第14章勾股定理
00i%swkq(华师版初中数学教案及随堂练习全)第十四章 勾股定理
、.~①我们‖打〈败〉了敌人。
②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。
第十四章：勾股定理§14.1勾股定理一．知识点：1.对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2＋b2＝c2，这种关系我们称为勾股定理．（我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系．2.直角三角形的判定：如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
二．学习过程：1．按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。
2. 和学生一起完成课后习题。
3. 讲下关于勾股定理的史话。
三．例题及习题：教材中的题目。
§14.2 勾股定理的应用一．知识点：1.能够用勾股定理解决涉及直角三角形的实际问题。
二．学习过程：1．按教材的思路讲解，带领同学一起做推导的例子，并归纳相关的知识点。
2. 和学生一起完成课后习题。
三．例题及习题：教材中的题目。
勾股定理经典例题1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a2＋b2=c2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a2＋b2=c2）转化为形的特征（三角形中的尤新教育辅导学校一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 23．为了计算方便，要熟记几组勾股数： ①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17； ⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是： （1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
八年级数学上册 第14章 勾股定理本章复习课件
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2．已知一个Rt△的两边(liǎngbiān)长分别为3和4，则第三
边长的平方是（ D ）
A、25 B、14 C、7
D、7或25
3．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△
的是（ A）
A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25
那么这个三角形是直角三角形
勾股数
满足 a2 (mǎnzú)
+b2=c2的三个正整数，称为勾股数
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巩固提升
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=______1_3____；
②若a=15，c=25，则b=______2_0____；
③若c=61，b=60，则a=_____1_1____；
D C
A
E
B
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设AE= x km，则 BE=（25-x）km
根据(gēnjù)勾股定理，得
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
D
又DE=CE
∴AD2+AE2= BC2+BE2
15
即：152+x2=102+（25-x）2 A
∴x=10
答：E站应建在离A站10km处。
xE
C 10
1、没有图的要按题意画好图并标上字母； 2、不要用错定理。
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内容(nèiróng)总结
本章复习。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.。边长的平方是（ ）。的是（ ）。5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与。斜边的比为（ ）。∴AD2+AE2= BC2+BE2。即：152+x2=102+（25-x）2。答：E站应建在离A站10km处。在 Rt△DEB中,根据勾股定理,得 。在Rt△ACD和 Rt△AED中,。课堂(kètáng)小结
八年级数学上册第14章勾股定理1勾股定理2直角三角形的判定作业课件新版华东师大版
2．勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 练习2.在下列四组数中，不是勾股数的一组数是( D) A．a＝15，b＝8，c＝17 B．a＝9，b＝12，c＝15 C．a＝7，b＝24，c＝25 D．a＝3，b＝5，c＝7
知识点一：勾股定理的逆定理 1．(南京中考)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( B) A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 2．如果一个三角形的三边长a，b和c满足关系式(a＋b)2－c2＝2ab，那么 此三角形是( B) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
13．试判断三边的长度分别为如下数据的三角形是不是直角三角形， 如果是，请指出哪一条边所对的角是直角．
(1)a＝26，b＝10，c＝24； (2)a∶b∶c＝3∶4∶5； (3)a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n 是大于 1 的正整数)； (4)c＋a＝2b，且 c－a＝12b.
解：(1)是，∵b2＋c2＝102＋242＝676，a2＝262＝676，∴b2＋c2＝a2.则以 a， b，c 为三边长的三角形是直角三角形，a 所对的角是直角 (2)是，设 a＝3k，b ＝4k，c＝5k，∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝9k2＋16k2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，∴ a2＋b2＝c2.则以 a，b，c 为三边长的三角形是直角三角形，c 所对的角是直角
∴△ABP≌△CBQ(S.A.S.)，∴AP＝CQ (2)△PQC为直角三角形．理由：由
(1)得AP＝CQ，PQ＝PB，则CQ∶PQ∶PC＝3∶4∶5，从而CQ2＋PQ2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，∴△PQC为直角三角形
10．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两 个直角三角形，其中正确的是( C)
八上第14章勾股定理14、1勾股定理1直角三角形三边的关系__认识勾股定理授课课件华东师大版
大半圆形的面积为S3，三角形的面积为S△，
由(2)知，S1＋S2＝S3，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3＝S△＝
1 2
×3×4＝6.
知2－讲
与直角三角形三边相关的正方形、半圆形及正 多边形都具有相同的结论：两直角边上图形面积的 和等于斜边上的图形面积．本例考查了勾股定理及 正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类 题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直 径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．
会标采用了 1700多年前中国古代数学家赵爽用来证 明勾股定理的弦图.
知识点 1 勾股定理
知1－导
本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的 一种奇妙关
系，让我们首先观察下面的正方形瓷砖铺成 的地面. 图14. 1. 1是正方形瓷砖铺成的地 面，观察图中着色的三个正方形,显 然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，
分别以直角三角形的三边为直径作半圆请你利用(2)
中得出的结论求阴影部分的面积．
知2－讲
导引： (1)根据正方形的面积公式结合勾股定理可得DF2
＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；
(2)S1＝π•
AC 2
π•
AB 2
2
2
知1－练
1 在 Rt△ABC 中，AB= c，BC = a，AC= b, ∠C ＝90°. (1)已知 a = 6, c = 10,求 b; (2)已知 a = 24, c = 25,求 b.
知1－练
2 若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b， 斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正 确的是( ) A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2 C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
人教版2020八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定教案 (新版)
C.直角三角形D．钝角三角形
4.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是( )
A.直角三角形B．锐角三角形
C.钝角三角形D．不能确定
图14－1－
5.如图14－1－：四边形ABCD中已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，且∠ABC＝900，求这个四边形的面积．(连接AC)
AC＝b＝A′C′，
AB＝c＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴.同学们还能找出哪些勾股数呢？
2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？
3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？
4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？
教学重点
通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论．
教学难点
解勾股定理的逆定理是通过数的关系来反映形的特点．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件、四个全等的直角三角形图片
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.上节课的勾股定理内容是什么？画出图形，写出表达式.
②[讲授效果反思]
注重引导学生积极参与实验活动，从中体验任何一个数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想、验证及证明的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号 当堂训练1，2，5
错题题号 例1
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系 第1课时
1 直角三角形的三边关系第1课时 探索直角三角形的三边关系课前知识管理1、勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：如果直角三角形的两直角边分别是b a ,，斜边是c ，那么222c b a =+. 图形说明：如图，正方形A 中含有_________个小方格，即A 的面积是_________个单位面积；正方形B 中含有_________个小方格，即B 的面积是_________个单位面积；正方形C 中含有_________个小方格，即C 的面积是_________个单位面积.由此得出正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积.即若正方形A 的边长为,a 则其面积为2a ，正方形B 的边长为b ，其面积为2b ，正方形C 的边长为c ，其面积为2c ，由此可推出：222c b a =+.说明：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以上述反映直角三角形三边关系的命题通常被称为勾股定理.2、勾股定理提示了直角三角形三边之间的数理关系，是直角三角形的一个重要性质，运用勾股定理进行计算时，一要注意勾股定理的适用条件，二要注意公式的灵活变形. 适用条件：勾股定理适用的前提条件是 三角形；公式变形：根据公式222c b a =+可知，在直角三角形中，已知任意两条边长，可求出第三条边的长.在计算时要会灵活变形，还常常与平方差公式和完全平方公式结合使用，比如：22b a c +=，()ab b a b a c 22222-+=+=，()ab b a b a c 22222+-=+=，()()b c b c b c a -+=-=222.注意事项：运用勾股定理求边长，要分清斜边和直角边，若没有告诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解.名师导学互动典例精析：知识点1：直接运用勾股定理例1、在△ABC 中，∠C =90°，(1)若a =8，b =6，则c =_________；(2)若 c =20，b =12，则a =_________；(3)若a ∶b =3∶4，c =10，则a =_________，b =_________.【解题思路】在△ABC 中，∠C =90°，所以有关系：a 2+b 2=c 2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.【解】根据题意可得a 2+b 2=c 2.(1)若a =8，b =6，所以82+62=c 2.即c 2=100，c ＞0，所以c =10；(2)若c =20，b =12，所以a 2+122=202，即a 2=202－122=(20+12)(20－12)=32×8=162，a ＞0，所以a =16；(3)若a ∶b =3∶4，可设a =3x ，b =4x ，所以(3x )2+(4x )2=102.化简，得9x 2+16x 2=100，25x 2=100，x 2=4，x =2(x ＞0)，所以a =3x =6；b =4x =8.【方法归纳】综合上述解法可以发现，形(即△ABC 为直角三角形)与数(a 2+b 2=c 2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.对应练习：在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =3，b =4，则c =_______；（2）若a =6，c =10，则b =________.知识点2：勾股定理的简单应用例2、智能机器猫从平面上的O 点出发.按下列规律行走:由O 向东走12厘米到A 1,由A 1向北走24厘米到2A ,由2A 向西走36厘米到3A ,由3A 向南走48厘米到4A ,由4A 向东走60厘米到5A ,由5A 向北走72厘米到6A ，问:智能机器猫到达6A 点与O 点的距离是多少厘米?【解题思路】如图所示,当智能机器猫到达6A 点时,相对O 点,向东走了12-36+60=36厘米,向北走了24-48+72=48厘米．【解】因26OA =362+482,即6OA =60．所以, 6A 点到O 点的距离为60厘米．【方法归纳】应用勾股定理要注意两点：一是前提条件为直角三角形，非直角三角形的三边之间没有这样的关系；二是解题时要注意区分斜边与直角边，不可乱用.对应练习：如图，在水塔O 的东北方向32m 处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B ，在AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ） A 45cm B 40cm C 50cm D 56cm知识点3：利用勾股定理求线段和例3、已知直角三角形ABC 中，∠CAB=90°，AC=,m AB=n ，D 为BC 中点，E 是AB 上任意一点，且EF ⊥AD ，EP ⊥BD ，试确定EF+EP 的值.【解题思路】由EF ⊥AD ，EP ⊥BD ，联想到连结DE ，从而将三角形ABD 的面积分割为两部分，通过面积相等关系确定EF+EP 的值.【解】连结ED ，在直角三角形ABC 中，∠CAB=90°，AC=,m AB=n ，故有BC=22n m +；D为BC 中点，所以AD=BD=222n m +.因22122n m EF S AED +⨯=∆，,41mn S ABD =∆，22122n m EP S BED+⨯=∆，故有22122n m EF +⨯+22122n m EP +⨯=mn 41，∴EF+EP=.22nm mn+.【方法归纳】将三角形面积巧妙的分割为若干小三角形面积，从而求得相应线段之间的关系，这里体现出“割补”的数学思想方法.对应练习：在Rt △ABC 中，斜边AB=2，则222BC AC AB ++= . 知识点4：利用勾股定理求面积例4、如图，△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝7，BC=24，P 是∠A ，∠C 的平分线的交点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，求BEPD S 四边形.【解题思路】显然四边形BEPD 以四边形BEPD 【解】设PD=PE=PF=mCA m BC m AB m ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅212121=由勾股定理知2524722=+=AC ，所以，247)25247(⨯=++m ，3=m ，故932==B E P DS 四边形. 【方法归纳】求不规则四边形图形面积通常把四边形分割成三角形来求解.对应练习：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD=1，∠A ＝60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD 的面积.知识点5：利用勾股定理探究规律例5、如图，设四边形ABCD 是边长为1再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH a 1=1，•按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，…，a n ，则a 2，a 3，a 4的值各为多少？（2）根据以上规律写出a n 的表达式．【解题思路】利用勾股定理求斜边的长，依次可求出a 2，a 3，a 4，再比较它们的值，•即可写出a n ． 【解】（1）因为四边形ABCD 是正方形， 所以AB=BC=1，∠B=90°，所以在Rt △ABC 中，=同样可求得，，即a 2a 3=2，a 4（2）a n （n 为正整数）．【方法归纳】将图形与数字有机结合，善于发现和总结规律，是解题的关键．对应练习：细心观察图，认真分析各式，然后解答问题．）2+1=2，S 1；）2+1=3，S 2=2；2+1=4，S 3=2；…（1）请用含n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求S 12+S 22+S 32+…+S 102的值．易错警示例6、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ． 错解：由勾股定理，得5432222=+=+=b ac .错解分析：这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况． 正解：若∠C 为直角，则有5432222=+=+=b ac ；若∠B 为直角，则有7342222=-=-=a b c .例7、已知Rt △ABC 中，∠B=90°，22,2==c a ，求b .错解：由勾股定理，得()()62222222=-=-=a c b错解分析：这里错在盲目地套用勾股定理“222c b a =+”，殊不知，只有当∠C=90°时，222c b a =+才成立，而当∠B=90°时，勾股定理的表达式应为222b c a =+.正解：∵∠B=90°，∴222b c a =+，∴()()102222222=+=+=a c b .课堂练习评测考点1：利用勾股定理比较线段大小1、如图，每个小正方形的边长为1，ABC ∆的三边c b a ,,的大小关系式：（ ）A.b c a <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c <<考点2：利用勾股定理计算线段长度2、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 10 cm3、如图，ABC ∆和DCE ∆都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）B. 4、如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是( )A ．2.5B ．3C ．4D ．55、已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ．考点3：利用勾股定理作线段6、如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”__________条.考点4：勾股定理的简单应用 7、假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的距离是多少千米？课后作业练习一、填空题：1．在△ABC中，∠C=90°．（1）已知a=2．4，b=3．2，则c=_______．（2）已知c=17，b=15，则△ABC面积等于_______．（3）已知∠A=45°，c=18，则a2=______．2．直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_______．3．△ABC的周长为40cm，∠C=90°，BC：AC=15：8，则它的斜边长为______．4．直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，•两直角边分别为________．二、选择题5．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2 B．4 C．22 D．106．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）．A．6cm B．5cm C．3060. 1313cm D cm7．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．A B．1 D．1 28．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•则CN 的长为（）．A．72B．258C．278D．154三、解答题9．如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出①一个面积是2的直角三角形；②一个面积是2的正方形.10．如图，等腰三角形ABC的腰为10，底边上的高为8．（1）求底边BC的长；（2）S△ABC．11．在图中，BC长为3厘米，AB长为4厘米，AF长为12厘米，求正方形CDEF•的面积．12．如图所示，为得到湖两岸A点和B点间的距离，一个观测者在C点设桩，•使△ABC为直角三角形，并测得AC长20米，BC长16米，A、B两点间距离是多少？四、探究题13．小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？14．如图所示，长方形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，•使点D 与点B 重合．求：（1）折叠后DE 的长； （2）以折痕EF 为边的正方形面积．C 'DCBA FE D CB A15、铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25 km ，C 、D 两村庄（视为两个点）DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA ＝15 km ，CB ＝10 km ，现在要在铁路上建一个土特产收购站E 使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？16、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD 是一条小渠，且D 点在边AB 上，•已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？17、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形. （1）直接写出单位正三角形的高与面积. （2）图①中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 的面积是多少？ （3）求出图①中线段AC 的长（可作辅助线）. （4）求出图②中四边形EFGH 的面积.14.1.1对应练习答案：1.提示：（1）22c a b =+2）22b c a =-.答案：（1）c =5；（2）b =8.2.答案：B.3.答案：84.解：延长BC 交AD 的延长线于E ，则△ABE 和△CDE 均为直角三角形.因为∠A=60°，所以∠E=30°.又2=AB ，CD=1，所以AE=2AB=4，CE=2CD=2，由勾股定理得322=-=CD CE DE ，3222=-=AB AE BE ，所以CDE ABE ABCD S S S ∆∆ -=四边形312132221⨯⨯-⨯⨯=323=. 5.答案：（1）n ）2+1=n+1，S n =2n ；（2）OA 105510;(3)4．课堂练习作业参考答案：1、答案：C2、答案：B3、答案：D4、答案：A5、答案：26、答案：87、答案：10参考答案：一、1．（1）4 （2）60 （3）1622．6 8 103．17cm 4．4.8 6和8二、5．D6．D7．A8．B三、9．提示：面积是2的直角三角形，两条直角边分别是1和4，或2和2；面积是2的正.答案：10．答案：因为AD⊥BC于D．所以在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD2＋BD2＝AB2，即BD2＝100－64＝36 所以BD＝6，所以BC＝BD×2＝12 (等腰三角形，底边上的高平分底边即“三线合一”)，S△ABC＝12×BC×AD＝12×12×8＝48（平方单位）.11．169厘米2 • 12．12米四、13．解：矩形相邻两边分别为a m，b m，根据题意可得：2221048a bab⎧+=⎨=⎩，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=196，即a+b=14，则矩形周长为28米.14．提示：设DE长为xcm，则AE=（9-x）cm，BE=xcm，那么在Rt△ABE中，∠A=90°，∴x2-•（9-x）2=32，故（x+9-x）（x-9+x）=9，即2x=10，那么x=5，即DE长为5cm，连BD即BD与EF•互相垂直平分，即可求得：EF2=12cm2，∴以EF为边的正方形面积为144cm2．15、答案：如图，若设AE ＝x ，则BE ＝25－x ．因为DA ⊥AB 于A ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得AD 2＋AE 2＝DE 2，因为CB ⊥AB 于B ，所以在Rt △ECB 中 EB 2＋BC 2＝CE 2，因为DE ＝CE 所以DE 2＝CE 2，所以AD2＋AE 2＝EB 2＋BC 2 所以152＋x 2＝(25－x )2＋102 x ＝10.答：E 站应建在距A 站10 km 处.16、当CD 为斜边上的高时，CD 最短，从而水渠造价最价， ∵CD ·AB=AC ·BC ∴CD=AB BC AC ⋅=48米，∴AD=22224880-=-CD AC =64米. 所以，D 点在距A 点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．17、解：（1）单位正三角形的高为23，面积是4323121=⨯⨯. （2）由图①可直接得出平行四边形ABCD 含有24个单位正三角形，因此其面积为43×24=36.（3）过A 作AK ⊥BC 于点K （如图①所示），则在Rt △ACK 中，252111,233233=++==⨯=KC AK ，故1322=+=KC AK AC . （4）过点G 、H 、E 、F 作矩形MNPQ （如图②）.∵2112111111,33236=+++++==⨯=NP MN ，∴四边形MNPQ 的面积=2333.∵8392332321=⨯⨯=∆EMF S ，83152332521=⨯⨯=∆FNG S ；2333321=⨯⨯=∆GPH S ，3432421=⨯⨯=∆EQH S .∴四边形EFGH 的面积=383423383158392333=----.。
【推荐】八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第1课时探索直角三角形三边的关系
14.1 勾股定理
反思
一直角三角形两边的长分别为3和4.求第三边的长． 解：设第三边长为x，则根据勾股定理，得x2＝32＋42＝52， 所以x＝5，因此第三边长为5. (1)错因分析： (2)纠错：
14.1 勾股定理
【答案】 (1)题干中没有明确第三边是斜边还是直角边，误认为第三边就是斜边， 从而造成漏解． (2)当已知两边均为直角边时，由勾股定理得第三边长为 5； 当 4 为斜边长时，由勾股定理得第三边长为 7. 故第三边的长为 5 或 7.
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
解：在 Rt△ABC 中，斜边不确定，这就需要分情况讨论： 若 AB 是斜边，则 AB2＝AC2＋BC2＝152＋82＝289，从而 AB＝17； 若 AB 不是斜边，由 AC＞BC，知 AC 为斜边，此时 AC2＝AB2＋BC2，则 AB2＝ AC2－BC2＝152－82＝161，从而 AB＝ 161. 综上所述，AB 边的长为 17 或 161.
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系(第2课时
问题2：比较正方形的面积，锐角三角形的三边长满足的关系是什么？钝角三角形的三边长满足的关系是什么？
【应用举例】
图14－1－
1.课本P6中的随堂练习
2.课本P6中的习题1.2中的T1、T3
【知识网络】
§14.1.1直角三角形三边关系(2)
一、验证勾股定理→拼图→面积法(等积法)
二、例
三、练习
定理变形：1.(a＋b)2＝ab×4＋c22＝ ab×4＋(b－a)2
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
巧妙引用“总统证法〞引出如何验证勾股定理，激起学生的好奇心，点燃学生的求知欲，以景激情，以情促思，引领学生不断探索，不断深入.
问题4：现在，你能验证勾股定理吗？
问题5：利用图4如何验证勾股定理？
【探究2】拓宽视野，深入了解勾股定理的证法
用图4验证勾股定理的方法，据记载最早是三国时期数学家赵爽在为?周髀算经?作注时给出的．事实上，勾股定理的证明方法十分丰富，几千年来，人们已经发现了400多种，其中有一类方法尤为独特，单靠移动几个图形就能直观地证出了勾股定理，被誉为“无字的证明〞，我们来欣赏几种！(课件出示)
例1 【教材例2】如图14－1－，Rt⊿ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长.
变式：如图14－1－，在Rt⊿ABC中，∠C－90°，AD、BE是中线，AD＝，BE＝，求AB的长.
例2 【教材p111例3】
图14－1－
如图14－1－，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形．通过测量，得到AC的长为16米，BC的长为12米．问从点A穿过湖到点B有多远？
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系(第1课时
【拓展提升】
例2已知△ABC中，BC边的上的高为AD，AB＝13，BC＝19，AD＝5，求BD及AC的长.
图14－1－
培养学生知识的综合与拓展提高应考能力
活动
问题解决
由特殊直角三角形的三边关系，猜想一般直角三角形的关系，然后画图验证，得出勾股定理．用到的恰是我们研究图形性质的重要思想：由特殊到一般．
情感态度
1.通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值.
2.通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；对比介绍我国古代和西方数学家有关勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．
c＝ ，a＝ ，b＝ .
提纲挈领，重点突出
反思，更进一步提升.
【教学反思】
①[授课流程反思]
设置问题情景，体现数学来源于生活，通过观察感悟图形中的美妙之处，体现勾股定理的美学价值，激发学生的求知探索欲望.
②[讲授效果反思]
通过画直角三角形，操作、观察、计算、探索出勾股定理的内容，让学生切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．这种方法符合学生认识图形的过程，培养了学生合作学习、主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作交流的学习习惯，最后通过例题巩固勾股定理，体会勾股定理定理的变式.
直角三角形的三边关系
课题
§14.1.1直角三角形的三边关系(第1课时)
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.经历用画直角三角探索勾股定理的过程，进一步理解掌握勾股定理；
2.了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的简单应用．
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1 宁强县毛坝河镇初级中学 数学 教学预案 执笔： 李大奇 修改：向春先 执教： 年 月 日 课题 14.1.1直角三角形三边的关系(一) 课型 新 课
教学 目标
知识与技能 掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法。
过程与方法 经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，发展合力推理的能力。 情感态度 与价值观 培养合作、探索的意识，体会数形结合的思考，以及识图能力。
教学 重点 了解勾股定理的由来，并应用勾股定理解决一些简单问题。
教学 难点 对勾股定理的认识
教具 直尺、三角板 教学内容及流程 师 生 活 动 批 注
一、创设情境引入
二、探究新知
现需要在公路的右侧C点处与地面垂直竖一根电线杆，为了使电线杆更稳定，电力维修工决定在电线杆尚A 点和地面的B点之间拉上一条钢绳，测得AB=6㎝,BC=3ｍ,你能帮他们算出所需要钢绳AC长度吗？
1、 学生活动 （1）课本p48“试一试”。 （2）解决课本P49“试一试”。 （3）解决学习课本P50“做一做”。 2、教师活动：引导巡视、点评结果， {提问}通过对“试一试”及“做一做”的学习，同学们想一想，如果一个直角三角形的两条垂直边为a、b，斜边为c，那么a、b、c三边之间会有怎样的关系呢？ （学生讨论交流并发言，教师板书） 2
教学内容及流程 师 生 活 动 批 注 三、巩固练习 四、课堂小结 五、布置作业
六．课后学习
【概括】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即ａ2+ｂ2=ｃ2。 3、 勾股定理的验证。 学生活动：解决课本P51的“试一试”。 教师活动：引导巡视，点评结果。 4、 范例学习 例1、如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB（精确到0.01米）
1、 课本P51练习题1、2 2、 补充练习： 已知：如图，等边△ABC的边长是6CM。 （1） 求高AD的长 （2） 求S△ABC
1、 勾股定理的内容。 2、 勾股定理的验证。 3、 勾股定理的作用。 1、 必做题： 课本P54习题1，2，3题 2、 选做题：（梯子问题） 如图，一架2.5M长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7M，若梯子顶端沿墙下滑0.4M,那么梯足多移多少？ 1、 课本P52的“读一读”。 2、 课本P55-56的“阅读材料”。
教 后 记
CD
ABA'A
BB' 3
宁强县毛坝河镇初级中学 数学 教学预案 执笔： 李大奇 修改：向春先 执教： 年 月 日 课题 14.1.2直角三角形三边的关系（二） 课型 新 课
教学 目标
知识与技能 掌握勾股定理的运用方法
过程与方法 经历理解勾股定理的运用过程，感悟勾股定理的内涵 情感态度 与价值观 通过数学思维活动，发展学生探究意识和合作交流的思索。
教学 重点 理解并熟练运用勾股定理
教学 难点 对勾股定理内涵的领会
教具 直尺、三角板、圆规 教学内容及流程 师 生 活 动 批 注
一、回顾交流
二、范例学习 1、什么叫勾股定理？ 2、课堂小测。 ①求下列直角三角形未知边的长。
②求下列图中的未知数X、Y、Z的值。 例1、 课本P52例2 81 12x5x1781620x144 x 169 144 y 625 576 z 4
教学内容及流程 师 生 活 动 批 注 三、巩固练习 四、小结 五、作业 例2 作长为2，3， 5的线段。 分析：由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于2，直角边长为1，2 的直角三角形的斜边长就是3，类似地也可以作出 5。 1、 课本P53练习题1、2. 2、 补充： ① 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
点拨：根据题意，可以先画出符合题意的图形，然后利用勾股定理解答。
②用尺规作线段AB，使AB= 13 。 1、 勾股定理的概念。 2、 如何在实际问题中确定好RT△. 3、 你对本节课内容的学习，有哪些收获。
1、 课本P55习题4、5 自己另行设计。
教 后 记
400m500m
C
AB 5
宁强县毛坝河镇初级中学 数学 教学预案 执笔： 李大奇 修改：向春先 执教： 年 月 日 课题 14.1.3直角三角形的判定 课型 新 课
教学 目标
知识与技能 掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用。
过程与方法 经历探索直角三角形的判定过程，理解勾股定理
情感态度 与价值观 激发学生解决问题的愿望，体会勾股导向思维所获结论
教学 重点 理解和应用垂直三角形的判定
教学 难点 运用垂直三角形判定方法解决问题
教具 刻度尺、三角板、圆规 教学内容及流程 师 生 活 动 批 注 一、情境引入 二、新知探究 1、探索直角三角形的判定 2、范例学习 把准备好了的一根打了13个等距离结的绳子，以3个结，4个结，5个结的长度为边摆放成一个三角形，请观察，并猜想此三角形的形状。
① 学生利用直角和圆规画出以如下数据为边的三角形（教师引导巡视） 1．ａ=3， ｂ=4 ， ｃ =5； 2．ａ=4， ｂ=6 ， ｃ=8； 3．ａ=6， ｂ=8 ， ｃ=10. ② 学生利用直角三角板上的直角检验所画的三角形是否是直角三角形。（提示：检验最大的角即可）
③ 分别计算出上面三组数据中，ａ2+ｂ2=ｃ2 的值和 ｃ2的值，你有什么发现？（学生讨论，交流，发言） 【提问】通过上面的探索学习，你能从中总结出什么结论？（学生讨论、交流，并发言） 【概括】如果三角形的三边长a、b、c的三个整数有关系：
ａ2+ｂ2=ｃ2，那么这个三角形是直角三角形，（教师板书） 例：设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角 6
教学内容及流程 师 生 活 动 批 注
三、巩固练习 三、巩固提高 四、课堂小结 五、布置作业 形（1）7、24、25； （2）12、35、37； （3）13、11、9. 说明：能够成为直角三角形三边长的三个整数，称为勾股数。 1、 课本P54练习题1、2 2、 补充：如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，你能求出DC的长吗? 试一试
活动：1、一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?
2、(1)判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形． 解：因为a2＋b2＝100＋64＝164≠c2，即a2＋b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形． 请问：上述解法对吗?为什么? (2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm． 求证：AB＝AC． 设计意图：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．
1、课本P54习题6，P63：7、9
教 后 记
17610
8
?DACB 7
宁强县毛坝河镇初级中学 数学 教学预案 执笔：李大奇 修改：向春先 执教： 年 日 课题 14.2.1勾股定理的应用（一） 课型 新 课
教学 目标
知识与技能 能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题
过程与方法 经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。 情感态度 与价值观 培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情
教学 重点 勾股定理及逆定理的应用
教学 难点 勾股定理的正确使用
教具 直尺 教学内容及流程 师 生 活 动 批 注 一．情境引入 二．范例学习 有一个棱长为1米且封闭的正方体盒子，如图所示，一只蚂蚁从顶点A向顶点B爬行，问它爬行的最短路程是多少米？
例1.如图。一圆柱体的底面周长为20厘米，高AB为4厘米，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。（精确到0.01厘米）
分析和解答见课本P57 图14.2.2 解 如图14.2.2，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，
∴ AC＝22BCAB＝22104 ＝229≈１０．７７（cm）（勾股定理）． 答： 最短路程约为１０．７７cm．
BA