第一章 有理数 单元总结 (解析版)

第一章 有理数 单元总结 【思维导图】

【知识要点】 知识点一 有理数基础概念  有理数（概念理解） 有理数的分类（两种）（见思维导图）  数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 ✓ 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） 任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 ✓ 数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.  相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数）  绝对值 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等。）  比较大小 （1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （2）方法总结： 两个正数比较大小，与小学一致； 正数与零比较，正数大于零； 正数与负数比较，正数大于负数； 负数与零比较，负数小于零； 两个负数比较，绝对值大的反而小。

【典例分析】 1．x=7，则x=___7或-7____. 【解析】绝对值概念的理解。 2．按从小到大的顺序用“＜”号把下列各数连接起来：_-3<-1.6<0<1.6<3___． 1.6，﹣1.6，0，3，﹣3． 【解析】 方法一：在数轴上标出，右边的数字大于左边的。 方法二：利用绝对值比较大小（注意两个负数如何比较大小）。 3．若∣2x-4∣+(3y+9)2=0,则x+y=_____-1________ 【解析】本题考查非负数的应用及代数式的求值。根据已知条件可知，2x-4=0和3y+9=0，求得x，y的值。 4．当m=___-1___时，代数式3m-1与2(1-m)的值互为相反数。 【解析】本题考查相反数的概念和解一元一次方程，根据已知条件，列出方程求解即可。

知识点二 有理数的加减法  有理数的加法（重点） 有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）  同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；  异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；  互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）  一个数同0相加，仍得这个数。 有理数的加法运算律：  两个数相加，交换加数的位置，和不变。即abba；  三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即abcabc。  有理数的减法 有理数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即abab。 注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。  有理数的加减混合运算 规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行： （1）同号的先结合； （2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合； （3）互为相反数的两数相结合； （4）能凑成整数的两数相结合； （5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。 【典例分析】 1．若 |a |3， |b| 1 ，且 a b ，那么 a b 的值是（ D ） A．4 B．2 C．4 D．4或2 【解析】本题考查了学生对绝对值的性质及有理数减法的理解，关键在绝对值等于一个正数的值有两个。 【详解】有题意可得，a=±3，b=±1 而a>b 所以分两种情况： 1） a=3，b=1，所以a-b=2 2） a=3，b=-1，所以a-b=4 所以选D 2．将 6-(+3)+(-2) 改写成省略括号的和的形式是（ A ） A．632 B．632 C．63+2 D．6+32 【解析】本题考察了有理数加减混合运算，将算式写成省略括号的形式必须统一成加法后，才能省略括号和加号。

知识点三 有理数的乘除法  有理数的乘法（重点） 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0.

倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数0aa的倒数是1a） 多个有理数相乘的法则及规律： （1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。

（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. 注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数相乘。  有理数的乘法运算律 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即abba。 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即abcabc。 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即abcabac。  有理数的除法 有理数除法法则：

（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即10ababb。 （2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何不为0的数，都得0。 步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。  有理数的乘除混合运算 运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。 （注：带分数应首先化为假分数进行运算）  有理数的四则混合运算 运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。 注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律 【典例分析】 1．（2019·黑龙江初一期末）计算

（1）215132824





（2）2241

233

 【答案】1．（1）-19；（2）13.

【分析】 （1）原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可求出值； （2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】

（1）原式=215328





×24=-16+12-15=-19；

（2）原式=3114493． 知识点四 有理数的乘方  乘方（重点）

一般地，n个相同的因数a相乘，即𝑎×𝑎×𝑎⋯×𝑎⏟ 𝑛个，记作na，读作a的n次方。求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在na中，a叫做底数，n叫做指数。na读作a的n次方，也可以读作a的n次幂。 乘方的规律： 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.  有理数的混合运算 运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算,从左到右进行； （3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。  科学记数法 把一个大于10的数记成10na的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即110a），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数少1.）

把10na还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。  近似数和有效数字 在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）

一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。

精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。 【典例分析】 1．下列等式正确的是 ( C ) ∣0．000126=1.26×10－4 ∣3.10×104=31000 ∣1.1×10－5=0.000011 ∣12600000=1.26×106 A．∣∣ B．∣∣ C．∣∣∣ D．∣∣∣ 【解析】试题分析：根据科学记数法的意义，能够把较大或较小的数用科学记数法表示，或把科学记数法表示的数，还原即可，由0.000126=1.26×10－4，故∣正确；3.10×104=31000，故∣正确；1.1×10－5=0.000011，故∣正确；

12600000=1.26×107，故∣不正确.

故选：C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．2.30×610

精确到______位,有____个有效数字 【答案】万 3 【分析】 用科学记数法表示的a×10n的形式，它的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关； 精确度只需看a的末位数字实际在哪一位，则精确到了哪一位． 【详解】 近似数2.30×106精确到的位数为万位，有效数字的个数为三个，分别是2、3、0． 故答案为：万，3． 【点睛】 此题主要考查了确定近似数的精确度和有效数字．对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容．

3．计算：

0114(1)()2

．

【答案】5 【分析】先去掉绝对值符号、对负整数指数幂、零指数幂分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【详解】解：原式4125． 【点睛】 本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值考点的运算．

4．计算：(﹣1)1001+(π﹣2)0+(12)2. 【答案】14

【分析】直接利用零指数幂的性质以及指数幂的性质分别化简得出答案．