概率论复习
概率论与数理统计期末复习
概率统计期末知识点复习一、概率计算⒈事件的关系和运算⑴ 子事件(事件的包含)B A ⊂：若A 发生，则B 必然发生； ⑵ 相等事件A B =：B A ⊂且A B ⊃； ⑶ 并事件B A ：“,A B 中至少发生一个”； ⑷ 交（积）事件AB ：“,A B 都发生”； ⑸ 互不相容（互斥）事件:AB =∅； ⑹ 对立事件：若AB =Ω，且AB =∅，称B 为A 的对立事件，记为A B =．⑺ 差事件B A -：“A 发生，而B 不发生”． ⑻ 事件的运算律 ①交换律：A B B A =，AB BA =；②结合律：()()A B C A B C =，()()AB C A BC =； ③分配律：()A B C ACBC =，()()()AB C A C B C =；④摩根律：AB A B =，AB A B =．⒉概率计算的基本公式⑴非负性：设A 为任一随机事件，则0()1P A ≤≤． ⑵规范性：()1P Ω=，()0P ∅=． ⑶并事件概率计算公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-；()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+．如果事件12,n A A A ,,两两互不相容，则1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．⑷差事件概率计算公式：()()()()()P A B P AB P A AB P A P AB -==-=-； 若B A ⊂，则①()()()P A B P A P B -=-； ②()()P B P A ≤． ⑸对立事件概率计算公式：()1()P A P A =-．1A 2A 3A nA 21(|)P A A 1()P A 312(|)P A A A11(|)nnP A AA -B2A ∙1A nA 1()P A 2()P A ()n P A 1()P B A 2()P B A ()n P B A ⒊条件概率公式、乘法公式 ⑴条件概率：()P B A ．①公式法：()(),()0()P AB P B A P A P A =>；②代入法：改变样本空间直接计算．⑵乘法公式：()0P A >，有()()()P AB P A P B A =． 设12()0n P A A A >，2n ≥，则12()n P A A A 12131211()(|)(|)(|)-=n n P A P A A P A A A P A A A ．适用范围：链式结构⒋全概公式、逆概公式 ⑴全概率公式：1,,n A A 为一完备事件组，则1()()()ni i i P B P A P B A ==∑．适用范围：并列结构⑵贝叶斯公式(逆概公式):1()()()()()i i i nkkk P A P B A P A B P A P B A ==∑．⒌古典概型、几何概型、贝努里概型 ⑴古典概型：()A P A =事件所含样本点的个数所有样本点的个数．掌握简单的排列组合．⑵几何概型：()A P A =Ω的几何测度的几何测度，其中几何测度分别为长度或面积．对比均匀分布．⑶贝努里概型：在n 重贝努里试验中事件A 恰好发生k 次的概率为(1)kkn kn C p p --，其中0,1,2,,k n =，()p P A =，01p <<．对比二项分布．⒍事件的独立性⑴事件A 和B 相互独立的直观理解为事件A 和B 各自发生与否没有任何关系．并会根据实际问题判断事件A 和B 的独立性．⑵事件,A B 相互独立()()()P AB P A P B ⇔=(|)()(()0)P B A P B P A ⇔=>.⑶,,A B C 两两独立⇔()()(),()()(),()()().P AB P A P B P AC P A P C P BC P B P C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⑷,,A B C 相互独立⇔,,()()()().A B C P ABC P A P B P C ⎧⎨=⎩两两独立,⑸独立性的有关结论：①设()0P B >，则事件A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A =．②设,A B 为两个随机事件，如果A 和B 相互独立，则A 和B 相互独立；A 和B 相互独立； A 和B 也相互独立．③设,A B 为两个随机事件，且0()1P B <<，则A 和B 相互独立的充要条件为()()P A B P A B =．④如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则12,,,n A A A 的任一部分事件（至少两个事件）也相互独立．⑤如果随机事件12,,,n A A A 相互独立，则分别将i A 不变或换成i A 后所得事件仍相互独立．例如12,,,n A A A ，12,,,n A A A 等也分别相互独立．⑥如果随机事件1212,,,,,,,m n A A A B B B 相互独立，则由12,,,m A A A 组成的随机事件与由12,,,n B B B 组成的随机事件相互独立．⒎切比雪夫不等式（估计概率） 设μ=EX，2σ=DX ，则对任意的0ε>，有22{}1P X σμεε-<≥- 或22{}P X σμεε-≥≤．⒏利用分布计算概率⑴利用分布函数计算概率：①{}()()P a X b F b F a <≤=-，000{}()(0)P X x F x F x ==--等等． ②1212{,}<≤<≤P x X x y Y y 22211211(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y =--+． ⑵利用分布律计算概率：①{}P X L ∈=i ix Lp ∈∑． ②(,){(,)}i j ij x y DP X Y D p ∈∈=∑．⑶利用密度函数计算概率：①{}{}P a X b P a X b <≤=≤≤{}P a X b =≤<{}P a X b =<<()b af x dx =⎰．②{(,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰．③00{}()X Y LP X L Y y f x y dx ∈==⎰；00{}()Y X LP Y L X x f y x dy ∈==⎰．二、随机变量的分布⒈分布函数及性质⑴一维随机变量的分布函数：(){},F x P X x x =≤-∞<<+∞． ⑵一维随机变量分布函数的性质：①0()1F x ≤≤； ②()0F -∞=，()1F +∞=； ③()F x 处处单调不减； ④()F x 处处右连续． ⑶二维随机变量的分布函数：(,){,}=≤≤F x y P X x Y y ，2(,)x y R ∈． ⑷二维随机变量分布函数的性质： ①0(,)1F x y ≤≤，其中2(,)x y R ∈；②(,)1,(,)(,)(,)0F F x F y F +∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞=； ③(,)F x y 分别为关于变量x 和y 单调不减的函数； ④(,)F x y 分别关于变量x 和y 处处右连续． ⒉分布律及性质⑴一维离散型随机变量的分布律：{}i i P X x p ==，1,2,i =；或1212~i ix x x X p p p ⎛⎫⎪⎝⎭． ⑵一维离散型随机变量分布律的性质：①0i p ≥，1,2,i =； ②1iip=∑．⑶二维离散型随机变量的分布律：{,}i j ij P X x Y y p ===，1,2,,1,2,i j ==；或2j y121j p⑷二维离散型随机变量分布律的性质： ①0ij p ≥，1,2,,1,2,i j ==； ②1ijijp=∑∑．⒊密度函数及性质⑴一维连续型随机变量的密度()f x ：()f x 满足()()x F x f t dt -∞=⎰，x -∞<<+∞．⑵一维连续型随机变量密度函数的性质： ①()0,(,)f x x ≥∈-∞+∞； ②()1f x dx +∞-∞=⎰．⑶二维连续型随机变量的密度(,)f x y ：(,)f x y 满足(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰，2(,)x y R ∈．⑷二维连续型随机变量密度函数的性质： ①(,)0≥f x y ，2(,)x y R ∈； ②(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰．⒋常见分布及其数字特征⑴01-分布~(1,)X B p ：1{}(1)k k P X k p p -==-，0,1;,k EX p DX pq ===． ⑵二项分布(,)B n p ：{}(1),0,1,2,,,01kkn kn P X k C p p k n p -==-=<<；,EX np DX npq ==．应用背景．．：记X 为n 重贝努利试验中A 发生的次数．．,则(,)X B n p .⑶泊松分布()P λ：{},0,0,1,2,!kP X k e k k λλλ-==>=，EX DX λ==.⑷均匀分布~[,]X U a b ：1,,()0,a x b f x b a ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其它.()2,212b a a b EX DX -+==. ⑸指数分布()E λ：,0,()00,0.x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩,211,EX DX λλ==.⑹正态分布X ~),(2σμN：22()2()x f x μσ--=，x -∞<<+∞；2,EX DX μσ==.5．常见分布的性质⑴（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(,),1,2,,i i X B n p i n =，则11~(,)nnii i i XB n p ==∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),1,2,,i X B p i n =，则1~(,)nii XB n p =∑．反之，服从二项分布(,)B n p 的随机变量X 可以分解为n 个相互独立，且均服从(1,)B p 的随机变量12,,n X X X 之和．⑵（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X P i n λ=，则11~()nnii i i XP λ==∑∑．⑶（了解）设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X E i n λ=，则121min{,,,}~()nn i i X X X E λ=∑．⑷（了解）设随机变量12~[,]X U θθ，则12~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++>；21~[,](0)aX b U a b a b a θθ+++<．⑸（了解）设二维随机变量(,)X Y 服从均匀分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从均匀分布．⑹设随机变量2~(,)X N μσ，则22~(,)Y aX b N a b a μσ=++，其中0a ≠．特别地，~(0,1)X N μσ-．⑺设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i i i X N i n μσ=，12,,,n a a a 是不全为零的常数，则22111~(,)n n ni i i i i i i i i a X N a a μσ===∑∑∑．特别地，设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且2~(,),1,2,,i X N i n μσ=，则211~(,)n i i X N n nσμ=∑． ⑻设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，,,U aX bY V cX dY =+⎧⎨=+⎩且0ad bc -≠，则(,)U V 也服从二维正态分布．⑼设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=．⒌边缘分布 ⑴离散型{}i ij jP X x p ==∑，1,2,i =；{}j ijiP Y y p==∑，1,2,j =．关于X 的边缘分布律可对表中的i j p 进行纵向求和即得；关于Y 的边缘分布律可对表中的i j p 进行横向求和即得．⑵连续型()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰,x -∞<<+∞；()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．()X f x 可通过在给定点x 处，),(y x f 的纵向积分（对y 从-∞到+∞积分）求得，()Y f y 可通过在给定点y 处，),(y x f 的横向积分（对x 从-∞到+∞积分）求得．⒍条件分布 ⑴离散型1212()~i jj ij j jjjx x x p p p X Y y p pp⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；1212()~j ij i i i iiiy y y p Y X x p p p p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． ⑵连续型(,)()()X Y Y f x y f x y f y =，x -∞<<+∞；(,)()()Y X X f x y f y x f x =，y -∞<<+∞．⒎随机变量的独立性⑴随机变量X 和Y 相互独立的直观意义是指X 和Y 的各自取值情况没有任何关系． ⑵利用分布函数：(,)()()X Y F x y F x F y =． ⑶利用分布律：ij i j p p p =，1,2,,1,2,i j ==．⑷利用密度函数：(,)()()X Y f x y f x f y =． ⑸随机变量独立性的有关结论①设随机变量X 与Y 相互独立，则对任意实数集合12,L L ，有1212{,}{}{}P X L Y L P X L P Y L ∈∈=∈∈．②如果随机变量12(,,,)m X X X 和12(,,,)n Y Y Y 相互独立，,g h 分别为m 元连续函数和n 元连续函数，则随机变量12(,,,)m g X X X 与12(,,,)n h Y Y Y 也相互独立．特别地，设随机变量X 与Y 相互独立，(),()g x h y 是连续函数，则随机变量()g X 与()h Y 也相互独立．⒏随机变量函数的分布⑴离散型随机变量函数的分布可直接列表求得． ⑵连续型随机变量函数分布采用分布函数法①()Y g X =：先求()(){}{()}()Y X g x yF y P Y y P g X y f x dx ≤=≤=≤=⎰,②(,)Z g X Y =：先求(,)(){}{(,)}(,)Z g x y zF z P Z z P g X Y z f x y dxdy ≤=≤=≤=⎰⎰，然后对y 或z 进行讨论然后求导数.⑶熟记1max i i nM X ≤≤=和1min i i nN X ≤≤=的分布函数和密度函数公式.①若随机变量12,,,n X X X 相互独立，i X 的密度函数为()i f x ，分布函数为()i F x ，1,2,,i n =，则M 和N 的分布函数(),()M N F x F x 和密度函数(),()M N f x f x 分别为12(){}()()()M n F x P M x F x F x F x =≤=，()()M Mf x F x '=； ()()()12(){}1[1][1][1]N n F x P N x F x F x F x =≤=----，()()N Nf x F x '=． ②当12,,,n X X X 独立同分布时，()()i f x f x =，()()i F x F x =，1,2,,i n =，则 ()[()]n M F x F x =，1()[()]()n M f x n F x f x -=；()1[1()]n N F x F x =--，1()[1()]()n N f x n F x f x -=-．⒐数字特征计算⑴数学期望(均值)：①一维随机变量函数的数学期望：1(),(())()().i i i g x p E g X g x f x dx ∞=+∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰注: 2,()EX E X 为其特例．②二维随机变量函数的数学期望：11(,),((,))(,)(,).i j i j i j g x y p E g X Y g x y f x y dxdy ∞∞==+∞+∞-∞-∞⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩∑∑⎰⎰注: 22,(),,(),()EX E X EY E Y E XY 为其特例．⑵方差：222()()()DX E X EX E X EX =-=-．⑶协方差：ov(,)[()()]()C X Y E X EX Y EY E XY EXEY =--=-．⑷相关系数：XY ρ=．⑸数字特征的性质（见教材）． ⑹不相关：①若0XY ρ=，称X 与Y 不相关；X 与Y 不相关的直观意义指X 与Y 没有线性关系． ②X 与Y 不相关ov(,)0C X Y ⇔=()D X Y DX DY ⇔±=+()E XY EXEY ⇔=．③设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 与Y 的相关系数XY ρρ=．④设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X 和Y 相互独立⇔0ρ=⇔X 与Y 不相关．⑤如果X 与Y 相互独立，且X 与Y 的相关系数XY ρ存在，则X 与Y 不相关．反之未必．⒑中心极限定理的应用 ⑴设12,,n X X X 独立同分布，且2,0i i EX DX μσ==≠(1,2,)i =，则当n 充分大（30n ≥）时，有21~(,)nii XN n n μσ=∑近似．⑵设~(,)X B n p ，则当n 充分大（30n ≥）时，~(,(1))X N np np p -近似．三、计算过程中需要分段讨论的几种类型与方法⒈已知X 的分布律，求X 的分布函数()F x ．三个特征： ⑴分1n +段；⑵每段上，将概率逐次累加（初始值为0，终值为1）； ⑶每个区间为左闭右开． ⒉已知X 的密度函数()f x （分段函数），求X 的分布函数()F x ． ⑴分1n +段；⑵每段上，将()f x 在(,]x -∞上积分；⑶由于()F x 为连续函数，故每个区间为开闭均可．⒊已知(,)X Y 的密度函数(,)f x y （分段函数），求X 的分布函数(,)F x y ． ⑴结合(,)F x y 的原理图和(,)f x y 特征图，将全平面分若干块； ⑵每块上，将(,)f x y 在区域(,](,]x y D -∞⨯-∞上积分．⒋连续型随机变量函数的分布⑴一维连续型随机变量函数()Y g X =的分布函数()Y F y ：①先确定()Y g X =取值范围；例如m Y M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当y m <时，()0Y F y =．③当m y M <≤时，利用定积分()()()Y X g x yF y f x dx ≤=⎰计算．④当y M ≥时，()1Y F y =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Y 为连续型随机变量，则Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=． ⑵二维连续型随机变量函数(,)Z g X Y =的分布函数()Z F z ：①确定(,)Z g X Y =的取值范围；例如m Z M ≤≤，其中,m M 为实数，则采用三段式讨论．②当z m <时，()0Z F z =．③当m z M <≤时，利用二重积分(,)()(,)Z g x y zF z f x y dxdy ≤=⎰⎰计算．④当z M ≥时，()1Z F z =．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，还可能采用两段式或四段式讨论等． ⑥若Z 为连续型随机变量，则Z 的密度函数()()Z Z f z F z '=． ⒌二维连续型随机变量(,)X Y 的边缘密度 ⑴()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰，x -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用垂直直线x m =和x M =将D 夹住． ③当x m <或x M >时，()0X f x =． ④当m x M ≤≤时，()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论． ⑵()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰,y -∞<<+∞．①作出),(y x f 的特征图．②用水平直线y m =和y M =将D 夹住． ③当y m <或y M >时，()0Y f y =． ④当m y M ≤≤时，()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰．⑤当m =-∞或M =+∞或其它情况时，也可能采用其它方式讨论．四、数理统计的基础知识⒈总体X ，样本12(,,,)n X X X 和观察值的概念．关注简单随机样本的独立性和代表性．⒉常用统计量：样本均值∑==n i i X n X 11，样本方差2211()1n i i S X X n ==--∑， 顺序统计量*11min i i nX X ≤≤=，*1max n i i nX X ≤≤=．⒊常见分布⑴正态分布：见概率论中的内容． ⑵2χ分布：设12(,,,)n X X X 为来自总体~(0,1)X N 的一个样本，就称统计量22222121ni ni X X X X ===+++∑χ服从自由度为n 的2χ分布，记作)(~22n χχ． ①设)(~22n χχ，则2()E n =χ，2()2D n =χ． ②设~(0,1)X N ，则22~(1)X χ．③设22~()i i n χχ，1,2i =，且2212,χχ相互独立，则2221212~()n n ++χχχ．⑶ t 分布：设随机变量~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X 与Y 相互独立，就称T =服从自由度为n 的t 分布，记作)(~n t T ．⑷F 分布：设随机变量)(~12n X χ，)(~22n Y χ，且X 与Y 相互独立，就称21n Y n X F =服从第一自由度为1n ，第二自由度为2n 的F 分布，记作),(~21n n F F ． ①如果~()T t n ，则2~(1,)T F n ． ②如果12~(,)F F n n ，则211~(,)F n n F． ⒋上侧分位点p x ：{},{}1p p P X x p P X x p ≥≥≤≥-． 如U α，2()t n α，21()n αχ-，2121(,)Fn n α-等等（下标为该点处右侧的面积）． 注意：1U U αα-=-，1()()t n t n αα-=-，112211(,)(,)F n n F n n αα-=．⒌单正态总体2~(,)X N μσ中X 和2S 的分布（其中12(,,,)n X X X 为样本）： ⑴2~(,)X N nσμ，或nX /σμ-~)1,0(N ；⑵nS X /μ-～)1(-n t ；⑶2212()()nii Xn μχσ=-∑；⑷222122()(1)(1)nii XX n Sn χσσ=--=-∑,且X 与2S 相互独立．五、参数估计⒈点估计 ⑴矩估计：①原理：用样本矩估计理论矩．②方法：建立方程（组）11()n rr i i X E X n ==∑，1,2,r =，解出θ，得θ的矩估计θ．⑵最大似然估计：①原理：概率最大的事件最有可能出现． ②方法：构造似然函数)(L θ=12)(,,,;n L x x x θ（似然函数体现了样本12(,,,)n X X X 出现的概率大小），求似然函数L 的最大值点，即为θ的极大使然估计θ． ③步骤：第一步：写出似然函数)(L θ．如果连续型总体X 的密度函数为(;)f x θ，则1()(;)n i i L f x θθ==∏．如果离散型总体X 的分布律为(;)p x θ，则1()(;)ni i L p x θθ==∏． 第二步：取对数ln )(L θ，并令ln 0)(d d L θθ=，或ln 0)(i L θθ∂=∂，1,2,,i k =，建立方程(组)．如果从中解得惟一驻点θˆ，则θˆ即为θ的最大似然估计； 第三步：如果上述方程无解，则通过单调性的讨论，在某边界点处，求出θ的最大似然估计量θˆ． ⒉估计量的评价标准⑴无偏性：如果E θθ=，就称θ为θ的无偏估计．主要结论有：①如果总体X 的数学期望EX 存在，则X 是μ的无偏估计，即E X μ=． ②如果总体X 的方差DX 存在，则2S 是2σ的无偏估计，即22()E S σ=．③设估计量12ˆˆˆ,,m θθθ均为θ的无偏估计，12,,,m c c c 为常数，且11mi i c ==∑，则1ˆmi i i c θ=∑仍为θ的无偏估计．注意：即使ˆθ为θ的无偏估计，而ˆ()g θ未必为．．．()g θ的无偏估计． ⑵（较）有效性：设21ˆ,ˆθθ均为θ的无偏估计，如果12ˆˆD D θθ<，就称1ˆθ比2ˆθ有效．⑶一致性（相合性）：设ˆθ为θ的估计量，如果对任意的0ε>，均有ˆl i m {}1n P θθε→∞-<=，就称θˆ为θ的一致估计量或相合估计量． ⒊单正态总体2(,)N μσ中2,σμ的区间估计⑴2σ已知，μ的置信度1α-的置信区间为22X u X u αα⎛⎫-+ ⎝． ⑵2σ未知，求μ的置信度为1α-的置信区间为2(X t n α⎛⎫±- ⎝． ⑶2σ的置信度为1α-的置信区间为2222122(1)(1),(1)(1)n Sn S n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭． 六、假设检验⒈假设检验的有关概念了解假设检验的背景，假设的提法，假设检验中的反证法思想，假设检验的基本原理，显著性检验，双侧检验和单侧检验等相关内容．⒉假设检验的两类错误⒊假设检验的四个步骤⑴根据给定的问题，建立假设检验问题01(,)H H ． ⑵根据检验问题01(,)H H 及条件，选择检验统计量12(,,,)n g X X X ．当0H 为成立时，确定该统计量12(,,,)n g X X X 的分布．⑶根据显著性水平α，确定临界值和原假设0H 的拒绝域W ． ⑷通过样本值12(,,,)n x x x ，计算统计量12(,,,)n g X X X 的值12(,,,)n g x x x ．若12(,,,)n g x x x W ∈，则拒绝0H ，否则接受0H ．⒋单正态总体中均值和方差的假设检验。
概率论复习题答案
一、单项选择题1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. 0.1 B. 0.5 C. 0.25 D 42 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B )A. 0B. 2C. 0.5 D 13 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A )A. 0B. 2C. 1 D 44 已知P(A)=0.8 ,则)(A A P ⋃的值为( D )(A) 0.8 (B) 0.2 (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)=0.4 ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) 0.24 (C) 0 (D) Φ6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A.A B =A ⋃B B. A ⋃B =ABC. A ⋃BC=(A ⋃B)(A ⋃C)D. (A ⋃B)(A ⋃B )=AB7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ(0.25) B. 1 - Φ(0.25) C. Φ(4 ) D. Φ(-4)8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ(0.2) B. 1 - Φ(0.2) C. Φ(0 ) D. Φ(1)9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为0.5x, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 0.52x B. 0.5 C. 0.252x D. x10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为0.25x, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 0.52x B. 1 C. 0.1252x D. 011. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=!n e nλλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B )A. 参数为λ的指数分布B. 参数为λ的泊松分布C. 参数为λ的二项式分布D. 其它分布12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的围必须（ B ）。
《概率论与数理统计》分章复习题
第一章 随机事件与概率一、 选择题1、以A 表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则A 为( ).(A) 甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B) 甲、乙产品均畅销(C) 甲种产品滞销 (D) 甲产品滞销或乙产品畅销2、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个发生的事件可以表示为( ).(A)ABC (B) A B C ⋂⋂ (C) A B C ⋃⋃ (D) ABC3、已知事件B A ,满足A B =Ω(其中Ω是样本空间),则下列式( )是错的. (A) B A = （B ） Φ=B A (C) B A ⊂ （D ） A B ⊂4、设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 中至少有一个不发生的事件可以表示为( )。
(A)ABC （B ）ABC (C) A B C ⋃⋃ （D ） ABC5、假设事件,A B 满足(|)1P B A =，则( ).(A) A 是必然事件 (B) (|)0P B A = (C)A B ⊃ (D)A B ⊂6、设()0P AB =, 则有( ).(A) A 和B 不相容 (B) A 和B 独立 (C) P(A)=0或P(B)=0 (D) P(A-B)=P(A)7、设A 和B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）.（A ）A 与B 不相容 （B ）A 与B 相容（C ）()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=8、设A B ⊂，则下面正确的等式是( ). (A) )(1)(A P AB P -= (B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()|(B P A B P = (D) )()|(A P B A P =9、事件,A B 为对立事件，则下列式子不成立的是( ).(A)()0P AB = （B ）()0P AB = (C)()1P A B ⋃= （D ） ()1P A B ⋃=10、对于任意两个事件,A B ，下列式子成立的是( ).(A) ()()()P A B P A P B -=- （B ） ()()()()P A B P A P B P AB -=-+(C) ()()()P A B P A P AB -=- （D ） ()()()P A B P A P AB -=+11、设事件B A ,满足1)(=B A P ， 则有（ ）.（A ）A 是必然事件 （B ）B 是必然事件（C ）A B φ⋂=(空集) （D ）)()(B P A P ≥ 12、设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ）.（A ）()()P A B P A ⋃=; （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -13、设,A B 为任意两个事件，0)(,>⊂B P B A ，则下式成立的为（ ）（A ）B)|()(A P A P < （B ）B)|()(A P A P ≤（C ）B)|()(A P A P > （D ）B)|()(A P A P ≥14、设A 和B 相互独立，()0.6P A =，()0.4P B =，则()P A B =（ ）（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.24 （D ）0.515、设 (),(),(),P A c P B b P A B a ==⋃= 则 ()P AB 为 ( ).(A) a b - （B ） c b - (C) (1)a b - （D ） b a -16、设A ,B 互不相容，且()0,()0P A P B >>,则必有（ ）. (A) 0)(>A B P （B ）)()(A P B A P = (C) )()()(B P A P AB P = （D ） 0)(=B A P17、设,A B 相互独立，且()0.82P A B ⋃=,()0.3P B =，则()P A =（ ）。
概率论复习重点(本人归纳,可能有遗漏,酌情参考)
概率论复习要点（个人归纳）第一章：全概率公式P19例五独立事件：P22页例3第二章：几个重要的分布，二项分布，泊松分布，均与分布，正态分布（第四章的重点）。
P34例62.4分布函数，具体可以参考P43 例2和P44例三2.5二维随机变量，要求掌握二维随机变量（X，Y）的分布律的画法以及边缘分布律的画法另外2.5中P48定义二以及P48例三都是需要掌握的内容，应该会考到2.6边缘分布P51的例一例二以及上面的公式都可以看看，2.9随机变量及其分布，需要掌握Y=g（x）的求法，几个例题都可以看看，例三和例四比较经典第三章：3.1数学期望：P76页的公式，离散型和连续型随机变量的数学期望的求法以及P78页的定理，当然，P80的几个法则也要注意，p81例10不错。
几个例题都可以看看3.2与.33中方差和协方差的算法P87的例1很经典，P89的定理二可以看一看。
3.4和3.5略，并没有什么关于这两个小节的看法（PS：这两个小节上课我也没认真听）补充：几种特殊分布的数学期望和方差需要记一下，虽然并不一定会考，但是，万一呢？第四章：正态分布4.1正态分布的标准式要牢记，以及4.1.5的小公式要记住P100的引理P101的例1虽然很简单，但是很常用，很值得参考P103的3o法可以看看，虽然并没有什么卵用4.2 P105定理一记一下，以及P105的定理2和定理2的系也需要记一下4.3可以看一下中心极限定理，P109例1很值得一看第五章：5.3前面的部分都是很简单的描述统计，就不介绍了，但是可以看一看5.3记一下公式就好，知道k阶原点矩和k阶中心矩的概念，以及S^2,，和均值的计算就好。
5.4的P133-P135douyao看一看然后就是几个分布X^2分布，T分布。
5.4的P138页的定理1和定理2需要着重看一看第六章：6.1.1矩估计法的使用，具体可以参考P147的例2，P147的例3也不错，不过不是很常用，P147的例4页很不错，很值得参考6.1.2最大似然估计法：要求掌握L(P)的使用以及会用ln（L（p））求导并求得P的最大似然估计量和估计值，P149-P150de例5,6,7都可以参考，例五较为经典，6.2稍微看看掌握就好6.3-6.4-6.5参数的区间估计：我们只要求掌握单个总体的均值u的置信水平为1-a置信区间以及单个总体的方差s^2的的置信区间P159例1可作为参考，P158和P162的公式必须牢记，因为我并不知道考试到底给不给这些公式6.6的单侧置信上下限可以看看，与单侧置信区间的差别很小，P166的那张表一定要看，单个正太总体所对应的几个求u和s的置信区间和单侧置信上下限都要牢记第七章：假设检验：7.2 P177-P178的两个表一定要记住，可以看看P178的例题加深印象，不过这种东西还是做题更能加深理解7.3 P183下方一直到P185页都很值得一看，当然，重点还是185的那张表然后，貌似就并没有什么其它的考点了。
概率论复习大纲
第一章 随机事件和概率基本概念：随机试验、样本点、样本空间、随机事件、事件发生、事件关系、事件运算、事件互不相容、概率、概率空间、古典概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、事件独立、试验独立。
典型例题：1. 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大.2. 甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为 0.7，乙命中目标的概率为0.8 求：(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；(2)恰有一人命中目标的概率；(3)目标被命中的概率.3. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.4. 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%, 丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%, 丙厂产品正品率为85%, 如果从这批产品中随机抽取一件, 试计算该产品是正品的概率多大.第二章 随机变量及其分布函数基本概念：随机变量、分布函数、二项分布、正态分布、条件分布、2χ-分布、t -分布、F -分布。
典型例题：1、有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品. 现从中每次任取1件，有放回地取5件，试求这5件所含次品数ξ的分布列.2、 设随机变量ξ的分布密度为p （x ）＝ ，⎩⎨⎧<≥-0x 002x ae x ，求：（1）常数a ； （2）P （ξ＞3）.3、已知随机变量ξ的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.013.02.005.037.073101 ，（1）求η＝2－ξ的分布列； （2）求η＝3＋ξ2分布列.4、设ξ服从N （5，32），求P （ξ＜10），P （102≤<ξ）.5、 某工厂生产的一批零件，合格率为95%，今从中抽取100件，试求下列事件的概率：（1）被检验的100件中恰好有4件不合格品； （2）不合格的件数不少于4件； （3）不合格的件数在4到6之间. 6、 已知随机变量ξ的分布密度为)(x p ξ＝ ， 其他， ⎪⎩⎪⎨⎧<<0412ln 21x x ，且η＝2－ξ，试求η的分布密度. 7、设随机变量X 服从（-2，２）上的均匀分布，求随机变量2X Y =的概率密度函数为)(y f Y .8. 设G 是由直线y=x ，y=3，x=1所围成的三角形区域，二维随机变量),Y X （在G 上服从二维均匀分布求：（1）),Y X （的联合概率密度；（2）}1{≤-X Y P ；（3）X 的边缘概率密度。
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。
第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。
所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
(0264)《概率论》复习思考题
（0264）《概率论》复习思考题1.一袋中有编号为1，2，…，9的球共9只，某人从中任取3只球，则取到的球最小号码为5的概率为 。
2.一个房间内有n 双不同型号的鞋子，今从中随意地取出2 r(2 r ≤ n)只，则2 r 只中没有一双配对的概率为 （只需写出表达式）。
3.将n 个不同的球等可能地放入N(N>n)个盒子中，则（1）某指定的n 个盒子中各有一个球的概率p 1= ； （2）任意n 个盒子中各有一个球的概率p 2= 。
4.在某城市中，共发行三种报纸A 、B 、C 。
在这城市的居民中，订阅A 报的占45%,订阅B 报的占35%,订阅C 报的占30%,同时订阅A 报及B 报的占10%,同时订阅A 报及C 报的占8%,同时订阅B 报及C 报的占5%,同时订阅A 、B 、C 三种报纸的占3%，则（1）“至少订阅一种报纸的”概率为 ；（2）“不订阅任何报纸的”概率为 。
5.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则（1）“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为 ；（2）“第一卷出现在旁边”的概率为 。
6.设一口袋中有a 只白球,b 只黑球,从中取出三只球(不放回) , 则三只球依次为黑白黑的概率为 。
7.三人独立的破译一份密码,已知各个人能译出的概率分别为53,21,41.这密码被译出的概率为 .8.已知 P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(AB)=0.2则P()(B A AB ⋃)= .9.设10件产品中含有4件次品，今从中任取2件，发现其中一件是次品，则另一件也是次品的概率为 。
10.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P 。
11.设,)(,)(,)(r AB P q B P p A P ===则=)(B A P 。
12.已知随机变量X 服从二项分布，且44.1,4.2==DX EX ，则二项分布的参数n, p 的值为 。
13. 设随机变量X 的分布列为.,2,1,5)5)1((1==-=+i Ci X P i i i 常数C ＝ 。
《概率论与数理统计》复习题及答案
《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题1.未知p(ab)?p(a)，则a与b的关系就是单一制。
2．未知a,b互相矛盾，则a与b的关系就是互相矛盾。
3.a,b为随机事件，则p(ab)?0.3。
p(a)?0.4，p(b)?0.3，p(a?b)?0.6，4.已知p(a)?0.4，p(b)?0.4，p(a?b)?0.5，则p(a?b)?0.7。
25.a,b为随机事件，p(a)?0.3，p(b)?0.4，p(ab)?0.5，则p(ba)?____。
36．已知p(ba)?0.3，p(a?b)?0.2，则p(a)?2/7。
7．将一枚硬币重复投掷3次，则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。
8.设立某教研室共计教师11人，其中男教师7人，贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师，则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___26____。
339.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。
611110.3人单一制截获一密码，他们能够单独所译的概率为,,，则此密码被所译的5343概率为______。
5后不送回，则第2次取出的就是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235cp(1?p)7次顺利的概率为______。
12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为1事件a顺利的概率p?______。
319，则一次试验中27c35813．随机变量x能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。
24815k14．随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5，则p(x?3x?5)?_0.4_。
15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数，则x分布律为__??pi?1x?0?0??__。
0.40.6??2?0,x?0??16．随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??，则2?1,x2?p(x??3)?__3__。
大学概率论期末复习题七套
试题（一）一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。
试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。
则P(B )A ＝3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(AB)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为二、选择题1. 设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是 （A ）P (A+B) = P (A); （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为 （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 4. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。
（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。
5. 若()1P B A =，那么下列命题中正确的是（A ）A B ⊂ （B ）B A ⊂ （C ）A B -=∅ （D ）()0P A B -=三、计算题1． 10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
概率论与数理统计复习要点
概率论与数理统计复习要点在大学的数学学习中，概率论与数理统计是一门非常重要的课程。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在其他学科如物理学、经济学、计算机科学等中发挥着重要作用。
为了帮助大家更好地复习这门课程，以下是一些关键的复习要点。
一、随机事件与概率这部分是概率论的基础。
首先要理解随机事件的概念，包括必然事件、不可能事件和随机事件。
对于概率的定义，要熟悉古典概型、几何概型和统计概型的计算方法。
古典概型中，要注意样本空间的确定和基本事件的个数计算。
比如，从一个装有若干个不同颜色球的盒子中摸球，计算摸到特定颜色球的概率。
几何概型则通常涉及到图形的面积或长度的比例。
例如，在一个给定区域内随机投点，计算点落在特定区域的概率。
在概率的性质方面，要掌握概率的基本性质，如非负性、规范性和可加性。
特别要注意条件概率和乘法公式的应用。
条件概率 P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
乘法公式 P(AB) ＝P(A)P(B|A) 在计算多个事件同时发生的概率时经常用到。
全概率公式和贝叶斯公式也是重点。
全概率公式用于将一个复杂事件的概率分解为若干个简单事件概率的加权和。
贝叶斯公式则是在已知结果的情况下，反推导致该结果的原因的概率。
二、随机变量及其分布随机变量是将随机试验的结果数量化，分为离散型随机变量和连续型随机变量。
对于离散型随机变量，要掌握其概率分布列的性质，以及常见的离散型分布，如二项分布、泊松分布等。
二项分布适用于独立重复试验中成功次数的概率计算，泊松分布常用于描述稀有事件发生的次数。
连续型随机变量则需要理解其概率密度函数的性质，以及常见的连续型分布，如均匀分布、正态分布等。
正态分布是最重要的分布之一，其概率密度函数呈现出钟形曲线，具有很多优良的性质。
掌握随机变量函数的分布也是很重要的。
通过已知随机变量的分布，求出其函数的分布。
三、多维随机变量及其分布多维随机变量包括二维随机变量和多维随机变量。