矩阵逆阵
线性代数PPT课件：矩阵 第3节 逆 矩 阵
2 A A 2 E O 证明 例5 设方阵 A 满足
A 及 A 2E 都可逆，并求
例6
A
1
及 ( A 2E ) .
1
设
4 2 3 A 1 1 0 , 1 2 3
AB A 2 B,
求 B.
例7 用逆矩阵求解线性方程组的解.
2 x1 x2 x3 4, x1 2 x3 4, 3x x 3x 2. 3 1 2
问题．
2.3.4 矩阵可逆的充要条件
定理2.3.1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的
逆矩阵是唯一的．
由定理2.3.1知，如果 A 是可逆矩阵，则有
detA 0， 那么，反过来是否成立呢？为了回
答这个问题，先引入伴随矩阵的定义．
定义 2.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 detA 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵
2.3.5 举例
例2 求二阶矩阵
a b A c d
的逆矩阵.
“两调一除 ”法
求二阶矩阵的逆矩阵可用 “两调一除 ”的方法 , 其方法是 : 先将矩阵 A 中的主对角线上的 元素调换位置 , 再将次对角线上的元素调换其符号 , 最后用 |A| 去除 A 的每一个元素 , 即可得 A 的逆矩
例1
设
3 1 1 1 A 2 1 , B 2 3 ,
验证 B 是否为 A 的逆矩阵．
2.3.3 可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai (i = 1, 2, …, m) 为 n 阶可逆方阵，
k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2)
初等矩阵的逆矩阵的三个公式
初等矩阵的逆矩阵的三个公式初等矩阵是在单位矩阵的基础上进行某些简单的行变换或列变换得到的矩阵。
它们具有许多重要的性质和应用。
在矩阵论中，初等矩阵的逆矩阵也是一个非常重要的概念。
下面将介绍初等矩阵的逆矩阵的三个公式。
第一个公式是关于初等行变换的逆矩阵，即将一个矩阵A通过一次初等行变换得到矩阵B，那么矩阵B的逆矩阵乘以A就等于单位矩阵。
具体来说，如果B是通过将A中的第i行与第j行交换得到的，其中i 不等于j，那么B的逆矩阵乘以A等于单位矩阵，即B^-1 * A = I。
这个公式告诉我们，通过交换两行可以消去一个初等行变换。
第二个公式是关于初等列变换的逆矩阵，与第一个公式类似。
如果B是通过将A中的第i列与第j列交换得到的，其中i不等于j，那么A乘以B的逆矩阵等于单位矩阵，即A * B^-1 = I。
这个公式表明，通过交换两列可以消去一个初等列变换。
第三个公式是关于初等矩阵的逆矩阵的乘法规律。
假设A是通过对单位矩阵进行一次初等行变换得到的矩阵，B是通过对单位矩阵进行一次初等列变换得到的矩阵，那么A的逆矩阵乘以B的逆矩阵等于对单位矩阵进行这两次初等变换得到的矩阵的逆矩阵，即(A * B)^-1 =B^-1 * A^-1。
这个公式告诉我们，逆矩阵的乘法顺序与初等变换的顺序相反。
初等矩阵的逆矩阵的三个公式为我们解决线性方程组和矩阵的相似性等问题提供了有效的工具。
通过这些公式，我们可以快速地计算出初等矩阵的逆矩阵，并应用到具体问题中。
同时，这些公式也揭示了矩阵的内在结构和变换规律的一些重要性质，具有重要的指导意义。
总之，初等矩阵的逆矩阵的三个公式是矩阵论中的重要概念，通过对初等行变换和初等列变换的理解，我们可以根据这些公式来进行矩阵的运算和求解。
在实际应用中，这些公式的应用广泛，能够帮助我们解决各种与矩阵相关的问题。
因此，深入理解和应用初等矩阵的逆矩阵的三个公式对于学习和研究线性代数和矩阵论具有重要意义。
逆矩阵的定义和计算公式
逆矩阵的定义和计算公式
嘿，朋友们！今天咱来聊聊逆矩阵呀！这逆矩阵就像是数学世界里的一把神奇钥匙，可以打开好多难题的大门呢！
你想想看，矩阵就像是一个整齐排列的队伍，里面的数字都有自己的位置和作用。
那逆矩阵呢，就像是这个队伍的“反面”力量。
比如说，你往前走，那逆矩阵就可以让你倒着走回去，神奇吧！
逆矩阵的定义呢，简单来说，就是对于一个给定的方阵，如果存在另一个方阵，它们相乘的结果是单位矩阵，那这个另一个方阵就是原来方阵的逆矩阵啦。
哎呀，是不是有点绕？别着急，咱慢慢来理解。
举个例子呀，就好像你有一把钥匙可以打开一扇门，那这个逆矩阵就是能把打开的门再关上的那把特殊钥匙。
它和原来的矩阵相互配合，能起到很特别的作用呢。
那怎么求逆矩阵呢？这可有一些计算公式和方法哦。
就像是你要找到那把特殊钥匙，得知道一些窍门一样。
通过一些计算步骤，我们就能找到那个神奇的逆矩阵啦。
比如说，对于一个2×2 的矩阵，它的逆矩阵就可以通过一个特定的公式来计算。
是不是感觉很有趣？
咱再深入一点说，逆矩阵在很多数学和实际问题中都有大用处呢！比如说在工程中，在计算机科学里，都少不了它的身影。
它就像一个隐藏的高手，默默发挥着重要的作用。
你说，这逆矩阵是不是很厉害？它就像是数学宝藏中的一颗璀璨明珠，等待我们去发掘和利用。
所以啊，朋友们，可别小瞧了逆矩阵哦！好好去了解它，掌握它，让它为我们解决更多的难题，创造更多的奇迹呀！逆矩阵，真的是数学世界中一个超级有趣又超级有用的存在呢！。
线性代数-逆矩阵
=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明 由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
逆矩阵的计算
逆矩阵的计算在线性代数中，逆矩阵是一个非常重要且有用的概念。
对于一个给定的方阵A，如果其存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵。
逆矩阵的计算可以通过多种方法实现，下面将介绍两种常见的计算逆矩阵的方法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种用于计算逆矩阵的方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 首先计算A的伴随矩阵Adj(A)。
- 伴随矩阵Adj(A)是由矩阵A的代数余子式按一定规律排列得到的矩阵。
其中，第i行第j列的元素是(-1)^(i+j)乘以矩阵A的代数余子式M(ij)。
- 矩阵A的代数余子式M(ij)是矩阵A的第i行第j列元素的代数余子式，即去掉第i行和第j列后剩余元素的行列式值。
2. 计算矩阵A的行列式|A|。
- 矩阵A的行列式|A|可以通过对矩阵A的某一行（或某一列）进行按行或按列展开得到。
3. 判断矩阵A是否可逆。
- 如果矩阵A的行列式|A|不等于0，则矩阵A可逆。
- 如果矩阵A可逆，则继续进行下一步；否则，矩阵A不存在逆矩阵。
4. 计算矩阵A的逆矩阵A^(-1)。
- 逆矩阵A^(-1)等于伴随矩阵Adj(A)除以矩阵A的行列式|A|。
方法二：初等变换法初等变换法是另一种计算逆矩阵的常见方法。
具体步骤如下：假设A是一个n阶矩阵。
1. 将矩阵A与单位矩阵I拼接在一起，形成一个(2n)阶的矩阵[A|I]。
2. 利用初等变换将矩阵[A|I]化简为[I|B]的形式。
- 初等变换包括：- 互换两行或两列；- 用非零常数乘以某一行或某一列；- 用非零常数乘以某一行或某一列，并加到另一行或另一列上。
3. 如果矩阵A的左半部分变成了单位矩阵I，则矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
否则，矩阵A不存在逆矩阵。
需要注意的是，上述两种方法并不是适用于所有情况的。
在实际计算中，我们需要综合考虑矩阵的性质和规模，选择最适合的方法来计算逆矩阵。
逆矩阵的计算在线性代数和相关领域中具有广泛的应用。
_逆矩阵
练习： 设方阵满足方程 A2 3 A 10E 0 证明 : A和A 4 E都可逆，并求出它们的逆矩阵 证： (1) A( A 3 E ) 10 E
A 3E A E 10 1 所以A可逆，且A ( A 3 E ) 10
1
(2) ( A 4 E )( A E ) 6 E
a11 a12 a21 a22 AA a n1 a n 2 a1n A11 a2 n A12 ann A1n A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
1
1
则矩阵 A1 称为A的逆矩阵.
2
定义 设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得
AB BA E ,
则称A为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵，记为 A1 .
2 5 3 5 例1 设 A 1 3 , B 1 2 ,
. AB BA E , B是A的一个逆矩阵
逆矩阵的求法2——构造法
例8： 设方阵A满足方程A2 A 2 E 0, 证明 :
A, A 2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵 .1 A 2 证： 由A A 2 E 0, A E E 得A A E 2 E A 2 1 所以 A 可逆，且 A1 A E . 2
同理可求得
3 3 1 4 0 4 5 1 3
A21 3, A22 0, A23 1,
A31 1, A32 4, A33 3.
1 3 3 1 1 1 4 . A A 4 0 4 | A| 5 1 3 说明：对于3阶以上的矩阵，用伴随矩阵法求逆矩阵 很麻烦，以后将给出另一种求法——初等变换法.
利用矩阵的逆矩阵求解线性方程组
利用矩阵的逆矩阵求解线性方程组线性代数是数学的一个重要分支，其研究诸多重要的数学对象，例如向量空间、矩阵、线性变换等。
线性代数的应用非常广泛，例如在物理、工程、计算机科学等领域都有着深入的应用。
矩阵是线性代数研究的核心对象，其可以用于解决许多实际问题，如在计算机图形学中用于表示三维图形的转换矩阵、在物理中用于表示方程组的矩阵等。
线性方程组是线性代数中的一个重要概念，其可以用于描述诸多实际问题，如平衡问题、电路问题、最优化问题等。
线性方程组可以表示为Ax=b的形式，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是已知向量。
如果A是一个可逆矩阵，即它的行列式不为0，那么我们可以用矩阵的逆矩阵来求解该线性方程组。
具体来说，我们可以通过Ax=b得到x=A^(-1)b，其中A^(-1)是A的逆矩阵。
下面我们通过一个简单的例子来说明如何利用矩阵的逆矩阵求解线性方程组。
例1：求解以下线性方程组x + 2y = 53x + 4y = 11解：将该线性方程组转化为矩阵形式，得到$\begin{bmatrix}1 & 2\\3 &4\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix}5\\ 11\end{bmatrix}$我们可以计算出系数矩阵A的行列式为-2，因此它是可逆矩阵。
接下来，我们需要求出A的逆矩阵A^(-1)。
通过一些计算，我们可以得到A^(-1)等于下面这个矩阵：$\begin{bmatrix}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{bmatrix}$现在，我们可以用矩阵的逆矩阵求解线性方程组。
具体来说，我们可以计算出x=A^(-1)b等于下面这个向量：$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}5\\ 11\end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix}-3\\4\end{bmatrix}$因此，该线性方程组的解为x=-3，y=4。
逆矩阵的计算
6 − 4 2 * 得 A = − 3 − 6 5 , 所以 2 2 − 2
1 3 − 2 1 * 3 5 −1 A = A = − . −3 A 2 2 1 1 − 1
需要说明的是：通常利用伴随阵 来计算A的逆 需要说明的是：通常利用伴随阵A* 来计算 的逆 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵， 矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可 能很大。 能很大。 对于阶数高于3 的矩阵， 对于阶数高于3 的矩阵，以后将介绍用初等变换 的方法来求逆矩阵。 的方法来求逆矩阵。
12 0 0 1 * 1 −1 A = A = 0 8 0 | A| 24 0 0 6
1 2 =0 0
0 1 3 0
0 0 . 1 4
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a1 0 , 由上例可推得设A = 0 0
1 a1 0 则A−1 = 0 0 0 1 a2 0 0 L L O L
(λA) =
−1
1
A−1 .
(4).若A可逆, 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . ,
T
T −1
−1 T
证 AT ( A−1 )T = ( A−1 A)T = ET = E.
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当| A|≠ 0时,
定义
A = E, A = ( A ) ,
0
−k
−1 k
为正整数。 其中 k 为正整数。
, 当| A|≠ 0, λ, µ为整数时有
矩阵 求逆 方法
矩阵求逆方法矩阵求逆是线性代数中的一个重要概念和计算方法。
矩阵求逆的目的是找到一个与给定矩阵相乘等于单位矩阵的矩阵，也就是找到一个逆矩阵。
在介绍求逆方法之前，需要先明确一个概念——方阵。
方阵是指行数与列数相等的矩阵，一般用n×n表示，其中n为方阵的阶数。
只有方阵才具有逆矩阵。
那么，对于方阵A，如何求出它的逆矩阵呢？常见的方法有以下几种：初等行变换法、伴随矩阵法、分块法和矩阵的特征值和特征向量等。
一、初等行变换法初等行变换法是一种直观且易于理解的方法，它的基本思想是通过一系列行变换将矩阵A转化为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行同样的行变化，最终得到逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将矩阵A写在左边，单位矩阵I写在右边，形成一个增广矩阵[A，I]。
2. 对增广矩阵进行一系列的行变换，使得矩阵A转化为单位矩阵，同时对I进行相同的行变换。
3. 判断矩阵A是否能够转化为单位矩阵，如果不能，说明矩阵A不可逆；如果可以，将得到的单位矩阵I的部分作为逆矩阵。
二、伴随矩阵法伴随矩阵法是一种利用伴随矩阵求逆矩阵的方法。
伴随矩阵是指在原矩阵中每个元素的代数余子式的转置矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)。
2. 计算矩阵A的行列式值det(A)。
3. 如果det(A)为0，则矩阵A不可逆；如果det(A)不为0，则逆矩阵A^(-1) = (1/det(A)) * Adj(A)。
三、分块法分块法是通过将原矩阵A进行分块，从而简化矩阵求逆的计算。
具体步骤如下：1. 将矩阵A拆分为几个子矩阵。
2. 根据子矩阵的性质或特点，寻找求逆的规律。
3. 根据子矩阵逆矩阵的计算结果，得到原矩阵A的逆矩阵。
四、特征值和特征向量特征值和特征向量方法是以特征值和特征向量作为基础来求逆矩阵的方法。
具体步骤如下：1. 求解矩阵A的特征值和特征向量。
2. 根据特征值和特征向量的关系，得到矩阵A的对角化形式。
3. 对角化后的矩阵可求逆，求得逆矩阵。
逆矩阵的计算方法
逆矩阵的计算方法逆矩阵在线性代数中扮演着重要的角色，它在解线性方程组、求解线性变换的逆变换等方面具有重要的应用价值。
本文将介绍逆矩阵的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要明确什么是逆矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n 阶方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），那么我们称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的存在与否对于方阵的可逆性有着重要的意义。
接下来，我们将介绍逆矩阵的计算方法。
在实际应用中，我们通常采用以下两种方法来计算逆矩阵。
一、初等行变换法。
初等行变换法是一种常用的计算逆矩阵的方法。
我们可以通过对原矩阵进行一系列的初等行变换，将原矩阵变换成单位矩阵，此时原矩阵经过的一系列变换即为逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将原矩阵A与单位矩阵In拼接在一起，即构成一个2n阶的矩阵[A | In]。
2. 通过一系列的初等行变换，将矩阵[A | In]变换成[In | B]，此时B即为原矩阵A的逆矩阵。
需要注意的是，初等行变换包括三种操作，互换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
在进行初等行变换的过程中，需要保证每一步的变换都是可逆的，以确保得到的逆矩阵是正确的。
二、伴随矩阵法。
另一种常用的计算逆矩阵的方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式计算得到：A^-1 = (1/|A|)·adj(A)。
其中|A|为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算过程较为复杂，需要先求出原矩阵A的代数余子式矩阵，然后将其转置得到伴随矩阵。
需要注意的是，以上两种方法都要求原矩阵是可逆的，即其行列式不为0。
如果原矩阵不可逆，则不存在逆矩阵。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的计算方法。
初等行变换法适用于一般的矩阵求逆问题，而伴随矩阵法则在理论推导和证明中有着重要的作用。
总之，逆矩阵的计算方法是线性代数中的重要内容，它在解决线性方程组、求解线性变换的逆变换等问题中具有广泛的应用。
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类似可得 A * A A E
证毕。
第二章 矩阵
第7页
思考 若在 AA* A * A A E 两边取行列式，结果如何？
答 由
AA* A E
从而可得
A A* A
n 1
n
A* A
（参见 教材P65习题5）
第二章 矩阵
第8页
§2.2 逆 阵
引言 逆阵是矩阵理论中的一Fra bibliotek重要内容。且
( AB)1 B1 A1 .
(4)若A可逆 则AT 也可逆 且( AT )1 ( A1 )T . , ,
第二章 矩阵
第17页
有了逆矩阵的概念，就可将方阵的幂推广到负整数的 情形。
当 A 0时, 规定:
A0 E
其中
A k ( A1 )k
k
为正整数。
易验证当 A 0时, 对任意整数 , ,皆有: ,
A
证 ()
若A可逆, 则A1存在 有AA1 E .
故
A A 1 1 ,
从而
A 0.
()
得
若 A 0, 则由 AA* A* A A E
1 1 A( A*) ( A*)A E A A
A
1
知A可 逆, 且
1 A* . A
第二章 矩阵 当
第14页
A 0 时，常称A是非奇异的，因此
第24页
C11 C1r 规 定, C AB C C sr s1
其 中, C ij Aik Bkj
k 1 t
( i 1,, s, j 1,, r )
注：分块矩阵相乘对分块的方法要求如下： 左矩阵分块后的列数应等于右矩阵分块后的行数。 Ai 1 , , Ait的列数分别等于1 j , , Btj的行数 B .
其中 ij , Bij 也同型 那么 A ,
A11 B11 A1r B1r A B A B Asr Bsr s1 s1
第二章 矩阵 ⑵ 数乘
第23页
设是 一 个 数 ,
A1r Asr
A11 A1r A11 A 则 A A A A s1 sr s1
B A 1
注 2 若 A 可逆，则 A 的逆阵是唯一的。
事实上，若B，C都是A的逆阵，则有 AB=BA=E AC=CA=E 故 B=BE=B(AC) =(BA)C=EC=C。
第二章 矩阵 定理1,2 方阵 A可逆的充要条件是 A 可逆时，有 A1 A * 。
第13页
A 0 ， 且在
前面我们知道线性变换与矩阵是一一对应的，
且乘积矩阵对应于乘积变换，同样矩阵的逆也对应 线性变换的逆。
为了给出逆阵的定义，我们先介绍线性变换的逆变换。
第二章 矩阵 设给定一个由 的线性变换，
第9页
x1 , x 2 , , x n 到 y1 , y 2 , , y n
a12 x 2 a1n x n a 22 x 2 a 2 n x n a n 2 x 2 a nn x n
结论 伴随矩阵有如下重要性质：
AA A * A A E *
注 这个性质在解有关伴随矩阵的问题时经常要用到， 下面给出其证明。
第二章 矩阵
第6页
AA* A * A A E
证 设
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n A a a n 2 a nn n1
AB=BA= E , 则说方阵 A 是可逆的，并称方阵 B为 A
1 的逆阵。A的逆阵常记为 A 。
第二章 矩阵
第12页
注 1 定义提供了验证B是A的逆阵的方法。
例如
2 1 3 1 A 5 3 , B 5 2
因为 故
2 1 3 1 3 1 2 1 1 0 5 3 5 2 5 2 5 3 0 1 ,
第二章 矩阵
1
第19页
B
于是
1 B11 B B12
B21 3 1 5 2 B22
X A 1CB1
6 4 1 3 2 3 1 1 3 6 5 2 0 5 2 2 2 2 2 3 1
显然，数乘时，对 A 的分块方法无特别要求。
⑶ 矩阵乘以矩阵
设 矩 阵 ml , Bl n 分 块 为: A
A11 A1t A , A Ast s1
B11 B1r B B Btr t1
第二章 矩阵
BA
1
时，只需验证
AB=E 与 BA=E 二者中之一即可。
第二章 矩阵 方阵的逆阵满足下列运算规律：
第16页
(1)若A可逆, 则A1也可逆 且 ( A1 )1 A. ,
(2)若A可逆, 数 0, 则A也可逆 且 ,
( A)
1
1
A1 .
(3)若A, B为同阶方阵皆可逆 AB也可逆 ,则
2 3 2 1 3 1 1 0 4 5 2 10 4 2 10 4 0 4
注：解矩阵方程时，先应尽量简化，再求解。
第二章 矩阵
第20页
§2.3 矩阵的分块法
利用分块矩阵可以更清晰地表达矩阵的结构和 运算关系。 我们将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个 小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
第二章 矩阵
第2页
矩阵的运算：
矩阵的加法（减法）、矩阵的数乘、矩阵与 矩阵相乘、矩阵转置。 注意：相应运算对矩阵的基本要求！
第二章 矩阵
第3页
五、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A的元素所构成的行列式(各元素的相应位 置不变），叫做方阵 A的行列式。 记作 A
或 det A .
设 A，B为 n 阶方阵，λ为数，则有：
y1 a11 x1 y a x 2 21 1 y n a n1 x1
(7)
记其系数矩阵为A，又记
X ( x1 , x2 ,, xn )T Y ( y1 , y2 ,, yn )T
（8）
则（7）可记为
Y=AX
第二章 矩阵 由克莱姆法则知，当
第10页
A 0 时，从（7）可得：
第二章 矩阵
第1页
前次课内容回顾
一些概念
线性变换、矩阵、实（复）矩阵、同型矩阵；n阶方阵、 行矩阵、列矩阵；矩阵转置；
零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、数量矩阵，对称阵；
反对称阵。 一些结论 线性变换与矩阵是一一对应的。 矩阵相等 A B aij 矩阵的加法和数乘。
bij , (i 1,2,, m, j 1,2,, n)
解
因为A 2 0 ,
B 1 0 , 知A1 , B 1存在
由
AXB C
得
A21 A22 A23
X A1CB1
A31 2 6 4 1 A32 3 6 5 ， 2 2 2 2 A33
A11 1 1 而 A 1 A* A12 A A A13
第二章 矩阵 由（9）式: Y=AX 和（10）式: X=BY，立得
第11页
Y A( BY ) ( AB )Y X B( AX ) ( BA) X
由线性变换与矩阵间的一一对应性，知应有 AB=BA= E ， 这便是A, B应满足的关系,由此给出： 定义 对于 n 阶方阵 A ，如果有一个n 阶方阵 B，使
结论：A可逆的充要条件是A为非奇异的。
a b 例 求2 阶方阵 A c d
解
( ad bc 0 ) 的逆阵。
d b A ad bc 0 , A* c a
1 d b 故 A . ad bc c a
A11 则 A 的分块矩阵可记为 A A 12 A12 A22 A13 A23
第二章 矩阵 分块矩阵的运算规则
第22页
, ⑴ 加法 设Amn , Bmn为同型矩阵且分块方法相同
A11 A1r B11 B1r A , B A A B Bsr sr s1 s1
显然，一个矩阵常可有不同的分块方法。
第二章 矩阵 如：对一个3×4的矩阵 A ( a ij )34 可以分为：
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记
a11 A a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
a14 a 24 ， a 34
a12 a13 a11 a14 , A13 A11 a , A12 a a a 23 21 24 22 A21 a 31 , A22 a 32 a 33 , A23 a 34
b12 y 2 b1n y n b22 y 2 b2 n y n bn 2 y 2 bnn y n
x1 b11 y1 x b y 2 21 1 x n b n1 y 1
(9)
通常称线性变换（9）为线性变换（7）的逆变换。 用矩阵记法，(9)可记为（记系数矩阵为B）， X=BY 下面我们分析互逆变换中矩阵之间的关系。 （10）
请注意伴 随矩阵的 构造。
称为方阵A的伴随矩阵。 注：易知 A* ( Aij )T .