数值分析详细答案(全)
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第二章 插值法习题参考答案
2.
)12)(12()
1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅
+------⋅-+-+-+⋅
=x x x x x x x L
37236
52-
+=
x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则
620219.0)54.0()54.0(54.0ln 00
10
101-=-⋅--+
=≈x x x y y y L ；
二次插值：取
510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则
)54.0(54.0ln 2L ≈
))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()
54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅
+----⋅+----⋅=
＝－0.616707 .
6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k
==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有
)()(x R x P x n n k +=
)
())(()!1(1
)(0)1(0
n n n
i k j j x x x x f n x x l --++
=+=∑ ξ
由于0)()
1(=+ξn f
，故有k
n
i k j j
x
x x l
≡∑=0
)(.
ii) 构造函数,)()(k
t x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，有
∑=-=n
i j k j n x l t x x L 0
)
()()(.
插值余项为 ∏=+-+=--n
j j n n k
x x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ， 由于
).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .
)()()()(0
∑=-==-n
i j k j n k
x l t x x L t x
令,x t =即得 ∑==-n
i j k j
x l t x
)()(.
8. 截断误差
].4,4[),)()((61)(2102-∈---=
ξξ
x x x x x x e x R
其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则h
x x 33
1+
=时取得最大值
321044392
|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .
由题意， ,
10)392
(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R
所以，.006.0≤h
16. ;
1!7!
7!7)(]2,,2,2[)7(7
1
===ξf f .
0!7)(]2,,2,2[)8(8
10==ξf f
19. 采用牛顿插值，作均差表：
i x
)(i x f
一阶均差 二阶均差
0 1 2
0 1 1
1 0
-1/2
],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=
))()()((210x x x x x x Bx A ---++
)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x
又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得
,
41,43=-=B A 所以 .
)3(4)(22
-=x x x p
第三章 函数逼近与计算习题参考答案
4.设所求为()g x c =，
(,)max(,),max (),min ()
a x b
a x b
f g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==，由
47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为()f x 的最大值和最小值处，故由
1(),()2M c m c c M m -=--=
+可以解得1
()()2g x M m =+即为所求。
5.原函数与零的偏差极大值点分别为3,13a x x =
=，故333()()133a a
a a -=-，解方程
可得出唯一解3
4a =
。
6.
12
0.636620a π
=
≈，故
2
cos x π=
，得
222
arccos
0.880689,()0.771178
x f x π
=≈≈，
2201()0.10525722f x x
a a =
-≈，故所求最佳一次逼近多项式为
1()0.6366200.105257P x x =+，又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为
1102
max sin ()(0)0.105257
x x P x P π≤≤
-≤=。
7.11 1.71828a e =-≈，故由21x
e e =-可以解得20.541325x ≈，2() 1.71828
f x ≈，则有
22011()0.89406722f x x
a a +=
-≈，故所求最佳一次逼近多项式为
1() 1.718280.894067P x x =+。
8.切比雪夫多项式在[]1,1-上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的常数倍，