识点1 抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．②定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．知识点2抛物线的标准方程和几何性质焦点在x轴上时，方程的右端为±2px，左端为y2；焦点在y轴上时，方程的右端为±2py，左端为x2．p的几何意义：焦点F到准线l的距离．标准方程y 2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形顶点O(0,0)知识点3 直线与抛物线的位置关系设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km －p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．知识点4 弦长问题过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦点弦，如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.注：(1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α (α是直线AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点)． （5）求弦长问题的方法①一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. ②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .考点一 抛物线的标准方程（一）求抛物线的标准方程1．（2022春·北京海淀·高二校考阶段练习）抛物线的焦点在x 轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3，则此抛物线的标准方程为（ ） A ．26y x = B ．23y x = C ．26x y = D ．23x y =【答案】A【分析】利用抛物线的性质，求出p ，然后求得抛物线方程即可.【详解】解：焦点在x 轴正半轴上的抛物线标准方程为()220y px p =>，又准线与焦点轴间的距离为3，可得3p =，所以抛物线的标准方程为26y x =.故选：A.2．（2022春·辽宁本溪·高二校考阶段练习）以坐标轴为对称轴，焦点在直线45100x y -+=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．210x y =或28y x =-B ．210x y =-或28y x =【考点剖析】C ．210y x =或28x yD ．210y x =-或28x y =【答案】D【分析】直线45100x y -+=与坐标轴的交点即为焦点，根据焦点可求出p ，可得答案. 【详解】直线45100x y -+=与坐标轴的交点为()5,0,0,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，当抛物线的焦点为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭时，其标准方程为210y x =-；当抛物线的焦点为()0,2时，其标准方程为28x y =. 故选：D.3．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x = B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =【答案】C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C（二）抛物线的几何性质的应用4．（2022·全国·高二假期作业）抛物线26y x =的准线方程为（ ） A ．124y =-B ．112y =-C ．y =-6D ．=3y -【答案】A【分析】先把抛物线化成标准方程，求出p ，即可得到准线方程.【详解】抛物线26y x =的标准方程为：216x y =，令2126x y py ==，得112p =，于是该抛物线的准线为：124y =-.5．（2022春·山东临沂·高二临沂第四中学校考阶段练习）若抛物线22y px =的焦点与双曲线221x y -=的右焦点重合，则p =（ ）A ．2B ．4C ．D 【答案】C【分析】先求出双曲线221x y -=的右焦点，此焦点是抛物线22y px =的焦点，求出.p【详解】在双曲线221x y -=中，2112c =+=,所以右焦点)2F ，2F 是抛物线22y px =的焦点，2pp ∴== 故选：C6．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知圆22:(1)1C x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =（ ）A ．18B ．14C ．8D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用点到直线距离公式求解作答.【详解】圆22:(1)1C x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1，抛物线212x y p =的准线为18y p=-， 依题意，118p =，解得18p =， 所以18p =. 故选：A7．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线()2:0C x ay a =≠，则抛物线C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,04a ⎛⎫± ⎪⎝⎭C ．()0,4aD ．()0,4a ±【答案】A【分析】将抛物线方程化为标准方程，判断焦点的位置，求出p ，即可得焦点坐标.【详解】已知()20x ay a =≠，则标准方程为21y x a=，焦点在x 轴上， 所以1122p p a a=⇒=， 所以焦点坐标为1,04a ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2022春·江苏泰州·高二统考期中）若抛物线2y mx =上一点(),2t 到其焦点的距离等于4，则（ ） A ．14m =B ．18m =C ．4m =D ．8m =【答案】B【分析】由抛物线的定义求解即可【详解】因为抛物线2y mx =的标准方程为21x y m=，其准线方程为14y m =-，由于抛物线上一点(),2t 到其焦点的距离等于4， 由抛物线的定义可得，1244m +=，解得18m =． 故选：B9．（2022秋·湖北咸宁·高二统考期末）已知O 是坐标原点，F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()0,4P x 是C 上一点，且4=PF ，则POF 的面积为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．2【答案】C【分析】根据条件求出p 的值，然后可算出答案.【详解】由题可知0042162p x px ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得024x p =⎧⎨=⎩，所以POF 的面积为12442⨯⨯=，故选：C考点二 抛物线定义的应用（一）利用抛物线的定义求距离或点的坐标10．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期末）抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（ ） A．B．CD ．2【答案】A【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，再由()11,M x y 到其焦点的距离求得M 横坐标，进一步求得M 纵坐标，则答案可求.【详解】由题意知，焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-，由()11,M x y 到焦点距离等于到准线距离，得13922x +=，则13x =，2118y ∴=故选：A.11．（2022·高二单元测试）已知曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离比点P 到直线3x =-的距离小1，M ，N 是曲线C 上不同的两点，若10MF NF +=，则线段MN 的中点Q 到y 轴的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】根据抛物线的定义求出曲线C 的方程，再根据抛物线的性质计算可得；【详解】解：依题意曲线C 上任意一点P 到定点()2,0F 的距离和点P 到直线2x =-的距离相等， 由抛物线的定义可知：曲线C 是以()2,0F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以曲线C 的方程为28y x =．分别设点M 、N 、Q 到准线2x =-的距离分别为1d ，2d ，d ， 则12522MF NFd d d ++===，所以中点Q 到y 轴的距离为3， 故选：A ．12．（2022·高二课时练习）若()00,P x y 是抛物线232y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，则PF =（ ）． A ．08x + B ．08x -C ．08x -D ．016x +【答案】C【分析】根据抛物线定义，得到PF 等于点00(,)P x y 到准线的距离，即PF PM =，即可求解. 【详解】由抛物线232y x =-，可得其焦点在x 轴上，且8p =，准线方程为8x =， 因为点00(,)P x y 是抛物线232y x =-上一点，F 为抛物线的焦点，根据抛物线定义，可得PF 等于点00(,)P x y 到准线的距离，即PF PM =， 如图所示，所以08PF x =-.故选：C13．（2022·高二课时练习）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】先求出抛物线的准线方程，进而将点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.【详解】由抛物线C ：22y x =可得1p =，则准线方程为12x =-，于是00015224p AF x x x =+=+=，解得02x =．故选：B ．14．（2022秋·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期中）已知A ()4,2-，F 为抛物线28y x =的焦点，点M 在抛物线上移动，当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为（ ）A ．()0,0B ．(1,-C ．()2,2-D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF ME =，当M 在抛物线上移动时，当,,A M E 三点共线时，ME MA +最小，由此即可求出结果.【详解】如图所示，过M 点作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义，知MF .ME =当M 在抛物线上移动时，ME MA +的值在变化，显然M 移动到M '时，,,A M E 三点共线，ME MA +最小，此时//AM Ox '，把=2y -代入28y x =，得12x =，所以当MA MF +取最小值时，点M 的坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：D.15．（2022春·湖北武汉·高二华中师大一附中阶段练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 的准线l 上，线段MF 与y 轴交于点A ，与抛物线C 交于点B ，若||3||3MA AB ==，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由题知点A 为MF 的中点，结合已知得||6,||2,||4MF BF BM ===，过点B 作BQ l ⊥，由抛物线的定义即可求解.【详解】设l 与x 轴的交点为H ，由O 为FH 中点，知点A 为MF 的中点， 因为||3||3MA AB ==，所以||6,||2,||4MF BF BM ===．过点B 作BQ l ⊥，垂足为Q ，则由抛物线的定义可知||||2BQ BF ==， 所以||2||BM BQ =，则||2||6MF FH ==，所以||3p FH ==． 故选：C16．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期末）如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若3BC BF=，且3AF =，则p 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，根据抛物线的定义以及图象可得sin sin sin BCD ACE FCM ∠=∠=∠，结合已知条件求得,a p ，即可. 【详解】如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，则由己知得3BC a =，由抛物线的定义得BD a =， 故1sin 33BD a BCD BC a ∠===， 在直角三角形ACE 中，3AF =，34AC a =+， 又因为31sin sin 343AE BCD ACE AC a ∠=∠===+， 则349a +=，从而得32a =， 又因为1sin sin 463MF p p BCD FCM FC a ∠=∠====， 所以2p =. 故选：B.（二）与抛物线定义有关的最大(小)值问题17．（2022·高二单元测试）已知圆C 经过点()1,0P ，且与直线=1x -相切，则其圆心到直线30x y -+=距离的最小值为（ ）A ．3B ．2 CD【答案】D【分析】利用已知可推出圆心C 的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.【详解】解：依题意，设圆C 的圆心(),C x y ，动点C 到点P 的距离等于到直线=1x -的距离， 根据抛物线的定义可得圆心C 的轨迹方程为24y x =， 设圆心C 到直线30x y -+=距离为d，d ====当2y =时，min d ，故选：D ．18．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知抛物线C ：212y x =-的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，()4,2Q -，则PF PQ +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】抛物线的准线l 的方程为3x =，过P 作PM l ⊥于M ，根据抛物线的定义可知PF PM =，则当,,Q P M 三点共线时，可求PM PQ +得最小值，答案可得.【详解】解：抛物线C ：212y x =-的焦点为()3,0F -，准线l 的方程为3x =，如图，过P作PM l ⊥于M ，由抛物线的定义可知PF PM =，所以PF PQ PM PQ +=+则当,,Q P M 三点共线时，PM PQ +最小为()347--=. 所以PF PQ +的最小值为7.故选：C.19．（2022秋·江西赣州·高二校联考期中）已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，则PF PA =，当CP 垂直于抛物线的准线时，CP PA +最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为4x =-，()6,2C ，半径为2，所以PQ PF +的最小值为21028AQ CA =-=-=.故选：C20．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）设点P 是抛物线1C :24x y =上的动点,点M 是圆2C :22(5)(4)4x y -++=上的动点,d 是点P 到直线=2y -的距离,则||d PM +的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．D ．1【答案】B 【分析】根据题意画出图像,将d 转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求||d PM +的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当112,,,F P M C 共线时,||d PM +取最小值为21FC r +-,算出结果即可.【详解】解:由题知圆2C :22(5)(4)4x y -++=,()25,4,2C r ∴-=()0,1F 为抛物线焦点,1y =-为抛物线准线,则过点P 向1y =-作垂线垂足为D ,如图所示:则1d PD =+, 根据抛物线定义可知=PD PF ,1d PF ∴=+,||d PM ∴+=1PF PM ++,若求||d PM +的最小值,只需求PF PM +的最小值即可,连接2FC 与抛物线交于点1P ,与圆交于点1M ,如图所示,此时PF PM +最小,为2FC r -,()2min 1d PM FC r +=+-,()()220,1,5,4,F C FC -∴=()2min 11d PM FC r ∴+=+-=.故选:B21．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．3716B ．115C ．2D ．74【答案】C【分析】由=1x -是抛物线24y x =的准线，推导出点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值即为点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和点P 到焦点的距离之和，利用几何法求最值．【详解】1x =-是抛物线24y x =的准线，P ∴到=1x -的距离等于PF .过P 作1PQ l ⊥于 Q ，则P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为PF PQ +抛物线24y x =的焦点(1,0)F∴过F 作11Q F l ⊥于1Q ，和抛物线的交点就是1P ， ∴111PF PQ PF PQ +≤+（当且仅当F 、P 、Q 三点共线时等号成立）∴点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =-的距离之和的最小值就是(1,0)F 到直线4360x y -+=距离，∴最小值1FQ 2==．故选：C ．考点三 抛物线的轨迹问题22．（2022·高二课时练习）已知点(2,2)M ，直线:10l x y --=，若动点P 到l 的距离等于PM ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线【答案】C【分析】由抛物线的定义求解即可.【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点P 的轨迹是抛物线.故选：C23．（2022春·四川成都·高二成都七中校考阶段练习）已知圆22:1O x y +=，点00(,0),(0)A x x ≥，动圆M 经过点A 且与圆O 相切，记动圆圆心M 的轨迹为E ，有下列几个命题：①00x =，则轨迹E 表示圆，②001x <<，则轨迹E 表示椭圆，③01x =，则轨迹E 表示抛物线，④01x >，则轨迹E 表示双曲线，其中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，根据圆与圆内切和外切两种情况，结合圆，抛物线，椭圆和双曲线的定义，依次判断每个选项得到答案.【详解】设动圆M 圆心(),M x y ，半径为r ，当00x =时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MO =-，12MO =，轨迹为圆，①正确； 当001x <<时，动圆M 与圆O 内切，故1MO r =-，即1MO MA AO +=>，故轨迹为椭圆，②正确； 当01x =时，动圆M 与圆O 内切时，1MO r =-，1MO MA AO +==，轨迹为线段OA ；动圆M 与圆O 外切时，1MO r =+，1MO MA AO -==，轨迹为射线，③错误；当01x >时，动圆M 与圆O 外切，1MO r =+，即1MO MA AO -=<，故轨迹为双曲线，④正确. 故选：C24．（2022秋·福建福州·高二统考期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到直线1x =的距离比它到定点()2,0-的距离小1，则P 的轨迹方程为（ ）A ．22y x =B ．24y x =C ．24y x =-D ．28y x =-【答案】D【分析】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【详解】由题意知动点(),P x y 到直线2x =的距离与定点()2,0-的距离相等，由抛物线的定义知，P 的轨迹是以()2,0-为焦点，2x =为准线的抛物线，所以4p =，轨迹方程为28y x =-，故选：D25．（2022春·广东江门·高二新会陈经纶中学校考阶段练习）已知点()1,0F ，过直线=1x -上一动点P 作与y 轴垂直的直线，与线段PF 的中垂线交于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（ ）A ．221x y +=B ．221x y -=C ．22y x =D ．24y x = 【答案】D 【分析】根据中垂线性质得到QF QP =，结合抛物线的定义判断出Q 点的轨迹是抛物线，由此求解出轨迹方程.【详解】设(),Q x y ，因为PF 的中垂线经过点Q ，所以QF QP =，又因为PQ y ⊥轴，所以QP 表示Q 到直线=1x -的距离， 且QF 表示Q 点到F 点的距离，F 点不在直线=1x -上，由抛物线的定义可知：Q 点的轨迹是以F 为焦点，以直线=1x -为准线的抛物线，设轨迹方程为()220y px p =>，所以12p =，所以2p =， 所以轨迹方程为24y x =.故选：D.26．（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋ 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．212x y =-B ．212x y =C ．212y x =D ．212y x =-【答案】A 【分析】根据动圆M 与直线y =2相切，且与定圆2231()C x y =：＋＋外切，可得动点M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．【详解】设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，由题意可得M 到C (0，－3)的距离与到直线y ＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C (0，-3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线， 所以3,2122p p ==，其方程为212.x y =-， 故选：A27．（2022·高二课时练习）若动点(,)M x y 满足3412x y =-+，则点M 的轨迹是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】D34125x y -+=，结合抛物线的定义，即可求解.【详解】由题意，动点(,)M x y 满足3412x y -+，34125x y -+=， 即动点(,)M x y 到定点(1,2)的距离等于动点(,)M x y 到定直线34120x y -+=的距离，又由点(1,2)不在直线34120x y -+=上，根据抛物线的定义，可得动点M 的轨迹为以(1,2)为焦点，以34120x y -+=的抛物线.故选：D.考点四 直线与抛物线的位置关系（一）直线与抛物线位置关系的判断及应用28．（2022春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）过定点()0,1P 且与抛物线28y x =有且仅有一个公共点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】根据题意，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，由直线与抛物线位置关系，联立直线与抛物线方程求解，即可得出结果.【详解】当斜率不存在时，直线方程为0x =，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设为k ，则直线方程为1y kx =+，联立218y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(28)10k x k x +-+=， ①当0k =时，直线方程为1y =，只有一个公共点，符合题意；②当0k ≠时，令22(28)40k k ∆=--=，解得2k =，即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选：C29．（2022·高二课时练习）直线()12y k x =-+与抛物线24x y =的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【分析】直线()12y k x =-+过定点()1,2，在抛物线24x y =内部，即可得出结论．【详解】直线()12y k x =-+过定点()1,2，∴2142<⨯，∴()1,2在抛物线24x y =内部，∴直线()12y k x =-+与抛物线24x y =相交，故选：A ．30．（2022春·江苏连云港·高二期末）已知直线l 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点，则直线l 的方程是（ ）A ．2y =B ．10x y -+=C ．1x =D ．2y =或10x y -+= 【答案】D【分析】先判断点()1,2在抛物线上，再分直线的斜率不存在，直线的斜率为0和直线的斜率存在且不为0，三种情况讨论求解即可.【详解】将点（1，2）的坐标代入抛物线方程得2241=⨯，即该点在抛物线上．①若直线的斜率不存在，直线l 的方程为:1l x =，当直线l 与抛物线有两个交点，不合题意； ②若直线的斜率为0，则直线:2l y =平行于x 轴，则满足题意；③若直线的斜率存在且不为0，设()():210l y k x k -=-≠，联立方程组22(1)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩， 将21y x k k =-+代入24y x =化简得24840y y k k-+-=， 则248Δ()4(4)01k k k =---=⇒=，此时:2110l y x x y -=-⇒-+=．综上，直线l 的方程为2y =或10x y -+=．故选：D ．31．（2022春·江苏南京·高二校联考阶段练习）过抛物线24x y =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，且点A 在第一象限，则当2AF FB =时，直线AB 的斜率为（ ）AB．C．D．±【答案】A【分析】首先设直线AB ,把直线与抛物线联立,结合2AF FB =,找到12x x + 与12x x 关系式,计算即可得到斜率.【详解】由题意知()0,1F ,设直线AB :1y kx =+,()()1122,,,A x y B x y联立方程214y kx x y =+⎧⎨=⎩, 可得2440x kx --=,即得121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩ ① 又因为2AF FB =,可得122x x =-,②结合①②()212122x x x x =-+,24216k -=-⨯ 可得21=8k , 因为122x x =-,1>0x ,20x <又因12=4x x k +所以0k >即可得k 故选:A .32．（2022春·江苏连云港·高二校考期中）过抛物线2:C y x =上定点(P 作圆()22:21M x y -+=的两条切线，分别交抛物线C 于另外两点A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A．10x -+= B．10x ++= C．20x -+= D．20x ++=【答案】B【分析】设过点P 且与圆M相切的直线的方程为()2y k x =-，根据该直线与圆M 相切求出k 的值，设点()211,A y y 、()222,B y y ，求出1y 、2y 的值，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】圆M 的圆心为()2,0M ，半径为1，易知PM x ⊥轴，所以，直线PA 、PB 的斜率必然存在， 设过点P 且与圆M相切的直线的方程为()2y k x =-，即20kx y k -+=，1=，解得1k =±，设点()211,A y y 、()222,B y y ，不妨设直线PA 、PB 的斜率分别为1、1-，则11PA k ==，可得11y =同理1PB k ==-，可得21y =-直线AB的斜率为122212121AB y y k y y y y -===-+ 易知点A的坐标为(3-， 所以，直线AB的方程为(13y x -=-+，即10x ++=. 故选：B.33．（2022秋·安徽·高二校联考期末）已知抛物线2:12C x y =的焦点为F ，其准线与y 轴的交点为A ，点B 为抛物线上一动点，当AB FB取得最大值时，直线AB 的倾斜角为（ ）A ．4π B ．3π C ．6π或56π D ．4π或34π【答案】D【分析】过点B 作抛物线C 的准线的垂线BM ，垂足为点M ，分析可得cos BF BAF AB =∠，当AB FB取得最大值时，BAF ∠最大，此时AB 与抛物线C 相切，设出直线AB 的方程，将抛物线C 的方程，由Δ0=可求得直线AB 的斜率，即可求得直线AB 的倾斜角.【详解】抛物线C 的准线为2:12l x y =，焦点为()0,3F ，易知点()0,3A -，过点B 作BM l ⊥，垂足点为M ，由抛物线的定义可得BM BF =，易知//BM y 轴，则BAF ABM ∠=∠，所以，cos cos BF BMABM BAF AB AB==∠=∠， 当AB FB取得最大值时，cos BAF ∠取最小值，此时BAF ∠最大，则直线AB 与抛物线C 相切，由图可知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为3y kx =-，联立2123x yy kx ⎧=⎨=-⎩可得212360x kx -+=，则21441440k ∆=-=，解得1k =±，因此，直线AB 的倾斜角为4π或34π. 故选：D.（二）弦长问题34．（2022春·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB =（ ）．A ．8B ．C ．16D ．32【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案. 【详解】焦点()2,0F ，直线l 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并化简得21240,144161280x x -+=∆=-=>， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212x x +=， 所以1212416AB x x p =++=+=. 故选：C35．（2022春·湖北·高二校联考阶段练习）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线22y x =，若从点()3,2Q 发射平行于x 轴的光射向抛物线的A 点，经A 点反射后交抛物线于B 点，则AB =（ ） A ．258B ．2516C ．259D ．2518【答案】A【分析】由题意求出A 点的坐标，由于直线AB 过焦点，利用点斜式方程求出直线AB 为4320x y --=，联立抛物线方程，得23102y y --=，根据韦达定理求出B 点坐标，利用两点间距离公式可求出AB . 【详解】由条件可知AQ 与x 轴平行，令2y =，可得2A x =，故A 点坐标为()2,2， 因为AB l 经过抛物线焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以AB l 为20101222y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，整理得4320x y --=， 联立224320y x x y ⎧=⎨--=⎩，得23102y y --=，()2325411024⎛⎫∆=--⨯⨯-=> ⎪⎝⎭，所以32A B y y +=，又2A y =，所以12B y =-，2111228B x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以258AB =，36．（2022春·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知椭圆22154x y +=的右焦点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为45°的直线分别交抛物线于A ，B （A 在x 轴上方）两点，则AFBF的值为（ ）A．3+B ．2+C ．3D ．4【答案】A【分析】先根据椭圆方程求抛物线的方程，分别过A ，B 作准线的垂线，得到直角梯形11AA B B ，结合抛物线的定义在梯形中求2ABAP ，即得结果.【详解】依题意，()1,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，故12p=，则2p =，24y x =. 根据已知条件如图所示，A 在x 轴上方，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为11,A B ， 过B 作1AA 的垂线，垂足为P ，设,BF x AF kx ==，根据抛物线的定义知11,BB x AA kx ==，所以直角梯形11AA B B 中1A P x =，()111AP AA A P k x =-=-，()1AB k x =+，又直线AB 的倾斜角45，故121k xk x ，解得3k =+3AFBF=+ 故选：A.37．（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学学业考试）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（ ）A ．94B C ．98D【分析】联立直线与抛物线方程消去x 得1212,y y y y +， 121||||2OAB OAF OFB S S S OF y y =+=-△△△代入计算可得结果.【详解】由题意知，3(,0)4F∴过A 、B的直线方程为3)4y x =-，即：34x =+22349034y xy x ⎧=⎪⇒--=⎨+⎪⎩设1122,,()()A x y B x y ，，则121294y y y y +==-∴1212113||||||224OAB OAF OFB S S S OF y y y y =+=-=⨯-△△△3984== 故选：A.38．（2022春·河南·高二校联考期中）已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若||2||MN NF =，则MPF △的面积为（ ） A ．8 B ．12C．D．【答案】C【分析】过N 作准线的垂线，垂足为Q ，准线与x 轴交于点E ，进而根据几何关系得MPF △为等边三角形，34MF NF ==，再计算面积即可.【详解】解：如图，过N 作准线的垂线，垂足为Q ，准线与x 轴交于点E ， 所以，NF NQ =，2EF =． 因为MQN MEF △△∽， 所以23QN MN MQ EF MF ME ===，43QN NF ==，34MF NF ==． 所以1cos 2EF MFE MF ∠==，60MFE PMF ∠=︒=∠．又因为PM PF =，所以60PFM PMF ∠=∠=︒，所以MPF △为等边三角形，所以2MPF S ==△ 若M 在第三象限，结果相同． 故选：C39．（2022秋·河南许昌·高二统考期末）已知直线l 过点()2,0，且垂直于x 轴．若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为 ） A ．()1,0 B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,1【答案】A【分析】将2x =代入24y ax =可得交点坐标，结合弦长为a ，进而得到抛物线的焦点坐标即可【详解】当2x =时，28y a =，显然0a >，解得y =±(-=，解得1a =，故抛物线24y x =，焦点坐标为()1,0故选：A40．（2022秋·河南·高二校联考开学考试）已知A ，B 为抛物线2:C y x =，上的两点，且2AB =，则AB 的中点横坐标的最小值为（ ）． A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】根据抛物线的弦长公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】设直线AB 的方程为()0x ky b b =+≥，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2y xx ky b ⎧=⎨=+⎩，得20y ky b --=，则12y y k +=，12y y b =-，240k b ∆=+>．因为2AB ，所以()()22144k k b ++=，得22114k b k =-+．因为()2121222x x k y y b k b +=++=+，所以AB 的中点的横坐标2221202211112241414x x k k k x b k k ++==+=+=+-++．因为2211141k k ++≥=+， 当且仅当221141k k +=+，即1k =±时，等号成立， 所以当1k =±时，0x 取得最小值34． 故选：C41．（2022秋·广东深圳·高二深圳市罗湖外语学校校考阶段练习）已知圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x=相交于M ，N ，且MN =r =（ ）A B ．2 C ．D ．4【答案】B【分析】由圆与抛物线的对称性及MN =M 点纵坐标，代入抛物线得横坐标，求出||OM 即可得解.【详解】因为圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x =相交于M ，N ，且MN =由对称性，不妨设(M x ，代入抛物线方程，则33x =，解得1x =，所以M ，故||2r OM ==（三）焦点弦问题42．（2022春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）设F 为抛物线2:2C y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上，满足//MN OF ，NF MN =，则MF =（ ）A ．12 B C ．2 D 【答案】C【分析】由抛物线方程可知p ，焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解. 【详解】由题，1p =，抛物线焦点F 为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线l 为12x =-，设准线l 与x 轴交点为E ，如图所示， 由题知MN l ⊥，由定义可知MN MF =， 因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则对Rt NEF ，因为//MN OF ，所以60EFN MNF ∠=∠=︒， 所以222MF NF EF p ====， 故选：C43．（2022·全国·高二假期作业）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，N 为C 上一点，且N 在第一象限，直线FN 与C 的准线交于点M ，过点M 且与x 轴平行的直线与C 交于点P ，若2MN NF =，则直线PF 的斜率为（ ） A ．1 B ．2C ．43D 【答案】D【分析】过N 作准线的垂线，垂足为Q ，根据抛物线的定义以及两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质可得30NMQ ∠=，通过直线的倾斜角为πPFM MFO -∠-∠即可得结果. 【详解】如图，过N 作准线的垂线，垂足为Q ，则||||NF NQ =． 又因为||||PM PF =，所以PFM PMF MFO MNQ ∠=∠=∠=∠． 因为||2||MN NF =，即||2||MN NQ = 所以30NMQ ∠=，即60MNQ ∠=︒．直线PF的斜率为tan(π)tan 60PFM MFO -∠-∠=︒= 故选：D.44．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考期中）已知直线l 过抛物线2:4E y x =的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，与抛物线的准线交于C 点，若2AB BC =，则||||AF BF 等于（ ） A ．2 B ．3C ．12D ．13【答案】B【分析】过点A 作1AA 垂直于准线交准线于1A ，过点B 作1BB 垂直于准线交准线于1B ，根据相似得到1113BB AA =，再利用抛物线的性质得到答案. 【详解】如图所示：过点A 作1AA 垂直于准线交准线于1A ，过点B 作1BB 垂直于准线交准线于1B ， 则1BF BB =，1AF AA =，2AB BC =，故1113BB AA =，即||3||AF BF =. 故选：B45．（2022春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）设倾斜角为α的直线l 经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A 、B 两点，设A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若2AFBF=，则cos α的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D 【答案】A【分析】由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，在直角三角形中求出倾斜角为α的余弦值.【详解】过A ，B 分别作准线的垂线交准线于M ，N ，过B 作BC AM ⊥于C ，则AC AM BN =-，由抛物线的性质可得，AM AF =，BN BF =， 因为||2||AF BF =，∴3AB BF =， 所以1cos 3333AC AM BN AF BF BF CAB AB BF BF BF --=====∠，即1cos 3α=. 故选：A ．（四）中点弦问题。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配北师大版)课件3.2抛物线的简单几何性质
2
顶点
准线
x2=-2py(p>0)
F 0,
_________
2
F 0,_________
2
原点(0,0)
_________
x=_________
2
离心率
开口方向
F(- ,0)
2
_________
x2=2py(p>0)
x=
_________
2
y=_________
2
y=
变式训练2(1)[人教B版教材例题]已知抛物线的对称轴为x轴,顶点是坐标
原点且开口向左,又抛物线经过点M(-4,2 3),求这个抛物线的标准方程.
解 根据已知条件可设抛物线的标准方程为 y2=-2px(p>0),因为点 M(-4,2 3)
在抛物线上,
所以(2 3)2=-2p×(-4),因此 2p=3.
对称,∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2 3,∴|y1|=|y2|= 3,代入圆 x2+y2=4,得 x2+3=4,
∴x=±1,∴A(±1, 3)或 A(±1,- 3),代入抛物线方程,得( 3)2=±a,∴a=±3.
∴所求抛物线方程是y2=3x或y2=-3x.
规律方法
利用抛物线的性质可以解决的问题
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
解析 过点P作PP'垂直于直线x=-1,垂足为P',设抛物线的焦点为F,则F(1,0).
由y2=4x,可知x=-1是抛物线的准线.由抛物线的定义知点P到该抛物线准线
的距离为|PP'|=|PF|,则点P到点A(0,-1)的距离与点P到该抛物线准线的距
高二数学抛物线
抛物线1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.【知识梳理】1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p)：标准方程pxy22=pxy22-=pyx22=pyx22-=图形▲yxO▲yxO▲yxO▲yxO焦点)0,2(pF)0,2(pF-)2,0(pF)2,0(pF-准线2px-=2px=2py-=2py=范围Ryx∈≥,0Ryx∈≤,00,≥∈yRx0,≤∈yRx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1=e2.抛物线的焦半径、焦点弦①)0(22≠=ppxy的焦半径=PF2Px+;)0(22≠=ppyx的焦半径=PF2Py+；【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。
变式训练1. 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a =2.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A( )A. 45B. 60C.90 D.1203.求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．4．如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A . (1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．题型三：直线与抛物线的位置关系 知识点一：弦长问题1．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．2192.已知斜率为2的直线L 与抛物线C ：x y 42=相交于A ，B 两点，如果5=AB ，求直线L 的方程。
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高二数学知识点总结抛物线抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有许多重要的性质和应用。
在高二数学学习中，我们需要掌握抛物线的定义、性质、标准方程和相关的解题方法。
下面将对这些知识点进行总结和概括。
1. 抛物线的定义
抛物线是一个平面曲线，其定义是所有到一个定点（焦点F）和到一条直线（准线L）的距离相等的点的轨迹。
这个定点叫做焦点，准线叫做准线。
焦点到准线的距离叫做焦距，用字母p表示。
所有的抛物线都具有这个性质。
2. 抛物线的性质
(1) 抛物线是对称的。
对于一个抛物线，以焦点为对称中心，准线为对称轴，抛物线上的每一个点关于对称轴对称。
(2) 抛物线的焦点和准线的位置关系。
焦点在平行于准线的直线上方时，抛物线开口向上；焦点在平行于准线的直线下方时，抛物线开口向下。
(3) 抛物线的顶点位置。
抛物线的顶点是其准线与对称轴的交点，也是其最高或最低点。
3. 抛物线的标准方程
抛物线的标准方程是y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c均为实数
常数。
(1) 若a>0，则抛物线开口向上。
(2) 若a<0，则抛物线开口向下。
(3) 当抛物线的标准方程为y=ax^2 (a≠0)时，抛物线焦点在原点，准线为y=0轴。
4. 抛物线的平移与图像变换
(1) 横向平移：抛物线沿x轴平移h个单位。
平移后的抛物线方程为y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。
(2) 纵向平移：抛物线沿y轴平移k个单位。
平移后的抛物线方程为y=a(x^2-2hx+h^2)+b(x-h)+c+k。
5. 抛物线的相关解题方法
(1) 求抛物线的焦点坐标：根据焦点的定义，使用平移和对称
的思想，通过已知的抛物线方程可以求得焦点坐标。
(2) 求抛物线的顶点坐标：根据抛物线的对称性和平移性质，将抛物线方程转化为顶点形式，即可得到顶点坐标。
(3) 求抛物线与直线的交点坐标：将抛物线方程与直线方程联立，解方程组得到交点坐标。
(4) 求抛物线与抛物线的交点坐标：将两个抛物线方程联立，解方程组得到交点坐标。
综上所述，高二数学中涉及到的抛物线相关知识点包括抛物线的定义、性质、标准方程和相关的解题方法。
掌握了这些知识，我们就能够灵活运用抛物线的性质和方程，解决与抛物线相关的各种问题。
通过不断练习和思考，我们能够提高对抛物线的理解和运用能力，更好地应用于实际问题当中。