第五讲较复杂行程问题

第五讲较复杂行程问题

知识要点：

复杂的行程问题涉及三个数量之间的关系：路程、速度和时间。只不过有时是多个物体的相向、相背、同向运动，有时是运动过程中出现多次相遇。它常用的基本数量关系式是：速度×时间=路程。但有时运动过程中多次相遇时，可根据运动物体行驶的路程关系，灵活运用比例来解答。

人在环形路上行走，计算行走距离常常与环形路的周长有关。

①从同一地点背向而行

速度和×相遇时间=环形跑道的周长

②从同一地点同向而行

速度差×追及时间=环形跑道的周长

例题：

例1.在400米环形跑道上，A、B两点相距100米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，他们每人跑100米，都要停10秒钟。

求甲追上乙需多少时间？

思路提示：先求出甲、乙两人不停地跑，甲追上乙的时间，再求甲跑完500米，一共停留了几次，共停留时间。

例2.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？

思路提示：先求出小明和爸爸的速度比，观察图可知，爸爸从8点16分到第一次追上小明。爸爸共走的路，就可求出这段时间小明走了的路，继而求出小明在前8分钟走的路，小明的速度，及走8千米用的时间。

例3. 甲用40秒钟跑完跑道一圈。乙反向跑，每15秒钟与甲相遇一次。问乙跑一圈要几秒钟？

思路提示：甲乙两人可看成从圆圈上同一地点，反向而行每相遇一次共跑一圈，可求出速度和，根据甲跑一圈的时间可求甲速，继而可求乙速（用工程问题思维解题）。

例4. 甲、乙、丙三人跑步锻炼，都从A 地同时出发，分别跑到B 、C 、D 三地，然后立即往回

跑，跑回A 地再分别跑到B 、C 、D ，再立刻跑回A 地，这样不停地来回跑，B 与A 相距101千米，C 与A 相距81千米，D 与A 相距16

3千米。甲每小时跑3.5千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米。问：若这样来回跑，三人第一次同时回到出发点需用多少小时？

思路提示：分别求出甲、乙、丙往返一次的时间，然后求出他们所用时间的最小公倍数，就可以求出同时回到出发点的时间。

例5.李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班，有一天李经理7点从家出发步行

去公司，路上遇到按时来接他的车，他乘车去公司，结果比平时早到5分钟。问李经理什么时间遇上汽车？汽车速度是步行速度的几倍？

思路提示：如图，A 点代表家，B 点代表公司，设李经理在C 点上车，从图中看出，汽车比平时 少行两个AC ，知汽车行一个AC 的时间：5÷2=2.5（分钟），汽车比平时早2.5分钟接到李经理， 即可解决问题。

例6. 甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，每一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生，为了尽快地到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在中途下车步行去飞机场，汽车立即返回接在途中步行的乙班学生，已知甲、乙班步行速度相同，汽车的速度是步行的7倍，那么汽车应在距机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班学生同时到达机场？

思路提示：如图，A点为学校，B点为飞机场，设甲班乘车到C点下车步行BC，乙班步行AD，DB乘车。图中看到DC+DB=7AD，即DC=3BC=3AD，因此，求出AD的长度就容易了。

例7.某城市东西路与南北路交汇于路口A。甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A。甲向北，乙向东同时匀速行走，4分钟后两人距A的距离相等，再继续行走24分钟后，两人距A的距离恰又相等。问甲、乙两人的速度各是多少？

思路提示：如图：4分钟，甲到C，乙到D。AC=AD，4分钟共行AB，可求甲乙速度和，再走24分钟，甲到E，乙到F，可知AE=AF，甲28分行BE，乙28分行AF，28分甲比乙多行AB，可求出甲乙速度差，即可求出甲、乙的速度。

例8．小刚与小勇进行50米赛跑，结果当小刚到达终点时，小勇还落后小刚10米；第二次赛

跑，小刚的起跑线退后10米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结果将是什么？

思路提示：先求出第一次小刚和小勇的速度比5：4，再解决第二次，小刚和小勇跑的路程，就 可求出小勇离终点的距离。

练习：

1. A 、B 各以一定的速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。A 的速度是每分钟180米，B

的速度是每分钟220米。两人从同一地点同时出发，多少分钟后B 第二次追上A ？

2. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时相向而行。乙车比甲车每小时多行全程的

201，两车每小时共行全程的20

9。他们在途中第一次相遇后继续前进，甲车到达B 地，乙车到达A 地后立即返回，他们在途中又一次相遇。如果两次相遇的地点相隔40千米，AB 两地相距多少千米？

3. 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，那么可以比原定时间提前24分到达；如

果以原速行驶80千米后，再将速度提高

3

1，那么可以提前10分到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？

4.科技站组织100名学生到离站32千米的标本园地采集标本。只有一辆每次能载50人的汽

车，已知同学们步行的速度为每小时4千米。汽车载人时车速为每小时40千米，空车每小时50千米。为了使全部同学尽快到达目的地，他们采用了步行与乘车相结合的办法。问到达目的地最短的时间是多少小时？

5.A、B两地相距20千米，一个班学生45人，由A地去B地。现有一辆马车，车速是人步行

速度的3倍，马车每次可乘坐9人，在A地先将第一批9名学生送往B地，其余学生同时步行向B地前进；车到B地后，立即返回，在途中与步行学生相遇后，再接9名学生送往B 地，余下的学生继续向B地前进……这样多次往返，当全体学生都到达B地时，马车共行多少千米？（学生上、下时间不计）

6．甲班与乙班学生同时从学校从发去某公园，甲班步行速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米。这辆汽车恰好能坐一个班的学生，为了使两班学生在最短时间内到达，那么甲班与乙班学生需要步行的距离之比是多少？

6.甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面20米处；如果两人各自速度不变，

要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移多少米？

7.小刚和小明进行100米短跑比赛（假定二人的速度均不变）。当小刚跑了90米时，小明距

终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？