第四章流体动力学

第四章 流体动力学

2、为何提出“平均流速”的概念？

3、举例说明连续性方程的应用。

本次课内容引出

§4-1流体的运动微分方程

一、理想流体的运动微分方程

讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程。

如图所示，根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。

在x 轴方向 x x

ma F

=∑

可得

x x ma dydz x p p dydz dx x p p dG =⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+2121

因为 dt

du a dt u

d a x x ==, ，dt du a dt du a z z y y ==, 图3.4.1 微元六面体流体质点

所以流体微元沿x 方向的运动方程为

dt

du dxdydz dxdydz x p

Xdxdydz x ρρ=∂∂-

整理后得

dt

du x p X x

=

∂∂-

ρ1 同理，y 轴方向 dt

du y p Y y

=∂∂-ρ1 z 轴方向 dt

du z p Z z

=∂∂-

ρ1 ——理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755）。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。

如果流体处于平衡状态，则 0===dt

du dt du dt du z

y x

欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。

一、 粘性流体的运动微分方程

与欧拉方程的推导类似，这里要考虑作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。

如图所示，在流体中取一六面体微团，其边长分别为dx ，dy ，dz 。

作用于该微元体上的力: 1.表面力：法向应力，

切向应力。

每一侧面上的切应力可沿两座标轴方向分解，因而在每个侧面上的面力有三个分力： 一个法向应力，两个切向应力，构成点的应力张量，共有九个分量：

第一个下标：切应力所处于的坐标面，第二个下标：切应力的方向 上列九个应力分量，并不完全是独立的。其中六个切向应力，两两相等，即

实际上应力张量中只有六个分量是独立的.

2.质量力

ｘ方向的平衡方程：

稍加整理，消去ρdxdydz 得ｘ方向的方程式，同理可得ｙ方向和ｚ方向的方程式

这就是应力形式的粘性流体运动微分方程

讨 论

1、方程中未知函数:三个速度分量和六个应力分量，加上连续性方程，只有四个方程，

方程组不封闭。 2.若要求解，需补充方程。

3.应力与变形速度之间是否有某种关系？

流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团的变形速度成正比。例如由最简单的牛

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡z zy

zx yz y

yx xz xy

x p p p ττττττ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

===xz zx zy yz yx xy ττττττk Z j Y i X F

++=

顿平板剪流试验得知：

Ｎ－Ｓ方程的矢量形式：

可压缩流体：

讨论

1.方程的求解：三个速度和压力，加上连续性方程，方程封闭。但由于数学上的困难，至今不能求得解析解。

2.方程为偏微分方程，求解时应给定边界条件和初始条件。

3.与理想流体不同，在物面上为无滑移条件（法向速度为零，切向速度为零）。

§4-2 元流伯利努方程

一、伯利努方程的推导

积分的前提条件：

（1）流体是均匀不可压缩的，即 c =ρ

（2）定常流动，即0=∂∂=∂∂=∂∂t u t u t u z y x

0=∂∂t p

（3）质量力定常而有势，设W =W （x 、y 、z ）是质量力的势函数，则 x W

X ∂∂=

y W Y ∂∂= z W Z ∂∂=

Zdz Ydy Xdx dz z

W

dy y W dx x W dW ++=∂∂+∂∂+∂∂=

（4）沿统线积分，由于是定常流动，流线与迹线重合，则

dt dx

u x =

dt dy u y =

dt

dz u z = 在上述四个条件的限制下，将欧拉运动微分方程的三个等式分别乘以dx 、dy 、dz ，然后相加，

进行整理并沿一条流线进行积分，最后可得

c u p

W =--2

2

ρ ★★★

——理想流体运动微分方程的伯努利积分。 它表明：对于不可压缩的理想流体，在有势质量力的作用下作定常流动时，处于同一流线上

的所有流体质点，其函数)2

(2

u p

W --ρ之值均是相同的。对于不同流线上的流体质点来说，

图3.4.2 不同流线上的)2

(2

u p

W --

ρ值 伯努利积分函数)2

(2

u p

W --ρ的值一般是不同的，如图所示。 伯努利方程：表示流体运动所具有的能量以及各种能量之间的转换规律。 两种情况：（1）流体所受质量力只有重力； （2）流体所受质量力为重力和离心力。 1、质量力只有重力

此时 g

Z Y X -===,0,0 则 gdz Zdz Ydy Xdx dW -=++=

积分得 gz W -=

代入★式，对单位重量流体而言，可得到常数=++2

2

u p

z γ

对于同一流线上的任意两点1、2，有

2

22

2

22211

1u p z u p z ++=++γγ=常数

——理想流体微小流束的伯努利方程， 遵循能量守衡与转换定律。 当流体处于静止状态时，u =0。则 常数=+

γ

p

z

所以，流体静力学基本方程是伯努利方程的一个特例。

另外，理想流体微小流束的伯努利方程还可简单地利用理论力学或物理学中的动能定理推导得出。

二、伯努利方程的意义

1、物理意义（能量意义）理想流体微小流束伯努利方程中的三项g

u p z 22

、、γ分别表示单位重量流体的三种不同形

式的能量。

Z ——比位能；γp ——比压能；g u 22——比动能；γ

p

z +——比势能；g u p z 22++γ—