勾股定理(基础)
勾股定理数学优秀ppt课件
在建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理求解直角三角形的边长问题，如计算梯子抵墙 时的长度等。
判断三角形类型问题
判断是否为直角三角形
01
若三角形三边满足勾股定理公式，则该三角形为直角三角形。
判断直角三角形的直角边和斜边
02
在直角三角形中，斜边是最长的一边，通过勾股定理可以判断
哪条边是斜边，哪条边是直角边。
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
勾股定理的定义和表达式
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。
勾股定理的证明方法
通过多种几何图形（如正方形、梯形等）的面积关系来证明勾股定 理。
勾股定理的应用场景
在几何、三角学、物理学等领域中广泛应用，如求解三角形边长、 角度、面积等问题。
勾股定理与其他数学定理关系探讨
与三角函数关系
勾股定理是三角函数的基础，通 过勾股定理可以推导出正弦、余 弦、正切等三角函数的基本关系。
与向量关系
在向量空间中，勾股定理可以表示 为两个向量的点积等于它们模长的 平方和，这进一步揭示了勾股定理 与向量的紧密联系。
与几何图形关系
勾股定理在几何图形中有着广泛的 应用，如求解直角三角形、矩形、 菱形等图形的边长、面积等问题。
勾股定理是数学中的基本定理之一， 也是几何学中的基础概念，对于理 解三角形、圆等几何形状的性质具 有重要意义。
历史发展及应用
历史发展
勾股定理最早可以追溯到古埃及时期，但最为著名的证明是由 古希腊数学家毕达哥拉斯学派给出的。在中国，商高在周朝时 期就提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
应用
勾股定理在几何、三角、代数、物理等多个领域都有广泛应用， 如求解三角形边长、角度、面积等问题，以及力学、光学等领 域的计算。
勾股定理知识总结三篇
勾股定理知识总结三篇篇一：勾股定理知识总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若a b c三角形三边长a，b，c满足222+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角a c b三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
第15讲 勾股定理--基础班
第15讲勾股定理知识点1 勾股定理的图形计算问题勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.a2+b2=c21.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN 的值.【答案】【解析】解：连接AM ， ∵AB=AC ，点M 为BC 中点， ∴AM ⊥CM （三线合一），BM=CM ， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=CM=3，在Rt △ABM 中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM=√AB 2−BM 2=√52−33=4， 又S △AMC =12MN•AC=12AM•MC，AM CM 4312AM .AC 55⋅⨯∴===【方法总结】连接AM ，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM ⊥BC ，根据勾股定理求得AM 的长，再根据三角形的面积公式即可求得MN 的长．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．【随堂练习】1.如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 在BC 上，且AD 平分∠BAC ，则AD 的长为_______【答案】12【解析】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，CB=5，AD⊥BC，∴DB=DC=12在Rt△ABD中，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=√AB2−BD2=√132−52=12，【典例】1.观察下列图形，回答问题：问题（1）：若图①中的△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为____．问题（2）：如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆的面积之间的关系是__________________（用图中字母表示）问题（3）：如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用上面中的结论求出阴影部分的面积．【答案】【解析】解：（1）由题意得，P的面积=DE2=9，Q的面积=EF2=15，故可得M的面积=DF2=DE2+EF2=24．（2）S1=π2(AC2)2=π8AC2，同理S2=π8BC2，S3=π8AB2，∵AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．（3）设直角三角形的边从小到大分别是a，b，c，则a2+b2=c2，两边同乘以π8，即得：两小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而可得S阴影部分的面积=S直角三角形的面积=12×3×4=6．【方法总结】（1）根据正方形的面积公式结合勾股定理可得大正方形的面积是两个小正方形的面积和；（2）分别表示出S1、S2、S3，结合勾股定理即可得出关系式．（3）根据半圆的面积公式以及勾股定理可得：两个小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而得出阴影部分的面积=直角三角形的面积．本题考查了勾股定理及圆的面积公式，解答此类题目关键是仔细观察所给图形的特点，不要盲目作答．【随堂练习】1.如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为_____【答案】64【解析】解：如图，∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2=225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2=289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2=PQ2+QR2，∴QR2=PR2﹣PQ2=289﹣225=64，则正方形QMNR的面积为64．知识点2 勾股定理的应用解勾股定理实际问题的一般步骤：①仔细审题，读懂题意；②找出或构造出与问题有关的直角三角形；③在直角三角形中根据勾股定理列算式或列方程；④求解所列算式或方程，直接或间接得到答案；⑤作答.解有关勾股定理的实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型.【典例】1.如图，在一棵树上10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树20m 处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D处直跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，则这颗树有多高（设树与地面垂直）？【答案】【解析】解：设BD高为x，则从B点爬到D点再沿直线DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD=√(10+x)2+202，而从B点到A点经过路程（20+10）m=30m，根据路程相同列出方程x+√(10+x)2+202=30，可得√(10+x)2+202=30﹣x，两边平方得：（10+x）2+400=（30﹣x）2，整理得：80x=400，解得：x=5，所以这棵树的高度为10+5=15（m）．【方法总结】要求树的高度，就要求BD的长度.在直角三角形ACD中运用勾股定理可以用BD表示出AD，根据路程相同即可列出关于BD的方程，求解即可得出BD的长度，最后由CD=CB+BD 得出答案．本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．【随堂练习】1.国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2017年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为_____【答案】5000米【解析】解：如图，连接AC.依题意得：∠ABC=90°，AB=4000米，BC=3000米，则由勾股定理，得AC=√AB2+BC2=√40002+30002=5000（米）．2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B 的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为_______【答案】18m【解析】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，∴AC=√AB2+BC2=√122+52=13（m），∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18（m）．∴这棵大树在折断前的高度为18m．【典例】1.如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．【答案】【解析】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296＜√320＜√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．【方法总结】根据题意画出长方体按不同方式展开后的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的AB，再比较即可．本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理的应用，能找出符合条件的所有情况是解题的关键．【随堂练习】1.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是____【答案】1【解析】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，故此AB=1．知识点3 勾股定理的逆定理勾股数：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【典例】1.观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c. 根据你发现的规律，请写出（1）当a=19时，求b、c的值；（2）当a=2n+1时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．【答案】【解析】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b=1∵a=19，a2+b2=c2，∴192+b2=（b+1）2，∴b=180，∴c=181；（2）通过观察知c﹣b=1，∵（2n+1）2+b2=c2，∴c2﹣b2=（2n+1）2，即（b+c）（c﹣b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，又c=b+1，∴2b+1=（2n+1）2，∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n=7时，2n+1=15，112﹣111=1，但2n2+2n=112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．【方法总结】（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b和c的值．（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b 、c 的值．（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是．本题属于规律型问题，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、验证即可．【随堂练习】1.下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A. a=4，b=3，c=5B. a=9，b=﹣12，c=15C. a=32，b=2，c=2.5 D. a=8，b=40，c=41【答案】A.【解析】解：A 、∵32+42=52，且4，3，5都是正整数，∴此选项符合题意； B 、∵﹣12不是正整数，∴此选项不符合题意； C 、∵32不是正整数，∴此选项符合题意；D 、∵82+402≠412，∴此选项不符合题意． 故选A.2.下列各组数是勾股数的是（ ） A.13，14，15B. 1，√2，√3C. 0.3，0.4，0.5D. 5，12，13【答案】D.【解析】解：A 、∵（13）2+（14）2≠（15）2，且三数不是正整数，∴不是勾股数；故此选项错误；B 、∵√2，√3不是正整数数，∴不是勾股数；故此选项错误；C 、∵0.32+0.42=0.52，但三数不是正整数，∴不是勾股数；故此选项错误；D 、∵52+122=132，且三数是正整数，∴是勾股数．故此选项正确．故选D.【典例】1.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=√6．求∠BAD的度数.【答案】【解析】解：连接AC，如图所示：∵CD=AD=√6，∠D=90°，∴∠DAC=∠ACD=45°，AC2=AD2+CD2=6+6=12．在△ABC中，∵AB2+AC2=22+12=16=BC2，∴∠BAC=90°．∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=90°+45°=135°；【方法总结】连接AC，则∠BAD=∠BAC+∠DAC.由等腰直角三角形的性质得出∠DAC=45°，AC2=AD2+CD2=2×6=12．由勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°，从而得出∠BAD的度数. 此题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理是解本题的关键．【随堂练习】1.若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，则△ABC是____三角形【答案】等腰直角三角形【解析】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|=0，∴a﹣b=0，a2+b2﹣c2=0，解得：a=b，a2+b2=c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；2.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿了钱去图书馆，小芳到家用了6分，从家到图书馆用了8分，小芳从公园到图书馆拐了个（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定【答案】B.【解析】解：根据题意，所走的三条路程分别为500米，300米，400米，而3002+4002=5002，根据勾股定理的逆定理，三条路程组成的是直角三角形，故小芳从公园到图书馆拐了直角．故选B.综合运用1.如图：在△ABC中，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，CD是AB边上的高，则CD=____________.【答案】12cm5【解析】解：在△ABC 中，∵AB=5cm ，AC=4cm ，BC=3cm ， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90°． 根据三角形面积相等可知，12BC•AC=12AB•CD，∴CD=4×35=125cm ．故答案为125cm.2.如图，正方形中的数表示该正方形的面积，则字母B 所代表的正方形的面积是___________.【答案】144【解析】解：如图所示： ∵△DEF 为直角三角形， ∴EF 2=DE 2+DF 2，根据题意得：EF 2=169，DE 2=25， ∴正方形B 的面积=DF 2=169﹣25=144； 故答案为144.3.如图，一个圆柱的高为10cm ，底面半径为2cm ，一只蚂蚁从圆柱高的中点A 处到B 点的最短爬行距离是________ cm.【答案】√25+4π2【解析】解：在Rt△ABC中，AC=5，BC=2π，∴一只蚂蚁从圆柱高的中点A处到点B处的最短爬行距离是AB=√25+4π2cm，故答案为√25+4π24.如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为____________平方米．【答案】24【解析】解：如图，连接AC,在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米.又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC 的面积﹣△ACD 的面积=12×5×12﹣12×3×4=24（平方米）．5.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC=b ，BC=a ，AB=c ，CD=h ，有下列四种说法：①a•b=c•h；②a+b ＜c+h ；③以a+b 、h 、c+h 为边的三角形，是直角三角形；④1a2+1b2=1ℎ2．其中正确的有________________.【答案】①②③④【解析】解：①∵Rt △ABC 的面积为：12ab 或12ch ，∴ab=ch ，故①正确； ②∵c 2＜c 2+h 2，a 2+b 2=c 2， ∴a 2+b 2＜c 2+h 2， ∵ab=ch ，∴a 2+b 2+2ab ＜c 2+h 2+2ch ， ∴（a+b ）2＜（c+h ）2， ∴a+b ＜c+h ，故②正确； ③∵（c+h ）2=c 2+2ch+h 2， h 2+（a+b ）2=h 2+a 2+2ab+b 2， ∵a 2+b 2=c 2，（勾股定理） ab=ch （面积公式推导）∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，∴（c+h）2=h2+（a+b）2，∴根据勾股定理的逆定理得以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④∵ab=ch，∴（ab）2=（ch）2，即a2b2=c2h2，∵a2+b2=c2，∴a2b2=（a2+b2）h2，∴a 2b2a2+b2=h2，∴a 2+b2a2b2=1h2，∴a 2a2b2+b2a2b2=1ℎ2，∴1 a2+1b2=1ℎ2，故④正确．故答案为①②③④.6.如图，四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD 的面积．【答案】【解析】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D=90°．在Rt △ACD 中，AD=5，CD=12， AC=√AD 2+CD 2=√52+122=13． ∵BC=13， ∴AC=BC.∵CE ⊥AB ，AB=10， ∴AE=BE=12AB=12×10=5． 在Rt △CAE 中，CE=√AC 2−AE 2=√132−52=12．∴S 四边形ABCD =S △DAC +S △ABC =12×5×12+12×10×12=30+60=90．7.如图，已知在四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=2cm ，AD=√5cm ，CD=5cm ，BC=4cm ，求四边形ABCD 的面积．【答案】【解析】解：连接BD.∵∠A=90°，AB=2cm ，AD=√5，∴根据勾股定理可得又∵CD=5，BC=4， ∴CD 2=BC 2+BD 2，∴△BCD 是直角三角形， ∴∠CBD=90°，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12AB•AD +12BC•BD=12×2×√5+12×4×3=（√5+6）（cm 2）．8.如图所示，侧面是高为2、宽为1的长方形．上下两底面为正方形的纸盒．一小虫由A 点沿外表面爬行到B 点．（1）找出所有可能的最短路径，画图说明； （2）指出按（1）中哪种方式爬行路径最短.【答案】【解析】解：（1）将长方体的侧面展开，有两种展开方法， 如图所示：（2）∵由（1）可知，第一种展开方法路径AB=√22+22=√8．由（2）可知，第二种展开方法路径AB=√12+32=√10．√8<√10,∴按（1）中第一种方式爬行路径最短.。
勾股定理基础知识点
知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（2） 勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边（3）理解勾股定理的一些变式（在三角形ABC 中，∠C=90°）： c 2=a 2+b 2，a2=c 2-b 2， b 2=c 2-a 2 ， c 2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
c a b =+22a cb =-22b c a =-22在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；知识点四：勾股数满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么当k＞0时，ka，kb，kc同样也是勾股数组）常见勾股数：①3、4、5；②5、12、13；口诀：5月12记一生（13）③8、15、17；口诀：八月十五在一起（17）④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41；⑦6、8、10；⑧9；12；15；⑨15、20、25.知识点五：勾股树知识点六：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a、b、c，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
初二数学经典讲义勾股定理(基础)知识讲解
勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c ，满足a2 b2 c 2，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 c ；（2）验证c2与a2 b2是否具有相等关系，若a2 b2 c2，则△ ABC是以∠ C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3. 勾股数222满足不定方程x y z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形. 常见的勾股数：① 3、4、5；②5、12、13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤9、40、41. 如果（a、b、c ）是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1. 较小的直角边为连续奇数；2. 较长的直角边与对应斜边相差1.23.假设三个数分别为a、b、c ，且a b c ，那么存在a2 b c成立. （例如④中存在72＝24＋25、9 2＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6 和8，求第三边的长．【答案与解析】解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得x26282．所以x 628236 64 100 10 ．当x 为直角边时，由勾股定理，得x2 62 82．所以x 826264 36 28 2 7 ．所以这个三角形的第三边为10或2 7 ．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ ABC的周长．【答案】解：在Rt△ ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得BD 2 AB2 AD2 152 122 81．∴ BD 81 9 ．同理CD2 AC 2 AD2 132 122 25．∴ CD 25 5 ．①当∠ ACB >90°时， BC ＝BD － CD ＝9－ 5＝4．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ ACB <90°时， BC ＝BD ＋ CD ＝9＋ 5＝14．∴ △ ABC 的周长为： AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝ 42． 综上所述：△ABC 的周长为 32 或 42．2、如图所示，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ CB ，M 为 AB 上一点． 求证：2 2 2 AM 2 BM 2 2CM 2 ．222(AD 2 DM 2)【总结升华】 欲证明线段平方关系问题， 首先联想勾股定理， 从图中寻找或作垂线构造包含 所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：变式】已知，△ ABC 中， AB ＝AC ， D 为 BC 上任一点，求证： AB 2 AD 2 BD CD .【思路点拨】 欲证的等式中出现了 AM 2 、 作 CD ⊥ AB ．【答案与解析】证明：过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ． ∵ AC ＝BC ， CD ⊥AB ，∴ AD ＝ BD ．∵ ∠ACB ＝ 90°，∴ CD ＝ AD ＝ DB ．BM 2、 CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要 22 AM 2 BM 2 2 AD DM 2AD DM AD 2 2AD DMDM 2 AD 2 2AD DM DM 2(CD 2 DM 2)在 Rt △ CDM 中， CD 22 DM 2 CM AM 2BM 2CM【答案】解：如图，作 AM ⊥BC 于 M ，∵ AB ＝AC ，∴ BM ＝ CM, 则在 Rt △ABM 中：AB 2 AM 2 BM 2 ⋯⋯①在 Rt △ ADM 中：222AD 2 AM 2 DM 2⋯⋯②由①－②得： AB 2 AD 2 BM 2 DM 2 BM DM BM DM＝ （MC ＋DM ）?BD ＝ CD ·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝20，BC ＝32，D 是 BC 上的一点，且 AD ⊥AC ， 求 BD 的长．【思路点拨】 由于 BD 所在的△ ABD 不是直角三角形，不易直接求出 BD 的长，且△ ACD 尽管是直角三角形，但 AD 的长是未知的，因而不能确定CD 的长.过点 A 作AE ⊥BC 于 E ，这时可 以从 Rt △ ABE 与 Rt △ ADE 、 Rt △ADC 中，运用勾股定理可求得 AE 、 DE 的长，从而求出 BD 的长．【答案与解析】 解：过点 A 作 AE ⊥ BC 于 E ．∵ AB ＝ AC ， 11∴ BE ＝ EC ＝ BC ＝ 32 16．22 在 Rt △ ABE 中， AB ＝20，BE ＝16，2 2 2 2 2∴ AE 2 AB 2 BE 2 202 162 144 ，AE ＝ 12，在 Rt △ADE 中，设 DE ＝ x ，则 AD 2 AE 2 DE 2 144 x 2 ，∵ AD ⊥ AC ，2 2 2 2 2 2∴ AD 2 AC 2 CD 2 ，而 144 x 2 202 (16 x)2 ．解得： x ＝ 9．∴ BD ＝BE － DE ＝16－9＝7．【总结升华】 勾股定理的作用是： 已知直角三角形的两边可以求第三边， 所以求直角三角形 的边长时应该联想到勾股定理．举一反三：【变式】如图所示，已知△ ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于 D ，BD ＝ 6 2， AE ⊥ BC 于 E ，求 AE 的长．S 1、 S 2、S 3表示，则不难证明 S 1 S 2 S 3 ．S 1、 S 2、S 3表示，那么 S 1、 S 2、 S 3 之间有什么关系 ?( 不必证明 )(2) 如图③，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、 S 2、S 3表示，请你确定 S 1、 S 2、 S 3 之间的关系并加以证明．解：连接 AD ．∵ DF 是线段 AB 的垂直平分线，∴ AD ＝BD ＝ 6 2 ，∴ ∠ BAD ＝∠ B ＝ 22.5又∵∠ ADE ＝∠ B ＋∠ BAD ＝45°， AE ⊥BC ，∴ ∠DAE ＝ 45°，∴ AE ＝ DE由勾股定理得： AE 2 DE 2 AD 2 ，2AE 2 (6 2) 2， AE 62 26． 4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用(1)S 1 S 2 S 3 ； (2) S 1 S 2 S 3 ．证明如下：显然， S 1 3c 2，S 23 a 2，S 3 3b 2， 444所以 S 2 S 3 3 (a 2 b 2) 3 c 2 S 1．2 3 4 4 1 【总结升华】 本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、5、如果Δ ABC 的三边分别为 a 、b 、c ，且满足 a 2 b 2 c 2 50 断Δ ABC 的形状 .【答案与解析】解：由 a 2 b 22 c 50 6a 8b 10c ，得 ： 2 a 6a9 2 b 2 8b 16 2 c 10c 25 0 ∴ (a 3)2 2 (b 4)2(c 5)2 0 ∵ (a3)2 0，(b 4)20，(c 5)2 0 ∴a3, b 4, c 5. 2 2 2∵ 3242 52, 2 2 2∴a b c .由勾股定理的逆定理得：△ ABC 是直角三角形 .【总结升华】 勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 用到.答案与解析】解：设 Rt △ ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 的长分别为 a 、 b、 c ，则 a 2 b 2 2 c ． 正五边形等．6a 8b 10c ，判 , 在证明中经常要类型三、勾股定理的实际应用的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少 ?【思路点拨】 将长方体表面展开， 由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行， 且长方体木块底面 是正方形，故它爬行的路径有两种情况．答案与解析】解：如图②③所示．在图②中，由勾股定理，得 AB 2 32 112 130 ．在图③中，由勾股定理，得 AB 2 62 82 100 ． 因为 130>100，所以图③中的 AB 的长度最短，为 10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线 长为10cm ．【总结升华】 解本题的关键是正确画出立体图形的展开图， 把立体图形上的折线转化为平面 图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【高清课堂 勾股定理全章复习 例 10 】【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径为 5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底 面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B .（ π取3）答案】 25；提示：蚂蚁爬的最短路线长 202 (5 )2 25. 、如图①， 一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点 A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．。
勾股定理的知识点总结
勾股定理的知识点总结勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决很多与直角三角形相关的问题。
在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
在数学教育中，勾股定理也是基础知识之一，学生可以通过学习勾股定理来提高对几何学和三角学的理解和应用能力。
除了勾股定理本身，还有一些与之相关的知识点，比如勾股定理的逆定理、特殊直角三角形的性质、勾股数的概念等。
接下来，我们将系统地介绍勾股定理及相关知识点的内容，以便读者能够更全面地了解这一重要定理。
一、勾股定理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。
据说，毕达哥拉斯是在观察三角形时发现了这一定理。
他发现，对于一个直角三角形来说，直角边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。
这一发现被称为勾股定理，成为了数学中的一项重要定理。
勾股定理的数学表述如下：如果一个三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么a的平方加上b的平方等于c的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
这一定理适用于所有直角三角形，无论其大小或者比例如何，只要是直角三角形，勾股定理都成立。
勾股定理的应用非常广泛。
在几何学中，我们可以通过勾股定理来解决直角三角形的各种问题，比如求边长、求角度、求面积等。
在三角学中，勾股定理可以帮助我们计算三角函数的值，从而解决各种三角函数的计算问题。
在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
二、勾股定理的逆定理除了勾股定理本身，勾股定理的逆定理也是很重要的一个概念。
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
也就是说，如果三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么这个三角形一定是直角三角形。
勾股定理的逆定理可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。
只要我们知道了三角形的三条边的长度，就可以根据勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形。
勾股定理公式大全
勾股定理公式大全勾股定理是数学中的一条重要定理，它是古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的。
这条定理在几何学中有着广泛的应用，也是数学中的基础知识之一。
勾股定理的公式形式简单，但却有着丰富的推论和应用，下面将为大家介绍勾股定理的公式大全。
1. 勾股定理的基本公式。
在直角三角形中，设直角边长分别为a、b，斜边长为c，则勾股定理的基本公式为，a² + b² = c²。
这是勾股定理最基本的形式，也是大家最熟悉的形式。
2. 勾股定理的推论公式。
在勾股定理的基础上，还可以得到一些有趣的推论公式。
例如，如果一个直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边的长度可以通过勾股定理计算得到，3² + 4² = 5²，即9 + 16 = 25，所以斜边的长度为5。
这就是勾股定理的一个推论。
3. 勾股定理的应用公式。
在实际问题中，勾股定理也有着丰富的应用。
例如，我们可以利用勾股定理来计算建筑物的高度、距离等。
又如，在导弹发射过程中，勾股定理也可以用来计算导弹的飞行轨迹和距离。
总之，勾股定理的应用是非常广泛的。
4. 勾股定理的证明公式。
勾股定理的证明有很多种方法，最常见的是利用几何图形和代数方法进行证明。
其中，利用平行四边形和相似三角形的方法是比较常见的。
通过这些方法，可以很容易地证明勾股定理的正确性。
5. 勾股定理的拓展公式。
除了直角三角形外，勾股定理还可以拓展到其他类型的三角形中。
例如，等腰直角三角形、钝角三角形等，都可以利用勾股定理进行求解。
在拓展时，需要注意对角的选择和应用条件的变化。
6. 勾股定理的实际案例。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要用到勾股定理的实际案例。
比如，地质勘探中的测量、建筑工程中的设计、导航系统中的定位等，都需要用到勾股定理来进行计算和分析。
总结，勾股定理是数学中的一条重要定理，它的公式形式简单，但却有着丰富的推论和应用。
在实际问题中，勾股定理可以帮助我们解决很多复杂的计算和分析问题，因此，掌握勾股定理是非常重要的。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中的一条重要定理，是数学中的基础知识之一。
它表明在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理最早是在中国古代的《周髀算经》中出现的，距今已有几千年的历史。
在数学中，它有着广泛的应用，尤其在几何学中，被广泛运用于直角三角形的问题中。
勾股定理的表达式为：a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
这个定理可以用于计算直角三角形的边长，也可以用于判断一个三角形是否为直角三角形。
在勾股定理的应用中，我们可以通过已知的两个边长来计算第三个边长。
例如，如果已知一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算斜边的长度，即c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以斜边的长度c为5。
除了用于计算直角三角形边长以外，勾股定理还可以用于判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的边长满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。
这是因为只有直角三角形的边长满足这个等式。
勾股定理在其他学科中也有着广泛的应用。
在工程学中，勾股定理被用于计算建筑物或者其他结构物的斜坡长度。
在物理学中，勾股定理被用于计算力的分解和合成。
在计算机图形学中，勾股定理被用于计算图形的形状和位置。
除了勾股定理本身，还有很多与之相关的知识点。
例如，勾股定理的逆定理是毕达哥拉斯三线定理，它表明如果一个三角形的边长满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
此外，勾股定理和三角函数的关系也是一个重要的知识点。
由于三角函数和勾股定理之间的关系，我们可以通过已知两个边的长度和一个夹角的大小来计算其他边和角的大小。
总而言之，勾股定理是一条在数学中有着广泛应用的定理。
它以简单的数学关系描述了直角三角形的性质，是数学中的基础知识之一。
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勾股定理（基础）
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
●
掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； ●
能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； ● 通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
学习策略：
●
体验勾股定理的探索过程，掌握方程思想； ●
牢记直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.
二、学习与应用
1. 正数的平方根有 ，它们互为 ，其中正的那个叫它的____；负数 ，0的平方根是 .
2. 324的算术平方根是 ，
256的平方根是 . 3.196= ,144 = .
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长
分别为a b ，，斜边长为c ，那么 .
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的
线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目
的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
“凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．
要点梳理——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听
课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．
知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
2______a =，2______b =， ()2
2____c a b =+-
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以. 要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 与勾股定理有关的面积计算；
4. 勾股定理在实际生活中的应用．
类型一、勾股定理的直接应用
例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；
（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．
典型例题——自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完
成举一反三．课堂笔记或者其它补充填在右栏．
【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．
【总结升华】 举一反三：
【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；
（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．
类型二、勾股定理的证明
例2、（2015•丰台区一模）阅读下面的材料
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定
理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ，然
后按图1的方法将它们摆成正方形．
由图1可以得到（a+b ）2=4×，
整理，得a 2+2ab+b 2=2ab+c 2．
所以a 2+b 2=c 2．
如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定
理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到 ，
整理，得 ，
所以 ．
【总结升华】
举一反三：
【变式】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 边的中点，DE ⊥AB 于E ，则
AE 2-BE 2等于（ ）
A ．AC 2
B ．BD 2
C ．BC 2
D ．D
E 2
类型三、与勾股定理有关的线段长
例3、如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，
点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【总结升华】
类型四、与勾股定理有关的面积计算
例4、如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的
面积为（）
A．6 B．5 C．11 D．16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面积=a的面积+c的面积．
【总结升华】
举一反三：
【变式】（2015•东莞模拟）如图3，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，
已知S
1=4，S
2
=9，S
3
=8，S
4
=10，则S=（）
图3 例5图
A.25
B.31
C.32
D.40
类型五、利用勾股定理解决实际问题
例5、（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果
把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与
门高．
【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门
的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
【总结升华】
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m处断裂，旗杆顶部落在离底部12m处，则旗
杆折断前有多高？
三、总结与反思
要想学习成绩好，总结少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．
自我反馈
学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整
理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．
我的收获
重点习题题号：
错题题号（方便整理错题本）：
家长如何检查学案导学的落实情况？
1.做没做完？
2.是否对照答案修改？
3.是否有总结？。