郴州市二中2009年上期高一年级数学4学业水平测试题
2009--2018湖南省高中学业水平考试真题必修二部分
湖南学业水平考试《必修二》学考真题2009年湖南省普通高中学业水平考试5. 已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C. 47y x =-+ D. 47y x =+8. 已知直线l ：1y x =+和圆C: 221x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（ ）. A .相交 B. 相切 C .相离 D. 不能确定 14. 如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为 .18. (本小题满分8分)如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且P A=AB. （1）求证：BD ⊥平面P AC ； （2）求异面直线BC 与PD 所成的角.（第14题图）俯视图2010年湖南省普通高中学业水平考试3. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ）.A .圆柱 B.圆锥 C.球 D.三菱柱4. 已知圆C 的方程为()()22124x y -+-=，则圆C 的圆心坐标和半径r 分别为（ ）. A. ()1,2,2r = B. ()1,2,2r --= C. ()1,2,4r = D. ()1,2,4r --= 11. 直线22y x =+的斜率k = .19. (本小题满分8分)如图, ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体. （1）求证：B 1D 1∥平面BC 1D ；（2）若BC=CC 1，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小.2011年湖南省普通高中学业水平考试2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）.A.圆柱B. 三棱柱C.球D.四棱柱下列函数中，8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11B D 与平面1BC D 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．直线11B D 在平面1BC D 内14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是平行四边形，P A A D =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是 .20． 已知关于,x y 的二元二次方程22240()x y x y k k R ++-+=∈表示圆.C （1）求圆心C 的坐标； （2）求实数k 的取值范围（3）是否存在实数k 使直线:240l x y -+=与圆C 相交于,M N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）？若存在，请求出k 的值；若不存在，说明理由.正视图 侧视图俯视图第14题图ABCD1A 1B 1C 1D2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥5．已知直线1l ：12+=x y ，2l ：52+=x y ，则直线1l 与2l 的位置关系是A ．重合B ．垂直C ．相交但不垂直D ．平行12．已知圆4)(22=+-y a x 的圆心坐标为)0,3(，则实数=a ．18．（本小题满分8分）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且AB=1，D 1D=2．（1）求直线D 1B 与平面ABCD 所成角的大小； （2）求证：AC ⊥平面BB 1D 1D ．（第2题图）俯视图（第18题图） ABCDA 1B 1C 1D 1（第3题图）俯视图侧视图正视图3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱 9．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线 方程是 ． 18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A B CD -的体积.FEDB A（第18题图）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分 1、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A 圆柱 B 圆锥 C 圆台 D 球7、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线BD 与11C A 所成的角是A30 B45 C60D9010、某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图象最能符合上述情况的是15、如图1，矩形ABCD 中，AB=2BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A —EF —C （如图2），则图2中直线AF 与平面EBCF 所成的角为___________.20、已知圆C:03222=-++x y x 1）求圆的圆心C 的坐标和半径长2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A 求证：2111x x +为定值。
2009~2010学年度第一学期期末考试高一数学(必修2)试卷[含答案]
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2009~2010 学年度第一学期期末考试高一数学（必修2）试卷参照公式：S 4 R 2 （ 表示球半径）43 （表示球半径）R VRR球面球13V 锥体h 表示锥体的高）Sh （ S 表示锥体的底面积，3V台体1(S 1 S 2S 1 S 2 )h （ S 1 、 S 2 表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高）3一、选择题（本大题共10 小题 , 每题 5分,共 50 分. 每题恰有一项 是切合题目要求的. ）．．．．1. 以下命题：①三个点确立一个平面；②一条直线和一个点确立一个平面；③两条订交直线确立一个平面；④两条平行直线确立一个平面；⑤梯形必定是平面图形 . 此中正确的个数有（） .A ．5个B．4个C． 3 个 D ．2个2. 若 A( 2,3), B(3,2), C (1,m) 三点共线，则 m 的值为（）.1 21A. 2B.C.2D.223. 直线 2x3y 70 与直线 5x y 9 0的交点坐标是（ ） .A. 1，2B.2，1 C.3，1D.1，34. 已知直线 l 1 : ax3y 10 和 l 2 : xa 2 ya 0 ，若 l 1l 2 ，则 a 的值为（） .A.3B.3C.4 D.4235. 直线 kxy 1 3k0 ，当 k 改动时，全部直线都经过定点（） .A. 1，0B.0，1C.3，1D.1，36. 一个正方体的各个极点均在同一个球的球面上，若正方体的边长为2, 则该球的体积为（） .A. 4B.2C.4 3D.47. 设 m ， n 是两条不一样的直线，,,是三个不一样的平面，给出以下四个命题：①若 m， n / /，则 m n ；②若//，//， m ，则 m；此中正确命题的序号是 ( ).A ．①和④B ．①和②C ．③和④D ．②和③ 8. 圆 x2y 22x0 和圆 x 2y 24 y 0 的地点关系是（） .A. 相离B.订交C.外切D.内切9. 直线3xy m 0 与圆 x 2 y 2 2x 2 0 相切，则实数m 等于（） .A. 3或 3B.3或3 3C.33或3 D.33或3310. 已知圆的方程为 x 2y 2 4 x 2 y 40 ，则该圆对于直线 yx 对称圆的方程为A. x 2 y 2 2x 2 y1 0B. x 2 y 2 4x 4y 7 0C. x 2y 24 x 2 y4 0D.x 2y 22x 4 y 4 0二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . ）11. 空间直角坐标系中点A 和点B 的坐标分别是1，0，2 ， 0，3， 1 ，则 | AB | _12. 两条平行直线 3x4 y10 与 6x 8 y 150 的距离是. 13. 圆心为 ( 2,3) 且与直线y 轴相切的圆的方程是.14. 右图是正方体的平面睁开图，在这个正方体中：① BM 与 DE 平行；② CN 与 BE 是异面直线；③CN 与BM 成60 角；④ DM 与BN 垂直.此中，正确命题的序号是 ______________________ ．三、解答题（本大题共6小题，共 80分 . 解答必需写出必需的文字说明、推理过程或计算步骤15. （本小题满分 12 分）分别求知足以下条件的直线方程： （1）过点 (0, 1) ，且平行于 l 1 : 4x 2y 1 0 的直线；（2）与 l 2 : xy 1 0 垂直，且与点 P( 1,0) 距离为2 的直线 .③若 m / / ， n / / ，则 m / /n ； ④若，，则//.16. （本小题满分12 分）5右图是一个几何体的三视图（单位：cm ）.（1）计算这个几何体的体积；（2）计算这个几何体的表面积 .15108正视图侧视图俯视图17.（本小题满分 14 分）如图，已知矩形ABCD 中， AB10， BC 6 ,将矩形沿对角线BD 把ABD 折起，使A移到 A1点，且 A1O平面 BCD .A1（ 1）求证：BC A1D ；OD（ 2）求证：平面A1BC平面 A1BD ；C （ 3）求三棱锥A1BCD 的体积.A B18.（本小题满分 14 分）已知长方体A1 B1C1 D1ABCD 的高为 2 ，两个底面均为边长为1的正方形.（ 1）求证：BD //平面A1B1C1D1；A1D 1（ 2）求异面直线A1C 与AD所成角的大小；B1C1（ 3）求二面角A1BD A 的平面角的正弦值.A D 19．（本小题满分14 分）如下图，一地道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形组成.已知地道为 6 3m ，行车道总宽度BC 为2 11m，侧墙 EA ， FD 高为 2m ，弧顶高 MN 为 5m .（1）成立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程.（2）为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与地道顶部在竖直方向上的高度之差起有 0.5m .请计算车辆经过地道的限制高度是多少？MEA B N C20.（本小题满分 14 分）已知曲线 C : x2y22x 4 y m0 .（1）当m为什么值时，曲线 C 表示圆；并求出圆心坐标和半径长.（2）若曲线C与直线x 2 y40交于 M ,N 两点，且OM ON ( O 为坐标原点)B C2009~2010 学年度高一数学第一学期期末考试参照答案10,5,50..1.C2.D3.B4.A5.C6.C7.B8.B9.C 10.D4520 .11.1912.1 13.( x2) 2 ( y3) 2 414.③④2680 ..15.1l 12(0, 1)y 12(x 0)2xy1 0 .62l 2xymP(1,0)d1 m2m 3 m12或x y 30 xy 1 0 .1216.1（3）V长方体10 8 15 1200 cm3V 半球1 4 R 3 1 4 5 125 cm 3232 3212VV 长方体V 半球1200 125 cm 3 . 6122（2）2(108 8 15 1015)700 cmS长方体225 （2S 半球1 4 R2 1 45 cm 2）S 半球底R 25 25 2 22 222 4 （ cm ）21BC A 1DA 1BA 1D ，A 1B BC BA 1D平面 A 1BCA 1D平面 A 1DB平面 A 1DB平面 A 1BC .32A 1D平面 A 1BCA 1C 平面 A 1BCA 1D A 1CA 1C102 - 628V A 1- BCDV D A 1BC11 6 8 648 .3 218.1B 1D 1 ,A 1B 1C 1D 1 ABCDB 1B//D 1D 且 B 1B D 1 D四边形 B 1BDD 1为平行四边形BD//B 1D 1 B 1D 1 平面 A 1B 1C 1D 1 BD 平面 A 1B 1C 1D 1BD// 平面 A 1B 1C 1D 1 .2AD//A 1D 1CA 1D 1A 1C AD .A1D 1CA 1D 1平面 D 1 DCC 1A 1D 1D 1CB 1Rt A 1D 1CA 1D 11 CD 1CD2D 1D23tan CA 1 D 1CD 1 3CA 1D 160AA 1D 1OA 1C AD 600 .B3ACACBDO 四边形 ABCD 为正方形 AC BDSS长方体S半球S 半球底 70025 25 （7002417.1A1O平面 BCD ， BC平面 BCD A 1O BC又 CD BC ，A 1O CD O DBC 平面 A 1OD A1D 平面 A1OD sinBC A1D.5A B14 19.1EF x MNy1 mE(33,0) F (3 3,0)M (0,3)yy x 2( y b) 2r 2MF (33,0) M (0,3)x E O F(33) 2b2r 2b-3 r23602 3 b 2r 2A B N CDx 2y 3 236 .7 EF xMN y1m.GrG yRt GOEOE 3 3G E r OG r - 3r 22233r 3r6G0， 3x 2y 3 236 .2h CP AD P CP h0.5P x11(11) 2y 3 236y2或 y8(舍)h CP - 0.5(y DF ) - 0.5 3.5(m).3.5m.1420.:1D2 E 2 4 F0D 2E24F4164m 0m 51,2r5m .52M x1 , y1 , N x2 , y2OM ON y1y21x1 x2y1 y20 .x1x2x 2 y40C : x2y 22x 4 y m0y5x 28x4m160x1x28,x1x24m1655x 2y 40 y14 x ,2x1 x2 y1 y2x1x21 4 x114 x25x1x2 4 0x1 x222454m1684 0m814455.5。
2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==， ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a ba b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y=【解析】函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o dk p ≡． 即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由 11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合 {}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈． 故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33⨯数表 ***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。
鄂州市二中2009-2010学年度上学期高一数学必修一、四检测题(1)
________.
15. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 3 ，此矩形沿地面上一直线滚动，
在滚动过程中始终与地面垂直，设直线 BC 与地面所成角为 ，矩形周边上最高 点离地面的距离为
f ( ) ，则 f ( ) ＝
。
D
A
CA
B
B
A
BA
B
DB
A C
C CC
DA D
16.已知集合
P
A.b=c
B.b=λc
C.b⊥c
D.b、c在a方向上的投影相等
8. 在平面内有△ABC 和点 O，且 OAOB OB OC OC OA ，则点 O 是△ABC
的（ ）
A.重心
B.垂心
C.内心
D.外心
9. 已知 a、b 是非零向量且满足(a－2b) ⊥a，(b－2a) ⊥b，则 a 与 b 的夹角是
（）
A．
6
B．
3
C．
2 3
D．
5 6
10. 若函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其
参考数据如下：
f (1) = －2 f (1.375) = －0.260
f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162
f (1.25) = －0.984 f (1.40625) = －0.054
A.
3 4
B.
3 4
C.
4 3
D.
4 3
3. 把函数 y=cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到
原来的两倍，然后把图象向左平移 个单位，则所得图形表示的函数的解析式为 4
湖北省鄂州市二中2009-2010学年度上学期高一数学必修一、四检测题一人教版A
鄂州市二中2009-2010学年度上学期高一数学必修一、四检测题一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. sin600°的值是（ ） A ．21B ．21-C ．23D ．23-2. 已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且 // ，则αtan =（ ）A.43B.43-C.34D.34- 3. 把函数y =cos x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形表示的函数的解析式为（ ）A.y =2sin2xB.y =－2sin2xC.y =2cos(x +4π) D.y =2cos(42π+x )4. 函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值与最小值之和是（ ） A.43π B.2π C.83π D.4π5. ,a b 为实数，集合{},1,,0,:b M P a f x x a ⎧⎫==→⎨⎬⎩⎭表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a b +的值等于（ ）A 、1-B 、0C 、1D 、1±6. 已知函数1)(0,01),sin()(12=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-a f x e x x x f x ，若π，则a 的所有可能值组成的集合为（ ）A ．}22,1{-B ． {1，22} C ．{－22} D ．{1}7. 如果a ·b =a ·c 且a ≠0,那么（ ）A.b =cB.b =λcC.b ⊥cD.b 、c 在a 方向上的投影相等 8. 在平面内有△ABC 和点O ，且⋅=⋅=⋅，则点O 是△ABC 的（ ） A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心9. 已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π10. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。
新课改高中数学高一年级2009年9月月考数学试卷
3．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={x|x=a+b，a∈P，b∈Q}，若P={0，2，6，9}，Q={1，2，4}，则P+Q中元素的个数是（）B
A．12B．10C．9D．8
4．已知a∈R，集合A满足条件：对于任意的x∈A，都有 ∈A．若2∈A，3∈A，则A中元素的个数是D
10．已知函数f(x)=|x2-2x-3|，关于方程mf2(x)+2m f(x)+m-25=0有四个不同的实数解，则m的取值范围是（）
A．1<m<25 B．m≥25或m≤1 C．1≤m≤25 D．0≤m≤4A
二.填空题（5分×5＝25分）
11．已知集合A={x|x是直角三角形}，集合A={x|x是等腰三角形}，则A∩B=．
12．在学校举行的运动会中，某班66人中，有23人参加田径比赛，有37人参加了广播操比赛，既没有参加田径比赛又没有参加广播操比赛的有20人，则既参加田径比赛又参加广播操比赛的
有人．14
13．已知定义在R上的函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x(2－x)，则不等式f(x)≥－x的解集是．
15．若f(x)= ，则f( )+f( )+f( )+…+f( )=．1004
又由（Ⅱ）可知f(x)在R+上是减函数，∴问题转化为“关于x的不等式x2―ax+3a≥2即x2―ax+3a―2≥0的解集为R，求实数a的取值范围”.
∴⊿=a2―4(3a―2)=a2―12a+8≤0，解得6―2 ≤a≤6+2 ．
故所求的取值范围为6―2 ≤a≤6+2 ．
郴州市二中高一年级数学①单元测试卷(一).doc
郴州市二中高一年级数学①单元测试卷(一)——集合与函数概念2008/9/25考试时间: 120分钟 试题分值: 150分 命题人：李云汤一．选择题:本大题共10小题；每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合U =}4,3,2,1{, A ={2,4}, B ={3,4}, 则(u A )∪B = （ ）A ．{}3B ．{ 1,3,4}C ．{2,3,4}D ．{1,3,4,3} 2. 已知集合}32|{≤=x x A ,3=a .则下列关系式成立的是( )A ．A a ∉B ．A a ⊆C ．A a ⊆}{D ．A a ∈}{ 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．⎩⎨⎧≤->=⎩⎨⎧<-≥=0101)(,0101)(x x x g x x x f B ．2)(,||)(t t f x x g == C . 1,112-=+⋅-=x y x x y D ．2)(|,|x y x y ==4. 数集Z n n x x X ∈+==,12|{}与数集Z k k y y Y ∈±==,14|{}之间的关系是（ ） A ．X =Y B ．X ⊃Y C ．X ⊂Y D ．X ≠Y5. 若奇函数)(x f y =是定义在R 上的增函数，且)()(b f a f ->-,则a 、b 满足（ ）A ．b a <B ．b a >C ．0,0>>b aD ．0,0<<b a6. 设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）A ．1-B ．0C ．1+πD ．π 7. 表示图形中的阴影部分的是下列集合（ ）A ．)()(C AB A ⋃⋂⋃ B ． )()(C B C A ⋃⋂⋃ C ．)()(C B B A ⋃⋂⋃D ．C B A ⋂⋃)(8. 下面的对应f ，不是．．从集合M 到集合E 的映射的是(其中字母Z R Q N ,,,分别表示其常用数集)（ ）A ．||:,x x f N E M →==B ．2:,x x f Z E M →==C ．x x f R E M 2:,→== D ．x x f Q E M →==:,*图19.已知二次函数)041()(2>>++=a a x x x f ，若0)(<m f ，则)1(+m f 的值为（ ） A ．正数B ．负数C ．0D ．符号与a 有关10.集合S ={0,1,2,3,4,5}, A 是S 的一个子集,当A x ∈时,若有A x A x ∉+∉-11且,则称x 为A 的一个“孤立元素”.集合B 是S 的一个子集, B 中含4个元素且B 中无“孤立元素”,这样的集合B 共有( )个.A.4B.5C. 6D.7二.填空题:本大题共5个小题，共25分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上. 11. 已知集合A ＝{－1, 1, 3 }，B ＝{3，2m },且B ⊆A.则实数m 的值是__________． 12. 函数()f x =___________________________ .13. 设集合}3|{2x y y M -==，}1|{2-==x y x N ，则=⋂N M _________________. 14. (),()x g x ϕ都是奇函数，)(x f =()()a x bg x ϕ+在（0，+∞）上有最大值5，则)(x f 在（-∞，0）上有最______ (填“大”或“小”)值是________.15. 若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是_____________.三.解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分） 证明函数y =12--x x在区间［2,6］上是减函数,并求该函数在区间［2,6］上的值域. 16．证明:17. （本小题满分12分）（Ⅰ）在直角坐标系(图2)中绘制函数||22x x y -=的图象. （Ⅱ）用描述法表示图3中的阴影部分（包括边界） 17. 解: （Ⅰ）18. (本小题满分12分)设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}082|{2=-+=x x x C .（Ⅰ）若B A ⋂=C B ⋂，求a 的值；（Ⅱ）若∅B A ⋂且C A ⋂=∅, 求a 的值；（III ）若B A ⋂=B A ⋃，求a 的值. 18. 解:19．（本题满分13分）动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A. 设x 表示P 点的 行程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数解析式)(x f y =,并求出该函数的值域.解:（Ⅱ）图3xy 0图220．(本小题满分13分)设函数⎩⎨⎧≤++>=0,,2)(2x c bx x x x f ,若)1()2(),0()4(f f f f -=-=-,试写出由方程x x f =)(的解构成的集合A 的子集. 20. 解:21．(本小题满分13分)在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。
郴州市二中高一年级数学①单元测试卷(二)
郴州市二中高一年级数学①单元测试卷(二)——集合与函数概念 基本初等函数2008/10/25考试时间: 120分钟 试题分值: 150分 命题人：李云汤一．选择题:本大题共10小题；每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合},{b a M =的子集共有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是( ) A. )1,(-∞ B.)1,31(- C.1),31[- D. ),31(+∞- 3. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）4. 已知集合P ={12+=x y }，Q ={y |12+=x y }，R ={x |12+=x y }，M ={1|),(2+=x y y x }，N ={x |x ≥1},则( )A ．P =QB ．Q =RC ．R =MD ．Q =N5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. R x x y ∈=|,|log 21且0≠x B. R x x y ∈=,)21(C.R x x y ∈=,31D. R x x y ∈-=,36. 设||:x x f →是集合A 到集合B 的映射,若}2,0,2{-=A ,则集合B 可以是下列集合( )A. }0,1,2{B. }0{C. }2{D. }0,2{-7. 三个数60.7 ，0.76 ，6log 7.0的大小顺序是 （ ）A ．0.76＜6log 7.0＜60.7 B. 0.76＜60.7＜6log 7.0C. 6log 7.0＜60.7＜0.76D. 6log 7.0＜0.76＜60.7BC tA8. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折(即90%)优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是A. 413.7元B. 513.7元C. 546.6元D. 548.7元9. 集合A ={x |x =2k , k ∈Z }, B ={ 2k +1 | k ∈Z }, C ={x |x =4k +1, k ∈Z }, 又a ∈A ,b ∈B ,则有( )A.a +b ∈AB.a +b ∈BC.a +b ∈CD.a +b 不属于A 、B 、C 中的任意一个10. 设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,，对于有序元素对),(b a ，在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应）．若对任意的S b a ∈,，有()**a b a b =，则对任意的S b a ∈,，下列等式中不恒成立的是（ ）A ．()**a b a a =B ．[()]()****a b a a b a =C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =二.填空题:本大题共5个小题，共25分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.11. 已知]3,0[∈x ,则二次函数24)(2-+-=x x x f 的值域是_____________.12. 用描述法表示被3除余1的集合 ．13. 已知一次函数()g x 满足[]()98g g x x =+, 则()g x 是__________.14. 已知集合}31,l o g |{3>==x x y y M , }1,)21(|{>==x y y N x , 则=⋂N M .15. 已知函数)(x f y =是R 上的偶函数,当),0[+∞∈x 时,)1()(3x x x f +=,那么)0,(-∞∈x 时, =)(x f .三.解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）计算:5log 2122log 10log 33916)2(1)25.0(2224334433-+++-----.17.(本小题满分12分)解方程:3)23(log )49(log 22+-=-x x18. (本小题满分12分)已知全集R U =，集合}0,|{},53|{><<-=≤<-=a a x a x B x x A .（Ⅰ）若φ=⋂B C A U ,求a 的取值范围;（Ⅱ）求集合B A ⋃.解: （Ⅰ）a x x B C U -≤=|{或}0,>≥a a x ,若φ=⋂B C A U ,则5>a .（Ⅱ）若30≤<a ,则}53|{≤<-=⋃x x B A ;若53≤<a , 则}5|{≤<-=⋃x a x B A ;若5>a ,则}|{a x a x B A <<-=⋃.19．（本题满分13分）已知函数c x ax x x f +-+=3)(23，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）证明函数()f x 在区间),1[+∞上单调递增．解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+．又c x ax x x f +-+=3)(23所以2323-+++-c x ax x 2323+-+--=c x ax x所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知23)(3+-=x x x f , 设121≥>x x ,则23)()(13121+-=-x x x f x f 2)3(232+--x x =)3)((22212121-++-x x x x x x121≥>x x , 021>-∴x x , 1121>>x x , 1222≥>x x , 12221≥>x x x ,即03222121>-++x x x x . 所以)()(21x f x f >.故函数()f x 在区间),1[+∞上单调递增．20．(本小题满分13分)已知函数⎩⎨⎧∉-∈=]1,0[2]1,0[1)(x x x x f , 若1)]([=x f f ,求x 的取值范围. 解: 1)当]1,0[∈x 时,1)(=x f ,于是1)1()]([==f x f f ,故]1,0[∈x 满足题意;2)当]1,0[∉x 时, 2)(-=x x f ,于是)2()]([-=x f x f f .i)当]1,0[2∈-x 时,即]3,2[∈x 时, )2()]([-=x f x f f =1,故]3,2[∈x 满足题意;ii)当]1,0[2∉-x 时, 42)2()2()]([-=--=-=x x x f x f f ,若14=-x ,则5=x ,故5=x 满足题意.综上所述知: x 的取值范围是}5{]3,2[]1,0[⋃⋃.21．(本小题满分13分)已知集合{}12(2)k A a a a k =，，，≥，其中Z a i ∈=i (1,2,3,),k ,由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；21. 解:（I ）集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．证明：（II ）首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个.因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉,所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=， 即(1)2k k n -≤． 郴州市二中高一年级数学①单元测试卷(二)参考答案一、选择题A B C D D A D C B A二、填空题11,]2,2[- 12,},13|{N n n x x ∈+= 13, ()32g x x =+或()34g x x =-- 14, }210|{<<x x 15,)1(3x x y --=三、解答题16.解： 略17.解原方程可化为:8log )23(log )49(log 222+-=-x x , 即012389=+⋅-x x .解得:23=x (舍去)或63=x , 所以原方程的解是6log 3=x18. 解: （Ⅰ）a x x B C U -≤=|{或}0,>≥a a x ,若φ=⋂B C A U ,则5>a .（Ⅱ）若30≤<a ,则}53|{≤<-=⋃x x B A ; 若53≤<a , 则}5|{≤<-=⋃x a x B A ;若5>a ,则}|{a x a x B A <<-=⋃.19. 解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+．又c x ax x x f +-+=3)(23 所以 2323-+++-c x ax x 2323+-+--=c x ax x所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知23)(3+-=x x x f , 设121≥>x x ,则23)()(13121+-=-x x x f x f 2)3(232+--x x =)3)((22212121-++-x x x x x x121≥>x x , 021>-∴x x , 1121>>x x , 1222≥>x x , 12221≥>x x x , 即03222121>-++x x x x . 所以)()(21x f x f >. 故函数()f x 在区间),1[+∞上单调递增．20. 解: 1)当]1,0[∈x 时,1)(=x f ,于是1)1()]([==f x f f ,故]1,0[∈x 满足题意;2)当]1,0[∉x 时, 2)(-=x x f ,于是)2()]([-=x f x f f .i)当]1,0[2∈-x 时,即]3,2[∈x 时, )2()]([-=x f x f f =1,故]3,2[∈x 满足题意; ii)当]1,0[2∉-x 时, 42)2()2()]([-=--=-=x x x f x f f ,若14=-x ,则5=x ,故5=x 满足题意.综上所述知: x 的取值范围是}5{]3,2[]1,0[⋃⋃.21.解:（I ）集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．证明：（II ）首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个.因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉=，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉,所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉=，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=， 即(1)2k k n -≤．。
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郴州市二中2009年上期高一年级数学必修④学业水平测试题
总分:100分 时间:120分钟 命题人: 李云汤
一．选择题:本大题共8小题；每小题3分，共24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. 45sin15cos15sin45cos的值等于( )
A．32 B．21 C．32 D．21
2. 如图，在四边形ABCD中ABBCOA等于( )
A．CD B．OC C．DA D．CO
3. 下列各式中，其值为23的是（ ）
A．2sin15cos15 B．22cos15sin15
C．22sin151 D．22sin15cos15
4. 已知向量(1,0),(0,1)ij，则下列向量中与向量2ij垂直的向量是( )
A.2ij B.ij C.2ij D.ij
5. 在下面给出的四个函数中，既是区间)2,0(上的增函数，又是以为周期的偶函数的是( )
A.xy2cos B. xy2sin C.|cos|xy D.|sin|xy
6. 若a=(2,1)，b=(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影为（ ）
A. 52 B. 2 C.5 D.10
7. 在锐角△ABC中，设.coscos,sinsinBAyBAx则x , y的大小关系为( )
A.yx B.yx C.yx D.yx
8. 已知||2||0ab,且关于x的方程2||0xaxab有实根,则a与b的夹角的取值范围是( )
A.[0,6] B.[,]3 C.2[,]33 D.[,]6
二.填空题:本大题共7个小题，每小题4分，共28分，将答案直接填写在题后的横线上.
9. 若)4,(ma，且5||a，则m的值是 .
10. 设扇形的半径长为8cm，面积为24cm，则扇形的圆心角的弧度数是 ,
A B O D
C
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11. 已知向量),3,1(a,则与向量a平行的一个单位．．．．向量是________．
12. 若角的终边经过点(12)P，，则tan2的值为 .
13. 设)(xf是以4为周期的函数,且当]2,2[x时, xxf)(,则)6.7(f .
14. 把函数sin()yxxR的图象上所有的点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的
横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是____________.
15. 给出下列命题：
①第二象限角是钝角；
②若ba,是两个共线的单位向量，则ba；
③终边在y轴上的角的集合是},212|{Zkk;
④不等式||||||||cbacba恒成立.
其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）
三.解答题:本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分7分）
已知函数)3sin()6cos()(xxxf.
（Ⅰ）求()fx的定义域；
（Ⅱ）若角在第一象限, 且3cos5，求()f．
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17．（本题满分7分）
已知ABC△顶点的直角坐标分别为(34)A，，(00)B，，(0)Cc，．
(Ⅰ)若5c，求sinA∠的值；
(Ⅱ)若A∠是锐角，求c的取值范围．
18. （本题满分7分）
如图 ，在同一平面内，向量a与单位向量i、j的夹角
分别为30、60，已知4||a.
(Ⅰ) 以i和j为基底，表示a；
(Ⅱ) 若jib3，求证a与b共线.
19. （本题满分8分）
已知),2,0(,12cos)2cos()2sin(2sin3求θ的值.
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20．(本小题满分9分)
如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为3的扇形,四边形ABCD是其
内接矩形,矩形的边BC与扇形的弦PQ平行,点E、F分别为BC、AD的
中点,设COE,矩形ABCD的面积为S.
（Ⅰ）求出矩形的面积S与角的函数关系式;
（Ⅱ）当为何值时, 矩形ABCD的面积S有最大值,并求出这个最大值.
21．(本小题满分10分)
如图，函数)sin(2xy(其中),20Rx的图象与y轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求出该函数的单调减区间；
(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求
PNMP与
的夹角的正弦值.
O
P
Q
A
B
C
D
E
F