(完整)高考文科数学数列试题与解析

高三数学（文科）专题训练二

数列

1. 已知数列{}()n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >==

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:11111321<++++n

a a a a Λ； (3)设1log 22+=n n

a b ,求数列{}n b 的前

100项和.

2.数列{a n }中，18a =，42a =，且满足21n n a a ++-=常数C (1)求常数C 和数列的通项公式； (2)设201220||||||T a a a =+++L ，

(3) 12||||||n n T a a a =+++L

,n N +∈

3. 已知数列n n 2,n a =2n 1,n ???为奇数；

－为偶数；

， 求2n S

4 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n

n b x x ∈n (N )*的两根,且

11=a .

(1) 求证: 数列?

???

???-n n

a 23

1是等比数列; (2) 求数列{}n b 的前n 项和n S .

5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？

6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5

1，本年

度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4

1.

(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写

出a n ,b n 的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

7. 在等比数列{a n }(n ∈N*)中，已知a 1＞1，q ＞0．设b n =log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5=6，b 1b 3b 5=0．

(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式a n 、b n ；

(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与a n 的大小．

8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，

点P （b n ，b n+1）在直线x -y +2=0上。

（1）求a 1和a 2的值；

（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ； （3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n 。

9. 已知数列{}n a 的前n 项和为11,4

n S a =且1112

n n n S S a --=++，数列{}n b 满足11194

b =-且

13n n b b n --=(2)n n N *≥∈且．

（１）求{}n a 的通项公式；

（２）求证：数列{}n n b a -为等比数列; （３）求{}n b 前n 项和的最小值． 10. 已知等差数列{}a n 的前9项和为153．

（1）求5a ； （2）若，82

=a ，从数列{}a n 中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n 项，

按原来的顺序组成一个新的数列{}c n ，求数列{}c n 的前n 项和S n .

11.已知曲线C ：x y e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点

1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，过

点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．

（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式；

（Ⅱ）求1

n

i i i x y =∑．

12. 在数列{})0,(2)2(,2111>∈-++==*++λλλλN n a a ，a a n n n n n 中 （1） 求证：数列2{()}n n n

a λλ

-是等差数列；

（2） 求数列{}n a 的前n 项和n S ； 13. 在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，

（1）求46a a +的值．

（2）当33a =时，在数列{}n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得 3a ，5a ，m a

成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．

（3）若自然数123t n , n , n , , n , , ??????(t 为正整数)满足5< 1n <2n < ??? < t n

t

5n n a , a ,a , ,a , ??????成等比数列，当32a =时， 用t 表示t n

14. 已知二次函数2()f x ax bx =+满足条件:①(0)(1)f f =; ②()f x 的最小值为18

-

. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式;

(Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项积为n T , 且()

45f n n T ??

= ?

??

, 求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 试问数列{}n b 中第几项的 值最小? 求出这个最小值.

15. 已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n+1, 0）（n ∈N +）， （Ⅰ）用x n 表示x n+1； （Ⅱ）若x 1=4，记a n =lg 2

2

n

n x

x +-，证明数列｛n a ｝成等比数列，并求数列｛n x ｝的通项公式；

（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.

答案

1. 解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q .

则由等比数列的通项公式11n n a a q -=得3131a a q -=,284,2

q ∴==

又()0,22n a q >∴=L L 分

∴数列{}n a 的通项公式是()12223n n n a -=?=分L L .

()

123231111211111112221222212

n

n n a a a a ++++-?=++++=

-L L ()1

1,2

n =-

6分L L ()1

1,117,2n

n ≥∴-<分Q L L ()1231111

18.n

a a a a ∴

++++<分L L L ()()()(){}()2132log 21219,212112,,

n n n n n b n b b n n b -=+=+-=+--+=????∴由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分L L Q L L

∴数列{}n b 的前

100项和是()

100100991003210200122

S ?=?+?=分L L 2．解：（1）C 2102n a n =＝－，－

1256125671251256720520(2)|||||||||

=(+a ) =2()(++a ) =2S S =260

n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++++++++++L L L L L L L ｜－－－

(3)2

2

9 , 5

409, 5

n n n n T n n n ?≤?=?+>??－－

12321352124621

3

5

2-1

2

()()2(14)(-1 2222)(3711)34

142

2(41)

23

n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a n n n n n =+++???=+++???++++???=???++++???=++?=++－3.解：－）

（＋＋＋－－

4 .解：证法1: ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n

n b x x ∈n (N )*的两根,

∴??

?==+++.

,

211n n n n n n a a b a a

由n n n a a 21=++,得??

?

?

??--=?-++n n n n a a 23

123

111,

故数列?

???

???-n n a 23

1是首项为3

1321

=-a ,公比为1-的等比数列. 证法2: ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n

n b x x ∈n (N )*的两根,

∴??

?==+++.

,211n n n n n n a a b a a

∵n

n n n n

n n n n a a a a 2

3

12

312231231111?-?--=?-?-+++1231231-=?-??? ???--=n n n n a a , 故数列?

???

???-n n a 23

1是首项为3

1321

=-a ,公比为1-的等比数列. (2)解: 由(1)得()113

123

1--?=?-n n n a , 即()[]n

n n

a 123

1--=

.

∴()[]()[]11112129

1+++--?--==n n n n n n n a a b

()[]1229

112---=

+n

n .

∴n n

a a a a S ++++=Λ321

()()()()[

]{}n

n 11122223

1232-++-+--++++=

ΛΛ

()??

?

???----=+21122311n n .

2220.20.40.60.2(1) 0.20.10.1 (42)

100.90.10.1 100.1.........................................6 n

n n

n n n n n n n +++??????++=?

=+++=++5.解：维修费总费用＝分＝＋分210 100.1 10

0.11

21 3............................................9 .............................10n n n n n n

=++=++≥+=平均费用当时，汽车报废最合算＝分分

6. 解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－5

1)万元，…

第n 年投入为800×(1－5

1)n －1万元，所以，n 年内的总投入为

a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1

=

∑=n

k 1

800×(1－5

1)k －1

=4000×［1－(5

4)n ］

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+4

1)，…，第n

年旅游业收入400×(1+4

1)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为

b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1

=

∑=n

k 1

400×(4

5)k －1

. =1600×［(4

5)n －1］

(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即： 1600×［(4

5)n －1］－4000×［1－(5

4)n ］＞0，令x =(5

4)n ，

代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜5

2，或x ＞1(舍去).即(5

4)n ＜5

2，

由此得n ≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

11121351556135513213132

3322522111(1),,1,0,{}, log , 01,1,0.

60,6,log 6,264,1 64,8.81,. 16.

2

n n n n n n n a a q a q a b a b b b a a b b b b b b b a a a a a a a a q q q a a q a a a q --=>>∴==>==++==+==∴===∴=∴===∴===∴=Q 7.解∶由题设有数列是单调数列又及知必有即由及得即即由得1152141

16()2log 5. (6)

2

()(9)

(2)(1),5,.

22

9,0,0,;

12,47;168,;

111

345678,91010974,421,248

n n n n n n n n n n n n n n n n n b a n n b b n n b n S n S a a S n S a a S n S a a S --====-+-=-==>∴>===∴>===∴<；分由知当≥时≤当或时或或当时、、、、、、、、、、、、、、、.

,129,; 345678,.(13)

n n n n n n n a S n a S =>=<综上所述当或或≥时有当时有分、、、、、

8. 解：（1）∵a n 是S n 与2的等差中项 ∴S n =2a n -2 ∴a 1=S 1=2a 1-2，解得a 1=2

a 1+a 2=S 2=2a 2-2，解得a 2=4

···3分

（2）∵S n =2a n -2，S n -1=2a n -1-2， 又S n —S n -1=a n ，*),2(N n n ∈≥ ∴a n =2a n -2a n -1， ∵a n ≠0， ∴

*),2(21

N n n a a n n

∈≥=-，即数列{a n }是等比树立∵a 1=2，∴a n =2n ∵点P (b n ，b n +1)在直线x-y+2=0上，∴b n -b n +1+2=0，

∴b n +1-b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n-1，

···8分

（3）∵c n =(2n -1)2n ∴T n =a 1b 1+ a 2b 2+····a n b n =1×2+3×22+5×23+····+(2n -1)2n ， ∴2T n =1×22+3×23+····+(2n -3)2n +(2n -1)2n +1

因此：-T n =1×2+(2×22+2×23+···+2×2n )-(2n -1)2n +1， 即：-T n =1×2+(23+24+····+2n +1)-(2n -1)2n +1，

∴T n =(2n -3)2n +1+6

··14分 9. 解： (1)由112221n n n S S a --=++得1221n n a a -=+,

11

2

n n a a --=

……2分

∴111(1)2

4

n a a n d n =+-=- ……………………………………4分

(2)∵13n n b b n --=,∴1113

3

n n b b n -=+,

∴111

1111111113()3324364324

n n n n n b

a b n n b n b n ----=+-+=-+=-+; 11111113

(1)2424

n n n n b a b n b n -----=--+=-+

∴由上面两式得

1113n n n n b a b a ---=-,又111191

3044

b a -=--=- ∴数列{}n n b a -是以-30为首项,13

为公比的等比数列.…………………8分

(3)由(2)得1130()3

n n n b a --=-?，∴11111130()30()3

2

4

3

n n n n b a n --=-?=--?

121111111

30()(1)30()243243

n n n n b b n n ----=

--?--++? =2

211111

30()

(1)20()02

3

323

n n --+?-=+?> ，∴{}n b 是递增数列 ………11分

当n =1时,

1119

4

b =-

<0；当n =2时, 23104

b =-<0；当n =3时, 35104

3

b =-<0；当

n =4时, 47104

9

b =->0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.

且3

1101

(135)3010414312

S

=++---=-…………………………13分

10. 解：（1）15392292)(955

919==?=+=

a a a a S Θ

175=∴a ………5分

（2）设数列 {}a n 的公差为

d ，则?

??==∴??

?=+==+=35

17

48

11512d a d a a d a a 2

3+=∴n a n ………9分

S a a a a n n n n n =++++=+++++=++2482132482232……·()26n -

…12分

11.解：（Ⅰ）∵x y e '=，

∴曲线C ：x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =． 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0，

∴点1P 的坐标为()0,1． ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ），

∴曲线C ：x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n

n x x n y e e x x -=-， (4)

分

令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．

∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列．

∴1n x n =-，1n n y e -=．（*n ∈N ） ……8分 （Ⅱ）∴1122331......... n

i i n n i x y x y x y x y x y ==++++∑

1234101232122112234 ........(1) (1)

234 ........(1) (2)

(1)(2)(1)1........(1)1(1) [1](1)(1n n n n n n S e e e e n e eS e e e e n e e S e e e n e e n e S e e ==∴=++++∴=－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－得到：－－－－－－

－－)e ……14分

12. 解：（1）由1*1(2)2,(,0)n n n n a a n N λλλλ++=++-∈>，可得

11

1

22

()()1n n n n n n

a a λλ

λλ

+++-=-+

所以2{()}n n n

a λλ

-是首项为0，公差为1的等差数列.

（2）解：因为2()1n n n

a n λλ

-=-即*(1)2,()n n n a n n N λ=-+∈

设2312(2)(1)n n n T n n λλλλ-=++???+-+-……①

3412(2)(1)n n n T n n λλλλλ+=++???+-+-……②

当1λ≠时，①-②得2341(1)(1)n n n T n λλλλλλ+-=+++???+--

211(1)(1)1n n n λλλλ

-+-=---

211212

22

(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=

---

13. 解：（1）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，

则546462a a a , a a 12=+∴+= …………………… 3分 （2）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，33a = 则()11233

0146

21n a d 3 d= , a ,a n a d 2+=??=∴=-?

+=? n N *∈

又 235m a a a =Q 则 ()3631m 3a , 12=m , m=92

=∴-∴……… 7分

（3）在等差数列{}n a 中，公差d 0≠，且56a =，3a 2= 则112446

1n a d 2

d=2 , a 2 ,a 2n ,n N a d *+=??=-∴=-∈?

+=?

又因为公比53

6

32

a q , a ==

=首项32a =，123t t n a +∴=? 又因为

112442332t t t n t t t a n , 2n , n ++=-∴-=?=+ n N *∈ (12)

分 14.解: (1) 由题知:

2

00148a b a b a

?

?+=??>?

??-=-

?? , 解得12

12a b ?=????=-?? , 故211()22f x x x =-. ………2分

(2) 22

1245n n n n T a a a -??== ?

??

L

,

2(1)(1)

2

11214(2)5n n n n T a a a n -----??

==≥ ?

??

L ,

1

14(2)5n n n n T a n T --??

∴==≥ ?

??

,

又111a T ==满足上式. 所以1

4()5n n a n N -*??

=∈ ?

??

……………7分

(3) 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 则25()n n n f a b a ?=+,

从而21110()2

2

n n n n a a b a -=+, 得2239565()5

5

n n n n b a a a =-=--.

因为1

4()5n n a n N -*??

=∈ ?

??

是n 的减函数, 所以

当35

n a ≥, 即3()n n N *≤∈时,

n b 随n 的增大而减小, 此时最小值为3b ; 当35

n a <, 即4()n n N *≥∈时,

n b 随n 的增大而增大, 此时最小值为4b .

又343

35

5

a a -<-

, 所以34b b <,

即数列{}n b 中3b 最小, 且2

22

3442245655125b ??????

=-=-?? ? ?????????

. (12)

分

15. 解：（Ⅰ）由题可得'()2f x x =． 所以曲线()y f x =

在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x -=-．

即2(4)2()n n n y x x x x --=-． 令0y =，得21(4)2()n n n n x x x x +--=-． 即2142n n n x x x ++=． 显然0n x ≠，∴12

2

n n n

x x x +=+

．

（Ⅱ）由12

2n n n x x x +=+，知2

1(2)22222n n n n n

x x x x x +++=++=

，同理2

1(2)22n n n

x x x +--=

．

故

21122()22n n n n x x x x ++++=--．从而1122

lg 2lg 22

n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成

等比数列．故111111222lg 2lg 32

n n n n x a a x ---+===-．即12lg 2lg 32

n n n x x -+=-．

从而1

2232n n n x x -+=-所以1

1222(31)31

n n n x --+=- （Ⅲ）由（Ⅱ）知1

1

222(31)3

1

n n n x --+=-，

∴1

2

42031n n n b x -=-=

>-∴1

1111212222311111

3313133

n n n n n n b b ----+-==<≤=-+

当1n =时，显然1123T b ==<．当1n >时，21121111

()()3

3

3

n n n n b b b b ---<<<

∴12n n T b b b =+++L 111111()33n b b b -<+++L 11[1()]

3113

n b -=-

133()33n =-?<． 综上，3n T <(*)n N ∈．