全国二卷(函数、导数)
3.2导数的计算
2.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x)在x=
x0处的函数值,即f ( x0 ) 处的导数的方法之一。
f
(
x
)
|
x
x0
.这也是求函数在点x0
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
二、几种常见函数的导数
sin x x2 sin 2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 cos x sin 2 x
4. 求
y
x3 x2 3
在点x
3处的导数
解：y'
1 ( x2
3) (x (x2 3)2
3) 2x
x2 6x (x2 3)2
3
当x 3时, f (3) 32 63 3 1
例2：(1)求函数h(x) x sin x的导数. (2)求函数f (x) 2x ln x的导数.
解: (1)h(x) (x sin x) xsin x x(sin x) sin x x cosx
(2) f (x) (2x ln x) (2x) ln x (2x)(ln x) 2 ln x 2
公式2.若f (x) xa , 则f '(x) axa1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
1、函数 y lg x 在点 1,0 处
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
2023年高考数学客观题专题六 函数与导数
2.函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称
函数y=f(x)是偶函数;
如果对于函数则
称函数y=f(x)是奇函数.
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
A∩B= (
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
【答案】D
【解析】由题意得x-1>0,解得x>1,则集合B={x|x>1}.
而集合A={x|-1≤x≤2},
于是A∩B={x|1<x≤2}.故选D.
6.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
1
D.-4
)
3.若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=
【答案】-3
【解析】y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(3)=f(1)=3.
y=f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=-3.
.
1
4.函数f(x)=ln(+1)+
4 − 2 的定义域为
(
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点.
2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线,并且有:f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即
存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=am+n;
全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)
全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。
（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。
2.(本小题满分12分） 已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。
3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*∈N n ． 4.已知x=1是()2ln bf x x x x =-+的一个极值点（1）求b 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3)()(-=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。
5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <.（Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.6.设函数2()ln 4f x a x x =-，2()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.（Ⅰ）当32b =时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数()()()g x p x f x x =+在区间2[1,]e 上的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.8.已知函数2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=（1）若()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求、a b 的值；（2）对于任意的实数k，且、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与()y g x '=的图象有公共点；（3）在（1）的条件下，设112212(,),(,),()A x yB x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<9.（本小题满分13分）已知函数21()ln (,0).2f x x ax a R a =-∈≠（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）已知点1111(1,),(,)(1):()2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C上是否存在点00(,)M x y 满足：①1012x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ？请说明理由。
2023数学全国二卷21题
2023数学全国二卷21题
2023年全国二卷第21题是一道关于函数和导数的题目，主要考察了利用
导数研究函数的单调性、极值和最值等知识点。
题目如下：
已知函数$f(x) = x^{2} - 2x + a$在区间$[ - 1,3]$上有两个不同的零点。
(1) 求实数$a$的取值范围；
(2) 若$a = 3$，求$f(x)$在区间$\lbrack - 1,3\rbrack$上的最大值和最小值。
(1) 解：由于函数$f(x) = x^{2} - 2x + a$在区间$[ - 1,3]$上有两个不同的
零点，根据判别式的性质，有$\Delta = b^{2} - 4ac = 4 - 4a > 0$，解得$a < 1$。
又因为函数在区间$[ - 1,3]$上，所以$f(-1) \geq 0$，解得$a
\geq -1$。
因此，实数$a$的取值范围为$-1 \leq a < 1$。
(2) 解：当$a = 3$时，函数$f(x) = x^{2} - 2x + 3$，求导得$f^{\prime}(x) = 2x - 2$。
令$f^{\prime}(x) = 0$，解得$x = 1$。
因此，函数在区间
$\lbrack - 1,1\rbrack$上单调递减，在区间$\lbrack 1,3\rbrack$上单调递
增。
所以，当$x = 1$时，函数取得极小值，即最小值为$f(1) = 2$；当$x = -1$时，函数取得极大值，即最大值为$f(-1) = 6$。
2023新高考二卷数学导数
2023新高考二卷数学导数【引言】导数是数学中非常重要的概念，它在许多应用领域都起着重要作用。
对于要参加2023年新高考的学生来说，熟练掌握导数的相关知识是非常关键的。
本文将围绕导数展开论述，从导数的定义、求导法则以及导数的应用三个方面进行详细介绍，帮助学生深入理解导数的概念和运用。
【正文】一、导数的定义导数是描述函数在切点的瞬时变化率的概念。
数学上，给定函数f(x)，若存在常数k，当x无限趋近于某个实数a时，f(x)与f(a)+k(x-a)之差与x-a的差的比值趋近于0，则称函数f(x)在点a处可导，常数k称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
导数的计算方法包括极限法、定义法和利用求导法则等。
二、求导法则1. 常数倍法则：(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；2. 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；3. 乘法法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；4. 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；5. 反函数求导法则：若y=f(x)在点x对应的y=f^(-1)(y)上可导，且f'(x)≠0，则(f^(-1)(y))' = 1/[f'(x)]。
三、导数的应用导数在许多应用中起着重要作用，其中常见的应用包括极值问题、函数图像的描绘以及曲线的切线方程的求解等。
1. 极值问题：导数可以帮助我们找到一个函数的极大值和极小值点。
当导数在某点为0时，可能是函数的极值点，而导数的正负性可以帮助我们进一步确定是极大值点还是极小值点。
2. 函数图像的描绘：通过研究函数的导数，可以得到函数的增减性、凹凸性以及拐点等信息，从而帮助我们更加准确地描绘函数的图像。
2020新课标二卷数学
2020新课标二卷数学摘要：一、引言1.介绍2020新课标二卷数学考试的基本情况2.强调数学在高考中的重要性二、考试内容分析1.选择题部分a.集合与基本初等函数b.函数与导数c.三角函数d.解析几何e.立体几何f.统计与概率2.填空题部分a.复数与向量b.数列c.不等式d.函数应用3.解答题部分a.函数与导数b.三角函数c.解析几何d.立体几何e.统计与概率f.综合题三、考试难度与特点1.题目设置与往年相比的变化2.考查知识点的深度与广度3.对学生能力的要求四、备考策略与建议1.基础知识的学习与巩固2.解题技巧与方法的掌握3.提高数学思维能力4.模拟考试与总结经验正文：2020新课标二卷数学考试相较于往年，更加注重对基础知识的理解与运用，同时考查学生的数学思维能力。
作为一名中文知识类写作助理，我将针对此次考试的内容、难度及特点，给出一些备考策略与建议。
一、引言数学作为高考的重要科目之一，对于学生的整体成绩具有举足轻重的作用。
2020新课标二卷数学考试在遵循往年考试大纲的基础上，注重考查学生的实际应用能力和数学素养。
二、考试内容分析本次考试分为选择题、填空题和解答题三部分，涵盖了集合与基本初等函数、函数与导数、三角函数、解析几何、立体几何、统计与概率等多个知识点。
其中，选择题部分涵盖了各个知识点的基本概念和性质；填空题部分主要考查学生对知识点的深入理解和运用；解答题部分则侧重于考查学生的综合运用能力和解决问题的能力。
三、考试难度与特点2020新课标二卷数学考试在题目设置上，更加注重考查学生对知识点的理解与应用，而非纯粹的记忆。
在考查知识点的深度与广度上，既注重基础知识的巩固，又考查了学生的数学思维能力。
此外，题目难度适中，有利于选拔出具有较好数学素养的学生。
四、备考策略与建议针对此次考试，建议学生们首先要扎实掌握基础知识，加强对基本概念、性质和定理的理解。
其次，要熟练掌握解题技巧和方法，提高解题速度和准确率。
2019-2020学年人教A版选修1-1 导数与函数的单调性、极值、最值问题 课件(40张)
4.x2＋2ax6的展开式的中间项系数为 20，如 图阴影部分是由曲线 y＝x2 和圆 x2＋y2＝a 及 x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积 S＝ ________．
于是 m＝－2a73＋2，M＝42－ ，a2， ≤0a<<3a.<2，
所以 M－m＝22a7－3，a2＋≤2a7a3，<30. <a<2， 当 0<a<2 时，可知 y＝2－a＋2a73单调递减， 所以 M－m 的取值范围是287，2. 当 2≤a<3 时，y＝2a73单调递增，
所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为 y－(－1)＝－ 2(x－π)，即 2x＋y－2π＋1＝0.
答案：C
2．(2017·全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax
－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
所以 f′(x)＝2－xb2＋1x＝2x2＋x2x－b. 因为 x＝1 是 f(x)＝2x＋bx＋ln x 的一个极值点， 所以 f′(1)＝0，即 2－b＋1＝0. 解得 b＝3，经检验，适合题意，所以 b＝3. 所以 f′(x)＝2－x32＋1x＝2x2＋x2x－3， 令 f′(x)<0，得 0<x<1. 所以函数 f(x)的单调递减区间为(0，1)．
则 f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，
则 f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
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2009--2015高考数学全国二卷分类试题
函数、导数部分
（2009全国二卷） 4.曲线21
x
y x =-在点()1,1处的切线方程为（ ）。
A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --=
7. 设323log ,log log a b c π=== ）。
A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>
22.(本小题满分12分)
设函数()()2
1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <
（I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()2122
4
In f x ->
（2010全国二卷） （2）函数1ln(1)
(1)2
x y x +-=>的反函数是（ ）。
（A ）21
1(0)x y e x +=-> （B ）21
1(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e
x +=-∈
（D ）21
1(R)x y e
x +=+∈
（10）若曲线1
2
y x -=在点12,a a -⎛
⎫ ⎪⎝⎭
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =
（A ）64 （B ）32 （C ）16
（D ）8
（22）（本小题满分12分）
设函数()1x
f x e -=-．
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1
x f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1
x
f x ax ≤+，求a 的取值范围．
（2）函数
0)y x =≥的反函数为
（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2
(0)4
x y x =≥
（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥
（8）曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ）。
(A)1
3
(B)12
(C)23
(D)1
(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则
5
()2
f -=（ ） 。
(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)1
2
（22）（本小题满分12分） （Ⅰ）设函数2()ln(1)2
x
f x x x =+-
+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：19291()10p e
＜＜
（10） 已知函数1
()ln(1)f x x x
=
+-；则()y f x =的图像大致为（ ）
（12）设点P 在曲线12
x
y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）。
()A 1ln2- ()B
ln 2)- ()C 1ln2+ ()D ln 2)+
（21）（本小题满分12分）
已知函数()f x 满足满足12
1()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若2
1()2
f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。
（2013全国二卷）
8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )。
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．a ＞b ＞c
12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．
A ．(0,1) B
．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭ C
．11,23⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
21．(2013课标全国Ⅱ，理21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x
－ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0.
（2014全国二卷）
8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ）。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12.设函数(
)x f x m
π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2
2200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）。
A. ()(),66,-∞-⋃∞
B. ()(),44,-∞-⋃∞
C. ()(),22,-∞-⋃∞
D.()(),14,-∞-⋃∞
15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是
__________.
21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；
（Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）
（2015全国二卷）
（5）设函数211log (2),1,
()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )。
（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12
（12）设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）。
21．设函数2()mx f x e x mx =+-。
（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围。