导数
导数公式大全
导数公式大全1.一元函数的导数公式：。
一元函数的导数公式为：y'=f'(x)，其中f'(x)为x的导数，表示对x求导数。
2.二元函数的导数公式：。
二元函数（即具有两个未知变量的函数）的导数公式为：∂f/∂x= limh→0 (f(x+h)-f(x))/h。
∂f/∂y= limh→0 (f(y+h)-f(y))/h。
其中∂f/∂x表示对x求偏导，∂f/∂y表示对y求偏导。
3.三元函数的导数公式：。
三元函数（即具有三个未知变量的函数）的导数公式为：∂f/∂x= limh→0 (f(x+h,y,z)-f(x,y,z))/h。
∂f/∂y= limh→0 (f(x,y+h,z)-f(x,y,z))/h。
∂f/∂z= limh→0 (f(x,y,z+h)-f(x,y,z))/h。
其中∂f/∂x表示对x求偏导，∂f/∂y表示对y求偏导，∂f/∂z表示对z 求偏导。
4.常用函数的导数公式：。
常用函数的导数公式有：（1）多项式函数的导数：n阶多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的导数为f'(x)=nanxn-1+n-1an-1xn-2+…+a1；。
（2）指数函数的导数：以a≠0，a≠1为底的指数函数f(x)=a^x的导数为f'(x)=ln|a|a^x；。
（3）对数函数的导数：以a≠0，a≠1为底的对数函数f(x)=ln|x|a 的导数为f'(x)=1/xa；。
（4）三角函数的导数：正弦函数sin(x)的导数为cos(x)；余弦函数cos(x)的导数为-sin(x)；正切函数tan(x)的导数为sec2(x)；反正切函数cot(x)的导数为-csc2(x)；反余弦函数arcsin(x)的导。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
导数计算公式
导数计算公式导数是微积分中最基本的概念之一，用于描述函数在其中一点的变化率。
在数学中，导数的计算是通过极限的概念进行的。
导数的计算公式可以根据函数的不同类型进行分类。
首先，我们来看一下基本函数的导数计算公式。
1.需知导数计算的公式：(1)常数函数的导数：如果f(x)=c，其中c是常数，则f'(x)=0。
(2)幂函数的导数：若f(x) = x^n(n为常数)，则f'(x) = nx^(n-1)。
(3)指数函数的导数：若f(x) = a^x(a>0且a≠1)，则f'(x) = ln(a) * a^x。
(4)对数函数的导数：若f(x) = logₐ(x)(a>0且a≠1)，则f'(x) = 1 / (ln(a) * x)。
(5)三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)。
(6)反三角函数的导数：sin^(-1)'(x) = 1 / √(1 - x^2)cos^(-1)'(x) = -1 / √(1 - x^2)tan^(-1)'(x) = 1 / (1 + x^2)。
2.导数的四则运算法则：导数具有以下四则运算法则，对于函数f(x)和g(x)，它们的导数可以通过以下公式计算：(1)(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)(2) (cf)'(x) = cf'(x)(3)(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)(4)(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)。
3.链式法则：链式法则是导数计算中的一个重要法则，它用于计算复合函数的导数。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = dy/du * du/dx。
导数的公式及运算法则
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
作业
A组： 1 （2）（4）. . .（12） 3(4)(5)(6) 4 选作：A组： 5 B组： 1 3 4
1 cos x
1 cos x
3(ln sin x ln(1 cos x))
y
1 1 (sin x) (1 cos x)] 3[ sin x 1 cos x cos x 0 ( sin x) 3[ ] 3 cot x 3 sin x sin x 1 cos x 1 cos x
练习：P.45
A组
3
（1）（2）（3）
例8 设y e 解
1 x 2
，求y
1 x 2
y (e
1 x 2
) e
1
2
( 1 x 2 )
2
e
1 x 2 (
2 1 x
) (1 x )
x 1 x
2
e
1 x 2
sin x 3 ) ，求 y 例9 设y ln( 1 cos x sin x 3 sin x 解 由于 y ln( ) 3 ln
例10 设为实数，求幂函数 x的导数 y . 解 y x 可写成指数函数的形式： y e ln x
y e , u ln x, 1 dy u u 从而 (e ) ( ln x) e x dx u 1 1 e x x x
用定义求导数的方法
(1)求增量y
y (2)求比值 x y (3)求极限lim0 x x
导数的定义与求解
导数的定义与求解导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇文章中，我们将深入探讨导数的定义及其求解方法。
定义：导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
给定函数f(x)，如果函数在点x处的导数存在，则称该导数为f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。
导数可以用极限的概念来定义，具体地，函数f(x)在点x处的导数可以通过以下极限来求解：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，h为一个趋近于0的数。
求解导数的方法有很多，下面将介绍几种常见的方法。
1.用定义法求导数：利用导数的定义进行计算。
将函数代入定义式，并对极限进行化简，最终得到导数的值。
这种方法适用于简单函数，但对于复杂函数可能会很繁琐。
2.常见函数的导数：为了简化求导数的过程，我们需要记住一些基本函数的导数。
常见函数的导数公式包括：常数函数的导数为0，幂函数的导数为n*x^(n-1)，指数函数的导数为a^x*ln(a)，对数函数的导数为1/x。
有了这些基本函数的导数公式，可以通过组合和运用求导法则来求解更复杂函数的导数。
3.利用求导法则：求导法则是一系列用于简化求导过程的规则。
常见的求导法则包括：常数乘法法则（导数与常数相乘）、和差法则（导数的和等于导数的和）、乘法法则（导数的乘积等于一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以一个函数）、链式法则（嵌套函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数），以及复合函数的求导法则等。
利用这些法则，可以更快速地求解复杂函数的导数。
4.隐函数求导：有时候，函数的表达式并不是显式给出的，而是以方程的形式出现。
这时需要使用隐函数求导的方法来求解导数。
隐函数求导基于隐函数定理和导数的定义，通过对方程两边求导得到导数的表达式。
求导是微积分的一个基本概念，它在数学和科学的各个领域中都有广泛应用。
导数的定义帮助我们理解函数的瞬时变化率，求导的方法则使我们能够更方便地计算函数的导数。
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念之一，用于研究函数的变化率和曲线的切线斜率。
本文将从导数的定义入手，介绍导数的计算方法，并给出一些例题来帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义在数学上，给定一个函数y=f(x)，其导数定义为函数在某一点x处的变化率。
导数可以用极限来表示，即：f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，Δx为自变量的增量。
导数的值可以表示函数在该点的切线斜率，即函数曲线在该点处的速率。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面列举几种常见的：1. 基本导数公式对于常见的基本函数，存在一些导数的基本公式，如：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0，其中c为常数；- 幂函数导数为功率减一：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数导数等于自身：d/dx(e^x) = e^x；- 对数函数导数为倒数：d/dx(ln(x)) = 1/x。
通过应用基本导数公式，可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算规则对于已知的函数f(x)和g(x)，导数的四则运算规则如下：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2以上规则为导数的基本运算规则，可以根据需要进行组合和推广。
3. 链式法则如果函数y=f(g(x))是由两个函数复合而成，那么它的导数可以用链式法则来计算。
链式法则可以表示为：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)通过链式法则，可以求解更复杂的复合函数的导数，进一步扩展了导数的计算方法。
数学中求导的公式
数学中求导的公式求导是微积分中的一个重要概念，用于描述一个函数在某一点的变化率。
在数学中，求导的公式是通过对函数进行微分来计算它的导数。
导数表示了函数在某一点的切线斜率，也可以用来求函数的最值、高阶导数等。
在求导的过程中，我们常用的求导公式有以下几个：1. 常数函数的导数公式：对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。
2. 幂函数的导数公式：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为y' = n * x^(n-1)。
这个公式可以通过使用定义来推导，也可以使用幂函数的特殊性质来求导。
3. 指数函数的导数公式：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且不等于1，其导数为y' = ln(a) * a^x。
指数函数的导数与函数自身成正比，且比例常数是ln(a)。
4. 对数函数的导数公式：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，其导数为y' = 1 / (x * ln(a))。
对数函数的导数可以通过换底公式和指数函数的导数公式推导得到。
5. 三角函数的导数公式：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等，它们的导数公式分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)等。
这些公式可以通过使用极限定义来推导。
6. 反三角函数的导数公式：对于反三角函数arcsin(x)、arccos(x)、arctan(x)等，它们的导数公式分别为 1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 + x^2)等。
这些公式可以通过使用反函数的导数与原函数导数互为倒数的性质来推导。
7. 复合函数的导数公式：对于复合函数y = f(g(x))，其中f和g 分别为函数，其导数可以通过链式法则来计算。
链式法则表示，复合函数的导数等于外层函数在内层函数的导数上乘以内层函数的导数。
求导基本公式16个
求导基本公式16个求导是微积分中的重要概念，用来求函数的变化率和斜率。
在求导过程中，有一些基本公式是非常重要的，它们可以帮助我们简化计算。
下面是16个常用的求导基本公式：1. 常数规则：对于常数c，导数为0。
即：d/dx(c) = 0。
2. 变量规则：对于自变量x，导数为1。
即：d/dx(x) = 1。
3. 幂规则：对于幂函数y = x^n（n为常数），导数为ny^(n-1)。
即：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
4. 指数函数规则：对于以e为底的指数函数y = e^x，导数为e^x。
即：d/dx(e^x) = e^x。
5. 对数函数规则：对于以a为底的对数函数y = log_a(x)，导数为1/(x·ln(a))。
即：d/dx(log_a(x)) = 1/(x·ln(a))。
6. 乘法法则：对于函数y = u(x)v(x)，导数为u'(x)v(x) +u(x)v'(x)。
即：d/dx(uv) = u'v + uv'。
7. 除法法则：对于函数y = u(x)/v(x)，导数为(u'(x)v(x) -u(x)v'(x))/(v(x))^2。
即：d/dx(u/v) = (u'v - uv')/(v^2)。
8. 链式法则：对于复合函数y = f(g(x))，导数为f'(g(x))·g'(x)。
即：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)。
9. 正弦函数法则：对于正弦函数y = sin(x)，导数为cos(x)。
即：d/dx(sin(x)) = cos(x)。
10. 余弦函数法则：对于余弦函数y = cos(x)，导数为-sin(x)。
即：d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
11. 正切函数法则：对于正切函数y = tan(x)，导数为sec^2(x)。
导数的计算方法总结
导数的计算方法总结导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
下面是导数的计算方法的总结：1. 通过定义计算导数：导数的定义是函数在某一点的极限，可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 基本导数法则：常数规则，如果f(x)是常数c，那么f'(x) = 0。
幂函数规则，如果f(x) = x^n，其中n是实数常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
和差法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
乘法法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
商法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
3. 链式法则：链式法则适用于复合函数的导数计算。
如果y = f(g(x))，其中f和g都是可导函数，那么y对x的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = f'(g(x)) g'(x)。
4. 高阶导数，导数的导数称为高阶导数。
一阶导数是函数的斜率，二阶导数是函数的曲率。
高阶导数可以通过连续应用导数的定义和法则来计算。
5. 隐函数求导，当函数无法直接表示为y = f(x)的形式时，可以使用隐函数求导方法来计算导数。
6. 参数方程求导，对于参数方程x = f(t)和y = g(t)，可以通过对x和y同时关于t求导来计算参数方程的导数。
以上是导数的计算方法的总结，这些方法可以帮助我们计算函数在特定点的导数，进而了解函数的变化趋势和性质。
各种导数公式
各种导数公式一. 常数函数的导数当函数f(f)=f为一个常数时，任何数f的函数的导数都为零。
即： $\\frac{d}{dx}c=0$二. 幂函数的导数1.对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，则它的导数为： $\\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$2.特殊情况下，当f=0时，f(f)=f0=1，导数为：$\\frac{d}{dx}1=0$三. 指数函数的导数1.对于指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则它的导数为： $\\frac{d}{dx}a^x=a^xln(a)$四. 对数函数的导数1.自然对数函数f(f)=ff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}ln(x)=\\frac{1}{x}$2.一般对数函数f(f)=fff f f的导数为：$\\frac{d}{dx}log_ax=\\frac{1}{xln(a)}$五. 三角函数的导数1.正弦函数f(f)=fff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)$2.余弦函数f(f)=fff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}cos(x)=-sin(x)$3.正切函数f(f)=fff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}tan(x)=sec^2(x)$六. 反三角函数的导数1.反正弦函数f(f)=ffffff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}arcsin(x)=\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$2.反余弦函数f(f)=ffffff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}arccos(x)=-\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$3.反正切函数f(f)=ffffff(f)的导数为：$\\frac{d}{dx}arctan(x)=\\frac{1}{1+x^2}$七. 复合函数的导数法则1.若f=f(f)和f=f(f)，则复合函数f=f(f(f))的导数为：$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du}\\cdot\\frac{du}{dx}$八. 导数的加减法则1.若$y=u\\pm v$，则导数之和为：$\\frac{d}{dx}(u\\pmv)=\\frac{du}{dx}\\pm\\frac{dv}{dx}$九. 导数的乘法法则1.若$y=u\\cdot v$，则导数之积为：$\\frac{d}{dx}(u\\cdotv)=u\\frac{dv}{dx}+v\\frac{du}{dx}$十. 导数的除法法则1.若$y=\\frac{u}{v}$，则导数之商为：$\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{u}{v}\\right)=\\frac{v\\frac{d u}{dx}-u\\frac{dv}{dx}}{v^2}$十一. 高阶导数1.高阶导数表示对函数导数的多次求导，用f次求导运算符′表示，例如f″表示f的二阶导数。
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高三数学第二轮复习导数自助餐 1.已知函数xxf)(，)1ln()(xxg，.1)(xxxh （1）证明：当0x时，恒有);()(xgxf （2）当0x时，不等式)0()(kxkkxxg恒成立，求实数k的取值范围; （3）在x轴正半轴上有一动点)0,(xD，过D作x轴的垂线依次交函数)(),(),(xhxgxf 的图象于点CB、、A，O为坐标原点.试将AOB与BOC的面积比表示为x的函数)(xm，并判断)(xm是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由. 解：（1）设)()()(xgxfxF，则)('xF=xxx1111 ，……2分
当0x时，0)('xF，所以函数)(xF在（0，)单调递增，又)(xF 在0x处连续，所以0)0()(FxF，即0)()(xgxf， 所以)()(xgxf。……4分 （2）设xkkxxgxG)()(，
则)(xG在（0，)恒大于0，xkkkxxG2)1ln()(，
22222))(1()2()(11)('xkxxkkxxkkxxG，……6分
0)2(22xkkx的根为0和,22kk 即在区间（0，)上，0)('xG的根为0和,22kk 若022kk，则)(xG在)2,0(2kk单调递减， 且0)0(G，与)(xG在（0，) 恒大于0矛盾； 若022kk，)(xG在（0，)单调递增， 且0)0(G，满足题设条件，所以022kk，所以.20k……9分 （3）xxxxxSSxmBOCAOB1)1ln()1ln()( 2)1)1(ln()'1)1(ln())1ln(()1)1(ln()]'1ln([)('xxxxxxxxxxxxxxm
其分母为正数，其分子为： 2222)1(2)1(2)1ln(xxxxxx
]22)1[ln()1()2(2xxxxxx……12分
由第（2）问知：xxx22)1ln(在),0(恒成立， 所以0)('xm在),0(恒成立，即)(xm在),0(为单调递增函数， 故)(xm而无极值.……14分 ☆2.设函数321()()3fxaxbxcxabc，其图象在点(1,(1)),(,())AfBmfm处的切线的斜率分别为0,a． （Ⅰ）求证：01ba≤； （Ⅱ）若函数()fx的递增区间为[,]st，求||st的取值范围； （Ⅲ）若当xk≥时（k是与,,abc无关的常数），恒有()0fxa，试求k的最小值． 解：（Ⅰ）证明：2()2fxaxbxc，由题意及导数的几何意义得 (1)20fabc， （1）
2()2fmambmca， （2）
又abc，可得424aabcc，即404ac，故0,0,ac 由（1）得2cab，代入abc，再由0a，得 113ba， （3）
将2cab代入（2）得2220ambmb，即方程2220axbxb有实根． 故其判别式2480bab≥得 2ba≤，或ba≥0， （4）
由（3），（4）得01ba≤； （Ⅱ）解：由2()2fxaxbxc的判别式2440bac， 知方程2()20()fxaxbxc有两个不等实根，设为12,xx， 又由(1)20fabc知，11x为方程（）的一个实根，则由根与系数的关系得
122122,10bbxxxxaa，
当2xx或1xx时，()0fx，当21xxx时，()0fx， 故函数()fx的递增区间为21[,]xx，由题设知21[,][,]xxst， 因此122||||2bstxxa，由（Ⅰ）知01ba≤得 ||st的取值范围为[2,4)；
（Ⅲ）解：由()0fxa，即220axbxac，即2220axbxb，
因为0a，则2220bbxxaa，整理得2(22)0bxxa， 设2()(22)bbgxxaa，可以看作是关于ba的一次函数， 由题意()0bga对于01ba≤恒成立，
故(1)0,(0)0,gg≥ 即22220,0,xxx≥+得31x≤或31x≥， 由题意，[,)(,31][31,)k， 故31k≥，因此k的最小值为31． ☆3.已知函数)()0,1(),0()(xfyPtxtxxf作曲线过点的两条切线PM、PN，切点 分别为M、N. （I）当2t时，求函数)(xf的单调递均区间；
（II）设|MN|=)(tg，试求函数)(tg的表达式； （III）在（II）的条件下，若对任意的正整数n，在区间]64,2[nn内总存在)()()()(,,,,,1121121mmmmagagagagaaaam使得不等式个数成立，求m的最大值. 解：（I）当,2)(,2xxxft时
0221)(222xxxxf …………2分 2,2xx或解得.
则函数)(xf有单调递增区间为),2(),2,( …………14分 （II）设M、N两点的坐标分别为1x、2x，
)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112ttxxxxtxtxPPMxxxtxtxyPMxtxf即有过点切线又的方程为切线
同理，由切线PN也过点（1，0），得.02222ttxx （2） 由（1）、（2），可得02,221ttxxxx是方程的两根， (*).22121txx
txx …………8分
])1(1[)()()(||22122122211221xxtxxxtxxtxxxMN ])1(1][4)[(22121221xxtxxxx 把（*）式代入，得,2020||2ttMN 因此，函数)0(2020)()(2ttttgtg的表达式为…………9分 （III）易知]64,2[)(nntg在区间上为增函数，
,)()()()().()()()2().1,,2,1)(()2(12121成立对一切正整数则nagagagagagagaggmmiaggmmmi
恒成立对一切的正整数不等式nnnggm)64()2(……11分
,)64(20)64(2022022022nnnnm
…………6分 .3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222mnnnnnnnnnnnm恒成立对一切的正整数即 由于m为正整数，6m. …………13分 又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时naaaammm
因此，m的最大值为6. …………14分 ☆4.已知函数()yfx是定义在R上的偶函数，其图象均在x轴的上方，对任意
,0,mn都有()()nfmnfm且(2)4f，又当0x时，其导函数'()0fx恒
成立 （Ⅰ）求(0),(1)ff的值;
（Ⅱ）解关于x的不等式222()224kxfx，其中(1,1)k 解：（Ⅰ）令m=2,n=0,得f(0)=1， 令m=2,n=21,得f(1)=2, 又()yfx是定义在R上的偶函数，∴f(-1)=2
（Ⅱ）令m=21,n=2,得f(21)=2,由()yfx是定义在R上的偶函数，其图象均在x轴的上方及0x时，其导函数'()0fx恒成立
∴不等式222()224kxfx)21()422(2fxkxf)21()422(2fxkxf 214222xkx422xkx04)1(22kxxk
当k=0时，解集为{0} 当-1
当0☆5.定义函数),(,2,1)1()(Nnxxxfnn其导函数记为)(xfn. （1）求证：nxxfn)(；
（2）设)1()1()()(1010nnnnffxfxf，求证：100x ； 是否存在区间],0,(],[ba使函数)()()(23xfxfxh在区间],[ba上的值域为],[kbka？ 若存在，求出最小的k值及相应的区间],[ba.
解：（1）∵()(1)1nnfxnxxnx，令()(1)1ngxxnx 则1'()[(1)1]ngxnx 当(2,0)x时'()0gx，当(0,)x时，'()0gx ∴()gx在(2,0)上递减，在(0,)上递增 故()gx在0x处取得极（最）小值(0)0g ∴()0gx，即()nfxnx（当且仅当0x时取等号）……………………4分
（2）由0101'()(1)'()(1)nnnnfxffxf，得1010(1)21(1)(1)21nnnnnxnx
∴10(21)1(1)(21)nnnxn，10(1)21(1)(21)nnnxn，易知00x，…………….6分 而10221(1)(21)nnnxn 由（1）知当0x时，(1)1nxnx，故112(11)112nnnn ∴01x， ∴001x…………………………………………………………9分 （3）232()()()(1)hxfxfxxx 2'()(1)2(1)(1)(13)hxxxxxx
令'()0hx，得1x或13x，